Målestok (kort) -Scale (map)

En grafisk eller søjleskala. Et kort vil normalt også angive sin skala numerisk ("1:50.000 betyder f.eks., at en cm på kortet repræsenterer 50.000 cm reelt rum, hvilket er 500 meter)

En søjleskala med den nominelle skala , udtrykt som både "1 cm = 6 km" og "1:600 ​​000" (svarende, fordi 6 km = 600 000 cm)

Skalaen på et kort er forholdet mellem en afstand på kortet og den tilsvarende afstand på jorden. Dette enkle koncept kompliceres af krumningen af ​​jordens overflade, som tvinger skalaen til at variere på tværs af et kort. På grund af denne variation bliver begrebet skala meningsfuldt på to forskellige måder.

Den første måde er forholdet mellem størrelsen af ​​den genererende klode og størrelsen af ​​Jorden. Den genererende globus er en konceptuel model, hvortil Jorden er krympet, og hvorfra kortet projiceres . Forholdet mellem Jordens størrelse og den genererende klodes størrelse kaldes den nominelle skala (= hovedskala = repræsentativ fraktion ). Mange kort angiver den nominelle skala og kan endda vise en søjleskala (nogle gange blot kaldet en 'skala') for at repræsentere den.

Det andet særskilte skalabegreb gælder for variationen i skala på tværs af et kort. Det er forholdet mellem det afbildede punkts skala og den nominelle skala. I dette tilfælde betyder "skala" skalafaktoren (= punktskala = bestemt skala ).

Hvis området på kortet er lille nok til at ignorere Jordens krumning, f.eks. i en byplan, så kan en enkelt værdi bruges som skala uden at forårsage målefejl. På kort, der dækker større områder eller hele Jorden, kan kortets målestok være mindre nyttig eller endda ubrugelig til at måle afstande. Kortprojektionen bliver afgørende for at forstå, hvordan skalaen varierer i hele kortet. Når skalaen varierer mærkbart, kan det tages i betragtning som skalafaktoren. Tissots indikator bruges ofte til at illustrere variationen i punktskalaen på tværs af et kort.

Historie

Grundlaget for kvantitativ kortskalering går tilbage til det gamle Kina med tekstlige beviser på, at ideen om kortskalering blev forstået i det andet århundrede f.Kr. Gamle kinesiske landmålere og kartografer havde rigelige tekniske ressourcer brugt til at producere kort såsom tællestænger , tømrerpladser , lodstrækninger , kompasser til at tegne cirkler og sigterør til måling af hældning. Referencerammer, der postulerer et begyndende koordinatsystem til at identificere steder, blev antydet af gamle kinesiske astronomer, der opdelte himlen i forskellige sektorer eller månehytter.

Den kinesiske kartograf og geograf Pei Xiu fra de tre kongeriger-perioden skabte et sæt kort over store områder, der blev tegnet i skala. Han producerede et sæt principper, der understregede vigtigheden af ​​konsekvent skalering, retningsmålinger og justeringer i landmålinger i det terræn, der blev kortlagt.

Terminologi

Repræsentation af skala

Kortskalaer kan udtrykkes i ord (en leksikalsk skala), som et forholdstal eller som en brøk. Eksempler er:

'en centimeter til hundrede meter' eller 1:10.000 eller 1/10.000

"en tomme til en mile" eller 1:63.360 eller 1/63.360

'en centimeter til tusind kilometer' eller 1:100.000.000 eller 1/100.000.000. (Forholdet vil normalt blive forkortet til 1:100M)

Barskala vs. leksikalsk skala

Ud over ovenstående har mange kort en eller flere (grafiske) søjleskalaer . For eksempel har nogle moderne britiske kort tre søjleskalaer, en hver for kilometer, miles og sømil.

