Vibrationstilstand på en fastspændt firkantet plade
I kontinuum mekanik , plade teorier er matematiske beskrivelser af mekanikken af flade plader , der trækker på teorien om bjælker . Plader defineres som plane strukturelle elementer med en lille tykkelse sammenlignet med de plane dimensioner. Det typiske forhold mellem tykkelse og bredde for en pladestruktur er mindre end 0,1. En pladeteori drager fordel af denne forskel i længdeskala for at reducere det fulde tredimensionale faste mekanikproblem til et todimensionalt problem. Formålet med pladeteori er at beregne deformation og spændinger i en plade udsat for belastning.
Af de mange pladeteorier, der er udviklet siden slutningen af det 19. århundrede, er to bredt accepterede og anvendt inden for ingeniørfag. Disse er
- den Kirchhoff - kærlighed teori af plader (klassisk plade teoretiske)
- Uflyand-Mindlin-teorien om plader (førsteordens forskydningspladeteori)
Kirchhoff – Kærlighedsteori for tynde plader
- Bemærk: Einstein-summeringskonventionen om opsummering på gentagne indekser bruges nedenfor.
Deformation af en tynd plade, der fremhæver forskydningen, midtoverfladen (rød) og den normale til midtoverfladen (blå)
The Kirchhoff - kærlighed teori er en udvidelse af Euler-Bernoulli bjælketeori til tynde plader. Teorien blev udviklet i 1888 af Love ved hjælp af antagelser foreslået af Kirchhoff. Det antages, at et midterfladeplan kan bruges til at repræsentere den tredimensionelle plade i todimensional form.
Følgende kinematiske antagelser, der er lavet i denne teori:
- lige linjer, der er normale mod midtoverfladen, forbliver lige efter deformation
- lige linjer, der er normale mod midtoverfladen, forbliver normale for mellemoverfladen efter deformation
- pladens tykkelse ændres ikke under en deformation.
Forskydningsfelt
Kirchhoff-hypotesen antyder, at forskydningsfeltet har formen
hvor og er de kartesiske koordinater på midterfladen af den udeformerede plade, er koordinaten for tykkelsesretningen, er forskydningerne i midterfladen i plan og er forskydningen af mellemfladen i retningen.
Hvis er vinklerne for det normale til det midterste overflade, så i Kirchhoff – Love teorien
Forskydning af mellemfladen (venstre) og af en normal (højre)
|
Relationer til stamme-forskydning
For den situation, hvor stammerne i pladen er forsvindende og rotationer af mid-fladenormaler er mindre end 10 ° af stammerne-forskydning relationer
Derfor er de eneste stammer, der ikke er nul, i retningen i plan.
Hvis rotationerne af det normale til midtoverfladen er i området fra 10 ° til 15 °, kan belastningsforskydningsforholdene tilnærmes ved hjælp af von Kármán- stammerne. Derefter fører de kinematiske antagelser fra Kirchhoff-Love-teorien til følgende stamme-fortrængningsforhold
Denne teori er ikke-lineær på grund af de kvadratiske termer i forholdet mellem stamme-forskydning.
Ligevægtsligninger
Ligevægtsligningerne for pladen kan afledes af princippet om virtuelt arbejde . For den situation, hvor belastningen og rotationen af pladen er lille, er ligevægtsligningerne for en ubelastet plade givet ved
hvor stressresultanterne og stressmomentresultaterne defineres som
og pladens tykkelse er . Mængderne er belastningerne.
Hvis pladen er belastet med en ekstern distribueret belastning, der er normal til midtoverfladen og rettet i den positive retning, fører princippet om virtuelt arbejde derefter til ligevægtsligningerne
For moderate rotationer antager stamme-forskydningsforholdene von Karman-formen, og ligevægtsligningerne kan udtrykkes som
Grænseforhold
De randbetingelser, der er nødvendige for at løse ligevægtsligningerne i pladeteori, kan opnås ud fra grænsebetingelserne i princippet om virtuelt arbejde.
For små stammer og små rotationer er randbetingelserne
Bemærk, at mængden er en effektiv forskydningskraft.
