Delvist afledt - Partial derivative

I matematik er et delvist derivat af en funktion af flere variabler dets derivat med hensyn til en af ​​disse variabler, hvor de andre holdes konstant (i modsætning til det totale derivat , hvor alle variabler får lov at variere). Partielle derivater bruges i vektorberegning og differentialgeometri .

Det partielle derivat af en funktion med hensyn til variablen betegnes forskelligt med

, , , , , , Eller .

Nogle gange, for , er det partielle derivat af med hensyn til betegnet som Da et delderivat generelt har de samme argumenter som den oprindelige funktion, er dets funktionelle afhængighed undertiden eksplicit betegnet med notationen, såsom i:

Symbolet, der bruges til at betegne partielle derivater, er . En af de første kendte anvendelser af dette symbol i matematik er af Marquis de Condorcet fra 1770, der brugte det til delvise forskelle. Den moderne delvise afledte notation blev skabt af Adrien-Marie Legendre (1786) (selvom han senere opgav det, genindførte Carl Gustav Jacob Jacobi symbolet i 1841).

Definition

Ligesom almindelige derivater defineres delderivatet som en grænse . Lad U være en åben delmængde af og en funktion. Det partielle derivat af f i punktet med hensyn til i -variablen x i er defineret som

Selvom alle partielle derivater ∂f / ∂x i ( a ) findes på et givet punkt a , behøver funktionen ikke at være kontinuerlig der. Men hvis der findes alle partielle afledede i et kvarter af en og er konstant der, så f er helt differentiabel i nabolaget og den totale derivat er kontinuerlig. I dette tilfælde siges det, at f er en C 1 funktion. Dette kan bruges til at generalisere til Vektorfunktion, , ved forsigtigt med en componentwise argument.

Det partielle derivat kan ses som en anden funktion defineret på U og kan igen delvist differentieres. Hvis alle blandede anden ordens partielt afledte er kontinuert i et punkt (eller på et sæt), f betegnes en C 2 funktion på det tidspunkt (eller på dette sæt); i dette tilfælde kan de delvise derivater udveksles med Clairauts sætning :

Notation

For de følgende eksempler, lad være en funktion i og .

Første ordens partielle derivater:

Andenordens partielle derivater:

Andenordens blandede derivater :

Højere orden delvise og blandede derivater:

Når der behandles funktioner med flere variabler, kan nogle af disse variabler være relateret til hinanden, derfor kan det være nødvendigt at angive eksplicit, hvilke variabler der holdes konstante for at undgå tvetydighed. På felter som statistisk mekanik udtrykkes den delvise afledning af med hensyn til , fastholdelse og konstant, som

Konventionelt, klarhed og enkelhed af notation, den partielle afledede funktion og værdi af funktionen på et bestemt punkt er conflated ved at inkludere funktionsargumenter når den partielle afledede symbol (Leibniz notation). Således et udtryk som

bruges til funktionen, mens

kan bruges til værdien af ​​funktionen på punktet . Denne konvention bryder imidlertid sammen, når vi vil evaluere den partielle derivat på et tidspunkt som . I et sådant tilfælde skal evaluering af funktionen udtrykkes på en uhåndterlig måde som

eller

for at bruge Leibniz -notationen. I disse tilfælde kan det således være at foretrække at bruge Euler -differentialoperatornotationen med som et partielt afledt symbol med hensyn til den i variabel. For eksempel ville man skrive for eksempel beskrevet ovenfor, mens ekspressionen repræsenterer den partielle afledede funktion i forhold til 1. variabel.

For partielle derivater af højere orden betegnes delderivatet (funktionen) af med hensyn til den j th variabel . Det vil sige, så variablerne er angivet i den rækkefølge, hvor derivaterne tages, og dermed i omvendt rækkefølge af, hvordan operatørernes sammensætning normalt noteres. Selvfølgelig indebærer Clairauts sætning, at så længe forholdsvis milde regelmæssighedsbetingelser på f er opfyldt.

Gradient

Et vigtigt eksempel på en funktion af flere variabler er tilfældet med en skalærværdiget funktion f ( x 1 ,…, x n ) på et domæne i det euklidiske rum (f.eks. På eller ). I dette tilfælde har f et partielt derivat ∂f / ∂x j med hensyn til hver variabel x j . I punkt a definerer disse partielle derivater vektoren

Denne vektor kaldes gradienten af f ved a . Hvis f er differentierbar på hvert punkt i et eller andet domæne, så er gradienten en vektorværdi-funktion ∇ f, der tager punktet a til vektoren ∇ f ( a ). Følgelig frembringer gradienten et vektorfelt .

