Ortogonalitet - Orthogonality

Linjesegmenterne AB og CD er ortogonale i forhold til hinanden.

I matematik er ortogonalitet generaliseringen af begrebet vinkelret på den lineære algebra af bilinære former . To elementer u og v i et vektorrum med bilinear form B er ortogonale, når B ( u , v ) = 0 . Afhængigt af den bilinære form kan vektorrummet indeholde ikke-nul-selv ortogonale vektorer. I tilfælde af funktionsrum bruges familier af ortogonale funktioner til at danne et grundlag .

I forlængelse heraf bruges ortogonalitet også til at henvise til adskillelsen af specifikke funktioner i et system. Udtrykket har også specialiserede betydninger på andre områder, herunder kunst og kemi.

Etymologi

Ordet kommer fra det græske ὀρθός ( orthos ), der betyder "opretstående", og γωνία ( gonia ), der betyder "vinkel". Den antikke græske ὀρθογώνιον orthogōnion og klassisk latinsk orthogonium betegnede oprindeligt et rektangel . Senere kom de til at betyde en rigtig trekant . I 1100-tallet betød det postklassiske latinske ord orthogonalis en ret vinkel eller noget relateret til en ret vinkel.

Matematik og fysik

Ortogonalitet og drejning af koordinatsystemer sammenlignet mellem venstre: euklidisk rum gennem cirkulær vinkel φ , højre: i Minkowski rumtiden gennem hyperbolsk vinkel φ (røde linier mærket c betegner worldlines af et lyssignal, en vektor er ortogonal på sig selv, hvis det ligger på denne linje).

Definitioner

I geometri , to euklidiske vektorer er ortogonale , hvis de er vinkelrette , dvs. , at de danner en ret vinkel .
To vektorer , x og y , i et indre produktrum , V , er ortogonale, hvis deres indre produkt er nul. Dette forhold er betegnet . ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle}$ ${\ displaystyle x \ perp y}$
En ortogonal matrix er en matrix, hvis søjlevektorer er ortonormale for hinanden.
To vektor underrum , A og B , af et indre produkt rum V , kaldes ortogonale underrum hvis hver vektor i A er ortogonal på hver vektor i B . Det største underrum af V, der er ortogonalt i forhold til et givet underrum, er dets ortogonale komplement .
Givet et modul M og dens dobbelte M ^* , et element m 'af M ^* og et element m af M er ortogonale , hvis deres naturlige parring er nul, dvs. ⟨ m ', m ⟩ = 0 . To sæt S '⊆ M ^* og S ⊆ M er ortogonale, hvis hvert element i S ' er vinkelret på hvert element i S .
Et ord omskrivningssystem siges at være ortogonalt, hvis det er venstre-lineært og ikke er tvetydigt. Ortogonale omskrivningssystemer er sammenflydende .

Et sæt vektorer i et indre produktrum kaldes parvis ortogonalt, hvis hver parring af dem er ortogonal. Et sådant sæt kaldes et ortogonalt sæt .

I visse tilfælde bruges ordet normal til at betyde ortogonal , især i den geometriske forstand som i det normale til en overflade . For eksempel er y -aksen normal i forhold til kurven y = x ² ved oprindelsen. Imidlertid normal kan også henvise til størrelsen af en vektor. Især kaldes et sæt orthonormalt (ortogonalt plus normalt), hvis det er et ortogonalt sæt enhedsvektorer . Som et resultat undgås ofte brug af udtrykket normal til at betyde "ortogonal". Ordet "normal" har også en anden betydning i sandsynlighed og statistik .

Et vektorrum med en bilinear form generaliserer sagen om et indre produkt. Når den bilinære form, der anvendes på to vektorer, resulterer i nul, så er de ortogonale . Sagen om et pseudo-euklidisk plan bruger udtrykket hyperbolsk ortogonalitet . I diagrammet er akserne x ′ og t ′ hyperbolsk-ortogonale for enhver given ϕ .

Euklidiske vektorrum

I det euklidiske rum er to vektorer ortogonale, hvis og kun hvis deres prikprodukt er nul, dvs. de laver en vinkel på 90 ° (π/2 radianer ), eller en af vektorerne er nul. Derfor er ortogonalitet af vektorer en udvidelse af begrebet vinkelrette vektorer til rum af enhver dimension.

Det ortogonale komplement af et delrum er rummet for alle vektorer, der er ortogonale i forhold til hver vektor i underrummet. I et tredimensionelt euklidisk vektorrum er det ortogonale komplement af en linje gennem oprindelsen planet gennem oprindelsen vinkelret på det og omvendt.

Bemærk, at det geometriske begreb om to planer, der er vinkelret, ikke svarer til det ortogonale komplement, da et par vektorer, et fra hvert af et par vinkelrette planer, kan mødes i enhver vinkel i tre dimensioner.

