Hurtighed - Rapidity

I relativitetsteorien , hurtighed er almindeligt anvendt som et mål for relativistisk hastighed. Matematisk kan hurtighed defineres som den hyperbolske vinkel , der adskiller to referencerammer i relativ bevægelse, idet hver ramme er forbundet med distance og tid koordinater.

For endimensionel bevægelse er hastigheder additive, hvorimod hastigheder skal kombineres med Einsteins formel for hastighedsaddition . Ved lave hastigheder er hurtighed og hastighed proportional, men for højere hastigheder tager hurtigheden en større værdi, idet lysets hastighed er uendelig.

Ved hjælp af inverse hyperbolske funktion artanh , hurtigheden w svarer til hastigheden v er w = artanh ( v / c ) hvor c er lyshastigheden. Ved lave hastigheder er w cirka v / c . Idet relativitet enhver hastighed v er begrænset til intervallet - c < v < c forholdet v / c tilfredsstiller -1 < v / c <1 . Den omvendte hyperbolske tangens har enhedsintervallet (-1, 1) for sit domæne og hele den reelle linje for sit område , og så intervallet - c < v < c kortlægger sig til −∞ < w <∞ .

Historie

Hyperbolsk sektor.svg

I 1908 forklarede Hermann Minkowski , hvordan Lorentz -transformationen blot kunne ses som en hyperbolsk rotation af rumtidskoordinaterne , dvs. en rotation gennem en imaginær vinkel. Denne vinkel repræsenterer derfor (i en rumlig dimension) et simpelt additivt mål for hastigheden mellem rammer. Hastighedsparameteren, der erstatter hastighed, blev introduceret i 1910 af Vladimir Varićak og af ET Whittaker . Parameteren blev navngivet hurtighed af Alfred Robb (1911), og dette udtryk blev vedtaget af mange efterfølgende forfattere, såsom Silberstein (1914), Morley (1936) og Rindler (2001).

Område i en hyperbolsk sektor

Den kvadratur af hyperbel xy = 1 ved Gregoire de Saint-Vincent etablerede den naturlige logaritme som arealet af en hyperbolsk sektor, eller et tilsvarende areal mod en asymptote. I rumtidsteorien deler lysets hændelser universet i fortid, fremtid eller andre steder baseret på et her og nu. På enhver linje i rummet kan en lysstråle rettes til venstre eller højre. Tag x-aksen som begivenhederne passeret af den højre stråle og y-aksen som begivenhederne i den venstre stråle. Så har en hvilestativ tid langs diagonalen x = y . Den rektangulære hyperbola xy = 1 kan bruges til at måle hastigheder (i den første kvadrant). Nulhastighed svarer til (1,1). Ethvert punkt på hyperbolen har koordinater, hvor w er hurtigheden, og er lig med området for den hyperbolske sektor fra (1,1) til disse koordinater. Mange forfattere refererer i stedet til enhedshyperbola ved hjælp af hurtighed til parameter, som i standard rumtid diagram . Der måles akserne med ur og målerpind, mere velkendte benchmarks og grundlaget for rumtidsteori. Så afgrænsningen af ​​hurtighed som hyperbolsk parameter for strålerum er en henvisning til det syttende århundredes oprindelse for vores dyrebare transcendentale funktioner og et supplement til rumtidsdiagrammer.

I en rumlig dimension

Hastigheden w opstår i den lineære repræsentation af et Lorentz-boost som et vektor-matrixprodukt

.

Matrixen Λ ( w ) er af typen med p og q, der opfylder p 2 - q 2 = 1 , så ( p , q ) ligger på enhedens hyperbola . Sådanne matricer danner den ubestemte ortogonale gruppe O (1,1) med endimensionel Lie-algebra, der spænder over den antidiagonale enhedsmatrix, hvilket viser, at hastigheden er koordinaten på denne Lie-algebra. Denne handling kan være afbildet i et rumtidsdiagram . I matrixeksponentiel notation kan Λ ( w ) udtrykkes som , hvor Z er det negative for den antidiagonale enhedsmatrix

Det er ikke svært at bevise det

.

Dette fastslår den nyttige additive egenskab ved hurtighed: hvis A , B og C er referencerammer , så

hvor w PQ betegner hurtigheden af en referenceramme Q i forhold til en referenceramme P . Enkelheden af ​​denne formel står i kontrast til kompleksiteten af ​​den tilsvarende hastighedsadditionsformel .

Som vi kan se fra Lorentz -transformationen ovenfor, identificerer Lorentz -faktoren sig med cosh w

,

så hastigheden w bruges implicit som en hyperbolsk vinkel i Lorentz -transformationsudtrykkene ved hjælp af γ og β . Vi relaterer hurtigheder til formlen for hastighedsaddition

ved at genkende

også

Korrekt acceleration (accelerationen 'mærkes' af objektet, der accelereres) er hastighedens ændring af hastigheden i forhold til korrekt tid (tid målt ved objektet, der selv undergår acceleration). Derfor kan hurtigheden af ​​et objekt i en given ramme simpelthen ses som objektets hastighed, som det ville blive beregnet ikke-relativistisk af et inertiel styresystem ombord på selve objektet, hvis det accelererede fra hvile i denne ramme til sin givne hastighed .