En leksikalsk skala på et sprog, som brugeren kender, kan være lettere at visualisere end et forhold: hvis skalaen er en tomme til to miles , og kortbrugeren kan se to landsbyer, der er omkring to tommer fra hinanden på kortet, så er det nemt at regne ud, at landsbyerne er omkring fire miles fra hinanden på jorden.

En leksikalsk skala kan give problemer, hvis den er udtrykt i et sprog, som brugeren ikke forstår, eller i forældede eller dårligt definerede enheder. For eksempel vil en skala fra en tomme til en furlong (1:7920) blive forstået af mange ældre mennesker i lande, hvor kejserlige enheder plejede at blive undervist i skoler. Men en skala fra en pouce til en liga kan være omkring 1:144.000, afhængigt af kartografens valg af de mange mulige definitioner for en liga, og kun et mindretal af moderne brugere vil være bekendt med de anvendte enheder.

Stor skala, mellemskala, lille skala

Kontrast til rumlig skala .

Et kort er klassificeret som lille skala eller stor skala eller nogle gange mellemskala . Lille skala refererer til verdenskort eller kort over store regioner såsom kontinenter eller store nationer. De viser med andre ord store arealer på en lille plads. De kaldes småskala, fordi den repræsentative fraktion er relativt lille.

Storskalakort viser mindre områder mere detaljeret, såsom amtskort eller byplaner evt. Sådanne kort kaldes stor skala, fordi den repræsentative fraktion er relativt stor. For eksempel kan en byplan, som er et kort i stor skala, være i skalaen 1:10.000, hvorimod verdenskortet, som er et kort i lille skala, kan være i skalaen 1:100.000.000.

Følgende tabel beskriver typiske intervaller for disse skalaer, men bør ikke betragtes som autoritative, fordi der ikke er nogen standard:

Udtrykkene bruges nogle gange i tabellens absolutte betydning, men andre gange i relativ betydning. For eksempel kan en kortlæser, hvis arbejde udelukkende refererer til kort i stor skala (som angivet ovenfor), referere til et kort i 1:500.000 som lille skala.

På det engelske sprog bruges ordet storskala ofte til at betyde "omfattende". Men som forklaret ovenfor bruger kartografer udtrykket "stor skala" til at henvise til mindre omfattende kort - dem, der viser et mindre område. Kort, der viser et omfattende område er "småskala" kort. Dette kan være årsag til forvirring.

Skala variation

Kortlægning af store områder forårsager mærkbare forvrængninger, fordi det i betydelig grad udjævner jordens buede overflade. Hvordan forvrængning bliver fordelt afhænger af kortprojektionen . Skalaen varierer på tværs af kortet , og den angivne kortskala er kun en tilnærmelse. Dette diskuteres i detaljer nedenfor.

Storskala kort med krumning forsømt

Det område, som jorden kan betragtes som flad, afhænger af nøjagtigheden af ​​undersøgelsesmålingerne . Hvis kun målt til nærmeste meter, så er jordens krumning uopdagelig over en meridianafstand på omkring 100 kilometer (62 mi) og over en øst-vestlig linje på omkring 80 km (ved en breddegrad på 45 grader). Hvis det måles til nærmeste 1 millimeter (0,039 tommer), er krumning uopdagelig over en meridianafstand på omkring 10 km og over en øst-vestlig linje på omkring 8 km. Således vil en plan for New York City , der er nøjagtig på én meter, eller en byggepladsplan, der er nøjagtig på én millimeter, begge opfylde ovenstående betingelser for forsømmelse af krumning. De kan behandles ved planopmåling og kortlægges ved målestokstegninger, hvor to punkter i samme afstand på tegningen er i samme afstand på jorden. Sande jordafstande beregnes ved at måle afstanden på kortet og derefter gange med det omvendte af målestoksbrøken eller på tilsvarende vis blot ved at bruge dividers til at overføre adskillelsen mellem punkterne på kortet til en søjleskala på kortet.

