Schramm – Loewner evolution - Schramm–Loewner evolution

Schramm-Loewner evolution på det øverste halvplan med farvetone angiver ${\ displaystyle log (Im (g_ {t} (z)))}$

I sandsynlighedsteorien er Schramm – Loewner-evolutionen med parameter κ , også kendt som stokastisk Loewner-evolution (SLE _κ ), en familie af tilfældige plane kurver, der har vist sig at være skaleringsgrænsen for en række todimensionale gittermodeller i statistisk mekanik . I betragtning af en parameter κ og et domæne i det komplekse plan U , giver det en familie af tilfældige kurver i U , hvor κ styrer, hvor meget kurven drejer. Der er to hovedvarianter af SLE, akkordal SLE, der giver en familie af tilfældige kurver fra to faste grænsepunkter og radial SLE , som giver en familie af tilfældige kurver fra et fast grænsepunkt til et fast indre punkt. Disse kurver er defineret til at tilfredsstille konform invariance og en domæne Markov -egenskab .

Det blev opdaget af Oded Schramm  ( 2000 ) som en formodet skaleringsgrænse for det plane uniformspændende træ (UST) og de planar loop- erased random walk (LERW) probabilistiske processer, og udviklet af ham sammen med Greg Lawler og Wendelin Werner i en serie af fælles papirer.

Udover UST og LERW formodes eller bevises Schramm – Loewner-evolutionen at beskrive skaleringsgrænsen for forskellige stokastiske processer i flyet, såsom kritisk perkolering , den kritiske Ising-model , dobbeltdimerer-modellen , selvundgående gåture og andre kritiske statistiske mekaniske modeller, der udviser konform invariance. SLE-kurverne er skaleringsgrænserne for grænseflader og andre ikke-selvskærende tilfældige kurver i disse modeller. Hovedideen er, at den konforme invarians og en bestemt Markov-egenskab, der er forbundet med sådanne stokastiske processer sammen, gør det muligt at kode disse plane kurver til en endimensionel brownisk bevægelse, der kører på grænsen til domænet (drivfunktionen i Loewners differentialligning) . På denne måde kan mange vigtige spørgsmål om de plane modeller oversættes til øvelser i Itō -beregning . Faktisk er flere matematisk ikke-strenge forudsigelser foretaget af fysikere, der anvender konform feltteori, blevet bevist ved hjælp af denne strategi.

Loewner -ligningen

Hvis D er et simpelthen forbundet , åbent komplekst domæne, der ikke er lig med C , og γ er en simpel kurve i D, der starter på grænsen (en kontinuerlig funktion med γ (0) på grænsen til D og γ ((0, ∞)) en delmængde af D ), så for hver t  ≥ 0, komplementet D _t af γ ([0,  t ]) er simpelthen tilsluttet og derfor konformt isomorf til D ved Riemann kortlægning sætning . Hvis ƒ _t er en passende normaliseret isomorfisme fra D til D _t , tilfredsstiller den en differentialligning, som Loewner (1923 , s. 121) fandt i sit arbejde med Bieberbach -formodningen . Nogle gange er det mere bekvemt at anvende den inverse funktion g _t af ƒ _t , hvilket er en konform afbildning fra D _t til D .

I Loewners ligning er z i domænet D , t  ≥ 0, og grænseværdierne på tidspunktet t  = 0 er ƒ ₀ ( z ) =  z eller g ₀ ( z ) =  z . Ligningen afhænger af en drivende funktion ζ ( t ), idet værdier i grænsen af D . Hvis D er enhedsdisken og kurven γ parametreres af "kapacitet", er Loewners ligning

${\ displaystyle {\ frac {\ partiel f_ {t} (z)} {\ delvis t}} =-zf_ {t}^{\ prime} (z) {\ frac {\ zeta (t)+z} { \ zeta (t) -z}}}$   eller   ${\ displaystyle {\ dfrac {\ delvis g_ {t} (z)} {\ delvis t}} = g_ {t} (z) {\ dfrac {\ zeta (t)+g_ {t} (z)} { \ zeta (t) -g_ {t} (z)}}.}$

Når D er det øverste halvplan adskiller Loewner -ligningen sig fra dette ved ændringer af variabel og er

