Periodisk funktion - Periodic function

En periodisk funktion er en funktion, der gentager sine værdier med jævne mellemrum, for eksempel de trigonometriske funktioner , som gentages med intervaller på 2π radianer . Periodiske funktioner bruges i hele videnskaben til at beskrive svingninger , bølger og andre fænomener, der udviser periodicitet . Enhver funktion, der ikke er periodisk, kaldes aperiodisk .

En illustration af en periodisk funktion med periode

Definition

En funktion f siges at være periodisk, hvis det for en ikke -nul konstant P er sådan

for alle værdier af x i domænet. En nul -konstant P, for hvilken dette er tilfældet, kaldes en periode af funktionen. Hvis der findes en mindst positiv konstant P med denne egenskab, kaldes den grundlæggende periode (også primitiv periode , basisperiode eller primperiode .) Ofte bruges "funktionens" periode til at betyde dens grundlæggende periode. En funktion med periode P gentages med intervaller af længde P , og disse intervaller kaldes undertiden også som perioder af funktionen.

Geometrisk, kan en periodisk funktion defineres som en funktion, hvis graf udviser translationssymmetri , dvs. en funktion f er periodisk med perioden P hvis grafen for f er invariant under oversættelse i x -retningen med en afstand på P . Denne definition af periodicitet kan udvides til andre geometriske former og mønstre, samt generaliseres til højere dimensioner, såsom periodiske tessellationer af flyet. En sekvens kan også ses som en funktion defineret på de naturlige tal , og for en periodisk sekvens er disse begreber defineret i overensstemmelse hermed.

Eksempler

En graf over sinusfunktionen, der viser to komplette perioder

Eksempler på reelle tal

Den sinus funktion er periodisk med periode , da

for alle værdier af . Denne funktion gentages med intervaller af længde (se grafen til højre).

Hverdagseksempler ses, når variablen er tid ; for eksempel viser et urs hænder eller månens faser periodisk adfærd. Periodisk bevægelse er bevægelse, hvor systemets position (er) kan udtrykkes som periodiske funktioner, alle med samme periode.

For en funktion på de reelle tal eller på heltalene betyder det, at hele grafen kan dannes ud fra kopier af en bestemt del, gentaget med jævne mellemrum.

Et enkelt eksempel på en periodisk funktion er den funktion, der giver den " fraktionerede del " af sit argument. Dens periode er 1. Især

Funktionens graf er savtandbølgen .

Et plot af og ; begge funktioner er periodiske med periode 2π.

De trigonometriske funktioner sinus og cosinus er almindelige periodiske funktioner med periode 2π (se figuren til højre). Emnet for Fourier -serien undersøger ideen om, at en 'vilkårlig' periodisk funktion er en sum af trigonometriske funktioner med matchende perioder.

Ifølge definitionen ovenfor er nogle eksotiske funktioner, f.eks. Dirichlet -funktionen , også periodiske; i tilfælde af Dirichlet -funktion er ethvert nul -rationelt tal en periode.

Komplekse taleksempler

Ved hjælp af komplekse variabler har vi den fælles periodefunktion:

Da cosinus- og sinusfunktionerne begge er periodiske med periode 2π, består den komplekse eksponentiel af cosinus- og sinusbølger. Det betyder, at Eulers formel (ovenfor) har den egenskab, at hvis L er funktionens periode, så

Dobbelt-periodiske funktioner

En funktion, hvis domæne er de komplekse tal, kan have to uoverensstemmende perioder uden at være konstant. De elliptiske funktioner er sådanne funktioner. ("Uoverensstemmende" betyder i denne sammenhæng ikke reelle multipler af hinanden.)

Ejendomme

Periodiske funktioner kan indtage værdier mange gange. Mere specifikt, hvis en funktion er periodisk med periode , så for alle i domænet for og alle positive heltal ,

Hvis er en funktion med periode , hvor er et reelt tal, der ikke er nul, således at det er inden for domænet , periodisk med periode . F.eks. Vil periode derfor have periode .

