Sæt (matematik) -Set (mathematics)

Et sæt polygoner i et Euler-diagram

Et sæt er den matematiske model for en samling af forskellige ting; et sæt indeholder elementer eller medlemmer , som kan være matematiske objekter af enhver art: tal, symboler, punkter i rummet, linjer, andre geometriske former, variabler eller endda andre mængder. Sættet uden element er det tomme sæt ; et sæt med et enkelt element er en singleton . Et sæt kan have et begrænset antal elementer eller være et uendeligt sæt . To sæt er ens, hvis de har præcis de samme elementer.

Mængder er allestedsnærværende i moderne matematik. Faktisk har mængdeteori , mere specifikt Zermelo-Fraenkel mængdeteori , været standardmetoden til at skabe et stringent grundlag for alle grene af matematikken siden første halvdel af det 20. århundrede.

Historie

Begrebet et sæt opstod i matematikken i slutningen af ​​det 19. århundrede. Det tyske ord for sæt, Menge , blev opfundet af Bernard Bolzano i hans værk Paradoxes of the Infinite .

Passage med en oversættelse af den originale definition af Georg Cantor. Det tyske ord Menge for sæt er her oversat med aggregat .

Georg Cantor , en af ​​grundlæggerne af mængdeteori, gav følgende definition i begyndelsen af ​​sin Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre :

Et sæt er en samling sammen til en helhed af bestemte, distinkte objekter af vores opfattelse eller vores tanke - som kaldes elementer af sættet.

Bertrand Russell kaldte et sæt for en klasse :

Når matematikere beskæftiger sig med det, de kalder et mangfoldigt, samlet, Menge , ensemble eller et tilsvarende navn, er det almindeligt, især hvor antallet af involverede led er begrænset, at betragte det pågældende objekt (som faktisk er en klasse) som defineret ved opregningen af ​​dets termer, og som eventuelt bestående af et enkelt led, som i så fald er klassen.

Naiv mængdeteori

Den vigtigste egenskab ved et sæt er, at det kan have elementer, også kaldet medlemmer . To sæt er ens , når de har de samme elementer. Mere præcist er mængderne A og B ens, hvis hvert element af A er et element af B , og hvert element af B er et element af A ; denne egenskab kaldes mængdens ekstensionalitet .

Det simple koncept for en mængde har vist sig enormt nyttigt i matematik, men der opstår paradokser , hvis der ikke lægges begrænsninger på, hvordan mængder kan konstrueres:

• Russells paradoks viser, at "sættet af alle mængder, der ikke indeholder sig selv ", dvs. { x | x er en mængde og x ∉ x } kan ikke eksistere.
• Cantors paradoks viser, at "sættet af alle mængder" ikke kan eksistere.

Naiv mængdeteori definerer et sæt som en hvilken som helst veldefineret samling af særskilte elementer, men problemer opstår som følge af vagheden af ​​udtrykket veldefineret .

Aksiomatisk mængdelære

I efterfølgende bestræbelser på at løse disse paradokser siden den oprindelige formulering af naiv mængdeteori, er egenskaberne af mængder blevet defineret af aksiomer . Aksiomatisk mængdeteori tager begrebet et sæt som en primitiv forestilling . Formålet med aksiomerne er at tilvejebringe en grundlæggende ramme, hvorfra man kan udlede sandheden eller falskheden af ​​bestemte matematiske påstande (udsagn) om mængder ved hjælp af førsteordens logik . Ifølge Gödels ufuldstændighedsteoremer er det imidlertid ikke muligt at bruge førsteordenslogik til at bevise, at en sådan særlig aksiomatisk mængdeteori er fri for paradokser.

Hvordan sæt er defineret og sæt notation

Matematiske tekster betegner sædvanligvis mængder med store bogstaver i kursiv , såsom A , B , C. Et sæt kan også kaldes en samling eller familie , især når dets elementer er selv sæt.

Roster notation

Roster- eller opregningsnotation definerer et sæt ved at angive dets elementer mellem krøllede parenteser , adskilt af kommaer:

A = {4, 2, 1, 3}

B = {blå, hvid, rød} .

