Ricci calculus - Ricci calculus

I matematik udgør Ricci calculus reglerne for indeksnotation og manipulation for tensorer og tensorfelter på en differentierbar manifold , med eller uden en metrisk tensor eller forbindelse . Det er også det moderne navn for det, der plejede at blive kaldt den absolutte differentialregning (grundlaget for tensorberegning ), udviklet af Gregorio Ricci-Curbastro i 1887–1896, og efterfølgende populariseret i et papir skrevet med sin elev Tullio Levi-Civita i 1900. Jan Arnoldus Schouten udviklede den moderne notation og formalisme til denne matematiske ramme og bidrog med teorien under dens anvendelser til generel relativitet og differentialgeometri i begyndelsen af ​​det tyvende århundrede.

En komponent i en tensor er et reelt tal , der bruges som koefficient for et basiselement for tensorrummet. Tensoren er summen af ​​dens komponenter ganget med deres tilsvarende basiselementer. Tensorer og tensorfelter kan udtrykkes i form af deres komponenter, og operationer på tensor- og tensorfelter kan udtrykkes i form af operationer på deres komponenter. Beskrivelsen af ​​tensorfelter og operationer på dem med hensyn til deres komponenter er i fokus for Ricci -beregningen. Denne notation tillader et effektivt udtryk for sådanne tensorfelter og operationer. Selvom meget af notationen kan anvendes med alle tensorer, er operationer relateret til en differentiel struktur kun gældende for tensorfelter. Hvor det er nødvendigt, strækker notationen sig til komponenter i ikke-tensorer, især multidimensionale arrays .

En tensor kan udtrykkes som en lineær sum af tensorproduktet af vektor- og covector -basiselementer . De resulterende tensorkomponenter er mærket med basisindekser. Hvert indeks har en mulig værdi pr. Dimension af det underliggende vektorrum . Antallet af indekser er lig med graden (eller rækkefølgen) af tensoren.

For kompakthed og bekvemmelighed inkorporerer Ricci -beregningen Einstein -notation , hvilket indebærer summering over indeks gentaget inden for et udtryk og universel kvantificering over frie indekser. Udtryk i notationen af ​​Ricci -beregningen kan generelt tolkes som et sæt samtidige ligninger, der relaterer komponenterne som funktioner over en manifold, normalt mere specifikt som funktioner af koordinaterne på manifolden. Dette tillader intuitiv manipulation af udtryk med kendskab til kun et begrænset regelsæt.

Notation for indekser

Basis-relaterede sondringer

Rum og tid koordinater

Hvor der skal skelnes mellem de rumlignende basiselementer og et tidslignende element i den klassiske fysiks fire-dimensionelle rumtid, sker dette konventionelt gennem indekser som følger:

• Det små latinske alfabet a , b , c , ... bruges til at angive begrænsning til det tredimensionale euklidiske rum , der tager værdier 1, 2, 3 for de rumlige komponenter; og det tidslignende element, angivet med 0, vises separat.
• Det små græske alfabet α , β , γ , ... bruges til 4-dimensionel rumtid , som typisk tager værdier 0 for tidskomponenter og 1, 2, 3 for de rumlige komponenter.

Nogle kilder bruger 4 i stedet for 0 som indeksværdien svarende til tid; i denne artikel bruges 0. Ellers kan i generelle matematiske sammenhænge alle symboler bruges til indekserne, der generelt kører over alle dimensioner af vektorrummet.

Koordinat og indeksnotation

Forfatteren (e) vil normalt gøre det klart, om et abonnement er tænkt som et indeks eller som en etiket.

For eksempel i 3D-euklidisk rum og ved hjælp af kartesiske koordinater ; den koordinat vektor A = ( A ₁ , A ₂ , A ₃ ) = ( A _x , A _y , A _z ) viser en direkte korrespondance mellem indekserne 1, 2, 3 og etiketterne x , y , z . I udtrykket A _i , jeg tolkes som et indeks i området over værdierne 1, 2, 3, medens x , y , z indekser er kun etiketter, ikke variabler. I forbindelse med rumtid svarer indeksværdien 0 konventionelt til etiketten t .

Henvisning til grundlag

Selve indekser kan mærkes ved hjælp af diakritiske symboler, såsom en hat (ˆ), bar (¯), tilde (˜) eller prime (′) som i:

${\ displaystyle X _ {\ hat {\ phi}} \ ,, Y _ {\ bar {\ lambda}} \ ,, Z _ {\ tilde {\ eta}} \ ,, T _ {\ mu '}}$

at betegne et muligvis et andet grundlag for dette indeks. Et eksempel er i Lorentz -transformationer fra en referenceramme til en anden, hvor den ene ramme kunne være uprimmet og den anden primet, som i:

${\ displaystyle v^{\ mu '} = v^{\ nu} L _ {\ nu} {}^{\ mu'}.}$

Dette skal ikke forveksles med van der Waerden -notation for spinorer , der bruger hatte og overdots på indekser til at afspejle chiraliteten af ​​en spinor.

Øvre og nedre indeks

Ricci -beregning og indeksnotation mere generelt skelner mellem lavere indeks (subscripts) og øvre index (superscripts); sidstnævnte er ikke eksponenter, selvom de kan se sådan ud for læseren, der kun kender andre dele af matematikken.

