Quartic plane curve - Quartic plane curve

En kvartsplankurve er en plan algebraisk kurve af fjerde grad . Det kan defineres ved en bivariat kvartsligning:

${\ displaystyle Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3} y+Dx^{2} y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3} +Hx^{2} y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P = 0,}$

med mindst en af A, B, C, D, E ikke lig med nul. Denne ligning har 15 konstanter. Den kan imidlertid multipliceres med enhver ikke-nul konstant uden at ændre kurven; således ved valget af en passende multiplikationskonstant kan enhver af koefficienterne sættes til 1, hvilket kun efterlader 14 konstanter. Derfor kan kvartskurvens rum identificeres med det virkelige projektive rum . Det følger også af Cramers sætning om algebraiske kurver , at der er nøjagtigt en kvartisk kurve, der passerer gennem et sæt med 14 forskellige punkter i generel position , da en kvartik har 14 frihedsgrader . ${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^{14}}$

En kvartisk kurve kan maksimalt have:

• Fire tilsluttede komponenter
• Tyve otte bi-tangenter
• Tre almindelige dobbeltpunkter .

Man kan også overveje kvartiske kurver over andre felter (eller endda ringe ), for eksempel de komplekse tal . På denne måde får man Riemann overflader , som er endimensionale objekter over C , men er todimensional løbet R . Et eksempel er Klein quartic . Derudover kan man se på kurver i det projektive plan , givet af homogene polynomier.

Eksempler

Forskellige kombinationer af koefficienter i ovenstående ligning giver anledning til forskellige vigtige kurvefamilier som anført nedenfor.

Ampersand kurve

Den tegnet kurve er en quartic plan kurve givet ved ligningen:

${\ displaystyle \ (y^{2} -x^{2}) (x-1) (2x-3) = 4 (x^{2}+y^{2} -2x)^{2}.}$

Den har slægt nul, med tre almindelige dobbeltpunkter, alle i det virkelige plan.

Bønnekurve

Den bønne kurve er en quartic plan kurve med ligningen:

${\ displaystyle x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4} = x (x^{2}+y^{2}). \,}$

Bønnekurven har slægt nul. Den har en singularitet ved oprindelsen, et almindeligt tredobbelt punkt.

Bicuspid kurve

Den bicuspid er en quartic plan kurve med ligningen

${\ displaystyle (x^{2} -a^{2}) (xa)^{2}+(y^{2} -a^{2})^{2} = 0 \,}$

hvor a bestemmer kurvens størrelse. Bicuspid har kun de to cusps som singulariteter, og derfor er en kurve af slægt en.

Bue kurve

Den bue kurve er en quartic plan kurve med ligningen:

${\ displaystyle x^{4} = x^{2} åå^{3}. \,}$

Buekurven har et enkelt tredobbelt punkt ved x = 0, y = 0, og er derfor en rationel kurve med slægt nul.

Korsformet kurve

Den korsformede kurve , eller indlæg kurve er en quartic plan kurve givet ved ligningen

${\ displaystyle x^{2} y^{2} -b^{2} x^{2} -a^{2} y^{2} = 0 \,}$

hvor a og b er to parametre, der bestemmer kurvens form. Korsformede kurve er relateret ved en standard kvadratisk transformation, x ↦ 1/ x , y ↦ 1/ y til ellipsen a ² x ² + b ² y ² = 1, og er derfor en rationel plan algebraisk kurve af slægt nul. Korsformede kurve har tre dobbelte punkter i det virkelige projektive plan , ved x = 0 og y = 0, x = 0 og z = 0 og y = 0 og z = 0.

Fordi kurven er rationel, kan den parametriseres af rationelle funktioner. For eksempel, hvis a = 1 og b = 2, så

${\ displaystyle x =-{\ frac {t^{2} -2t+5} {t^{2} -2t-3}}, \ quad y = {\ frac {t^{2} -2t+5 } {2t-2}}}$

parametrerer punkterne på kurven uden for de ekstraordinære tilfælde, hvor en nævner er nul.

Illustration af de inverse Pythagoras og regelmæssige Pythagoras sætninger

Den omvendte Pythagoras sætning opnås fra ovenstående ligning ved at erstatte x med AC , y med BC , og hver a og b med CD , hvor A , B er slutpunkterne for hypotenusen i en højre trekant ABC , og D er foden af en vinkelret faldet fra C , toppunktet i den rigtige vinkel, til hypotenusen:

${\ displaystyle {\ begin {align} AC^{2} BC^{2} -CD^{2} AC^{2} -CD^{2} BC^{2} & = 0 \\ AC^{2 } BC^{2} & = CD^{2} BC^{2}+CD^{2} AC^{2} \\ {\ frac {1} {CD^{2}}} & = {\ frac {BC^{2}} {AC^{2} \ cdot BC^{2}}}+{\ frac {AC^{2}} {AC^{2} \ cdot BC^{2}}} \\ \ derfor \; \; {\ frac {1} {CD^{2}}} & = {\ frac {1} {AC^{2}}}+{\ frac {1} {BC^{2}} } \ end {align}}}$

Spirisk sektion

Spiriske sektioner kan defineres som bicirkulære kvartskurver, der er symmetriske i forhold til x- og y -akserne. Spiriske sektioner er inkluderet i familien af toriske sektioner og omfatter flodhestfamilien og familien Cassini -ovaler . Navnet er fra σπειρα, der betyder torus på oldgræsk.

Den kartesiske ligning kan skrives som

${\ displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2} = dx^{2}+ey^{2}+f,}$

og ligningen i polære koordinater som

${\ displaystyle r^{4} = dr^{2} \ cos^{2} \ theta +er^{2} \ sin^{2} \ theta +f. \,}$

Trekløver (trifolium)

Den trebladede kløver eller trifolium er kvartsplankurven

${\ displaystyle x^{4}+2x^{2} y^{2}+y^{4} -x^{3}+3xy^{2} = 0. \,}$

Ved at løse for y kan kurven beskrives ved følgende funktion:

${\ displaystyle y = \ pm {\ sqrt {\ frac {-2x^{2} -3x \ pm {\ sqrt {16x^{3}+9x^{2}}}} {2}}},}$

hvor de to optrædener af ± er uafhængige af hinanden, hvilket giver op til fire forskellige værdier af y for hver x .

Den parametriske ligning af kurven er

${\ displaystyle x = \ cos (3t) \ cos t, \ quad y = \ cos (3t) \ sin t. \,}$

I polære koordinater ( x = r  cos φ, y = r  sin φ) er ligningen

${\ displaystyle r = \ cos (3 \ varphi). \,}$

Det er et specielt tilfælde af rosenkurve med k = 3. Denne kurve har et tredobbelt punkt ved oprindelsen (0, 0) og har tre dobbelte tangenter.

Se også

• Ternær kvarts
• Bitangenter af en kvarts

Referencer