I det fire-dimensionelle euklidiske rum er det ortogonale komplement af en linje et hyperplan og omvendt, og et plan er et plan.

Ortogonale funktioner

Ved at bruge integralregning , er det almindeligt at bruge følgende til at definere den indre produkt af to funktioner f og g i forhold til et positivt vægtfunktion w over et interval [ a , b ] :

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {w} = \ int _ {a}^{b} f (x) g (x) w (x) \, dx.}

I enkle tilfælde er w ( x ) = 1 .

Vi siger, at funktionerne f og g er ortogonale, hvis deres indre produkt (tilsvarende værdien af dette integral) er nul:

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {w} = 0.}

Ortogonalitet af to funktioner med hensyn til et indre produkt indebærer ikke ortogonalitet med hensyn til et andet indre produkt.

Vi skriver normen med hensyn til dette indre produkt som

{\ displaystyle \ | f \ | _ {w} = {\ sqrt {\ langle f, f \ rangle _ {w}}}}

Medlemmerne af et sæt funktioner { f _i : i = 1, 2, 3, ...} er ortogonale i forhold til w på intervallet [ a , b ] hvis

{\ displaystyle \ langle f_ {i}, f_ {j} \ rangle _ {w} = 0 \ quad i \ neq j.}

Medlemmerne af et sådant sæt funktioner er orthonormale med hensyn til w på intervallet [ a , b ] if

{\ displaystyle \ langle f_ {i}, f_ {j} \ rangle _ {w} = \ delta _ {i, j},}

hvor

{\ displaystyle \ delta _ {i, j} = \ left \ {{\ begin {matrix} 1, && i = j \\ 0, && i \ neq j \ end {matrix}} \ right.}

er Kronecker -deltaet . Med andre ord er hvert par af dem (undtagen parring af en funktion med sig selv) ortogonale, og normen for hver er 1. Se især de ortogonale polynomer .

Eksempler

Vektorerne (1, 3, 2) ^T , (3, −1, 0) ^T , (1, 3, −5) ^T er ortogonale med hinanden, da (1) (3) + (3) ( - 1 ) + (2) (0) = 0, (3) (1) + (−1) (3) + (0) ( - 5) = 0, og (1) (1) + (3) (3) + (2) ( - 5) = 0.
Vektorerne (1, 0, 1, 0, ...) ^T og (0, 1, 0, 1, ...) ^T er ortogonale i forhold til hinanden. Prikproduktet af disse vektorer er 0. Vi kan derefter generalisere for at betragte vektorerne i Z ₂ⁿ : ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {k} = \ sum _ {i = 0 \ atop ai+k <n}^{n/a} \ mathbf {e} _ {i}}$ for nogle positivt heltal a , og for 1 ≤ k ≤ a - 1 , disse vektorer er ortogonale, for eksempel , , er ortogonale. ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \ slut {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$
Funktionerne 2 t + 3 og 45 t ² + 9 t - 17 er ortogonale i forhold til en enhedsvægtfunktion i intervallet fra -1 til 1: ${\ displaystyle \ int _ {-1}^{1} \ venstre (2t+3 \ højre) \ venstre (45t^{2}+9t-17 \ højre) \, dt = 0}$
Funktionerne 1, sin ( nx ), cos ( nx ): n = 1, 2, 3, ... er ortogonale med hensyn til Riemann -integration på intervaller [0, 2π] , [−π, π] eller andre lukkede længdeinterval 2π. Denne kendsgerning er en central i Fourier -serien .

Ortogonale polynomer

Forskellige polynomiske sekvenser opkaldt efter tidligere matematikere er sekvenser af ortogonale polynomer . I særdeleshed:

De Hermite polynomier er ortogonale i forhold til den gaussiske fordeling med nul middelværdi.
De Legendre polynomier er ortogonale i forhold til ensartet fordeling på intervallet [-1, 1] .
De Laguerre polynomier er ortogonale i forhold til den eksponentielle fordeling . Noget mere generelle Laguerre polynomiske sekvenser er ortogonale med hensyn til gammadistributioner .
De Chebyshev polynomier af den første slags er ortogonale i forhold til den pågældende foranstaltning ${\ displaystyle 1/{\ sqrt {1-x^{2}}}.}$
Chebyshev -polynomierne af den anden art er ortogonale med hensyn til Wigners halvcirkelfordeling .

