Hæve og sænke indeks - Raising and lowering indices

I matematik og matematisk fysik er hæve og sænke indeks operationer på tensorer, der ændrer deres type . At hæve og sænke indeks er en form for indeksmanipulation i tensorudtryk.

Tensortype

I betragtning af et tensorfelt på en manifold M , i nærvær af en ikke -singular form på M (såsom en Riemannian metric eller Minkowski metric ), kan man hæve eller sænke indekser for at ændre en type ( a , b ) tensor til a ( a + 1, b - 1) tensor (hæveindeks) eller til a ( a - 1, b + 1) tensor (lavere indeks), hvor notationen ( a , b ) er blevet brugt til at betegne tensorordenen a + b med en øvre indeks og b nedre indeks.

Man gør dette ved at multiplicere med den covariant eller kontravariant metriske tensor og derefter kontraherende indekser, hvilket betyder, at to indekser sættes lige og summeres derefter over de gentagne indeks (anvender Einstein -notation ). Se eksempler herunder.

Vektorer (ordre-1 tensorer)

Multiplicering med den kontravariant metriske tensor g ^ij og kontrahering producerer en anden tensor med et øvre indeks:

${\ displaystyle g^{ij} A_ {j} = A^{i} \ ,,}$

Det samme basissymbol bruges typisk til at betegne denne nye tensor, og omplacering af indekset forstås typisk i denne sammenhæng at referere til denne nye tensor og kaldes at hæve indekset , som ville blive skrevet

${\ displaystyle g^{ij} A_ {j} = A^{i} \ ,.}$

På samme måde sænker man et indeks ved at multiplicere med den kovariante metriske tensor og indgå kontrakt (med samme forståelse for genbrug af basissymbolet):

${\ displaystyle g_ {ij} A^{j} = A_ {i} \ ,.}$

Formen g _ij behøver ikke at være ikke -enkelt for at sænke et indeks, men for at få det inverse (og dermed hæve et indeks) skal det være ikke -enkelt.

At hæve og derefter sænke det samme indeks (eller omvendt) er inverse operationer, hvilket afspejles i, at kovariante og kontravariant metriske tensorer er inverse til hinanden:

${\ displaystyle g^{ij} g_ {jk} = g_ {kj} g^{ji} = {\ delta^{i}} _ {k} = {\ delta _ {k}}^{i}}$

hvor δ ⁱ _k er Kronecker delta eller identitetsmatrix . Da der er forskellige valg af metriske med forskellige metriske signaturer (tegn langs de diagonale elementer, dvs. tensorkomponenter med lige indeks), er navnet og signaturen normalt angivet for at forhindre forvirring. Forskellige forfattere bruger forskellige metrics og signaturer af forskellige årsager.

Mnemonisk (selvom det er forkert ), kunne man tænke på indekser, der "annullerede" mellem en metrik og en anden tensor, og metriket stiger op eller ned i indekset. I eksemplerne ovenfor er sådanne "aflysninger" og "trin" ens

${\ displaystyle g^{ij} A_ {j} = {\ annullere {g}}^{i {\ annullere {j}}} A _ {\ annullere {j}} = A^{i} \ ,,}$

Igen, mens det er en nyttig vejledning, er dette kun mnemonisk og ikke en egenskab for tensorer, da indekserne ikke annullerer som i ligninger, det er kun et begreb om notationen. Resultaterne fortsættes nedenfor for højere ordens tensorer (dvs. flere indekser).

Når man hæver indekser for mængder i rumtiden , hjælper det med at dekomponere summeringer til "tidslige komponenter" (hvor indeks er nul) og "rumlignende komponenter" (hvor indekser er 1, 2, 3, konventionelt repræsenteret med latinske bogstaver).

