Pladeteori - Plate theory

Vibrationstilstand på en fastspændt firkantet plade

I kontinuum mekanik , plade teorier er matematiske beskrivelser af mekanikken af flade plader , der trækker på teorien om bjælker . Plader defineres som plane strukturelle elementer med en lille tykkelse sammenlignet med de plane dimensioner. Det typiske forhold mellem tykkelse og bredde for en pladestruktur er mindre end 0,1. En pladeteori drager fordel af denne forskel i længdeskala for at reducere det fulde tredimensionale faste mekanikproblem til et todimensionalt problem. Formålet med pladeteori er at beregne deformation og spændinger i en plade udsat for belastning.

Af de mange pladeteorier, der er udviklet siden slutningen af ​​det 19. århundrede, er to bredt accepterede og anvendt inden for ingeniørfag. Disse er

  • den Kirchhoff - kærlighed teori af plader (klassisk plade teoretiske)
  • Uflyand-Mindlin-teorien om plader (førsteordens forskydningspladeteori)

Kirchhoff – Kærlighedsteori for tynde plader

Bemærk: Einstein-summeringskonventionen om opsummering på gentagne indekser bruges nedenfor.
Deformation af en tynd plade, der fremhæver forskydningen, midtoverfladen (rød) og den normale til midtoverfladen (blå)

The Kirchhoff - kærlighed teori er en udvidelse af Euler-Bernoulli bjælketeori til tynde plader. Teorien blev udviklet i 1888 af Love ved hjælp af antagelser foreslået af Kirchhoff. Det antages, at et midterfladeplan kan bruges til at repræsentere den tredimensionelle plade i todimensional form.

Følgende kinematiske antagelser, der er lavet i denne teori:

  • lige linjer, der er normale mod midtoverfladen, forbliver lige efter deformation
  • lige linjer, der er normale mod midtoverfladen, forbliver normale for mellemoverfladen efter deformation
  • pladens tykkelse ændres ikke under en deformation.

Forskydningsfelt

Kirchhoff-hypotesen antyder, at forskydningsfeltet har formen

hvor og er de kartesiske koordinater på midterfladen af ​​den udeformerede plade, er koordinaten for tykkelsesretningen, er forskydningerne i midterfladen i plan og er forskydningen af ​​mellemfladen i retningen.

Hvis er vinklerne for det normale til det midterste overflade, så i Kirchhoff – Love teorien

Forskydning af mellemfladen (venstre) og af en normal (højre)

Relationer til stamme-forskydning

For den situation, hvor stammerne i pladen er forsvindende og rotationer af mid-fladenormaler er mindre end 10 ° af stammerne-forskydning relationer

Derfor er de eneste stammer, der ikke er nul, i retningen i plan.

Hvis rotationerne af det normale til midtoverfladen er i området fra 10 ° til 15 °, kan belastningsforskydningsforholdene tilnærmes ved hjælp af von Kármán- stammerne. Derefter fører de kinematiske antagelser fra Kirchhoff-Love-teorien til følgende stamme-fortrængningsforhold

Denne teori er ikke-lineær på grund af de kvadratiske termer i forholdet mellem stamme-forskydning.

Ligevægtsligninger

Ligevægtsligningerne for pladen kan afledes af princippet om virtuelt arbejde . For den situation, hvor belastningen og rotationen af ​​pladen er lille, er ligevægtsligningerne for en ubelastet plade givet ved

hvor stressresultanterne og stressmomentresultaterne defineres som

og pladens tykkelse er . Mængderne er belastningerne.

Hvis pladen er belastet med en ekstern distribueret belastning, der er normal til midtoverfladen og rettet i den positive retning, fører princippet om virtuelt arbejde derefter til ligevægtsligningerne

For moderate rotationer antager stamme-forskydningsforholdene von Karman-formen, og ligevægtsligningerne kan udtrykkes som

Grænseforhold

De randbetingelser, der er nødvendige for at løse ligevægtsligningerne i pladeteori, kan opnås ud fra grænsebetingelserne i princippet om virtuelt arbejde.

