Painlevé-paradoks - Painlevé paradox
Den Painlevé paradoks (også kaldet af Jean Jacques Moreau friktionsegenskaber anfald ) er et velkendt eksempel ved Paul Painlevé i stiv-body dynamik , som viste, at stive-body dynamik med både kontakt friktion og Coulomb friktion er inkonsekvent. Dette resultat skyldes en række diskontinuiteter i opførelsen af stive legemer og de diskontinuiteter, der er forbundet med Coulomb-friktionsloven, især når man håndterer store friktionskoefficienter. Der findes dog enkle eksempler, der beviser, at Painlevé-paradokser kan optræde selv for lille, realistisk friktion.
Modellering af stive legemer og friktion forenkler i høj grad applikationer som animation, robotik og biomekanik, det er kun en tilnærmelse til en fuld elastisk model, der kræver komplekse systemer med partielle differentialligninger. Stiv kropsantagelse giver også mulighed for at afklare mange funktioner, der ellers ville forblive skjult: Painlevé-paradokser er en af dem. Desuden kan de stive kropsmodeller simuleres pålideligt og effektivt, idet man undgår stive problemer og problemer i forbindelse med estimeringen af kompatible kontakt- / påvirkningsmodeller, hvilket ofte er en ganske delikat sag.
Løsning
Det fysiske paradoks blev matematisk løst i 1990'erne af David E. Stewart. Painlevé-paradokset er ikke kun blevet løst af DE Stewart fra det matematiske synspunkt (dvs. Stewart har vist eksistensen af løsninger til det klassiske Painlevé-eksempel, der består af en stang, der glider på et groft plan i 2-dimension), men det har blev forklaret fra et mere mekanisk synspunkt af Franck Génot og Bernard Brogliato. Génot og Brogliato har undersøgt meget detaljeret stavdynamikken i nærheden af et enkelt punkt i fase rummet, når stangen glider. De dynamiske ligninger er derefter en bestemt ental almindelig differentialligning med vektorfeltet f ( x ) / g ( x ), hvor både f og g kan forsvinde ved et bestemt punkt (vinkel og vinkelhastighed). Et af resultaterne er, at kontaktkraften på dette entalpunkt kan vokse ubegrænset, men dens impuls forbliver altid afgrænset (dette kan forklare, hvorfor tidskrævende numeriske metoder som Moreaus skema godt kan håndtere sådanne situationer, da de estimerer impulsen, ikke kraften ). Derfor er den uendelige kontaktkraft slet ikke en hindring for integrationen. En anden situation (forskellig fra den første) er, at bane kan nå en zone i faserummet, hvor det lineære komplementaritetsproblem (LCP), der giver kontaktkraften, ikke har nogen løsning. Derefter skal løsningen (dvs. stangens vinkelhastighed) hoppe til et område, hvor LCP har en løsning. Dette skaber faktisk en slags "påvirkning" med hastighedsdiskontinuitet. Interesserede læsere kan også se på Afsnit 5.5 i Brogliatos bog og på figur 5.23 deri, hvor de forskellige vigtige områder i dynamikken er afbildet.
Det er bemærkelsesværdigt, at JJ Moreau i sin sædepapir har vist gennem numerisk simulering med sit tidsstegningsskema (bagefter kaldet Moreaus skema), at Painlevé-paradokser kan simuleres med passende tidsstegsmetoder af ovennævnte grunde, der senere er givet af Génot og Brogliato .
Da mekanik først og fremmest er en eksperimentel videnskab, er det yderst vigtigt, at eksperimenter validerer teorien. Det klassiske kridteksempel citeres ofte (når det bliver tvunget til at glide på en sort tavle, har en kridt tendensen til at hoppe på brættet). Da Painlevé-paradokser er baseret på en mekanisk model for Coulomb-friktion (multivurderet med nul tangential hastighed), der måske er en forenklet model for kontakt, men som alligevel indkapsler de vigtigste dynamiske effekter af friktion (som klæbe- og glidende zoner), bør den logisk besidde nogle mekaniske betydninger og bør ikke kun være et matematisk ophob. Painlevé-paradokser er blevet påvist eksperimentelt flere gange, se f.eks.