Et eksempel fra Minkowski -rumtiden

Den kovariante 4-position er givet af

${\ displaystyle X _ {\ mu} = (-ct, x, y, z)}$

med komponenter:

${\ displaystyle X_ {0} =-ct, \ quad X_ {1} = x, \ quad X_ {2} = y, \ quad X_ {3} = z}$

(hvor x , y , z er de sædvanlige kartesiske koordinater ) og Minkowski metriske tensor med signatur ( - + + +) er defineret som

${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = \ eta ^{\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

i komponenter:

${\ displaystyle \ eta _ {00} =-1, \ quad \ eta _ {i0} = \ eta _ {0i} = 0, \ quad \ eta _ {ij} = \ delta _ {ij} \, (i , j \ neq 0).}$

For at hæve indekset ganges det med tensoren og kontrakten:

${\ displaystyle X ^{\ lambda} = \ eta ^{\ lambda \ mu} X _ {\ mu} = \ eta ^{\ lambda 0} X_ {0}+\ eta ^{\ lambda i} X_ {i} }$

derefter for λ = 0 :

${\ displaystyle X ^{0} = \ eta ^{00} X_ {0}+\ eta ^{0i} X_ {i} =-X_ {0}}$

og for λ = j = 1, 2, 3 :

${\ displaystyle X ^{j} = \ eta ^{j0} X_ {0}+\ eta ^{ji} X_ {i} = \ delta ^{ji} X_ {i} = X_ {j} \ ,.}$

Så den indeksforhøjede kontravariant 4-position er:

${\ displaystyle X^{\ mu} = (ct, x, y, z) \ ,.}$

Tensorer (højere orden)

Bestilling 2

For en ordre-2 tensor hæver to gange med den kontravariant metriske tensor og kontrahering i forskellige indeks hvert indeks:

${\ displaystyle A^{\ alpha \ beta} = g^{\ alpha \ gamma} g^{\ beta \ delta} A _ {\ gamma \ delta}}$

og to gange gange med den kovariante metriske tensor og kontrahering i forskellige indeks sænker hvert indeks:

${\ displaystyle A _ {\ alpha \ beta} = g _ {\ alpha \ gamma} g _ {\ beta \ delta} A^{\ gamma \ delta}}$

Et eksempel fra klassisk elektromagnetisme og særlig relativitet

Den kontravariant elektromagnetiske tensor i (+ - - -) signaturen er givet af

${\ displaystyle F^{\ alpha \ beta} = {\ begin {pmatrix} 0 &-{\ frac {E_ {x}} {c}} &-{\ frac {E_ {y}} {c}} &- {\ frac {E_ {z}} {c}} \\ {\ frac {E_ {x}} {c}} & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ {\ frac {E_ {y}} { c}} & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ {\ frac {E_ {z}} {c}} &-B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {pmatrix}}}$

i komponenter:

${\ displaystyle F^{0i} =-F^{i0} =-{\ frac {E^{i}} {c}}, \ quad F^{ij} =-\ varepsilon^{ijk} B_ {k }}$

For at opnå den kovariante tensor F _αβ multipliceres med den metriske tensor og kontraheres:

${\ displaystyle {\ begin {align} F _ {\ alpha \ beta} & = \ eta _ {\ alpha \ gamma} \ eta _ {\ beta \ delta} F^{\ gamma \ delta} \\ & = \ eta _ {\ alpha 0} \ eta _ {\ beta 0} F^{00}+\ eta _ {\ alpha i} \ eta _ {\ beta 0} F^{i0}+\ eta _ {\ alpha 0} \ eta _ {\ beta i} F^{0i}+\ eta _ {\ alpha i} \ eta _ {\ beta j} F^{ij} \ end {justeret}}}$

og da F ⁰⁰ = 0 og F ^{0 i} = - F ^{i 0} reduceres dette til

${\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} = \ venstre (\ eta _ {\ alpha i} \ eta _ {\ beta 0}-\ eta _ {\ alpha 0} \ eta _ {\ beta i} \ højre) F^{i0}+\ eta _ {\ alpha i} \ eta _ {\ beta j} F^{ij}}$