Punktskala (eller bestemt skala)

Som bevist af Gauss ' Theorema Egregium , kan en kugle (eller ellipsoide) ikke projiceres på et plan uden forvrængning. Dette er almindeligvis illustreret ved, at det er umuligt at udglatte en appelsinskal på en flad overflade uden at rive og deformere den. Den eneste sande repræsentation af en kugle i konstant skala er en anden kugle såsom en globus .

I betragtning af den begrænsede praktiske størrelse af glober, skal vi bruge kort til detaljeret kortlægning. Kort kræver projektioner. En projektion indebærer forvrængning: En konstant adskillelse på kortet svarer ikke til en konstant adskillelse på jorden. Mens et kort kan vise en grafisk bjælkeskala, skal skalaen bruges med den forståelse, at den kun vil være nøjagtig på nogle linjer på kortet. (Dette diskuteres yderligere i eksemplerne i de følgende afsnit.)

Lad P være et punkt i breddegrad og længdegrad på kuglen (eller ellipsoiden ). Lad Q være et nabopunkt og lad være vinklen mellem elementet PQ og meridianen ved P: denne vinkel er azimutvinklen for elementet PQ. Lad P' og Q' være tilsvarende punkter på projektionen. Vinklen mellem retningen P'Q' og projektionen af ​​meridianen er pejlingen . Generelt . Kommentar: denne præcise skelnen mellem azimuth (på jordens overflade) og pejling (på kortet) er ikke universelt observeret, mange forfattere bruger termerne næsten i flæng. ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

Definition: punktskalaen ved P er forholdet mellem de to afstande P'Q' og PQ i grænsen, som Q nærmer sig P. Vi skriver dette som

${\displaystyle \mu (\lambda ,\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}},}$

hvor notationen angiver, at punktskalaen er en funktion af positionen af ​​P og også retningen af ​​elementet PQ.

Definition: hvis P og Q ligger på samme meridian , er meridianskalaen angivet med . ${\displaystyle (\alpha =0)}$${\displaystyle h(\lambda ,\,\varphi )}$

Definition: hvis P og Q ligger på samme parallel , er parallelskalaen angivet med . ${\displaystyle (\alpha =\pi /2)}$${\displaystyle k(\lambda ,\,\varphi )}$

Definition: Hvis punktskalaen kun afhænger af position, ikke af retning, siger vi, at den er isotropisk og konventionelt angiver dens værdi i enhver retning med den parallelle skalafaktor . ${\displaystyle k(\lambda ,\varphi )}$

Definition: En kortprojektion siges at være konform , hvis vinklen mellem et par linjer, der skærer i et punkt P, er den samme som vinklen mellem de projicerede linjer i det projekterede punkt P', for alle linjepar, der skærer i punktet P. Et konformt kort har en isotrop skalafaktor. Omvendt indebærer isotropiske skalafaktorer på tværs af kortet en konform projektion.

Isotropi af skala indebærer, at små elementer strækkes lige meget i alle retninger, det vil sige, at formen af ​​et lille element er bevaret. Dette er ortomorfis egenskab (fra græsk 'rigtig form'). Kvalifikationen 'lille' betyder, at der ved en given målenøjagtighed ikke kan detekteres nogen ændring i skalafaktoren over elementet. Da konforme projektioner har en isotrop skalafaktor, er de også blevet kaldt ortomorfe projektioner . For eksempel er Mercator-projektionen konform, da den er konstrueret til at bevare vinkler og dens skalafaktor er isotropisk, kun en funktion af breddegrad: Mercator bevarer formen i små områder.

Definition: På en konform projektion med en isotrop skala kan punkter, der har samme skalaværdi, forbindes for at danne isoskalalinjerne . Disse er ikke indtegnet på kort til slutbrugere, men de findes i mange af standardteksterne. (Se Snyder side 203-206.)

