Multibrot sæt - Multibrot set

Afspil medier

Klik for at afspille video af multibrot-sæt, hvor d skifter fra 0 til 8

I matematik er et multibrot-sæt sæt af værdier i det komplekse plan, hvis absolutte værdi forbliver under en eller anden endelig værdi gennem hele iterationen af ​​et medlem af den generelle moniske univariate polynomiske familie af rekursioner . Navnet er et portmanteau af flere og Mandelbrot sæt . Det samme kan anvendes på Julia-sættet , dette kaldes multi-Julia-sæt .

${\ displaystyle z \ mapsto z ^ {d} + c. \,}$

hvor d  ≥ 2. Eksponenten d kan generaliseres yderligere til negative og brøkværdier.

Eksempler

Sagen om

${\ displaystyle d = 2 \,}$

er det klassiske Mandelbrot-sæt, hvorfra navnet stammer.

Sættene for andre værdier af d viser også fraktale billeder, når de er plottet på det komplekse plan.

Hvert af eksemplerne på forskellige kræfter d vist nedenfor er tegnet i samme skala. Værdierne for c, der hører til sættet, er sorte. Værdier på c, der har ubegrænset værdi under rekursion og derfor ikke hører hjemme i sættet, er tegnet i forskellige farver, der vises som konturer, afhængigt af antallet af rekursioner, der fik en værdi til at overstige en fast størrelse i Escape Time-algoritmen .

Positive kræfter

Eksemplet d = 2 er det originale Mandelbrot-sæt. Eksemplerne for d > 2 kaldes ofte multibrot-sæt . Disse sæt inkluderer oprindelsen og har fraktale omkredse med ( d - 1) foldes rotationssymmetri.

z ↦ z 2 + c

z ↦ z 3 + c

z ↦ z 4 + c

z ↦ z 5 + c

z ↦ z 6 + c

z ↦ z 96 + c

z ↦ z 96 + c detalje x40

Negative beføjelser

Når d er negativt, omslutter sættet, men inkluderer ikke oprindelsen. Der er interessant kompleks adfærd i konturerne mellem sættet og oprindelsen i et stjerneformet område med (1 - d ) foldes rotationssymmetri. Sættene ser ud til at have en cirkulær omkreds, men dette er kun en artefakt af den faste maksimale radius, der er tilladt af Escape Time-algoritmen, og er ikke en grænse for de sæt, der faktisk strækker sig i alle retninger til uendelig.

z ↦ z −2 + c

z ↦ z −3 + c

z ↦ z −4 + c

z ↦ z −5 + c

z ↦ z −6 + c

Fraktionerede kræfter

Gengivelse langs eksponenten

En alternativ metode er at gengive eksponenten langs den lodrette akse. Dette kræver enten fastsættelse af den reelle eller den imaginære værdi og gengivelse af den resterende værdi langs den vandrette akse. Det resulterende sæt stiger lodret fra oprindelsen i en smal søjle til uendelig. Forstørrelse afslører stigende kompleksitet. Den første fremtrædende bump eller spike ses ved en eksponent på 2, placeringen af ​​det traditionelle Mandelbrot-sæt ved dets tværsnit. Det tredje billede her gengives på et plan, der er fastgjort i en 45 graders vinkel mellem den virkelige og imaginære akse.

Multibrot gengivet med reel værdi langs vandret akse og eksponent langs lodret akse, imaginær værdi fast på nul

Multibrot gengivet med imaginær værdi på vandret akse og eksponent på lodret akse, reel værdi fast på nul

Multibrot gengivet med eksponent på lodret akse langs et plan vinklet 45 grader mellem den virkelige og imaginære akse.

Gengivelse af billeder

Alle ovenstående billeder gengives ved hjælp af en Escape Time-algoritme, der identificerer punkter uden for sættet på en enkel måde. Meget større fraktaldetaljer afsløres ved at plotte Lyapunov-eksponenten , som vist i eksemplet nedenfor. Lyapunov-eksponenten er fejlhastigheden for en given sekvens. Beregn først iterationssekvensen med N iterationer, og bereg derefter eksponenten som

${\ displaystyle \ lambda = \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N}} \ ln | \ mathbf {z} |}$

og hvis eksponenten er negativ, er sekvensen stabil. De hvide pixels i billedet er de parametre c, som eksponenten er positiv for ustabil. Farverne viser de perioder, hvor kredsløbene tiltrækkes. Alle punkter farvet mørkeblå (udenfor) tiltrækkes af et fast punkt, alle punkter i midten (lysere blå) tiltrækkes af en periode 2-cyklus og så videre.

Forstørret første kvadrant af multibrotsættet til iterationen z ↦ z ⁻² + c gengivet med Escape Time-algoritmen.

Forstørret første kvadrant af multibrot-sættet til iteration z ↦ z ⁻² + c gengivet ved hjælp af Lyapunov-eksponenten for sekvensen som et stabilitetskriterium snarere end ved hjælp af Escape Time-algoritmen. Periodicitetskontrol blev brugt til at farve sættet i henhold til perioden for kredsløbene i kredsløbene.

Pseudokode

ESCAPE TIME ALGORITHM
=====================

for each pixel on the screen do
    x = x0 = x co-ordinate of pixel
    y = y0 = y co-ordinate of pixel
  
    iteration := 0
    max_iteration := 1000
  
    while (x*x + y*y ≤ (2*2) and iteration < max_iteration do
        /* INSERT CODE(S)FOR Z^d FROM TABLE BELOW */
        iteration := iteration + 1
  
    if iteration = max_iteration then
        colour := black
    else
        colour := iteration
  
    plot(x0, y0, colour)

Den komplekse værdi z har koordinater ( x , y ) på det komplekse plan og hæves til forskellige kræfter inde i iterationssløjfen ved hjælp af koder vist i denne tabel. Beføjelser, der ikke er vist i tabellen, kan opnås ved sammenkædning af de viste koder.

d=x^4+2*x^2*y^2+y^4
if d=0 then ESCAPE
xtmp = (x^2-y^2)/d+a
y = -2*x*y/d+b
x = xtmp 

d=x^2+y^2
if d=0 then ESCAPE
x = x/d + a
y= -y/d + b 

xtmp=x^2-y^2 + a
y=2*x*y + b
x=xtmp 

xtmp=x^3-3*x*y^2 + a
y=3*x^2*y-y^3 + b
x=xtmp 

xtmp=x^5-10*x^3*y^2+5*x*y^4 + a
y=5*x^4*y-10*x^2*y^3+y^5 + b
x=xtmp

xtmp=(x*x+y*y)^(n/2)*cos(n*atan2(y,x)) + a
y=(x*x+y*y)^(n/2)*sin(n*atan2(y,x)) + b
x=xtmp

Referencer