Det er i særlige tilfælde (at det metriske tensor er overalt lig med identitet matrix) muligt at droppe sondringen mellem øvre og nedre indekser, og derefter alle indeks kunne skrives i den nedre position - koordinere formler i lineær algebra såsom for produkt af matricer kan undertiden forstås som eksempler på dette - men generelt kræver notationen, at sondringen mellem øvre og nedre indeks observeres og vedligeholdes. ${\ displaystyle a_ {ij} b_ {jk}}$

Kovariante tensorkomponenter

Et lavere indeks (abonnement) angiver kovarians af komponenterne med hensyn til dette indeks:

${\ displaystyle A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots}}$

Modstridende tensorkomponenter

Et øvre indeks (overskrift) angiver kontravariation af komponenterne med hensyn til dette indeks:

${\ displaystyle A^{\ alpha \ beta \ gamma \ cdots}}$

Blandede varians-tensorkomponenter

En tensor kan have både øvre og nedre indeks:

${\ displaystyle A _ {\ alpha} {}^{\ beta} {} _ {\ gamma} {}^{\ delta \ cdots}.}$

Ordning af indekser er betydelig, selv når den er af forskellig varians. Når det imidlertid forstås, at ingen indeks vil blive hævet eller sænket, mens basesymbolet bibeholdes, placeres kovariante indekser undertiden under kontravariantindekser af hensyn til notation (f.eks. Med det generaliserede Kronecker -delta ).

Tensortype og grad

Antallet af hver øvre og nedre indeks for en tensor giver sin type : en tensor med p øvre og q nedre indeks siges at være af type ( p , q ) eller at være en type- ( p , q ) tensor.

Antallet af indekser for en tensor, uanset varians, kaldes graden af tensor (alternativt dens valens , ordre eller rang , selvom rang er tvetydig). Således har en tensor af typen ( p , q ) grad p + q .

Summation konvention

Det samme symbol, der forekommer to gange (en øvre og en nedre) inden for et udtryk, angiver et par indekser, der summeres over:

${\ displaystyle A _ {\ alpha} B^{\ alpha} \ equiv \ sum _ {\ alpha} A _ {\ alpha} B^{\ alpha} \ quad {\ text {eller}} \ quad A^{\ alpha } B _ {\ alpha} \ equiv \ sum _ {\ alpha} A^{\ alpha} B _ {\ alpha} \ ,.}$

Den operation, der impliceres ved en sådan summering, kaldes tensorkontraktion :

${\ displaystyle A _ {\ alpha} B^{\ beta} \ højre pil A _ {\ alpha} B^{\ alpha} \ equiv \ sum _ {\ alpha} A _ {\ alpha} B^{\ alpha} \ ,. }$

Denne summering kan forekomme mere end én gang inden for et udtryk med et særskilt symbol pr. Par indekser, for eksempel:

${\ displaystyle A _ {\ alpha} {}^{\ gamma} B^{\ alpha} C _ {\ gamma} {}^{\ beta} \ equiv \ sum _ {\ alpha} \ sum _ {\ gamma} A_ {\ alpha} {}^{\ gamma} B^{\ alpha} C _ {\ gamma} {}^{\ beta} \ ,.}$

Andre kombinationer af gentagne indeks inden for et udtryk anses for at være dårligt dannede, såsom

${\ displaystyle A _ {\ alpha \ alpha} {}^{\ gamma} \ qquad}$	(begge forekomster af er lavere; ville være fint) ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle A _ {\ alpha} {}^{\ alpha \ gamma}}$
${\ displaystyle A _ {\ alpha \ gamma} {}^{\ gamma} B^{\ alpha} C _ {\ gamma} {}^{\ beta}}$	( forekommer to gange som et lavere indeks; eller ville være fint). ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle A _ {\ alpha \ gamma} {}^{\ gamma} B^{\ alpha}}$${\ displaystyle A _ {\ alpha \ delta} {}^{\ gamma} B^{\ alpha} C _ {\ gamma} {}^{\ beta}}$

Grunden til at udelukke sådanne formler er, at selvom disse mængder kunne beregnes som talrækkefølge, ville de generelt ikke transformere sig som tensorer under et ændret grundlag.

Multi-indeks notation

Hvis en tensor har en liste over alle øvre eller nedre indekser, er en stenografi at bruge et stort bogstav til listen:

${\ displaystyle A_ {i_ {1} \ cdots i_ {n}} B^{i_ {1} \ cdots i_ {n} j_ {1} \ cdots j_ {m}} C_ {j_ {1} \ cdots j_ { m}} \ equiv A_ {I} B^{IJ} C_ {J}}$

hvor I = i ₁ i ₂ ⋅⋅⋅ i _n og J = j ₁ j ₂ ⋅⋅⋅ j _m .

Sekventiel summering

Et par lodrette stænger | ⋅ | omkring et sæt af alle øvre indekser eller helt nedre indekser (men ikke begge), forbundet med sammentrækning med et andet sæt indekser, når udtrykket er helt antisymmetrisk i hvert af de to sæt indekser:

${\ displaystyle A_ {| \ alpha \ beta \ gamma | \ cdots} B^{\ alpha \ beta \ gamma \ cdots} = A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots} B^{| \ alpha \ beta \ gamma | \ cdots} = \ sum _ {\ alpha <\ beta <\ gamma} A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots} B^{\ alpha \ beta \ gamma \ cdots}}$

betyder en begrænset sum over indeksværdier, hvor hvert indeks er begrænset til at være strengt mindre end det næste. Mere end én gruppe kan opsummeres på denne måde, for eksempel:

${\ displaystyle {\ begin {align} & A_ {| \ alpha \ beta \ gamma |} {}^{| \ delta \ epsilon \ cdots \ lambda |} B^{\ alpha \ beta \ gamma} {} _ {\ delta \ epsilon \ cdots \ lambda | \ mu \ nu \ cdots \ zeta |} C^{\ mu \ nu \ cdots \ zeta} \\ [3pt] = {} & \ sum _ {\ alpha <\ beta <\ gamma} ~ \ sum _ {\ delta <\ epsilon <\ cdots <\ lambda} ~ \ sum _ {\ mu <\ nu <\ cdots <\ zeta} A _ {\ alpha \ beta \ gamma} {}^{\ delta \ epsilon \ cdots \ lambda} B^{\ alpha \ beta \ gamma} {} _ {\ delta \ epsilon \ cdots \ lambda \ mu \ nu \ cdots \ zeta} C^{\ mu \ nu \ cdots \ zeta } \ end {align}}}$