I et sæt er det eneste, der betyder noget, om hvert element er i det eller ej, så rækkefølgen af ​​elementerne i skemanotation er irrelevant (i modsætning hertil i en sekvens , en tupel eller en permutation af et sæt, rækkefølgen af vilkår betyder noget). For eksempel repræsenterer {2, 4, 6} og {4, 6, 4, 2} det samme sæt.

For sæt med mange elementer, især dem, der følger et implicit mønster, kan listen over medlemmer forkortes med en ellipse ' ... '. For eksempel kan sættet af de første tusinde positive heltal angives i listenotation som

{1, 2, 3, ..., 1000} .

Uendelige sæt i skemanotation

Et uendeligt sæt er et sæt med en endeløs liste af elementer. For at beskrive et uendeligt sæt i listenotation placeres en ellipse i slutningen af ​​listen eller i begge ender for at angive, at listen fortsætter for evigt. For eksempel er sættet af ikke-negative heltal

{0, 1, 2, 3, 4, ...} ,

og sættet af alle heltal er

{..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} .

Semantisk definition

En anden måde at definere et sæt på er at bruge en regel til at bestemme, hvad elementerne er:

Lad A være mængden, hvis medlemmer er de første fire positive heltal .

Lad B være det franske flags farvesæt .

En sådan definition kaldes en semantisk beskrivelse .

Set-builder-notation

Set-builder-notation angiver et sæt som et udvalg fra et større sæt, bestemt af en betingelse på elementerne. For eksempel kan et sæt F defineres som følger:

F ${\displaystyle =\{n\mid n{\text{ er et heltal, og }}0\leq n\leq 19\}.}$

I denne notation er den lodrette streg "|" betyder "sådan det", og beskrivelsen kan fortolkes som " F er mængden af ​​alle tal n , således at n er et heltal i området fra 0 til 19 inklusive". Nogle forfattere bruger et kolon ":" i stedet for den lodrette bjælke.

Klassificering af definitionsmetoder

Filosofi bruger specifikke termer til at klassificere typer af definitioner:

• En intensional definition bruger en regel til at bestemme medlemskab. Semantiske definitioner og definitioner ved hjælp af set-builder-notation er eksempler.
• En ekstensionel definition beskriver et sæt ved at angive alle dets elementer . Sådanne definitioner kaldes også enumerative .
• En ostensiv definition er en, der beskriver et sæt ved at give eksempler på elementer; en liste, der involverer en ellipse, ville være et eksempel.

Medlemskab

Hvis B er en mængde, og x er et element af B , skrives dette i stenografi som x ∈ B , hvilket også kan læses som " x hører til B ", eller " x er i B ". Udsagnet " y er ikke et element af B " skrives som y ∉ B , som også kan læses som eller " y er ikke i B ".

For eksempel med hensyn til mængderne A = {1, 2, 3, 4} , B = {blå, hvid, rød} og F = { n | n er et heltal, og 0 ≤ n ≤ 19} ,

4 ∈ A og 12 ∈ F ; og

20 ∉ F og grøn ∉ B .

Det tomme sæt

Det tomme sæt (eller nulsæt ) er det unikke sæt, der ikke har nogen medlemmer. Det betegnes ∅ eller eller { } eller ϕ (eller ϕ ). ${\displaystyle \emptyset }$

Singleton sæt

Et singleton sæt er et sæt med præcis ét element; et sådant sæt kan også kaldes et enhedssæt . Ethvert sådant sæt kan skrives som { x }, hvor x er elementet. Mængden { x } og elementet x betyder forskellige ting; Halmos drager den analogi, at en æske, der indeholder en hat, ikke er det samme som hatten.

Undersæt

Hvis hvert element i mængden A også er i B , så beskrives A som værende en delmængde af B , eller indeholdt i B , skrevet A ⊆ B , eller B ⊇ A . Sidstnævnte notation kan læses B indeholder A , B inkluderer A , eller B er et supersæt af A . Forholdet mellem sæt etableret af ⊆ kaldes inklusion eller indeslutning . To mængder er lige store, hvis de indeholder hinanden: A ⊆ B og B ⊆ A er ækvivalent med A = B .