Produktet af β og γ forekommer hyppigt og stammer fra ovenstående argumenter

Eksponentielle og logaritmiske forhold

Fra ovenstående udtryk har vi

og dermed

eller eksplicit

Den Doppler-skift faktor i forbindelse med hurtighed w er .

I mere end én rumlig dimension

Den relativistiske hastighed er forbundet med et objekts hurtighed via

hvor vektoren betragtes som kartesiske koordinater på det tredimensionale underrum af Lie-algebraen i Lorentz-gruppen, der spænder over boost-generatorerne -i fuldstændig analogi med det endimensionale tilfælde diskuteret ovenfor-og hastighedsrum repræsenteres af den åbne kugle med radius siden . Sidstnævnte følger af, at der er en begrænsende relativitetshastighed (med enheder hvor ).

Den generelle formel for sammensætning af hastigheder er

hvor henviser til relativistisk hastighedsaddition og er en enhedsvektor i retning af . Denne operation er ikke kommutativ eller associativ. Hastigheder med retninger, der skråner i en vinkel, har en resulterende norm (almindelig euklidisk længde) givet af cosinus hyperboliske lov ,

Geometrien på hurtighedsrum arves fra den hyperbolske geometri på hastighedsrummet via det angivne kort. Denne geometri kan til gengæld udledes af tilføjelsesloven for relativistiske hastigheder. Hurtighed i to dimensioner kan således nyttig visualiseres ved hjælp af Poincaré -disken . Geodesik svarer til jævn acceleration. Hastighedsrum i tre dimensioner kan på samme måde sættes i isometri med hyperboloidmodellen (isometrisk til den 3 -dimensionelle Poincaré -disk (eller kugle )). Dette er detaljeret i geometri af Minkowski -rummet .

Tilføjelsen af ​​to hastigheder resulterer ikke kun i en ny hurtighed; den resulterende totale transformation er sammensætningen af ​​transformationen svarende til den ovenfor angivne hurtighed og en rotation parametriseret af vektoren ,

hvor fysikerkonventionen for den eksponentielle kortlægning anvendes. Dette er en konsekvens af kommutationsreglen

hvor er rotationsgeneratorerne . Dette hænger sammen med fænomenet Thomas -recession . Til beregning af parameteren henvises til den linkede artikel.

I eksperimentel partikelfysik

Energien E og skalær momentum | p | af en partikel med ikke-nul (hvile) masse m er givet ved:

Med definitionen af w

og dermed med

energien og skalær momentum kan skrives som:

Så hurtighed kan beregnes ud fra målt energi og momentum ved

Imidlertid bruger eksperimentelle partikelfysikere ofte en modificeret definition af hurtighed i forhold til en stråleakse

hvor p z er komponenten af ​​momentum langs stråleaksen. Dette er boostens hurtighed langs stråleaksen, som tager en observatør fra laboratorierammen til en ramme, hvor partiklen kun bevæger sig vinkelret på strålen. I forbindelse hermed er begrebet pseudorapiditet .

Hastighed i forhold til en stråleakse kan også udtrykkes som

Se også

Bemærkninger

Noter og referencer

  • Varićak V (1910), (1912), (1924) Se Vladimir Varićak#Publikationer
  • Whittaker, ET (1910). " En historie om teorierne om æter og elektricitet ": 441. Citer journal kræver |journal=( hjælp )
  • Robb, Alfred (1911). Optisk bevægelsesgeometri, et nyt syn på relativitetsteorien . Cambridge: Heffner & Sons.
  • Borel E (1913) La théorie de la relativité et la cinématique, Comptes Rendus Acad Sci Paris 156 215-218; 157 703-705
  • Silberstein, Ludwik (1914). Relativitetsteorien . London: Macmillan & Co.
  • Vladimir Karapetoff (1936) "Begrænset relativitet i form af hyperboliske hastighedsfunktioner", American Mathematical Monthly 43:70.
  • Frank Morley (1936) "When and Where", The Criterion , redigeret af TS Eliot , 15: 200-2009.
  • Wolfgang Rindler (2001) Relativity: Special, General and Cosmological , side 53, Oxford University Press .
  • Shaw, Ronald (1982) Linear Algebra and Group Representations , v. 1, side 229, Academic Press ISBN  0-12-639201-3 .
  • Walter, Scott (1999). "Den ikke-euklidiske stil i Minkowskian relativitet" (PDF) . I J. Gray (red.). Det symbolske univers: geometri og fysik . Oxford University Press. s. 91–127.(se side 17 i e-link)
  • Rhodes, JA; Semon, MD (2004). "Relativistisk hastighedsrum, Wigner -rotation og Thomas -recession". Er. J. Phys . 72 (7): 93–90. arXiv : gr-qc/0501070 . Bibcode : 2004AmJPh..72..943R . doi : 10.1119/1.1652040 . S2CID  14764378 .
  • Jackson, JD (1999) [1962]. "Kapitel 11". Klassisk elektrodynamik (3d red.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-30932-X.