Når der bruges notering med flere indekser, placeres en underpil under indeksblokken:

${\ displaystyle A _ {\ underset {\ rightharpoondown} {P}} {}^{\ underset {\ rightharpoondown} {Q}} B^{P} {} _ {Q {\ underset {\ rightharpoondown} {R}} } C^{R} = \ sum _ {\ underset {\ rightharpoondown} {P}} \ sum _ {\ underset {\ rightharpoondown} {Q}} \ sum _ {\ underset {\ rightharpoondown} {R}} A_ {P} {}^{Q} B^{P} {} _ {QR} C^{R}}$

hvor

${\ displaystyle {\ underset {\ rightharpoondown} {P}} = | \ alpha \ beta \ gamma | \ ,, \ quad {\ underset {\ rightharpoondown} {Q}} = | \ delta \ epsilon \ cdots \ lambda | \ ,, \ quad {\ underset {\ rightharpoondown} {R}} = | \ mu \ nu \ cdots \ zeta |}$

Hævning og sænkning af indekser

Ved at indgå et indeks med en ikke-ental metrisk tensor kan typen af en tensor ændres ved at konvertere et lavere indeks til et øvre indeks eller omvendt:

${\ displaystyle B^{\ gamma} {} _ {\ beta \ cdots} = g^{\ gamma \ alpha} A _ {\ alpha \ beta \ cdots} \ quad {\ text {og}} \ quad A _ {\ alfa \ beta \ cdots} = g _ {\ alpha \ gamma} B^{\ gamma} {} _ {\ beta \ cdots}}$

Basissymbolet bevares i mange tilfælde (f.eks. Ved brug af A, hvor B vises her), og når der ikke er nogen tvetydighed, kan det være nødvendigt at flytte et indeks for at betyde denne handling.

Korrelationer mellem indekspositioner og invariance

Denne tabel opsummerer, hvordan manipulationen af ​​kovariante og kontravariantindekser passer ind med invariance under en passiv transformation mellem baser, med komponenterne i hvert grundlag sat i forhold til det andet afspejlet i den første kolonne. De spærrede indekser refererer til det endelige koordinatsystem efter transformationen.

Den kroneckers delta anvendes, se også nedenfor .

	Grundlæggende transformation	Komponent transformation	Invarians
Kovektor, kovariant vektor, 1-form	${\ displaystyle \ omega ^{\ bar {\ alpha}} = L ^{\ bar {\ alpha}} {} _ {\ beta} \ omega ^{\ beta}}$	${\ displaystyle a _ {\ bar {\ alpha}} = a _ {\ gamma} L^{\ gamma} {} _ {\ bar {\ alpha}}}$	${\ displaystyle a _ {\ bar {\ alpha}} \ omega^{\ bar {\ alpha}} = a _ {\ gamma} L^{\ gamma} {} _ {\ bar {\ alpha}} L^{\ bar {\ alpha}} {} _ {\ beta} \ omega ^{\ beta} = a _ {\ gamma} \ delta ^{\ gamma} {} _ {\ beta} \ omega ^{\ beta} = a_ { \ beta} \ omega ^{\ beta}}$
Vector, kontravariant vektor	${\ displaystyle e _ {\ bar {\ alpha}} = e _ {\ gamma} L^{\ gamma} {} _ {\ bar {\ alpha}}}$	${\ displaystyle u^{\ bar {\ alpha}} = L^{\ bar {\ alpha}} {} _ {\ beta} u^{\ beta}}$	${\ displaystyle e _ {\ bar {\ alpha}} u^{\ bar {\ alpha}} = e _ {\ gamma} L^{\ gamma} {} _ {\ bar {\ alpha}} L^{\ bar {\ alpha}} {} _ {\ beta} u^{\ beta} = e _ {\ gamma} \ delta^{\ gamma} {} _ {\ beta} u^{\ beta} = e _ {\ gamma} u^{\ gamma}}$

Generelle konturer for indeksnotation og operationer

Tensorer er ens, hvis og kun hvis hver tilsvarende komponent er ens; f.eks. tensor A er lig med tensor B, hvis og kun hvis

${\ displaystyle A^{\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma} = B^{\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma}}$

for alle α , β , γ . Følgelig er der aspekter af notationen, der er nyttige til at kontrollere, at en ligning giver mening (en analog procedure til dimensionsanalyse ).

Gratis og dummy -indekser

Indekser, der ikke er involveret i sammentrækninger, kaldes frie indekser . Indeks, der bruges i sammentrækninger, betegnes dummyindekser eller summeringsindekser .

En tensorligning repræsenterer mange almindelige (reelt værdsatte) ligninger

Komponenterne i tensorer (som A ^α , B _β ^γ osv.) Er bare reelle tal. Da indekserne tager forskellige heltalsværdier for at vælge specifikke komponenter i tensorerne, repræsenterer en enkelt tensorligning mange almindelige ligninger. Hvis en tensor -ligestilling har n frie indekser, og hvis dimensionaliteten af ​​det underliggende vektorrum er m , repræsenterer ligheden m ⁿ -ligninger: hvert indeks tager hver værdi af et specifikt sæt værdier.