Relationer mellem stress og belastning
Spændings-belastningsforholdet for en lineær elastisk Kirchhoff-plade er givet af
Da og ikke vises i ligevægtsligningerne, antages det implicit, at disse størrelser ikke har nogen indvirkning på momentumbalancen og forsømmes.
Det er mere praktisk at arbejde med de stress- og momentresultanter, der kommer ind i ligevægtsligningerne. Disse er relateret til forskydningerne fra
og
De udvidede stivheder er størrelserne
De bøjende stivheder (også kaldet bøjningsstivhed ) er mængderne
Isotropisk og homogen Kirchhoff-plade
For en isotrop og homogen plade er forholdet mellem stress og stamme
De øjeblikke, der svarer til disse belastninger er
Ren bøjning
Forskydningerne og er nul under rene bøjningsforhold . For en isotrop, homogen plade under ren bøjning er den styrende ligning
I indeksnotation,
I direkte tensor notation er den regulerende ligning
Tværgående belastning
For en tværbelastet plade uden aksiale deformationer har den regulerende ligning form
hvor
I indeksnotation,
og i direkte notation
I cylindriske koordinater er den regulerende ligning
Ortotropisk og homogen Kirchhoff-plade
Til en ortotrop plade
Derfor,
og
Tværgående belastning
Den regulerende ligning af en ortotrop Kirchhoff-plade, der er belastet på tværs af en distribueret belastning pr. Arealenhed, er
hvor
Dynamik af tynde Kirchhoff-plader
Den dynamiske teori om plader bestemmer udbredelsen af bølger i pladerne og studiet af stående bølger og vibrationstilstande.
Styrende ligninger
De styrende ligninger for dynamikken i en Kirchhoff – Love-plade er
hvor, for en plade med en densitet ,
og
Figurerne nedenfor viser nogle vibrationsmetoder på en cirkulær plade.
Isotropiske plader
De regulerende ligninger forenkler betydeligt for isotrope og homogene plader, for hvilke deformationerne i planet kan overses og har formen
hvor er pladens bøjningsstivhed. For en ensartet plade af tykkelse ,
I direkte notation
Uflyand-Mindlin teori for tykke plader
- Bemærk: Einstein-summeringskonventionen om opsummering på gentagne indekser bruges nedenfor.
I teorien om tykke plader eller teorien om Yakov S. Uflyand (se, for detaljer, Elishakoffs håndbog), Raymond Mindlin og Eric Reissner , forbliver det normale til midtoverfladen lige, men ikke nødvendigvis vinkelret på midtoverfladen . Hvis og betegn de vinkler, som midtfladen skaber med aksen, så
Så antyder Mindlin – Reissner-hypotesen det
Relationer til stamme-forskydning
Afhængig af størrelsen af pladens normals rotation kan to forskellige tilnærmelser for stammerne udledes fra de grundlæggende kinematiske antagelser.
For små stammer og små rotationer er forholdet mellem stamme-forskydning for Mindlin – Reissner-plader
Forskydningsspændingen og dermed forskydningsspændingen over pladens tykkelse overses ikke i denne teori. Forskydningsstammen er imidlertid konstant over pladens tykkelse. Dette kan ikke være nøjagtigt, da forskydningsspændingen vides at være parabolsk, selv for enkle pladegeometrier. For at tage højde for unøjagtigheden i forskydningsstammen anvendes en forskydningskorrektionsfaktor ( ), så den korrekte mængde intern energi forudsiges af teorien. Derefter
Ligevægtsligninger
Ligevægtsligningerne har lidt forskellige former afhængigt af den forventede bøjningsmængde i pladen. For den situation, hvor belastningen og rotationen af pladen er lille, er ligevægtsligningerne for en Mindlin – Reissner-plade
De resulterende forskydningskræfter i ovenstående ligninger er defineret som
Grænseforhold
Grænsebetingelserne er angivet med grænsebetingelserne i princippet om virtuelt arbejde.