For små stammer og små rotationer er randbetingelserne

Bemærk, at mængden er en effektiv forskydningskraft.

Relationer mellem stress og belastning

Spændings-belastningsforholdet for en lineær elastisk Kirchhoff-plade er givet af

Da og ikke vises i ligevægtsligningerne, antages det implicit, at disse størrelser ikke har nogen indvirkning på momentumbalancen og forsømmes.

Det er mere praktisk at arbejde med de stress- og momentresultanter, der kommer ind i ligevægtsligningerne. Disse er relateret til forskydningerne fra

og

De udvidede stivheder er størrelserne

De bøjende stivheder (også kaldet bøjningsstivhed ) er mængderne

Isotropisk og homogen Kirchhoff-plade

For en isotrop og homogen plade er forholdet mellem stress og stamme

De øjeblikke, der svarer til disse belastninger er

Ren bøjning

Forskydningerne og er nul under rene bøjningsforhold . For en isotrop, homogen plade under ren bøjning er den styrende ligning

I indeksnotation,

I direkte tensor notation er den regulerende ligning

Tværgående belastning

For en tværbelastet plade uden aksiale deformationer har den regulerende ligning form

hvor

I indeksnotation,

og i direkte notation

I cylindriske koordinater er den regulerende ligning

Ortotropisk og homogen Kirchhoff-plade

Til en ortotrop plade

Derfor,

og

Tværgående belastning

Den regulerende ligning af en ortotrop Kirchhoff-plade, der er belastet på tværs af en distribueret belastning pr. Arealenhed, er

hvor

Dynamik af tynde Kirchhoff-plader

Den dynamiske teori om plader bestemmer udbredelsen af ​​bølger i pladerne og studiet af stående bølger og vibrationstilstande.

Styrende ligninger

De styrende ligninger for dynamikken i en Kirchhoff – Love-plade er

hvor, for en plade med en densitet ,

og

Figurerne nedenfor viser nogle vibrationsmetoder på en cirkulær plade.

Isotropiske plader

De regulerende ligninger forenkler betydeligt for isotrope og homogene plader, for hvilke deformationerne i planet kan overses og har formen

hvor er pladens bøjningsstivhed. For en ensartet plade af tykkelse ,

I direkte notation

Uflyand-Mindlin teori for tykke plader

Bemærk: Einstein-summeringskonventionen om opsummering på gentagne indekser bruges nedenfor.

I teorien om tykke plader eller teorien om Yakov S. Uflyand (se, for detaljer, Elishakoffs håndbog), Raymond Mindlin og Eric Reissner , forbliver det normale til midtoverfladen lige, men ikke nødvendigvis vinkelret på midtoverfladen . Hvis og betegn de vinkler, som midtfladen skaber med aksen, så

Så antyder Mindlin – Reissner-hypotesen det

Relationer til stamme-forskydning

Afhængig af størrelsen af ​​pladens normals rotation kan to forskellige tilnærmelser for stammerne udledes fra de grundlæggende kinematiske antagelser.

For små stammer og små rotationer er forholdet mellem stamme-forskydning for Mindlin – Reissner-plader

Forskydningsspændingen og dermed forskydningsspændingen over pladens tykkelse overses ikke i denne teori. Forskydningsstammen er imidlertid konstant over pladens tykkelse. Dette kan ikke være nøjagtigt, da forskydningsspændingen vides at være parabolsk, selv for enkle pladegeometrier. For at tage højde for unøjagtigheden i forskydningsstammen anvendes en forskydningskorrektionsfaktor ( ), så den korrekte mængde intern energi forudsiges af teorien. Derefter

Ligevægtsligninger

Ligevægtsligningerne har lidt forskellige former afhængigt af den forventede bøjningsmængde i pladen. For den situation, hvor belastningen og rotationen af ​​pladen er lille, er ligevægtsligningerne for en Mindlin – Reissner-plade

De resulterende forskydningskræfter i ovenstående ligninger er defineret som

Grænseforhold

Grænsebetingelserne er angivet med grænsebetingelserne i princippet om virtuelt arbejde.