For eksempel hvis

${\ displaystyle A^{\ alpha} B _ {\ beta} {}^{\ gamma} C _ {\ gamma \ delta}+D^{\ alpha} {} _ {\ beta} {} E _ {\ delta} = T^{\ alpha} {} _ {\ beta} {} _ {\ delta}}$

er i fire dimensioner (det vil sige, at hvert indeks løber fra 0 til 3 eller fra 1 til 4), så fordi der er tre frie indeks ( α , β , δ ), er der 4 ³ = 64 ligninger. Tre af disse er:

${\ displaystyle {\ begin {align} A^{0} B_ {1} {}^{0} C_ {00}+A^{0} B_ {1} {}^{1} C_ {10}+A ^{0} B_ {1} {}^{2} C_ {20}+A^{0} B_ {1} {}^{3} C_ {30}+D^{0} {} _ {1} {} E_ {0} & = T^{0} {} _ {1} {} _ {0} \\ A^{1} B_ {0} {}^{0} C_ {00}+A^{ 1} B_ {0} {}^{1} C_ {10}+A^{1} B_ {0} {}^{2} C_ {20}+A^{1} B_ {0} {}^{ 3} C_ {30}+D^{1} {} _ {0} {} E_ {0} & = T^{1} {} _ {0} {} _ {0} \\ A^{1} B_ {2} {}^{0} C_ {02}+A^{1} B_ {2} {}^{1} C_ {12}+A^{1} B_ {2} {}^{2} C_ {22}+A^{1} B_ {2} {}^{3} C_ {32}+D^{1} {} _ {2} {} E_ {2} & = T^{1} { } _ {2} {} _ {2}. \ End {justeret}}}$

Dette illustrerer kompaktheden og effektiviteten ved at bruge indeksnotation: mange ligninger, der alle deler en lignende struktur, kan samles i en simpel tensorligning.

Indekser er udskiftelige etiketter

Hvis du erstatter et indekssymbol hele vejen igennem med et andet, efterlader tensorligningen uændret (forudsat at der ikke er nogen konflikt med andre symboler, der allerede er brugt). Dette kan være nyttigt, når man manipulerer indekser, f.eks. Ved at bruge indeksnotation til at verificere vektorberegningsidentiteter eller identiteter af Kronecker-deltaet og Levi-Civita-symbolet (se også nedenfor). Et eksempel på en korrekt ændring er:

${\ displaystyle A^{\ alpha} B _ {\ beta} {}^{\ gamma} C _ {\ gamma \ delta}+D^{\ alpha} {} _ {\ beta} {} E _ {\ delta} \ højre pil A^{\ lambda} B _ {\ beta} {}^{\ mu} C _ {\ mu \ delta}+D^{\ lambda} {} _ {\ beta} {} E _ {\ delta} \ ,, }$

der henviser til, at en fejlagtig ændring er:

${\ displaystyle A^{\ alpha} B _ {\ beta} {}^{\ gamma} C _ {\ gamma \ delta}+D^{\ alpha} {} _ {\ beta} {} E _ {\ delta} \ nrightarrow A^{\ lambda} B _ {\ beta} {}^{\ gamma} C _ {\ mu \ delta}+D^{\ alpha} {} _ {\ beta} {} E _ {\ delta} \ ,. }$

I den første udskiftning erstattede λ α og μ erstattede γ overalt , så udtrykket har stadig den samme betydning. I den anden erstattede λ ikke fuldstændigt α , og μ erstattede ikke helt γ (i øvrigt blev sammentrækningen på γ -indekset et tensorprodukt), hvilket er helt inkonsekvent af de næste årsager.

Indekser er de samme i hvert udtryk

De frie indekser i et tensorudtryk vises altid i den samme (øvre eller nedre) position gennem hvert term, og i en tensorligning er de frie indekser ens på hver side. Dummyindekser (hvilket indebærer en summering over dette indeks) behøver ikke at være de samme, for eksempel:

${\ displaystyle A^{\ alpha} B _ {\ beta} {}^{\ gamma} C _ {\ gamma \ delta}+D^{\ alpha} {} _ {\ delta} E _ {\ beta} = T^ {\ alpha} {} _ {\ beta} {} _ {\ delta}}$

hvad angår et fejlagtigt udtryk:

${\ displaystyle A^{\ alpha} B _ {\ beta} {}^{\ gamma} C _ {\ gamma \ delta}+D _ {\ alpha} {} _ {\ beta} {}^{\ gamma} E^ {\ delta}.}$

Med andre ord skal ikke-gentagne indekser være af samme type i hvert udtryk i ligningen. I den ovennævnte identitet, α , β , δ line up hele vejen igennem og γ forekommer to gange på et udtryk på grund af en sammentrækning (en gang som et øvre indeks og en gang som et lavere indeks), og dermed er det et gyldigt udtryk. I det ugyldige udtryk, mens β står på linje, gør α og δ ikke, og γ vises to gange i et udtryk (kontraktion) og en gang i et andet udtryk, hvilket er inkonsekvent.

Beslag og tegnsætning brugt en gang, hvor det var underforstået

Når en regel anvendes på et antal indekser (differentiering, symmetrisering osv., Vist næste), vises parentes- eller tegnsætningssymbolerne, der angiver reglerne, kun på en gruppe af de indekser, de gælder for.

Hvis parenteserne omslutter kovariante indekser - gælder reglen kun for alle kovariante indekser, der er indeholdt i parenteserne , ikke for alle kontravariantindekser, der tilfældigt placeres mellem parenteserne.

Tilsvarende hvis parenteser indeholder kontravariantindekser - gælder reglen kun for alle vedlagte kontravariantindekser , ikke for mellemliggende placerede kovarianteindekser.