Nogle periodiske funktioner kan beskrives af Fourier -serien . For eksempel, for L 2 funktioner , Carleson teorem hedder, at de har en punktvis ( Lebesgue ) næsten overalt konvergent Fourierrækker . Fourier -serier kan kun bruges til periodiske funktioner eller til funktioner på et afgrænset (kompakt) interval. Hvis er en periodisk funktion med periode, der kan beskrives af en Fourier -serie, kan seriens koefficienter beskrives med et integral over et længdeinterval .

Enhver funktion, der kun består af periodiske funktioner med samme periode, er også periodisk (med periode lige eller mindre), herunder:

  • addition, subtraktion, multiplikation og division af periodiske funktioner og
  • tager en magt eller en rod til en periodisk funktion (forudsat at den er defineret for alle x ).

Generaliseringer

Antiperiodiske funktioner

En fælles delmængde af periodiske funktioner er antiperiodiske funktioner . Dette er en funktion f sådan, at f ( x  +  P ) = - f ( x ) for alle x . (Således er en P -antiperiodisk funktion en 2 P -periodisk funktion.) For eksempel er sinus- og cosinus -funktionerne π -antiperiodiske og 2π -periodiske. Mens en P -antiperiodisk funktion er en 2 P -periode, er det modsatte ikke nødvendigvis sandt.

Bloch-periodiske funktioner

En yderligere generalisering dukker op i forbindelse med Blochs sætninger og Floquet -teori , der styrer løsningen af ​​forskellige periodiske differentialligninger. I denne sammenhæng er løsningen (i en dimension) typisk en funktion af formularen:

hvor k er et reelt eller komplekst tal ( Bloch -bølgevektoren eller Floquet -eksponenten ). Funktioner af denne form kaldes undertiden Bloch-periodisk i denne sammenhæng. En periodisk funktion er det specielle tilfælde k  = 0, og en antiperiodic funktion er det specielle tilfælde k  = π / P .

Kvantelokaler som domæne

Ved signalbehandling støder du på problemet, at Fourier -serier repræsenterer periodiske funktioner, og at Fourier -serier tilfredsstiller konvolutionssætninger (dvs. konvolvering af Fourier -serier svarer til multiplikation af repræsenteret periodisk funktion og omvendt), men periodiske funktioner kan ikke omsluttes med den sædvanlige definition, da de involverede integraler afviger. En mulig vej ud er at definere en periodisk funktion på et afgrænset, men periodisk domæne. Til dette formål kan du bruge begrebet et kvotrum :

.

Det vil sige, at hvert element i er en ækvivalensklasse af reelle tal, der deler den samme brøkdel . Således er en funktion som en repræsentation af en 1-periodisk funktion.

Beregningsperiode

Overvej en reel bølgeform bestående af overlejrede frekvenser, udtrykt i et sæt som forhold til en grundlæggende frekvens, f: F = 1f  [f 1 f 2 f 3 ... f N ], hvor alle ikke-nulelementer ≥1 og ved mindst et af elementerne i sættet er 1. For at finde perioden, T, skal du først finde den mindst fællesnævner af alle elementerne i sættet. Periode kan findes som T = LCDf . Overvej at for en simpel sinusoid, T = 1f . Derfor kan LCD -skærmen ses som en periodicitetsmultiplikator.

  • For sæt repræsenterer alle noter af Western større skala: [1 9 / 8 5 / 4 4 / 3 3 / 2 5 / 3 15 / 8 ] LCD er derfor 24 T = 24 / f .
  • For sæt repræsenterer alle tonerne i en durtreklang: [1 5 / 4 3 / 2 ] LCD er 4 derfor T = 4 / f .
  • For sæt, der repræsenterer alle noter af en mindre triade: [1 65 32 ] LCD'et er 10 derfor T = 10f .

Hvis der ikke mindst findes en fællesnævner, for eksempel hvis et af ovenstående elementer var irrationelt, ville bølgen ikke være periodisk.

Se også

Referencer

  • Ekeland, Ivar (1990). "En". Konveksitetsmetoder i Hamiltonian mekanik . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultater i matematik og beslægtede områder (3)]. 19 . Berlin: Springer-Verlag. s. x+247. ISBN 3-540-50613-6. MR  1051888 .

eksterne links