Hurtighed - Rapidity
I relativitetsteorien , hurtighed er almindeligt anvendt som et mål for relativistisk hastighed. Matematisk kan hurtighed defineres som den hyperbolske vinkel , der adskiller to referencerammer i relativ bevægelse, idet hver ramme er forbundet med distance og tid koordinater.
For endimensionel bevægelse er hastigheder additive, hvorimod hastigheder skal kombineres med Einsteins formel for hastighedsaddition . Ved lave hastigheder er hurtighed og hastighed proportional, men for højere hastigheder tager hurtigheden en større værdi, idet lysets hastighed er uendelig.
Ved hjælp af inverse hyperbolske funktion artanh , hurtigheden w svarer til hastigheden v er w = artanh ( v / c ) hvor c er lyshastigheden. Ved lave hastigheder er w cirka v / c . Idet relativitet enhver hastighed v er begrænset til intervallet - c < v < c forholdet v / c tilfredsstiller -1 < v / c <1 . Den omvendte hyperbolske tangens har enhedsintervallet (-1, 1) for sit domæne og hele den reelle linje for sit område , og så intervallet - c < v < c kortlægger sig til −∞ < w <∞ .
Historie
I 1908 forklarede Hermann Minkowski , hvordan Lorentz -transformationen blot kunne ses som en hyperbolsk rotation af rumtidskoordinaterne , dvs. en rotation gennem en imaginær vinkel. Denne vinkel repræsenterer derfor (i en rumlig dimension) et simpelt additivt mål for hastigheden mellem rammer. Hastighedsparameteren, der erstatter hastighed, blev introduceret i 1910 af Vladimir Varićak og af ET Whittaker . Parameteren blev navngivet hurtighed af Alfred Robb (1911), og dette udtryk blev vedtaget af mange efterfølgende forfattere, såsom Silberstein (1914), Morley (1936) og Rindler (2001).
Område i en hyperbolsk sektor
Den kvadratur af hyperbel xy = 1 ved Gregoire de Saint-Vincent etablerede den naturlige logaritme som arealet af en hyperbolsk sektor, eller et tilsvarende areal mod en asymptote. I rumtidsteorien deler lysets hændelser universet i fortid, fremtid eller andre steder baseret på et her og nu. På enhver linje i rummet kan en lysstråle rettes til venstre eller højre. Tag x-aksen som begivenhederne passeret af den højre stråle og y-aksen som begivenhederne i den venstre stråle. Så har en hvilestativ tid langs diagonalen x = y . Den rektangulære hyperbola xy = 1 kan bruges til at måle hastigheder (i den første kvadrant). Nulhastighed svarer til (1,1). Ethvert punkt på hyperbolen har koordinater, hvor w er hurtigheden, og er lig med området for den hyperbolske sektor fra (1,1) til disse koordinater. Mange forfattere refererer i stedet til enhedshyperbola ved hjælp af hurtighed til parameter, som i standard rumtid diagram . Der måles akserne med ur og målerpind, mere velkendte benchmarks og grundlaget for rumtidsteori. Så afgrænsningen af hurtighed som hyperbolsk parameter for strålerum er en henvisning til det syttende århundredes oprindelse for vores dyrebare transcendentale funktioner og et supplement til rumtidsdiagrammer.
I en rumlig dimension
Hastigheden w opstår i den lineære repræsentation af et Lorentz-boost som et vektor-matrixprodukt
- .
Matrixen Λ ( w ) er af typen med p og q, der opfylder p 2 - q 2 = 1 , så ( p , q ) ligger på enhedens hyperbola . Sådanne matricer danner den ubestemte ortogonale gruppe O (1,1) med endimensionel Lie-algebra, der spænder over den antidiagonale enhedsmatrix, hvilket viser, at hastigheden er koordinaten på denne Lie-algebra. Denne handling kan være afbildet i et rumtidsdiagram . I matrixeksponentiel notation kan Λ ( w ) udtrykkes som , hvor Z er det negative for den antidiagonale enhedsmatrix
Det er ikke svært at bevise det
- .
Dette fastslår den nyttige additive egenskab ved hurtighed: hvis A , B og C er referencerammer , så
hvor w PQ betegner hurtigheden af en referenceramme Q i forhold til en referenceramme P . Enkelheden af denne formel står i kontrast til kompleksiteten af den tilsvarende hastighedsadditionsformel .
Som vi kan se fra Lorentz -transformationen ovenfor, identificerer Lorentz -faktoren sig med cosh w
- ,
så hastigheden w bruges implicit som en hyperbolsk vinkel i Lorentz -transformationsudtrykkene ved hjælp af γ og β . Vi relaterer hurtigheder til formlen for hastighedsaddition
ved at genkende
også
Korrekt acceleration (accelerationen 'mærkes' af objektet, der accelereres) er hastighedens ændring af hastigheden i forhold til korrekt tid (tid målt ved objektet, der selv undergår acceleration). Derfor kan hurtigheden af et objekt i en given ramme simpelthen ses som objektets hastighed, som det ville blive beregnet ikke-relativistisk af et inertiel styresystem ombord på selve objektet, hvis det accelererede fra hvile i denne ramme til sin givne hastighed .