Symmetriske og antisymmetriske dele

Symmetrisk del af tensor

Parenteser, () , omkring flere indekser angiver den symmetriserede del af tensoren. Når man symmetrerer p -indekser ved hjælp af σ til at variere over permutationer af tallene 1 til p , tager man en sum over permutationerne af disse indeks α _{σ ( i )} for i = 1, 2, 3,…, p , og dividerer derefter med antal permutationer:

${\ displaystyle A _ {(\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {p}) \ alpha _ {p+1} \ cdots \ alpha _ {q}} = {\ dfrac {1 } {p!}} \ sum _ {\ sigma} A _ {\ alpha _ {\ sigma (1)} \ cdots \ alpha _ {\ sigma (p)} \ alpha _ {p+1} \ cdots \ alpha _ {q}} \ ,.}$

For eksempel betyder to symmetrerende indekser, at der er to indekser, der skal permuteres og summeres:

${\ displaystyle A _ {(\ alpha \ beta) \ gamma \ cdots} = {\ dfrac {1} {2!}} \ venstre (A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots}+A _ {\ beta \ alpha \ gamma \ cdots} \ right)}$

mens der for tre symmetrerende indeks er tre indekser, der skal summeres og permuteres:

${\ displaystyle A _ {(\ alpha \ beta \ gamma) \ delta \ cdots} = {\ dfrac {1} {3!}} \ venstre (A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta \ cdots}+A _ {\ gamma \ alpha \ beta \ delta \ cdots}+A _ {\ beta \ gamma \ alpha \ delta \ cdots}+A _ {\ alpha \ gamma \ beta \ delta \ cdots}+A _ {\ gamma \ beta \ alpha \ delta \ cdots}+A _ {\ beta \ alpha \ gamma \ delta \ cdots} \ right)}$

Symmetriseringen er fordelende i forhold til addition;

${\ displaystyle A _ {(\ alpha} \ left (B _ {\ beta) \ gamma \ cdots}+C _ {\ beta) \ gamma \ cdots} \ right) = A _ {(\ alpha} B _ {\ beta) \ gamma \ cdots}+A _ {(\ alpha} C _ {\ beta) \ gamma \ cdots}}$

Indeks er ikke en del af symmetriseringen, når de er:

• f.eks. ikke på samme niveau;

  ${\ displaystyle A _ {(\ alpha} B^{\ beta} {} _ {\ gamma)} = {\ dfrac {1} {2!}} \ venstre (A _ {\ alpha} B^{\ beta} { } _ {\ gamma}+A _ {\ gamma} B^{\ beta} {} _ {\ alpha} \ højre)}$

• inden for parenteser og mellem lodrette søjler (dvs. | ⋅⋅⋅ |), ændring af det foregående eksempel;

  ${\ displaystyle A _ {(\ alpha} B_ {| \ beta |} {} _ {\ gamma)} = {\ dfrac {1} {2!}} \ venstre (A _ {\ alpha} B _ {\ beta \ gamma }+A _ {\ gamma} B _ {\ beta \ alpha} \ højre)}$

Her er α og γ indekser symmetriserede, β er ikke.

Antisymmetrisk eller vekslende del af tensor

Kantede parenteser, [] , omkring flere indekser betegner den anti symmetrized del af tensor. For p antisymmetrerende indeks - summen over permutationerne af disse indeks α _{σ ( i )} ganget med signaturen af ​​permutationen sgn ( σ ) tages derefter divideret med antallet af permutationer:

${\ displaystyle {\ begin {align} & A _ {[\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {p}] \ alpha _ {p+1} \ cdots \ alpha _ {q}} \\ [3pt] = {} & {\ dfrac {1} {p!}} \ sum _ {\ sigma} \ operatorname {sgn} (\ sigma) A _ {\ alpha _ {\ sigma (1)} \ cdots \ alpha _ {\ sigma (p)} \ alpha _ {p+1} \ cdots \ alpha _ {q}} \\ = {} & \ delta _ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {p}}^{\ beta _ {1} \ dots \ beta _ {p}} A _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {p} \ alpha _ {p+1} \ cdots \ alpha _ {q}} \\\ end {align}}}$

hvor δβ 1 ⋅⋅⋅ β p
α 1 ⋅⋅⋅ α per det generaliserede Kronecker delta af grad 2 p , med skalering som defineret nedenfor.

For eksempel indebærer to antisymmetriiserende indekser:

${\ displaystyle A _ {[\ alpha \ beta] \ gamma \ cdots} = {\ dfrac {1} {2!}} \ venstre (A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots} -A _ {\ beta \ alpha \ gamma \ cdots} \ right)}$

mens tre antisymmetriiserende indekser indebærer:

${\ displaystyle A _ {[\ alpha \ beta \ gamma] \ delta \ cdots} = {\ dfrac {1} {3!}} \ venstre (A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta \ cdots}+A _ {\ gamma \ alpha \ beta \ delta \ cdots}+A _ {\ beta \ gamma \ alpha \ delta \ cdots} -A _ {\ alpha \ gamma \ beta \ delta \ cdots} -A _ {\ gamma \ beta \ alpha \ delta \ cdots} -A _ {\ beta \ alpha \ gamma \ delta \ cdots} \ right)}$

som for et mere specifikt eksempel, hvis F repræsenterer den elektromagnetiske tensor , så ligningen

${\ displaystyle 0 = F _ {[\ alpha \ beta, \ gamma]} = {\ dfrac {1} {3!}} \ venstre (F _ {\ alpha \ beta, \ gamma}+F _ {\ gamma \ alpha, \ beta}+F _ {\ beta \ gamma, \ alpha} -F _ {\ beta \ alpha, \ gamma} -F _ {\ alpha \ gamma, \ beta} -F _ {\ gamma \ beta, \ alpha} \ right) \,}$

repræsenterer Gauss lov for magnetisme og Faradays induktionslov .