Den repræsentative fraktion (RF) eller hovedskala

Der er to konventioner, der bruges til at fastlægge ligningerne for en given projektion. For eksempel kan den equirektangulære cylindriske projektion skrives som

kartografer:        ${\displaystyle x=a\lambda }$      ${\displaystyle y=a\varphi }$

matematikere:       ${\displaystyle x=\lambda }$      ${\displaystyle y=\varphi }$

Her skal vi vedtage den første af disse konventioner (efter brugen i undersøgelserne af Snyder). Det er klart, at ovenstående projektionsligninger definerer positioner på en enorm cylinder viklet rundt om Jorden og derefter rullet ud. Vi siger, at disse koordinater definerer projektionskortet , som skal skelnes logisk fra de faktiske udskrevne (eller sete) kort. Hvis definitionen af ​​punktskala i det foregående afsnit er i form af projektionskortet, kan vi forvente, at skalafaktorerne er tæt på enhed. For normale tangentcylindriske projektioner er skalaen langs ækvator k=1, og generelt ændres skalaen, når vi bevæger os væk fra ækvator. Analyse af skala på projektionskortet er en undersøgelse af ændringen af ​​k væk fra dens sande værdi af enhed.

Faktiske trykte kort produceres fra projektionskortet ved en konstant skalering angivet med et forhold som 1:100M (for hele verdenskort) eller 1:10000 (for f.eks. byplaner). For at undgå forvirring i brugen af ​​ordet 'skala' kaldes denne konstante skalabrøk den repræsentative fraktion (RF) af det trykte kort, og den skal identificeres med forholdet trykt på kortet. De faktiske trykte kortkoordinater for den equirektangulære cylindriske projektion er

trykt kort:        ${\displaystyle x=(RF)a\lambda }$      ${\displaystyle y=(RF)a\varphi }$

Denne konvention tillader en klar skelnen mellem den iboende projektionsskalering og reduktionsskaleringen.

Fra dette tidspunkt ignorerer vi RF og arbejder med projektionskortet.

Visualisering af punktskala: Tissot-indikatoren

Winkel tripelprojektionen med Tissots deformationsindikator

Betragt en lille cirkel på Jordens overflade centreret i et punkt P på bredde- og længdegrad . Da punktskalaen varierer med position og retning, vil projektionen af ​​cirklen på projektionen blive forvrænget. Tissot beviste, at så længe forvrængningen ikke er for stor, vil cirklen blive en ellipse på projektionen. Generelt vil dimensionen, formen og orienteringen af ​​ellipsen ændre sig over projektionen. Overlejring af disse forvrængningsellipser på kortprojektionen viser den måde, hvorpå punktskalaen ændrer sig over kortet. Forvrængningellipsen er kendt som Tissots indikator . Eksemplet vist her er Winkel tripel projektionen , standardprojektionen til verdenskort lavet af National Geographic Society . Den mindste forvrængning er på den centrale meridian ved breddegrader på 30 grader (nord og syd). (Andre eksempler). ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$

Punktskala for normale cylindriske projektioner af kuglen

Nøglen til en kvantitativ forståelse af skala er at betragte et uendeligt lille element på sfæren. Figuren viser et punkt P ved bredde- og længdegrad på kuglen. Punktet Q er på bredde- og længdegrad . Linjerne PK og MQ er buer af meridianer af længde , hvor er kuglens radius og er i radianmål. Linjerne PM og KQ er buer af parallelle cirkler af længde med i radianmål. Ved at udlede en punktegenskab for projektionen ved P er det tilstrækkeligt at tage et infinitesimalt element PMQK af overfladen: i grænsen for Q, der nærmer sig P, tenderer et sådant element til et uendeligt lille plant rektangel. ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \varphi +\delta \varphi }$${\displaystyle \lambda +\delta \lambda }$${\displaystyle a\,\delta \varphi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (a\cos \varphi )\delta \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