En almindelig misbrug af notation er at definere del operatør (∇) som følger i tredimensionelt euklidisk rum med enhedsvektorer :

Eller mere generelt for n -dimensionalt euklidisk rum med koordinater og enhedsvektorer :

Retningsbestemt derivat

Et konturplot af , der viser gradientvektoren i sort, og enhedsvektoren skaleret af retningsderivatet i retning af i orange. Gradientvektoren er længere, fordi gradienten peger i retning af den største stigningshastighed for en funktion.

Det retningsbestemte derivat af en skalarfunktion

langs en vektor

er den funktion, der er defineret af grænsen

Denne definition er gyldig i en lang række kontekster, f.eks. Hvor normen for en vektor (og dermed en enhedsvektor) er udefineret.

Eksempel

Antag at f er en funktion af mere end en variabel. For eksempel,

.
En graf over z = x 2 + xy + y 2 . For det partielle derivat ved (1, 1), der efterlader y konstant, er den tilsvarende tangentlinje parallel med xz -planet.
Et udsnit af grafen ovenfor, der viser funktionen i xz -planet ved y = 1 . Bemærk, at de to akser er vist her med forskellige skalaer. Hældningen af ​​tangentlinjen er 3.

Den graf af denne funktion definerer en overflade i euklidisk rum . Til hvert punkt på denne overflade er der et uendeligt antal tangentlinjer . Delvis differentiering er handlingen med at vælge en af ​​disse linjer og finde dens hældning . Normalt er linjerne af størst interesse dem, der er parallelle med -planet, og dem, der er parallelle med -planet (som skyldes at holde henholdsvis eller konstant).

For at finde linjens hældning, der tangerer funktionen på og parallelt med -planet, behandler vi det som en konstant. Grafen og dette plan vises til højre. Nedenfor ser vi, hvordan funktionen ser ud på flyet . Ved at finde afledningen af ligningen, mens vi antager, at det er en konstant, finder vi, at hældningen på punktet er:

.

Så ved substitution er hældningen 3. Derfor er

på det punkt . Det vil sige, at den partielle derivat af med hensyn til at er 3, som vist i grafen.

Funktionen f kan genfortolkes som en familie af funktioner af en variabel indekseret af de andre variabler:

Med andre ord definerer hver værdi af y en funktion, betegnet f y  , som er en funktion af en variabel x . Det er,

I dette afsnit betegner subscriptnotationen f y en funktion, der er betinget af en fast værdi på y , og ikke et partielt derivat.

Når en værdi på y er valgt, siger a , så bestemmer f ( x , y ) en funktion f a, der sporer en kurve x 2 + ax + a 2 på -planet:

.

I dette udtryk er a en konstant , ikke en variabel , så f a er en funktion af kun en reel variabel, det er x . Følgelig gælder definitionen af ​​derivatet for en funktion af en variabel:

.

Ovenstående procedure kan udføres for ethvert valg af a . Ved at samle derivaterne til en funktion giver en funktion, der beskriver variationen af f i x -retningen:

Dette er det partielle derivat af f med hensyn til x . Her er en afrundet d kaldet det partielle derivatsymbol ; for at skelne det fra bogstavet d , udtales undertiden "delvis".

Partierivater af højere orden

Anden og højere ordens partielle derivater defineres analogt med derivater af højere orden af ​​univariate funktioner. For funktionen er "eget" andet delderivat med hensyn til x ganske enkelt delderivatet af det partielle derivat (begge med hensyn til x ):

Tværpartierivatet med hensyn til x og y opnås ved at tage det partielle derivat af f med hensyn til x og derefter tage det partielle derivat af resultatet med hensyn til y for at opnå

Schwarz sætning siger, at hvis de anden derivater er kontinuerlige, er udtrykket for tværpartierivatet upåvirket af hvilken variabel det partielle derivat tages med hensyn til første, og som tages som andet. Det er,

eller tilsvarende

Egne og tværpartielle derivater forekommer i den hessiske matrix, der bruges i andenordens betingelser ved optimeringsproblemer .

Antiderivativ analog

Der er et koncept for partielle derivater, der er analogt med antiderivater for almindelige derivater. I betragtning af et delvis derivat giver det mulighed for delvis genoprettelse af den oprindelige funktion.