Som før er antisymmetrizationen fordelende over addition;

${\ displaystyle A _ {[\ alpha} \ left (B _ {\ beta] \ gamma \ cdots}+C _ {\ beta] \ gamma \ cdots} \ right) = A _ {[\ alpha} B _ {\ beta] \ gamma \ cdots}+A _ {[\ alpha} C _ {\ beta] \ gamma \ cdots}}$

Som med symmetrisering er indekser ikke antisymmetriiserede, når de er:

• f.eks. ikke på samme niveau;

  ${\ displaystyle A _ {[\ alpha} B^{\ beta} {} _ {\ gamma]} = {\ dfrac {1} {2!}} \ venstre (A _ {\ alpha} B^{\ beta} { } _ {\ gamma} -A _ {\ gamma} B^{\ beta} {} _ {\ alpha} \ højre)}$

• inden for firkantede parenteser og mellem lodrette søjler (dvs. | ⋅⋅⋅ |), ændring af det foregående eksempel;

  ${\ displaystyle A _ {[\ alpha} B_ {| \ beta |} {} _ {\ gamma]} = {\ dfrac {1} {2!}} \ venstre (A _ {\ alpha} B _ {\ beta \ gamma } -A _ {\ gamma} B _ {\ beta \ alpha} \ højre)}$

Her er α og γ indekserne antisymmetriiserede, β er ikke.

Summen af ​​symmetriske og antisymmetriske dele

Enhver tensor kan skrives som summen af ​​dens symmetriske og antisymmetriske dele på to indekser:

${\ displaystyle A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots} = A _ {(\ alpha \ beta) \ gamma \ cdots}+A _ {[\ alpha \ beta] \ gamma \ cdots}}$

som det kan ses ved at tilføje ovenstående udtryk for A _{( αβ ) γ ⋅⋅⋅} og A _{[ αβ ] γ ⋅⋅⋅} . Dette gælder ikke for andre end to indekser.

Differentiering

For kompakthed kan derivater angives ved at tilføje indeks efter et komma eller semikolon.

Delvist afledt

Mens de fleste udtryk i Ricci -beregningen er gyldige for vilkårlige baser, gælder udtryk, der involverer partielle derivater af tensorkomponenter med hensyn til koordinater, kun med et koordinatgrundlag : et grundlag, der er defineret gennem differentiering med hensyn til koordinaterne. Koordinater betegnes typisk med x ^μ , men danner generelt ikke komponenterne i en vektor. I flad rumtid med lineær koordinering kan en tuple af forskelle i koordinater, Δ x ^μ , behandles som en kontravariant vektor. Med de samme begrænsninger på rummet og valget af koordinatsystem giver partielle derivater med hensyn til koordinaterne et resultat, der er effektivt kovariant. Bortset fra brug i dette særlige tilfælde, transformeres delderivaterne af komponenter i tensorer generelt ikke kovariant, men er nyttige til at bygge udtryk, der er kovariante, omend stadig med et koordinatgrundlag, hvis delderivaterne eksplicit bruges, som med kovarianten , udvendige og Lie -derivater herunder.

For at angive delvis differentiering af komponenterne i et tensorfelt med hensyn til en koordinatvariabel x ^γ placeres et komma foran et vedhæftet lavere indeks for koordinatvariablen.

${\ displaystyle A _ {\ alpha \ beta \ cdots, \ gamma} = {\ dfrac {\ partial} {\ delvis x^{\ gamma}}} A _ {\ alpha \ beta \ cdots}}$

Dette kan gentages (uden at tilføje yderligere kommaer):

${\ displaystyle A _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {p} \ ,, \, \ alpha _ {p+1} \ cdots \ alpha _ {q}} = {\ dfrac {\ delvis} {\ delvis x^{\ alpha _ {q}}}} \ cdots {\ dfrac {\ delvis} {\ delvis x^{\ alpha _ {p+2}}}} {\ dfrac { \ delvis} {\ delvis x^{\ alpha _ {p+1}}}} A _ {\ alfa _ {1} \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {p}}.}$

Disse komponenter transformeres ikke kovariant, medmindre udtrykket, der differentieres, er en skalar. Dette derivat er kendetegnet ved produktreglen og derivaterne af koordinaterne

${\ displaystyle x^{\ alpha} {} _ {, \ gamma} = \ delta _ {\ gamma}^{\ alpha},}$

hvor δ er Kronecker -deltaet .

Kovariant derivat

Det kovariante derivat er kun defineret, hvis der er defineret en forbindelse . For ethvert tensorfelt angiver et semikolon (  ; ) foran et vedhæftet lavere (kovariant) indeks kovariant differentiering. Mindre almindelige alternativer til semikolonet omfatter et skråstreg fremad ( / ) eller i tredimensionelt buet rum en enkelt lodret streg (  |  ).

Kovariansderivatet af en skalarfunktion, en kontravariantvektor og en kovariantvektor er:

${\ displaystyle f _ {; \ beta} = f _ {, \ beta}}$

${\ displaystyle A^{\ alpha} {} _ {; \ beta} = A^{\ alpha} {} _ {, \ beta}+\ Gamma^{\ alpha} {} _ {\ gamma \ beta} A ^{\ gamma}}$

${\ displaystyle A _ {\ alpha; \ beta} = A _ {\ alpha, \ beta}-\ Gamma ^{\ gamma} {} _ {\ alpha \ beta} A _ {\ gamma} \ ,,}$

hvor Γ ^α _γβ er forbindelseskoefficienterne.