Hvis den eneste ydre kraft er en lodret kraft på pladens øverste overflade, er randbetingelserne
Konstitutive relationer
Spændings-belastningsforholdene for en lineær elastisk Mindlin – Reissner-plade er givet af
Da det ikke vises i ligevægtsligningerne, antages det implicit, at det ikke har nogen effekt på momentumbalancen og forsømmes. Denne antagelse kaldes også flyet stress antagelse. De resterende stress-belastningsforhold for et ortotropisk materiale i matrixform kan skrives som
Derefter,
og
For forskydningsbetingelserne
De udvidede stivheder er størrelserne
De bøjende stivheder er mængderne
Isotrope og homogene Uflyand-Mindlin-plader
For ensartede tykke, homogene og isotrope plader er spændings-belastningsforholdene i pladens plan
hvor er Youngs modul, er Poissons forhold og er stammerne i planet. Forskydningsspændinger og -stammer gennem tykkelsen er forbundet med
hvor er forskydningsmodulet .
Konstitutive relationer
Forholdet mellem stressresultanterne og de generaliserede forskydninger for en isotropisk Mindlin – Reissner-plade er:
og
Den bøjningsstivhed er defineret som den mængde
For en plade med tykkelse har bøjningsstivheden form
hvor
Styrende ligninger
Hvis vi ignorerer pladens forlængelse i plan, er de regulerende ligninger det
Med hensyn til de generelle deformationer er de tre styrende ligninger
Grænseforholdene langs kanterne af en rektangulær plade er
Reissner – Stein statisk teori for isotrope udkragningsplader
Generelt er nøjagtige løsninger til udkragningsplader ved anvendelse af pladeteori ret involverede, og få nøjagtige løsninger kan findes i litteraturen. Reissner og Stein giver en forenklet teori for cantilever plader, der er en forbedring i forhold til ældre teorier som Saint-Venant plate theory.
Reissner-Stein teorien antager et tværgående forskydningsfelt af formen
De regulerende ligninger for pladen reduceres derefter til to koblede almindelige differentialligninger:
hvor
Ved , da bjælken er fastspændt, er randbetingelserne
Grænsebetingelserne på er
hvor
Afledning af Reissner – Stein cantilever plade ligninger
|
Tøjsenergien ved bøjning af en tynd rektangulær plade med ensartet tykkelse er givet ved
hvor er den tværgående forskydning, er længden, er bredden, er Poissons forhold, er Unges modul og
Den potentielle energi af tværgående belastninger (pr. Længdeenhed) er
Den potentielle energi af belastninger i flyet (pr. Bredde) er
Den potentielle energi af spidsstyrker (pr. Breddeenhed) og bøjningsmomenter og
(pr. Enhedsbredde) er
En balance mellem energi kræver, at den samlede energi er
Med antagelsen Reissener – Stein for fordrivelse har vi det
og
At tage den første variation af med hensyn til og sætte den til nul giver os Euler-ligningerne
og
hvor
Da bjælken er fastspændt , har vi det
Grænsebetingelserne ved kan findes ved integration af dele:
hvor
|
Se også
Referencer
-
^ Timoshenko, S. og Woinowsky-Krieger, S. "Teori om plader og skaller". McGraw – Hill New York, 1959.
-
^ AEH Kærlighed, om de små frie vibrationer og deformationer af elastiske skaller , filosofisk trans. af Royal Society (London), 1888, bind. série A, nr. 17 s. 491–549.
-
^ Reddy, JN, 2007, Teori og analyse af elastiske plader og skaller , CRC Press, Taylor og Francis.
-
^ Uflyand, Ya. S., 1948, Wave Propagation by Transverse Vibrations of Beams and Plates, PMM: Journal of Applied Mathematics and Mechanics, Vol. 12, 287-300 (på russisk)
-
^ Elishakoff, I., 2020, Håndbog om Timoshenko-Ehrenfest Beam og Uflyand-Mindlin Plate Theories , World Scientific, Singapore,
ISBN 978-981-3236-51-6
-
^ RD Mindlin, Indflydelse af rotationsinerti og forskydning på bøjningsbevægelser af isotrope, elastiske plader , Journal of Applied Mechanics, 1951, bind. 18 s. 31–38.
-
^ E. Reissner og M. Stein. Torsion og tværbøjning af udkragningsplader. Teknisk note 2369, National Advisory Committee for Aeronautics, Washington, 1951.