Hvis A er en delmængde af B , men A ikke er lig med B , så kaldes A for en egentlig delmængde af B. Dette kan skrives A ⊊ B . Ligeledes betyder B ⊋ A , at B er et egentligt supersæt af A , dvs. B indeholder A , og er ikke lig med A .

Et tredje par af operatorer ⊂ og ⊃ bruges forskelligt af forskellige forfattere: nogle forfattere bruger A ⊂ B og B ⊃ A til at betyde, at A er en hvilken som helst delmængde af B (og ikke nødvendigvis en egentlig delmængde), mens andre reserverer A ⊂ B og B ⊃ A for tilfælde, hvor A er en egentlig delmængde af B .

Eksempler:

• Sættet af alle mennesker er en egentlig undergruppe af sættet af alle pattedyr.
• {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}.
• {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

Det tomme sæt er en delmængde af hvert sæt, og hvert sæt er en delmængde af sig selv:

• ∅ ⊆ A .
• A ⊆ A .

Euler og Venn diagrammer

A er en delmængde af B .
B er et supersæt af A .

Et Euler-diagram er en grafisk repræsentation af en samling af sæt; hvert sæt er afbildet som et plant område omgivet af en løkke, med dets elementer indeni. Hvis A er en delmængde af B , så er området, der repræsenterer A , helt inden for området, der repræsenterer B. Hvis to sæt ikke har nogen elementer til fælles, overlapper regionerne ikke.

Et Venn-diagram er derimod en grafisk repræsentation af n sæt, hvor de n sløjfer deler planet i 2 ⁿ zoner, således at der for hver måde at vælge nogle af de n sæt (muligvis alle eller ingen) er en zone for de elementer, der hører til alle de valgte sæt og ingen af ​​de andre. For eksempel, hvis sættene er A , B og C , skal der være en zone for de elementer, der er inde i A og C og uden for B (selv om sådanne elementer ikke findes).

Særlige talsæt i matematik

De naturlige tal er indeholdt i de heltal , som er indeholdt i de rationelle tal , som er indeholdt i de reelle tal , som er indeholdt i de komplekse tal .${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Der er sæt af så matematisk betydning, som matematikere refererer så ofte til, at de har erhvervet særlige navne og notationskonventioner for at identificere dem.

Mange af disse vigtige sæt er repræsenteret i matematiske tekster med fed (f.eks . ) eller tavle fed (f.eks . ) skrifttype. Disse omfatter ${\displaystyle {\mathbf {Z}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• ${\displaystyle {\mathbf {N}}}$eller , sættet af alle naturlige tal : (ofte udelukker forfattere 0 );${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle {\mathbf {N}}=\{0,1,2,3,...\}}$
• ${\displaystyle {\mathbf {Z}}}$eller , sættet af alle heltal (uanset om det er positive, negative eller nul): ;${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathbf {Z}}=\{...,-2,-1,0,1,2,3,...\}}$
• ${\displaystyle {\mathbf {Q}}}$eller , mængden af ​​alle rationelle tal (det vil sige mængden af ​​alle egen- og uægte brøker ): . For eksempel −${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle {\mathbf {Q}}=\left\{{\frac {a}{b}}\mid a,b\in {\mathbf {Z}},b\neq 0\right\}}$ 7/4∈ Q og 5 =5/1∈ Q ;
• ${\displaystyle {\mathbf {R}}}$eller , sættet af alle reelle tal , inklusive alle rationelle tal og alle irrationelle tal (som inkluderer algebraiske tal som det ikke kan omskrives som brøker, såvel som transcendentale tal som π og e );${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• ${\displaystyle {\mathbf {C}}}$eller , mængden af ​​alle komplekse tal : C = { a + bi | a , b ∈ R } , for eksempel 1 + 2 i ∈ C .${\displaystyle \mathbb {C} }$

Hvert af ovenstående talsæt har et uendeligt antal elementer. Hver er en delmængde af de sæt, der er anført nedenfor.