Infinitesimale elementer på kuglen og et normalt cylindrisk fremspring

Normale cylindriske fremspring af kuglen har kun og lig med en funktion af breddegraden. Derfor projicerer det infinitesimale element PMQK på kuglen til et infinitesimalt element P'M'Q'K', som er et nøjagtigt rektangel med en base og højde  . Ved at sammenligne elementerne på sfære og projektion kan vi umiddelbart udlede udtryk for skalafaktorerne på paralleller og meridianer. (Behandlingen af ​​skala i generel retning kan findes nedenfor .) ${\displaystyle x=a\lambda }$${\displaystyle y}$${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$${\displaystyle \delta y}$

parallel skalafaktor   ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

meridianskalafaktor  ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi)}{a}}}$

Bemærk, at den parallelle skalafaktor er uafhængig af definitionen af , så den er den samme for alle normale cylindriske fremspring. Det er nyttigt at bemærke det ${\displaystyle k=\sec \varphi }$${\displaystyle y(\varphi)}$

ved breddegrad 30 grader er den parallelle skala${\displaystyle k=\sec 30^{\circ }=2/{\sqrt {3}}=1.15}$

ved breddegrad 45 grader er den parallelle skala${\displaystyle k=\sec 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}$

ved breddegrad 60 grader er den parallelle skala${\displaystyle k=\sec 60^{\circ }=2}$

ved breddegrad 80 grader er den parallelle skala${\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5,76}$

ved breddegrad 85 grader er den parallelle skala${\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11.5}$

De følgende eksempler illustrerer tre normale cylindriske fremspring, og i hvert tilfælde er variationen af ​​skalaen med position og retning illustreret ved brug af Tissots indikator .

Tre eksempler på normal cylindrisk projektion

Den equirektangulære projektion

Den ækvidistante projektion med Tissots indikator for deformation

Den ækvirektangulære projektion , også kendt som Plate Carrée (fransk for "flad firkant") eller (noget misvisende) den ækvidistante projektion, er defineret af

${\displaystyle x=a\lambda ,}$   ${\displaystyle y=a\varphi ,}$

hvor er kuglens radius, er længdegraden fra projektionens centrale meridian (her taget som Greenwich-meridianen ved ) og er breddegraden. Bemærk, at og er i radianer (opnået ved at gange gradmålet med en faktor på /180). Længdegraden er i området, og breddegraden er i området . ${\displaystyle a}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$

Da det foregående afsnit giver ${\displaystyle y'(\varphi )=1}$

parallel skala,  ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

meridian skala ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,1}$

For beregning af punktskalaen i en vilkårlig retning se tillæg .

Figuren illustrerer Tissot-indikatoren for denne fremskrivning. På ækvator er h=k=1 og de cirkulære elementer uforvrænget ved projektion. På højere breddegrader forvrænges cirklerne til en ellipse givet ved kun at strække i parallel retning: der er ingen forvrængning i meridianretningen. Forholdet mellem den store akse og den lille akse er . Det er klart, at arealet af ellipsen øges med samme faktor. ${\displaystyle \sec \varphi }$

Det er lærerigt at overveje brugen af ​​stregskalaer, der kan forekomme på en trykt version af denne projektion. Skalaen er sand (k=1) på ækvator, således at gange dens længde på et trykt kort med det omvendte af RF (eller hovedskalaen) giver Jordens faktiske omkreds. Søjleskalaen på kortet er også tegnet i den sande skala, så overførsel af en adskillelse mellem to punkter på ækvator til søjleskalaen vil give den korrekte afstand mellem disse punkter. Det samme er tilfældet på meridianerne. På en anden parallel end ækvator er skalaen sådan, når vi overfører en adskillelse fra en parallel til stangskalaen, skal vi dividere stangskalaafstanden med denne faktor for at opnå afstanden mellem punkterne, når den måles langs parallellen (som ikke er sand afstand langs en stor cirkel ). På en linje med en pejling på f.eks. 45 grader ( ) varierer skalaen kontinuerligt med breddegraden, og overførsel af en adskillelse langs linjen til bjælkeskalaen giver ikke en afstand relateret til den sande afstand på nogen enkel måde. (Men se tillæg ). Selv hvis en afstand langs denne linje med konstant plan vinkel kunne beregnes, er dens relevans tvivlsom, da en sådan linje på projektionen svarer til en kompliceret kurve på kuglen. Af disse grunde skal søjleskalaer på kort i lille målestok anvendes med ekstrem forsigtighed. ${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \beta =45^{\circ }}$