For en vilkårlig tensor:

${\ displaystyle {\ begin {align} T^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}; \ gamma} & \\ = T ^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}, \ gamma} &+\, \ Gamma ^ {\ alfa _ {1}} {} _ {\ delta \ gamma} T^{\ delta \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} +\ cdots +\ Gamma ^{\ alpha _ {r}} {} _ {\ delta \ gamma} T ^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r-1} \ delta} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} \\ &-\, \ Gamma ^{\ delta} {} _ {\ beta _ {1} \ gamma} T ^{ \ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ delta \ beta _ {2} \ cdots \ beta _ {s}} -\ cdots -\ Gamma ^{\ delta} {} _ {\ beta _ {s} \ gamma} T^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s-1} \ delta } \,. \ end {align}}}$

En alternativ notation for kovariansderivatet af enhver tensor er det subscriptede nabla -symbol ∇ _β . For et vektorfelt A ^α :

${\ displaystyle \ nabla _ {\ beta} A^{\ alpha} = A^{\ alpha} {} _ {; \ beta} \ ,.}$

Kovariansformuleringen af retningsderivatet af ethvert tensorfelt langs en vektor v ^γ kan udtrykkes som dets sammentrækning med kovariansderivatet, f.eks .:

${\ displaystyle v^{\ gamma} A _ {\ alpha; \ gamma} \ ,.}$

Komponenterne i dette derivat af et tensorfelt transformeres covariant og danner derfor et andet tensorfelt, på trods af underudtryk (delderivatet og forbindelseskoefficienterne) transformerer hver for sig ikke covariant.

Dette derivat er kendetegnet ved produktreglen:

${\ displaystyle (A^{\ alpha} {} _ {\ beta \ cdots} B^{\ gamma} {} _ {\ delta \ cdots}) _ {; \ epsilon} = A^{\ alpha} {} _ {\ beta \ cdots; \ epsilon} B^{\ gamma} {} _ {\ delta \ cdots}+A^{\ alpha} {} _ {\ beta \ cdots} B^{\ gamma} {} _ {\ delta \ cdots; \ epsilon} \ ,.}$

Tilslutningstyper

En Koszul -forbindelse på tangentbundtet i en differentierbar manifold kaldes en affin forbindelse .

En forbindelse er en metrisk forbindelse, når kovariansderivatet af den metriske tensor forsvinder:

${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu; \ xi} = 0 \ ,.}$

En affin forbindelse , der også er en metrisk forbindelse, kaldes en Riemannisk forbindelse . En Riemannian-forbindelse, der er torsionsfri (dvs. for hvilken torsions-tensoren forsvinder: T ^α _βγ = 0 ) er en Levi-Civita-forbindelse .

The y ^a _py for en Levi-Civita forbindelse i et koordinatsystem basis kaldes Christoffel symboler af den anden art.

Udvendigt derivat

Det ydre derivat af et totalt antisymmetrisk tensorfelt (0, s ) med komponenter A _{α 1 ⋅⋅⋅ α s} (også kaldet en differentialform ) er et derivat, der er kovariant under _{basistransformationer} . Det afhænger ikke af hverken en metrisk tensor eller en forbindelse: det kræver kun strukturen af ​​en differentierbar manifold. I koordinatbasis kan det udtrykkes som antisymmetrization af partielle derivater af tensorkomponenterne:

${\ displaystyle (\ mathrm {d} A) _ {\ gamma \ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {s}} = {\ frac {\ partial} {\ delvis x^{[\ gamma}}} A _ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {s}]},}$

hvilket svarer til

${\ displaystyle (\ mathrm {d} A) _ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {s} \ gamma} = A _ {[\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {s}, \ gamma]}.}$

Dette derivat er ikke defineret på et tensorfelt med kontravariantindeks, eller det er ikke helt antisymmetrisk. Det er kendetegnet ved en gradueret produktregel.

Lie derivat

Lie -derivatet er et andet derivat, der er kovariant under basistransformationer. Ligesom det udvendige derivat afhænger det hverken af ​​en metrisk tensor eller en forbindelse. Lie -derivatet af et type ( r , s ) tensorfelt T langs (strømmen af) et kontravariant vektorfelt X ^ρ kan udtrykkes ved hjælp af et koordinatgrundlag som

${\ displaystyle {\ begin {align} ({\ mathcal {L}} _ {X} T)^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} & \\ = X^{\ gamma} T^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}, \ gamma} &-\, X^{\ alpha _ {1}} {} _ {, \ gamma} T^{\ gamma \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {r} } {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} -\ cdots -X^{\ alpha _ {r}} {} _ {, \ gamma} T^{\ alpha _ {1 } \ cdots \ alpha _ {r-1} \ gamma} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} \\ &+\, X^{\ gamma} {} _ {, \ beta _ {1}} T^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ gamma \ beta _ {2} \ cdots \ beta _ {s}} +\ cdots + X^{\ gamma} {} _ {, \ beta _ {s}} T^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s-1} \ gamma} \,. \ end {align}}}$

Dette derivat er kendetegnet ved produktreglen, og at Lie -derivatet af et kontravariant vektorfelt langs sig selv er nul:

${\ displaystyle ({\ mathcal {L}} _ {X} X)^{\ rho} = X^{\ gamma} X^{\ alpha} {} _ {, \ gamma} -X^{\ alpha} {} _ {, \ gamma} X^{\ gamma} = 0 \ ,.}$

Bemærkelsesværdige tensorer

Kronecker delta

Kronecker -deltaet er som identitetsmatricen, når det multipliceres og kontraheres:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ delta _ {\ beta}^{\ alpha} \, A^{\ beta} & = A^{\ alpha} \\\ delta _ {\ nu}^{\ mu } \, B _ {\ mu} & = B _ {\ nu}. \ Slut {justeret}}}$

Komponenterne δ^α
_βer ens på ethvert grundlag og danner en invariant tensor af typen (1, 1) , dvs. tangentbundtets identitet over identitetskortlægningen af basemanifolden , og dets spor er derfor en invariant. Dets spor er rummets dimensionalitet; for eksempel i fire-dimensionel rumtid ,

${\ displaystyle \ delta _ {\ rho}^{\ rho} = \ delta _ {0}^{0}+\ delta _ {1}^{1}+\ delta _ {2}^{2}+\ delta _ {3}^{3} = 4.}$