Ortogonale tilstande i kvantemekanik

I kvantemekanikken , et tilstrækkeligt (men ikke nødvendigt) tilstand, at to egentilstande af en Hermitisk operatør , og , er ortogonale er, at de svarer til forskellige egenværdier. Dette betyder i Dirac -notation , at hvis og svarer til forskellige egenværdier. Dette følger af, at Schrödingers ligning er en Sturm – Liouville -ligning (i Schrödingers formulering), eller at observerbare er givet af hermitiske operatører (i Heisenbergs formulering). ${\ displaystyle \ psi _ {m}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {n}}$ ${\ displaystyle \ langle \ psi _ {m} | \ psi _ {n} \ rangle = 0}$ ${\ displaystyle \ psi _ {m}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {n}}$

Kunst

I kunsten omtales de perspektiviske (imaginære) linjer, der peger på forsvindingspunktet, som "ortogonale linjer". Udtrykket "ortogonal linje" har ofte en ganske anden betydning i litteraturen om moderne kunstkritik. Mange værker af malere som Piet Mondrian og Burgoyne Diller er kendt for deres eksklusive brug af "ortogonale linjer" - dog ikke med henvisning til perspektiv, men derimod henviser til linjer, der er lige og udelukkende vandrette eller lodrette, der danner rette vinkler, hvor de skærer hinanden. For eksempel, et essay på webstedet af Thyssen-Bornemisza Museum , at "Mondrian ... dedikeret hele sit forfatterskab til undersøgelse af balancen mellem ortogonale linjer og primære farver." Arkiveret 2009-01-31 på Wayback Machine

Computer videnskab

Orthogonalitet i programmeringssprogsdesign er evnen til at bruge forskellige sprogfunktioner i vilkårlige kombinationer med ensartede resultater. Denne brug blev introduceret af Van Wijngaarden i designet af Algol 68 :

Antallet af uafhængige primitive begreber er blevet minimeret, så sproget er let at beskrive, lære og implementere. På den anden side er disse begreber blevet anvendt "ortogonalt" for at maksimere sprogets udtryksfulde kraft, mens du forsøger at undgå skadelige overflødigheder.

Orthogonalitet er en systemdesignegenskab, der garanterer, at modificering af den tekniske effekt, der produceres af en komponent i et system, hverken skaber eller formerer bivirkninger til andre komponenter i systemet. Typisk opnås dette ved adskillelse af bekymringer og indkapsling , og det er afgørende for gennemførlige og kompakte designs af komplekse systemer. Den nye adfærd for et system bestående af komponenter bør kontrolleres strengt af formelle definitioner af dets logik og ikke af bivirkninger som følge af dårlig integration, dvs. ikke-ortogonal design af moduler og grænseflader. Orthogonalitet reducerer test- og udviklingstid, fordi det er lettere at verificere designs, der hverken forårsager bivirkninger eller afhænger af dem.

Et instruktionssæt siges at være ortogonalt, hvis det mangler redundans (dvs. der er kun en enkelt instruktion, der kan bruges til at udføre en given opgave) og er designet sådan, at instruktioner kan bruge ethvert register i enhver adresseringstilstand . Denne terminologi skyldes, at man betragter en instruktion som en vektor, hvis komponenter er instruktionsfelterne. Et felt identificerer de registre, der skal betjenes, og et andet angiver adresseringstilstanden. Et ortogonalt instruktionssæt koder unikt for alle kombinationer af registre og adresseringstilstande.

Kommunikation

I kommunikation er flere adgangsordninger ortogonale, når en ideel modtager fuldstændigt kan afvise vilkårligt stærke uønskede signaler fra det ønskede signal ved hjælp af forskellige basisfunktioner . Et sådant skema er TDMA , hvor de ortogonale basisfunktioner er ikke -overlappende rektangulære pulser ("tidslukker").

En anden ordning er ortogonal frekvensdelingsmultiplexering (OFDM), som refererer til brug af en enkelt sender af et sæt frekvensmultiplexede signaler med den nøjagtige minimumsfrekvensafstand, der er nødvendig for at gøre dem ortogonale, så de ikke forstyrrer hinanden . Kendte eksempler omfatter ( a , g og n ) versioner af 802.11 Wi-Fi ; WiMAX ; ITU-T G.hn , DVB-T , det terrestriske digitale tv-udsendelsessystem, der bruges i det meste af verden uden for Nordamerika; og DMT (Discrete Multi Tone), standardformen for ADSL .

I OFDM vælges underbærerfrekvenserne, således at underbærerne er ortogonale i forhold til hinanden, hvilket betyder, at krydstale mellem underkanalerne elimineres, og mellembærerbeskyttelsesbånd ikke er påkrævet. Dette forenkler i høj grad designet af både senderen og modtageren. I konventionel FDM kræves et separat filter for hver underkanal.