Mercator projektion

Mercator-projektionen med Tissots deformationsindikator. (Forvrængningen øges uden grænser ved højere breddegrader)

Mercator - projektionen kortlægger kuglen til et rektangel (af uendelig udstrækning i -retningen) ved hjælp af ligningerne ${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=a\lambda \,}$

${\displaystyle y=a\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]}$

hvor a, og er som i det foregående eksempel. Da skalafaktorerne er: ${\displaystyle \lambda \,}$${\displaystyle \varphi \,}$${\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }$

parallel skala     ${\displaystyle k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi .}$

meridian skala   ${\displaystyle h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\sec \varphi .}$

I det matematiske addendum er det vist, at punktskalaen i en vilkårlig retning også er lig med, så skalaen er isotropisk (samme i alle retninger), dens størrelse stiger med breddegraden som . I Tissot-diagrammet bevarer hvert infinitesimal cirkulært element sin form, men forstørres mere og mere, efterhånden som breddegraden øges. ${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \sec \varphi }$

Lamberts projektion af lige areal

Lamberts normale cylindriske projektion med lige areal med Tissots deformationsindikator

Lamberts projektion af lige areal kortlægger kuglen til et endeligt rektangel ved hjælp af ligningerne

${\displaystyle x=a\lambda \qquad \qquad y=a\sin \varphi }$

hvor a, og er som i det foregående eksempel. Da skalafaktorerne er ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle y'(\varphi )=\cos \varphi }$

parallel skala      ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

meridian skala    ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\cos \varphi }$

Beregningen af ​​punktskalaen i en vilkårlig retning er angivet nedenfor .

De lodrette og vandrette skalaer kompenserer nu for hinanden (hk=1) og i Tissot-diagrammet er hvert infinitesimalt cirkulært element forvrænget til en ellipse af samme areal som de uforvrængede cirkler på ækvator.

Grafer over skalafaktorer

Grafen viser variationen af ​​skalafaktorerne for ovenstående tre eksempler. Det øverste plot viser den isotrope Mercator-skalafunktion: skalaen på parallellen er den samme som skalaen på meridianen. De andre plots viser meridianskalafaktoren for den ækvirektangulære projektion (h=1) og for Lambert-projektionen med lige areal. Disse to sidste projektioner har en parallel skala, der er identisk med den for Mercator-plottet. For Lambert bemærk, at parallelskalaen (som Mercator A) øges med breddegraden, og meridianskalaen (C) falder med breddegraden på en sådan måde, at hk=1, hvilket garanterer bevaring af området.

Skalavariation på Mercator-projektionen

Mercator punktskalaen er enhed på ækvator, fordi den er sådan, at den hjælpecylinder, der bruges i dens konstruktion, er tangentiel til Jorden ved ækvator. Af denne grund bør den sædvanlige projektion kaldes en tangentprojektion . Skalaen varierer med breddegrad som . Siden har en tendens til det uendelige, når vi nærmer os polerne, er Mercator-kortet groft forvrænget på høje breddegrader, og af denne grund er projektionen fuldstændig upassende for verdenskort (medmindre vi diskuterer navigation og rhumb-linjer ). Men ved en breddegrad på omkring 25 grader er værdien af ​​omkring 1,1, så Mercator er nøjagtig inden for 10 % i en strimmel med bredde 50 grader centreret på ækvator. Smalere strimler er bedre: en strimmel med en bredde på 16 grader (centreret på ækvator) er nøjagtig inden for 1 % eller 1 del ud af 100. ${\displaystyle k=\sec \varphi }$${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \sec \varphi }$