Hvis den eneste ydre kraft er en lodret kraft på pladens øverste overflade, er randbetingelserne

Konstitutive relationer

Spændings-belastningsforholdene for en lineær elastisk Mindlin – Reissner-plade er givet af

Da det ikke vises i ligevægtsligningerne, antages det implicit, at det ikke har nogen effekt på momentumbalancen og forsømmes. Denne antagelse kaldes også flyet stress antagelse. De resterende stress-belastningsforhold for et ortotropisk materiale i matrixform kan skrives som

Derefter,

og

For forskydningsbetingelserne

De udvidede stivheder er størrelserne

De bøjende stivheder er mængderne

Isotrope og homogene Uflyand-Mindlin-plader

For ensartede tykke, homogene og isotrope plader er spændings-belastningsforholdene i pladens plan

hvor er Youngs modul, er Poissons forhold og er stammerne i planet. Forskydningsspændinger og -stammer gennem tykkelsen er forbundet med

hvor er forskydningsmodulet .

Konstitutive relationer

Forholdet mellem stressresultanterne og de generaliserede forskydninger for en isotropisk Mindlin – Reissner-plade er:

og

Den bøjningsstivhed er defineret som den mængde

For en plade med tykkelse har bøjningsstivheden form

hvor

Styrende ligninger

Hvis vi ignorerer pladens forlængelse i plan, er de regulerende ligninger det

Med hensyn til de generelle deformationer er de tre styrende ligninger

Grænseforholdene langs kanterne af en rektangulær plade er

Reissner – Stein statisk teori for isotrope udkragningsplader

Generelt er nøjagtige løsninger til udkragningsplader ved anvendelse af pladeteori ret involverede, og få nøjagtige løsninger kan findes i litteraturen. Reissner og Stein giver en forenklet teori for cantilever plader, der er en forbedring i forhold til ældre teorier som Saint-Venant plate theory.

Reissner-Stein teorien antager et tværgående forskydningsfelt af formen

De regulerende ligninger for pladen reduceres derefter til to koblede almindelige differentialligninger:

hvor

Ved , da bjælken er fastspændt, er randbetingelserne

Grænsebetingelserne på er

hvor

Se også

Referencer

  1. ^ Timoshenko, S. og Woinowsky-Krieger, S. "Teori om plader og skaller". McGraw – Hill New York, 1959.
  2. ^ AEH Kærlighed, om de små frie vibrationer og deformationer af elastiske skaller , filosofisk trans. af Royal Society (London), 1888, bind. série A, nr. 17 s. 491–549.
  3. ^ Reddy, JN, 2007, Teori og analyse af elastiske plader og skaller , CRC Press, Taylor og Francis.
  4. ^ Uflyand, Ya. S., 1948, Wave Propagation by Transverse Vibrations of Beams and Plates, PMM: Journal of Applied Mathematics and Mechanics, Vol. 12, 287-300 (på russisk)
  5. ^ Elishakoff, I., 2020, Håndbog om Timoshenko-Ehrenfest Beam og Uflyand-Mindlin Plate Theories , World Scientific, Singapore, ISBN  978-981-3236-51-6
  6. ^ RD Mindlin, Indflydelse af rotationsinerti og forskydning på bøjningsbevægelser af isotrope, elastiske plader , Journal of Applied Mechanics, 1951, bind. 18 s. 31–38.
  7. ^ E. Reissner og M. Stein. Torsion og tværbøjning af udkragningsplader. Teknisk note 2369, National Advisory Committee for Aeronautics, Washington, 1951.