Statistik, økonometri og økonomi

Ved udførelse af statistisk analyse siges uafhængige variabler, der påvirker en bestemt afhængig variabel , at være ortogonale, hvis de er ukorrelerede, da kovariansen danner et indre produkt. I dette tilfælde opnås de samme resultater for virkningen af en hvilken som helst af de uafhængige variabler på den afhængige variabel, uanset om man modellerer effekterne af variablerne individuelt med simpel regression eller samtidigt med multiple regression . Hvis korrelation er til stede, er faktorerne ikke ortogonale, og der opnås forskellige resultater ved de to metoder. Denne anvendelse skyldes, at hvis de er centreret ved at fratrække den forventede værdi (middelværdien), er ikke -korrelerede variabler ortogonale i den ovenfor omtalte geometriske forstand, både som observerede data (dvs. vektorer) og som tilfældige variabler (dvs. tæthedsfunktioner). En økonometrisk formalisme, der er alternativ til den maksimale sandsynlighedsramme , den generaliserede metode til øjeblikke , er afhængig af ortogonalitetsbetingelser. Specielt kan estimatoren for almindelige mindst kvadrater let afledes af en ortogonalitetstilstand mellem de forklarende variabler og modelrester.

Taksonomi

I taksonomi er en ortogonal klassificering en, hvor intet element er medlem af mere end en gruppe, det vil sige, at klassifikationerne udelukker hinanden.

Combinatorics

I kombinatorik siges to n × n latinske firkanter at være ortogonale, hvis deres overlejring giver alle mulige n ² kombinationer af poster.

Kemi og biokemi

I syntetisk organisk kemi er ortogonal beskyttelse en strategi, der tillader afbeskyttelse af funktionelle grupper uafhængigt af hinanden. I kemi og biokemi opstår der en ortogonal interaktion, når der er to par stoffer, og hvert stof kan interagere med deres respektive partner, men interagerer ikke med nogen af stofferne i det andet par. For eksempel har DNA to ortogonale par: cytosin og guanin danner et basepar, og adenin og thymin danner et andet basepar, men andre kombinationer af basepar er stærkt ugunstige. Som et kemisk eksempel reagerer tetrazin med transcycloocten, og azid reagerer med cyclooctyne uden nogen krydsreaktion, så disse er gensidigt ortogonale reaktioner og kan derfor udføres samtidigt og selektivt. Bioorthogonal kemi refererer til kemiske reaktioner, der opstår i levende systemer uden at reagere med naturligt tilstedeværende cellulære komponenter. I supramolekylær kemi refererer begrebet ortogonalitet til muligheden for, at to eller flere supramolekylære, ofte ikke-kovalente , interaktioner er kompatible; reversibelt dannes uden indblanding fra den anden.

I analytisk kemi er analyser "ortogonale", hvis de foretager en måling eller identifikation på helt forskellige måder og dermed øger målingens pålidelighed. Ortogonal testning kan således ses som "krydskontrol" af resultater, og "kryds" -begrebet svarer til den etymologiske oprindelse af ortogonalitet . Ortogonal test er ofte påkrævet som en del af en ny lægemiddelansøgning .

System pålidelighed

Inden for systempålidelighed er ortogonal redundans den form for redundans, hvor formen for backupenhed eller metode er helt anderledes end den, der er tilbøjelig til fejlenhed eller metode. Fejltilstanden for en ortogonalt redundant backup-enhed eller metode krydser ikke og er fuldstændig forskellig fra fejltilstanden for enheden eller metoden, der har brug for redundans for at beskytte det samlede system mod katastrofalt svigt.

Neurovidenskab

I neurovidenskaben kaldes et sensorisk kort i hjernen, der har overlappende stimuluskodning (f.eks. Placering og kvalitet) et ortogonalt kort.

Gaming

I brætspil som skak, der har et gitter med firkanter, bruges 'ortogonal' til at betyde "i samme række/'rang' eller kolonne/'fil'". Dette er modstykket til firkanter, der er "diagonalt tilstødende". I det gamle kinesiske brætspil Go kan en spiller fange en modstanders sten ved at indtage alle ortogonalt tilstødende punkter.

Andre eksempler

Stereo vinylplader koder både venstre og højre stereokanal i en enkelt rille. Den V-formede rille i vinylen har vægge, der er 90 grader i forhold til hinanden, med variationer i hver væg separat, der koder for en af de to analoge kanaler, der udgør stereosignalet. Patronen registrerer pennenes bevægelse efter rillen i to ortogonale retninger: 45 grader fra lodret til hver side. En ren vandret bevægelse svarer til et monosignal, der svarer til et stereosignal, hvor begge kanaler bærer identiske (i fase) signaler.

Se også

Fantasienummer
Isogonal
Isogonal bane
Ortogonalt supplement
Ortogonal gruppe
Ortogonal matrix
Ortogonale polynomer
Ortogonalisering
- Gram -Schmidt proces
Ortonormalt grundlag
Ortonormalitet
Ortogonal transformation
Pan-ortogonalitet forekommer i coquaternions
Overflade normal
Ortogonalt ligand-protein-par

Referencer

Yderligere læsning

Kapitel 4 - Kompakthed og ortogonalitet i kunsten at Unix -programmering

Languages

In other projects