Et standardkriterium for gode storskalakort er, at nøjagtigheden skal være inden for 4 dele i 10.000, eller 0,04 %, svarende til . Siden opnår denne værdi ved grader (se figur nedenfor, rød linje). Derfor er tangent Mercator-projektionen meget nøjagtig inden for en strimmel med bredde 3,24 grader centreret på ækvator. Dette svarer til en nord-syd-afstand på omkring 360 km (220 mi). Indenfor denne strimmel er Mercator meget god, meget nøjagtig og formbevarende, fordi den er konform (vinkelbevarende). Disse observationer foranledigede udviklingen af ​​de tværgående Mercator-projektioner, hvor en meridian behandles 'som en ækvator' af projektionen, så vi opnår et nøjagtigt kort inden for en snæver afstand fra denne meridian. Sådanne kort er gode for lande, der ligger næsten nord-syd (som Storbritannien ), og et sæt på 60 sådanne kort bruges til Universal Transverse Mercator (UTM) . Bemærk, at i begge disse projektioner (som er baseret på forskellige ellipsoider) er transformationsligningerne for x og y og udtrykket for skalafaktoren komplicerede funktioner af både bredde- og længdegrad. ${\displaystyle k=1,0004}$${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \varphi =1.62}$

Skalavariation nær ækvator for tangent (rød) og sekant (grøn) Mercator projektioner.

Sekanter eller modificerede projektioner

Den grundlæggende idé med en sekantprojektion er, at kuglen projiceres til en cylinder, som skærer kuglen ved to paralleller, f.eks . nord og syd. Det er klart, at skalaen nu er sand på disse breddegrader, hvorimod paralleller under disse breddegrader er kontraheret af projektionen, og deres (parallelle) skalafaktor skal være mindre end én. Resultatet er, at skalaens afvigelse fra enhed reduceres over et bredere område af breddegrader. ${\displaystyle \varphi _{1}}$

Som et eksempel er en mulig sekant Mercator-projektion defineret af

${\displaystyle x=0.9996a\lambda \qquad \qquad y=0.9996a\ln \left(\tan \left({\frac {\pi}{4}}+{\frac {\varphi }{2}} \right)\right).}$

De numeriske multiplikatorer ændrer ikke formen på projektionen, men det betyder, at skalafaktorerne ændres:

sekant Mercator skala,   ${\displaystyle \quad k\;=0,9996\sec \varphi .}$

Dermed

• skalaen på ækvator er 0,9996,
• skalaen er k  = 1 ved en breddegrad givet af hvor , så grader,${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle \sec \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}$${\displaystyle \varphi _{1}=1,62}$
• k=1,0004 ved en breddegrad givet ved for hvilke grader. Derfor har projektionen , det vil sige en nøjagtighed på 0,04 %, over en bredere strimmel på 4,58 grader (sammenlignet med 3,24 grader for tangentformen).${\displaystyle \varphi _{2}}$${\displaystyle \sec \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}$${\displaystyle \varphi _{2}=2.29}$${\displaystyle 1<k<1,0004}$

Dette er illustreret ved den nederste (grønne) kurve i figuren i det foregående afsnit.