Produktet af β og γ forekommer hyppigt og stammer fra ovenstående argumenter
Eksponentielle og logaritmiske forhold
Fra ovenstående udtryk har vi
og dermed
eller eksplicit
Den Doppler-skift faktor i forbindelse med hurtighed w er .
I mere end én rumlig dimension
Den relativistiske hastighed er forbundet med et objekts hurtighed via
hvor vektoren betragtes som kartesiske koordinater på det tredimensionale underrum af Lie-algebraen i Lorentz-gruppen, der spænder over boost-generatorerne -i fuldstændig analogi med det endimensionale tilfælde diskuteret ovenfor-og hastighedsrum repræsenteres af den åbne kugle med radius siden . Sidstnævnte følger af, at der er en begrænsende relativitetshastighed (med enheder hvor ).
Den generelle formel for sammensætning af hastigheder er
hvor henviser til relativistisk hastighedsaddition og er en enhedsvektor i retning af . Denne operation er ikke kommutativ eller associativ. Hastigheder med retninger, der skråner i en vinkel, har en resulterende norm (almindelig euklidisk længde) givet af cosinus hyperboliske lov ,
Geometrien på hurtighedsrum arves fra den hyperbolske geometri på hastighedsrummet via det angivne kort. Denne geometri kan til gengæld udledes af tilføjelsesloven for relativistiske hastigheder. Hurtighed i to dimensioner kan således nyttig visualiseres ved hjælp af Poincaré -disken . Geodesik svarer til jævn acceleration. Hastighedsrum i tre dimensioner kan på samme måde sættes i isometri med hyperboloidmodellen (isometrisk til den 3 -dimensionelle Poincaré -disk (eller kugle )). Dette er detaljeret i geometri af Minkowski -rummet .
Tilføjelsen af to hastigheder resulterer ikke kun i en ny hurtighed; den resulterende totale transformation er sammensætningen af transformationen svarende til den ovenfor angivne hurtighed og en rotation parametriseret af vektoren ,
hvor fysikerkonventionen for den eksponentielle kortlægning anvendes. Dette er en konsekvens af kommutationsreglen
hvor er rotationsgeneratorerne . Dette hænger sammen med fænomenet Thomas -recession . Til beregning af parameteren henvises til den linkede artikel.
I eksperimentel partikelfysik
Energien E og skalær momentum | p | af en partikel med ikke-nul (hvile) masse m er givet ved:
Med definitionen af w
og dermed med
energien og skalær momentum kan skrives som:
Så hurtighed kan beregnes ud fra målt energi og momentum ved
Imidlertid bruger eksperimentelle partikelfysikere ofte en modificeret definition af hurtighed i forhold til en stråleakse
hvor p z er komponenten af momentum langs stråleaksen. Dette er boostens hurtighed langs stråleaksen, som tager en observatør fra laboratorierammen til en ramme, hvor partiklen kun bevæger sig vinkelret på strålen. I forbindelse hermed er begrebet pseudorapiditet .
Hastighed i forhold til en stråleakse kan også udtrykkes som
Se også
Bemærkninger
Noter og referencer
- Varićak V (1910), (1912), (1924) Se Vladimir Varićak#Publikationer
-
Whittaker, ET (1910). " En historie om teorierne om æter og elektricitet ": 441. Citer journal kræver
|journal=
( hjælp ) - Robb, Alfred (1911). Optisk bevægelsesgeometri, et nyt syn på relativitetsteorien . Cambridge: Heffner & Sons.
- Borel E (1913) La théorie de la relativité et la cinématique, Comptes Rendus Acad Sci Paris 156 215-218; 157 703-705
- Silberstein, Ludwik (1914). Relativitetsteorien . London: Macmillan & Co.
- Vladimir Karapetoff (1936) "Begrænset relativitet i form af hyperboliske hastighedsfunktioner", American Mathematical Monthly 43:70.
- Frank Morley (1936) "When and Where", The Criterion , redigeret af TS Eliot , 15: 200-2009.
- Wolfgang Rindler (2001) Relativity: Special, General and Cosmological , side 53, Oxford University Press .
- Shaw, Ronald (1982) Linear Algebra and Group Representations , v. 1, side 229, Academic Press ISBN 0-12-639201-3 .
- Walter, Scott (1999). "Den ikke-euklidiske stil i Minkowskian relativitet" (PDF) . I J. Gray (red.). Det symbolske univers: geometri og fysik . Oxford University Press. s. 91–127.(se side 17 i e-link)
- Rhodes, JA; Semon, MD (2004). "Relativistisk hastighedsrum, Wigner -rotation og Thomas -recession". Er. J. Phys . 72 (7): 93–90. arXiv : gr-qc/0501070 . Bibcode : 2004AmJPh..72..943R . doi : 10.1119/1.1652040 . S2CID 14764378 .
- Jackson, JD (1999) [1962]. "Kapitel 11". Klassisk elektrodynamik (3d red.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-30932-X.