Sæt af positive eller negative tal er nogle gange angivet med henholdsvis hævet plus- og minustegn. Repræsenterer for eksempel sættet af positive rationale tal. ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{+}}$

Funktioner

En funktion (eller afbildning ) fra et sæt A til et sæt B er en regel, der tildeler hvert "input"-element i A et "output", der er et element af B ; mere formelt er en funktion en speciel form for relation , en der relaterer hvert element i A til præcis ét element i B . En funktion kaldes

• injektiv (eller en-til-en), hvis den mapper to forskellige elementer af A til forskellige elementer af B ,
• surjektiv (eller på), hvis der for hvert element af B er mindst ét ​​element af A , der er knyttet til det, og
• bijektiv (eller en en-til-en-korrespondance), hvis funktionen er både injektiv og surjektiv - i dette tilfælde er hvert element af A parret med et unikt element af B , og hvert element af B er parret med et unikt element af A , så der ikke er nogen uparrede elementer.

En injektionsfunktion kaldes en injektion , en surjektiv funktion kaldes en indsprøjtning, og en bijektion kaldes en bijektion eller en-til-en-korrespondance .

Kardinalitet

Kardinaliteten af ​​et sæt S , betegnet | S | , er antallet af medlemmer af S . For eksempel, hvis B = {blå, hvid, rød} , så | B | = 3 . Gentagne medlemmer i vagtnotation tælles ikke med, så | {blå, hvid, rød, blå, hvid} | = 3 også.

Mere formelt deler to sæt den samme kardinalitet, hvis der eksisterer en en-til-en-korrespondance mellem dem.

Kardinaliteten af ​​det tomme sæt er nul.

Uendelige mængder og uendelig kardinalitet

Listen over elementer i nogle sæt er uendelig eller uendelig . For eksempel er mængden af ​​naturlige tal uendelig. Faktisk er alle de specielle sæt tal, der er nævnt i afsnittet ovenfor, uendelige. Uendelige mængder har uendelig kardinalitet . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Nogle uendelige kardinaliteter er større end andre. Nok et af de mest betydningsfulde resultater fra mængdeteori er, at mængden af ​​reelle tal har større kardinalitet end mængden af ​​naturlige tal. Sæt med kardinalitet mindre end eller lig med den kaldes tællelige mængder ; disse er enten endelige mængder eller tælleligt uendelige mængder (mængder af samme kardinalitet som ); nogle forfattere bruger "tællelig" til at betyde "tællelig uendelig". Sæt med kardinalitet strengt større end den for kaldes utallige sæt . ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

Det kan dog vises, at kardinaliteten af ​​en ret linje (dvs. antallet af punkter på en linje) er den samme som kardinaliteten af ​​ethvert segment af den linje, af hele planet , og faktisk af enhver finitdimensional euklidisk plads .

Kontinuumshypotesen

Kontinuumhypotesen, formuleret af Georg Cantor i 1878, er udsagnet om, at der ikke er noget sæt med kardinalitet strengt mellem de naturlige tals kardinalitet og en ret linjes kardinalitet. I 1963 beviste Paul Cohen , at kontinuumhypotesen er uafhængig af aksiomsystemet ZFC bestående af Zermelo-Fraenkel mængdeteori med valgaksiomet . (ZFC er den mest udbredte udgave af aksiomatisk mængdeteori.)

Strømsæt

Potensmængden af ​​en mængde S er mængden af ​​alle delmængder af S . Den tomme mængde og S selv er elementer i potensmængden af ​​S , fordi disse begge er delmængder af S. For eksempel er potensmængden af ​​{ 1, 2, 3} {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1 , 2, 3}} . ^{Potensmængden} af ​​et sæt S skrives almindeligvis som P ( S ) eller 2S .

Hvis S har n elementer, så har P ( S ) 2 n ^elementer . For eksempel har {1, 2, 3} tre elementer, og dens potensmængde har 2 ³ = 8 elementer, som vist ovenfor.

Hvis S er uendelig (uanset om det kan tælles eller ikke tælles ), så er P ( S ) utælleligt . Desuden er effektsættet altid strengt taget "større" end det originale sæt, i den forstand, at ethvert forsøg på at parre elementerne i S med elementerne i P ( S ) vil efterlade nogle elementer af P ( S ) uparrede. (Der er aldrig en bijektion fra S til P ( S ) .)