Sådanne smalle zoner med høj nøjagtighed bruges i UTM og den britiske OSGB projektion, som begge er sekantet, tværgående Mercator på ellipsoiden med skalaen på den centrale meridian konstant ved . De isoskala linjer med er let buede linjer cirka 180 km øst og vest for den centrale meridian. Den maksimale værdi af skalafaktoren er 1,001 for UTM og 1,0007 for OSGB. ${\displaystyle k_{0}=0,9996}$${\displaystyle k=1}$

Linjerne af enhedsskala ved breddegrad (nord og syd), hvor den cylindriske projektionsflade skærer kuglen, er standardparallellerne af sekantprojektionen. ${\displaystyle \varphi _{1}}$

Mens et smalt bånd med er vigtigt for kortlægning med høj nøjagtighed i stor skala, bruges der for verdenskort meget bredere standardparalleller til at kontrollere skalavariationen. Eksempler er ${\displaystyle |k-1|<0,0004}$

• Behrmann med standardparalleller ved 30N, 30S.
• Galde lige areal med standardparalleller ved 45N, 45S.

Skalavariation for Lambert (grøn) og Gall (rød) lige arealprojektioner.

Skalaplottene for sidstnævnte er vist nedenfor sammenlignet med Lambert lige areal skalafaktorer. I sidstnævnte er ækvator en enkelt standard parallel, og den parallelle skala stiger fra k=1 for at kompensere for faldet i meridianskalaen. For Gall er parallelskalaen reduceret ved ækvator (til k=0,707), mens meridianskalaen øges (til k=1,414). Dette giver anledning til den grove formforvrængning i Gall-Peters projektionen. (På kloden er Afrika omtrent lige så længe, ​​som det er bredt). Bemærk, at meridian- og parallelskalaen begge er enhed på standardparallellerne.

Matematisk tilføjelse

Infinitesimale elementer på kuglen og et normalt cylindrisk fremspring

For normale cylindriske fremspring giver geometrien af ​​de infinitesimale elementer

${\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\delta \lambda }{a\,\delta \varphi }},}$

${\displaystyle {\text{(b)}}\quad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}}={\frac {a\,\delta \lambda }{\delta y }}.}$

Forholdet mellem vinklerne og er ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\text{(c)}}\quad \tan \beta ={\frac {a\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha .\,}$

For Mercator-projektionen giver : vinkler bevares. (Næppe overraskende, da dette er den relation, der bruges til at udlede Mercator). For ækvidistant- og Lambert-projektionerne har vi henholdsvis forholdet mellem og afhænger af breddegraden  . Betegn punktskalaen ved P, når det infinitesimale element PQ laver en vinkel med meridianen ved. Det er givet ved forholdet mellem afstande: ${\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }$${\displaystyle \alpha =\beta }$${\displaystyle y'(\varphi )=a}$${\displaystyle y'(\varphi )=a\cos \varphi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \alpha \,}$${\displaystyle \mu _{\alpha }.}$

${\displaystyle \mu _{\alpha }=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}}=\lim _{Q\to P}{\frac {\sqrt { \delta x^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2}}}}.}$

Indstilling og erstatning og fra ligning (a) og (b) giver henholdsvis ${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$${\displaystyle \delta \varphi }$${\displaystyle \delta y}$

${\displaystyle \mu _{\alpha }(\varphi )=\sec \varphi \left[{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}\right].}$

For andre fremskrivninger end Mercator skal vi først beregne ud fra og bruge ligning (c), før vi kan finde . For eksempel har den equirektangulære projektion således at ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mu _{\alpha }}$${\displaystyle y'=a}$

${\displaystyle \tan \beta =\sec \varphi \tan \alpha .\,}$

Hvis vi betragter en linje med konstant hældning på projektionen er både den tilsvarende værdi af og skalafaktoren langs linjen komplicerede funktioner af . Der er ingen enkel måde at overføre en generel finit adskillelse til en søjleskala og opnå meningsfulde resultater. ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \varphi }$

Forholdssymbol

Mens kolon ofte bruges til at udtrykke forhold, kan Unicode udtrykke et symbol, der er specifikt for forhold, der er let hævet: U+ 2236 ∶ RATIO ( ∶ ).

Se også

• Geografisk afstand
• Skala (analytisk værktøj)
• Skala (forhold)
• Skalering (geometri)
• Rumlig skala

Referencer