Nu for α = 0 , β = k = 1, 2, 3 :

${\ displaystyle {\ begin {align} F_ {0k} & = \ left (\ eta _ {0i} \ eta _ {k0}-\ eta _ {00} \ eta _ {ki} \ right) F^{i0 }+\ eta _ {0i} \ eta _ {kj} F^{ij} \\ & = {\ bigl (} 0-(-\ delta _ {ki}) {\ bigr)} F^{i0}+ 0 \\ & = F^{k0} =-F^{0k} \\\ ende {justeret}}}$

og ved antisymmetri, for α = k = 1, 2, 3 , β = 0 :

${\ displaystyle F_ {k0} =-F^{k0}}$

derefter endelig for α = k = 1, 2, 3 , β = l = 1, 2, 3 ;

${\ displaystyle {\ begin {align} F_ {kl} & = \ left (\ eta _ {ki} \ eta _ {l0}-\ eta _ {k0} \ eta _ {li} \ right) F^{i0 }+\ eta _ {ki} \ eta _ {lj} F^{ij} \\ & = 0+ \ delta _ {ki} \ delta _ {lj} F^{ij} \\ & = F^{kl } \\\ end {align}}}$

Den (kovariante) lavere indekserede tensor er derefter:

${\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} = {\ begin {pmatrix} 0 & {\ frac {E_ {x}} {c}} & {\ frac {E_ {y}} {c}} og {\ frac { E_ {z}} {c}} \\-{\ frac {E_ {x}} {c}} & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\-{\ frac {E_ {y}} {c} } & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\-{\ frac {E_ {z}} {c}} &-B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {pmatrix}}}$

Ordre n

Når et vektorrum er udstyret med et indre produkt (eller metrisk som det ofte kaldes i denne sammenhæng), eksisterer der operationer, der konverterer et kontravariant (øvre) indeks til et kovariant (nedre) indeks og omvendt. En måling i sig selv er en (symmetrisk) (0,2) -tensor, det er således muligt at trække et øvre indeks af en tensor sammen med et af de nedre indekser i metriket. Dette producerer en ny tensor med samme indeksstruktur som den foregående, men med lavere indeks i positionen af ​​det kontraherede øvre indeks. Denne operation er ganske grafisk kendt som at sænke et indeks. Omvendt har en metrik en invers, som er en (2,0) -tensor. Denne omvendte metrik kan indgås med et lavere indeks for at producere et øvre indeks. Denne operation kaldes at hæve et indeks.

For en tensor af rækkefølge n hæves indekserne med (kompatibel med ovenstående):

${\ displaystyle g^{j_ {1} i_ {1}} g^{j_ {2} i_ {2}} \ cdots g^{j_ {n} i_ {n}} A_ {i_ {1} i_ {2 } \ cdots i_ {n}} = A^{j_ {1} j_ {2} \ cdots j_ {n}}}$

og sænkes med:

${\ displaystyle g_ {j_ {1} i_ {1}} g_ {j_ {2} i_ {2}} \ cdots g_ {j_ {n} i_ {n}} A^{i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {n}} = A_ {j_ {1} j_ {2} \ cdots j_ {n}}}$

og for en blandet tensor:

${\ displaystyle g_ {p_ {1} i_ {1}} g_ {p_ {2} i_ {2}} \ cdots g_ {p_ {n} i_ {n}} g^{q_ {1} j_ {1}} g^{q_ {2} j_ {2}} \ cdots g^{q_ {m} j_ {m}} {A^{i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {n}}} _ {j_ { 1} j_ {2} \ cdots j_ {m}} = {A_ {p_ {1} p_ {2} \ cdots p_ {n}}}^{q_ {1} q_ {2} \ cdots q_ {m}} }$

Se også

• Ricci -beregning
• Einstein notation
• Metrisk tensor
• Musikalsk isomorfisme
• Dobbeltrum § Bilinære produkter og dobbeltrum

Referencer