Overvej eksemplet på

Den "delvise" integral kan tages med hensyn til x (behandler y som konstant, på samme måde som delvis differentiering):

Her er integrationens "konstante" ikke længere en konstant, men i stedet en funktion af alle variablerne i den oprindelige funktion undtagen x . Grunden til dette er, at alle de andre variabler behandles som konstante, når vi tager delderivatet, så enhver funktion, der ikke involverer, vil forsvinde, når vi tager delderivatet, og vi skal tage højde for dette, når vi tager antiderivatet. Den mest generelle måde at repræsentere dette på er at have "konstanten" til at repræsentere en ukendt funktion af alle de andre variabler.

Således repræsenterer funktionsmængden , hvor g er en enkelt -argument -funktion, hele funktionssættet i variablerne x , y, der kunne have frembragt det x -partielle derivat .

Hvis alle de partielle derivater af en funktion kendes (for eksempel med gradienten ), kan antiderivativerne matches via ovenstående proces for at rekonstruere den oprindelige funktion op til en konstant. I modsætning til i enkeltvariabelt tilfælde kan det dog ikke være, at alle funktioner er et sæt af alle (første) partielle derivater af en enkelt funktion. Med andre ord er ikke alle vektorfelter konservative .

Ansøgninger

Geometri

Keglens volumen afhænger af højde og radius

Den volumen V af en kegle afhænger af keglens højde h og dens radius r ifølge formlen

Det partielle derivat af V med hensyn til r er

som repræsenterer den hastighed, hvormed en kegles volumen ændres, hvis dens radius varieres, og dens højde holdes konstant. Det partielle derivat med hensyn til ligestillinger, der repræsenterer den hastighed, hvormed volumen ændres, hvis dens højde varieres, og dens radius holdes konstant.

Derimod er det totale derivat af V med hensyn til r og h henholdsvis

og

Forskellen mellem det totale og det partielle derivat er eliminering af indirekte afhængigheder mellem variabler i partielle derivater.

Hvis (af en vilkårlig årsag) keglens proportioner skal forblive de samme, og højden og radius er i et fast forhold k ,

Dette giver det samlede derivat med hensyn til r :

hvilket forenkler til:

Tilsvarende er det samlede derivat med hensyn til h :

Den samlede afledede mht både r og h af volumenet tænkt som skalar funktion af disse to variable er givet ved gradient vektor

.

Optimering

Delvise derivater vises i ethvert beregningsbaseret optimeringsproblem med mere end én valgvariabel. For eksempel kan et firma inden for økonomi ønske at maksimere profit π ( x , y ) med hensyn til valget af mængderne x og y af to forskellige outputformer. De første ordens betingelser for denne optimering er π x = 0 = π y . Da begge delderivater π x og π y generelt selv vil være funktioner for både argumenter x og y , danner disse to førsteordensbetingelser et system med to ligninger i to ukendte .

Termodynamik, kvantemekanik og matematisk fysik

Partielle derivater forekommer i termodynamiske ligninger som Gibbs-Duhem-ligning , i kvantemekanik som Schrodinger-bølgeligning samt i andre ligninger fra matematisk fysik . Her kan variablerne, der holdes konstante i partielle derivater, være forholdet mellem simple variabler som molfraktioner x i i det følgende eksempel, der involverer Gibbs -energierne i et ternært blandingssystem:

Udtryk molfraktioner af en komponent som funktioner i andre komponenters molfraktion og binære molforhold:

Differentialkvotienter kan dannes ved konstante forhold som dem ovenfor:

Forhold X, Y, Z for molfraktioner kan skrives for ternære og multikomponentsystemer:

som kan bruges til at løse delvise differentialligninger som:

Denne lighed kan omarrangeres til at have differentialkvotient af molfraktioner på den ene side.

Billedstørrelse

Delvise derivater er nøglen til målbevidste billedstørrelsesalgoritmer. Disse algoritmer, der i vid udstrækning er kendt som sømskæring , kræver, at hver pixel i et billede tildeles en numerisk 'energi' til at beskrive deres forskellighed i forhold til ortogonale tilstødende pixels. Den algoritme derefter gradvist fjerner rækker eller kolonner med det laveste energiforbrug. Formlen, der er etableret for at bestemme en pixels energi (størrelsen af gradient ved en pixel) afhænger stærkt af konstruktionerne af partielle derivater.

Økonomi

Partielle derivater spiller en fremtrædende rolle i økonomien , hvor de fleste funktioner, der beskriver økonomisk adfærd, angiver, at adfærden afhænger af mere end en variabel. For eksempel kan en samfundsmæssig funktion forbrug kan beskrive beløb brugt på forbrugsvarer som afhængig af både indkomst og velstand; den marginale forbrugetilbøjelighed er så den delvise afledning af forbrugsfunktionen med hensyn til indkomst.

Se også

Noter

Referencer

eksterne links