${\ displaystyle {\ frac {\ partiel f_ {t} (z)} {\ delvis t}} = {\ frac {2f_ {t}^{\ prime} (z)} {\ zeta (t) -z} }}$   eller   ${\ displaystyle {\ dfrac {\ delvis g_ {t} (z)} {\ delvis t}} = {\ dfrac {2} {g_ {t} (z)-\ zeta (t)}}.}$

Den drivende funktion ζ og kurven γ er relateret ved

${\ displaystyle f_ {t} (\ zeta (t)) = \ gamma (t) {\ tekst {eller}} \ zeta (t) = g_ {t} (\ gamma (t))}$

hvor og udvides med kontinuitet. ${\ displaystyle f_ {t}}$${\ displaystyle g_ {t}}$

Eksempel

Lad D være det øverste halvplan og overveje en SLE ₀ , så kørefunktionen ζ er en brunisk bevægelse med diffusivitet nul. Funktionen ζ er således identisk nul næsten sikkert og

${\ displaystyle f_ {t} (z) = {\ sqrt {z^{2} -4t}}}$

${\ displaystyle g_ {t} (z) = {\ sqrt {z^{2}+4t}}}$

${\ displaystyle \ gamma (t) = 2i {\ sqrt {t}}}$

${\ displaystyle D_ {t}}$er det øverste halvplan med linjen fra 0 til fjernet.${\ displaystyle 2i {\ sqrt {t}}}$

Schramm – Loewner evolution

Schramm – Loewner evolution er den tilfældige kurve γ givet af Loewner ligningen som i det foregående afsnit, for kørefunktionen

${\ displaystyle \ zeta (t) = {\ sqrt {\ kappa}} B (t)}$

hvor B ( t ) er brunisk bevægelse på grænsen til D , skaleret med en reel κ . Med andre ord er Schramm -Loewner evolution en sandsynlighedsmåling på plane kurver, givet som billedet af Wiener -mål under dette kort.

Generelt kurven γ behøver ikke være enkel, og domænet D _t er ikke komplementet af γ ([0, t ]) i D , men er i stedet den ubegrænsede komponent af komplement.

Der er to versioner af SLE, der bruger to kurverfamilier, hver afhængig af en ikke-negativ reel parameter κ :

• Chordal SLE _κ , som er relateret til kurver, der forbinder to punkter på grænsen til et domæne (normalt det øverste halvplan, med punkterne 0 og uendeligt).
• Radial SLE _κ , som vedrørte kurver, der forbinder et punkt på grænsen af ​​et domæne til et punkt i det indre (ofte kurver, der forbinder 1 og 0 i enhedsdisken).

SLE afhænger af et valg af brunisk bevægelse på grænsen til domænet, og der er flere variationer afhængigt af, hvilken slags brownisk bevægelse der bruges: for eksempel kan den starte på et fast punkt eller starte på et ensartet fordelt punkt på enheden cirkel, eller måske have en indbygget drift osv. Parameteren κ styrer diffusionshastigheden af ​​den brune bevægelse, og SLE's adfærd afhænger kritisk af dens værdi.

De to domæner, der oftest bruges i Schramm -Loewner -evolutionen, er det øverste halvplan og enhedscirklen. Selvom Loewner -differentialligningen i disse to tilfælde ser anderledes ud, er de ækvivalente op til ændringer af variabler, da enhedscirklen og det øvre halvplan er tilsvarende ækvivalente. Imidlertid bevarer en konform ækvivalens mellem dem ikke den browniske bevægelse på deres grænser, der bruges til at drive Schramm -Loewner -evolutionen.

Særlige værdier af κ

• For 0 ≤  κ  <4 er kurven γ ( t ) enkel (med sandsynlighed 1).
• For 4 <  κ  <8 skærer kurven γ ( t ) sig selv, og hvert punkt er indeholdt i en loop, men kurven er ikke rumfyldende (med sandsynlighed 1).
• For κ  ≥ 8 er kurven γ ( t ) rumfyldende (med sandsynlighed 1).
• κ  = 2 svarer til sløjfe-slettet tilfældig gåtur , eller ækvivalent, grene af det ensartede spændende træ.
• For κ  = 8/3 har SLE _κ restriktionsegenskaben og formodes at være skaleringsgrænsen for selvundgående tilfældige gåture . En version af den er den ydre grænse for brunisk bevægelse .
• κ  = 3 er grænsen for grænseflader for Ising -modellen .
• κ  = 4 svarer til banen for den harmoniske opdagelsesrejsende og konturlinjer i det gaussiske frie felt .
• For κ  = 6 har SLE _κ lokalitetsejendommen. Dette opstår i skaleringsgrænsen for kritisk perkolering på det trekantede gitter og formodentlig på andre gitter.
• κ  = 8 svarer til stien, der adskiller det ensartede spændende træ fra dets dobbelte træ.