Kronecker -deltaet er en af ​​familien af ​​generaliserede Kronecker -deltaer. Det generaliserede Kronecker -delta i grad 2 p kan defineres ud fra Kronecker -deltaet ved (en fælles definition inkluderer en ekstra multiplikator af p ! Til højre):

${\ displaystyle \ delta _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {p}}^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {p}} = \ delta _ {\ beta _ {1} }^{[\ alpha _ {1}} \ cdots \ delta _ {\ beta _ {p}}^{\ alpha _ {p}]},}$

og fungerer som en antisymmetrizer på p -indekser:

${\ displaystyle \ delta _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {p}}^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {p}} \, A^{\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {p}} = A^{[\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {p}]}.}$

Torsions tensor

En affin forbindelse har en torsions tensor T ^α _βγ :

${\ displaystyle T ^{\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma} = \ Gamma ^{\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma}-\ Gamma ^{\ alpha} {} _ {\ gamma \ beta}-\ gamma ^{\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma},}$

hvor γ ^α _βγ er givet af komponenterne i Lie _-beslaget på det lokale grundlag, som forsvinder, når det er et koordinatgrundlag.

For en Levi-Civita forbindelse er denne tensor defineret til at være nul, hvilket for et koordinatgrundlag giver ligningerne

${\ displaystyle \ Gamma ^{\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma} = \ Gamma ^{\ alpha} {} _ {\ gamma \ beta}.}$

Riemann krumning tensor

Hvis denne tensor er defineret som

${\ displaystyle R ^{\ rho} {} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ Gamma ^{\ rho} {} _ {\ nu \ sigma, \ mu}-\ Gamma ^{\ rho} {} _ {\ mu \ sigma, \ nu}+\ Gamma ^{\ rho} {} _ {\ mu \ lambda} \ Gamma ^{\ lambda} {} _ {\ nu \ sigma}-\ Gamma ^{\ rho } {} _ {\ nu \ lambda} \ Gamma ^{\ lambda} {} _ {\ mu \ sigma} \ ,,}$

så er det kommutatoren for det kovariante derivat med sig selv:

${\ displaystyle A _ {\ nu; \ rho \ sigma} -A _ {\ nu; \ sigma \ rho} = A _ {\ beta} R^{\ beta} {} _ {\ nu \ rho \ sigma} \ ,, }$

da forbindelsen er torsionsfri, hvilket betyder, at torsionens tensor forsvinder.

Dette kan generaliseres for at få kommutatoren for to kovariante derivater af en vilkårlig tensor som følger:

${\ displaystyle {\ begin {align} T^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}; \ gamma \ delta } &-T^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}; \ delta \ gamma} \\ & \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! =-R^{\ alpha _ {1}} {} _ {\ rho \ gamma \ delta} T^{\ rho \ alpha _ { 2} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} -\ cdots -R^{\ alpha _ {r}} {} _ {\ rho \ gamma \ delta} T^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r-1} \ rho} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} \\ &+ R^{\ sigma} {} _ {\ beta _ {1} \ gamma \ delta} T^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ sigma \ beta _ {2 } \ cdots \ beta _ {s}} +\ cdots +R^{\ sigma} {} _ {\ beta _ {s} \ gamma \ delta} T^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ { r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s-1} \ sigma} \, \ end {align}}}$

som ofte omtales som Ricci -identiteterne .

Metrisk tensor

Den metriske tensor g _αβ bruges til at sænke indekser og giver længden af ​​enhver rumlignende kurve

${\ displaystyle {\ text {length}} = \ int _ {y_ {1}}^{y_ {2}} {\ sqrt {g _ {\ alpha \ beta} {\ frac {dx^{\ alpha}} { d \ gamma}} {\ frac {dx^{\ beta}} {d \ gamma}}}} \, d \ gamma \ ,,}$

hvor γ er en hvilken som helst glat strengt monoton parameterisering af stien. Det giver også varigheden af ​​enhver tidslignende kurve

${\ displaystyle {\ tekst {varighed}} = \ int _ {t_ {1}}^{t_ {2}} {\ sqrt {{\ frac {-1} {c^{2}}} g _ {\ alpha \ beta} {\ frac {dx^{\ alpha}} {d \ gamma}} {\ frac {dx^{\ beta}} {d \ gamma}}}} \, d \ gamma \ ,,}$

hvor γ er enhver glat strengt monoton parameterisering af banen. Se også Linjeelement .

Den inverse matrix g ^αβ af den metriske tensor er en anden vigtig tensor, der bruges til at hæve indekser:

${\ displaystyle g^{\ alpha \ beta} g _ {\ beta \ gamma} = \ delta _ {\ gamma}^{\ alpha} \ ,.}$

Se også

Noter

Referencer

Kilder

• Biskop, RL ; Goldberg, SI (1968), Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 red.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Danielson, Donald A. (2003). Vektorer og tensorer i teknik og fysik (2/e red.). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7.
• Dimitrienko, Yuriy (2002). Tensoranalyse og ikke -lineære tensorfunktioner . Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
• Lovelock, David; Hanno Rund (1989) [1975]. Tensorer, differentielle former og variationsprincipper . Dover. ISBN 978-0-486-65840-7.
• C. Møller (1952), Theory of Relativity (3. udgave), Oxford University Press
• Synge JL; Schild A. (1949). Tensorberegning . første Dover Publications 1978 -udgave. ISBN 978-0-486-63612-2.
• JR Tyldesley (1975), En introduktion til Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists , Longman, ISBN 0-582-44355-5
• DC Kay (1988), Tensor Calculus , Schaum's Outlines, McGraw Hill (USA), ISBN 0-07-033484-6
• T. Frankel (2012), The Geometry of Physics (3. udgave), Cambridge University Press, ISBN 978-1107-602601