Når SLE svarer til en eller anden konform feltteori, er parameteren κ relateret til den centrale ladning c i konformfeltteorien med

${\ displaystyle c = {\ frac {(8-3 \ kappa) (\ kappa -6)} {2 \ kappa}}.}$

Hver værdi på c  <1 svarer til to værdier af κ , en værdi κ mellem 0 og 4 og en "dobbelt" værdi 16/ κ større end 4. (se Bauer & Bernard (2002a) Bauer & Bernard (2002b) )

Beffara (2008) viste, at Hausdorff -dimensionen af stierne (med sandsynlighed 1) er lig med min (2, 1 +  κ /8).

Sandsynlighedsformler for venstre passage for SLE _κ

Sandsynligheden for at akkord SLE _κ γ er til venstre for fast punkt blev beregnet af Schramm (2001a)${\ displaystyle x_ {0}+iy_ {0} = z_ {0} \ in \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} [\ gamma {\ text {går til venstre}} z_ {0}] = {\ frac {1} {2}}+{\ frac {\ Gamma ({\ frac {4 } {\ kappa}})} {{\ sqrt {\ pi}} \, \ Gamma ({\ frac {8- \ kappa} {2 \ kappa}})}} {\ frac {x_ {0}} { y_ {0}}} \, _ {2} F_ {1} \ venstre ({\ frac {1} {2}}, {\ frac {4} {\ kappa}}, {\ frac {3} {2 }},-\ venstre ({\ frac {x_ {0}} {y_ {0}}} \ højre)^{2} \ højre)}$

hvor er gamma -funktionen og er den hypergeometriske funktion . Dette blev afledt ved at bruge martingale -ejendommen til ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle _ {2} F_ {1} (a, b, c, d)}$

${\ displaystyle h (x, y): = \ mathbb {P} [\ gamma {\ text {går til venstre}} x+iy]}$

og Itôs lemma at opnå følgende partielle differentialligning for${\ displaystyle w: = {\ tfrac {x} {y}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ kappa} {2}} \ delvis _ {ww} h (w)+{\ frac {4w} {w^{2} +1}} \ delvis _ {w} h = 0 .}$

For κ = 4 er RHS , som blev brugt i konstruktionen af ​​den harmoniske opdagelsesrejsende, og for κ = 6 får vi Cardys formel , som blev brugt af Smirnov til at bevise konform invariance i perkolering . ${\ displaystyle 1-{\ tfrac {1} {\ pi}} \ arg (z_ {0})}$

Ansøgninger

Lawler, Schramm & Werner (2001b) brugte SLE ₆ til at bevise formodningen om Mandelbrot (1982) , at grænsen for plan brun bevægelse har fraktaldimension 4/3.

Kritisk perkolering på det trekantede gitter viste sig at være relateret til SLE ₆ af Stanislav Smirnov . Kombineret med tidligere arbejde af Harry Kesten førte dette til bestemmelsen af ​​mange af de kritiske eksponenter for perkolering. Dette gennembrud muliggjorde til gengæld yderligere analyse af mange aspekter af denne model.

Loop-slettet tilfældig gåtur viste sig at konvergere til SLE ₂ af Lawler, Schramm og Werner. Dette tillod udledning af mange kvantitative egenskaber ved sløjfe slettet tilfældig gang (hvoraf nogle blev afledt tidligere af Richard Kenyon). Den relaterede tilfældige Peano -kurve, der skitserer det ensartede spantræ, viste sig at konvergere til SLE ₈ .

Rohde og Schramm viste, at κ er relateret til fraktaldimensionen af en kurve af følgende relation

${\ displaystyle d = 1+{\ frac {\ kappa} {8}}.}$

Simulering

Computerprogrammer (Matlab) præsenteres i dette GitHub -depot for at simulere Schramm Loewner Evolution -plankurver.

Referencer

Yderligere læsning

eksterne links

• Lawler; Schramm; Werner (2001), Tutorial: SLE , Lawrence Hall of Science , University of California, Berkeley (video af MSRI -foredrag)
• Schramm, Oded (2001), Conformally Invariant Scaling Limits og SLE , MSRI (Glider fra en tale.)