Skillevægge

En partition af et sæt S er et sæt af ikke-tomme delmængder af S , således at hvert element x i S er i nøjagtig en af ​​disse delmængder. Det vil sige, at delmængderne er parvist adskilte (hvilket betyder, at alle to sæt af partitionen ikke indeholder noget element til fælles), og foreningen af ​​alle delmængderne af partitionen er S .

Grundlæggende operationer

Der er flere grundlæggende operationer til at konstruere nye sæt ud fra givne sæt.

Fagforeninger

Foreningen af ​​A og B , betegnet A ∪ B

To sæt kan forbindes: foreningen af ​​A og B , betegnet med A ∪ B , er mængden af ​​alle ting, der er medlemmer af A eller af B eller af begge.

Eksempler:

• {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
• {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
• {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.

Nogle grundlæggende egenskaber ved fagforeninger:

• A ∪ B = B ∪ A .
• A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C .
• A ⊆ ( A ∪ B ).
• A ∪ A = A .
• A ∪ ∅ = A .
• A ⊆ B hvis og kun hvis A ∪ B = B .

Kryds

Et nyt sæt kan også konstrueres ved at bestemme, hvilke medlemmer to sæt har "til fælles". Skæringspunktet mellem A og B , betegnet med A ∩ B , er mængden af ​​alle ting , der er medlemmer af både A og B. Hvis A ∩ B = ∅, så siges A og B at være usammenhængende .

Skæringspunktet mellem A og B , betegnet A ∩ B .

Eksempler:

• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
• {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
• {1, 2} ∩ {3, 4} = ∅.

Nogle grundlæggende egenskaber ved kryds:

• A ∩ B = B ∩ A .
• A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C .
• A ∩ B ⊆ A .
• A ∩ A = A .
• A ∩ ∅ = ∅.
• A ⊆ B hvis og kun hvis A ∩ B = A .

Komplementerer

Det relative komplement
af B i A

Komplementet af A i U _

Den symmetriske forskel mellem A og B

To sæt kan også "fratrækkes". Det relative komplement af B i A (også kaldet den mængdeteoretiske forskel af A og B ), betegnet med A \ B (eller A − B ), er mængden af ​​alle elementer, der er medlemmer af A, men ikke medlemmer af B . Det er gyldigt at "fratrække" medlemmer af et sæt, der ikke er i sættet, såsom at fjerne elementet grønt fra sættet {1, 2, 3}; at gøre det vil ikke påvirke elementerne i sættet.

I visse indstillinger anses alle sæt under diskussion for at være delmængder af et givet universelt sæt U . I sådanne tilfælde kaldes U \ A det absolutte komplement eller blot komplementet til A , og betegnes med A ′ eller A ^c .

• A ′ = U \ A

Eksempler:

• {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
• {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
• Hvis U er mængden af ​​heltal, E er mængden af ​​lige heltal, og O er mængden af ​​ulige heltal, så er U \ E = E ′ = O .

Nogle grundlæggende egenskaber ved komplementer inkluderer følgende:

• A \ B ≠ B \ A for A ≠ B .
• A ∪ A ′ = U .
• A ∩ A ′ = ∅.
• ( A ′)′ = A .
• ∅ \ A = ∅.
• A \ ∅ = A .
• A \ A = ∅.
• A \ U = ∅.
• A \ A ′ = A og A ′ \ A = A ′.
• U ′ = ∅ og ∅′ = U .
• A \ B = A ∩ B ′ .
• hvis A ⊆ B så er A \ B = ∅.

En forlængelse af komplementet er den symmetriske forskel , defineret for sæt A , B as

${\displaystyle A\,\Delta \,B=(A\setminus B)\kop (B\setminus A).}$

For eksempel er den symmetriske forskel på {7, 8, 9, 10} og {9, 10, 11, 12} mængden {7, 8, 11, 12}. Potensmængden af ​​ethvert sæt bliver en boolsk ring med symmetrisk forskel som addition af ringen (med den tomme mængde som neutralt element) og skæringspunkt som multiplikation af ringen.

Kartesisk produkt

Et nyt sæt kan konstrueres ved at associere hvert element i et sæt med hvert element i et andet sæt. Det kartesiske produkt af to sæt A og B , betegnet med A × B, er mængden af ​​alle ordnede par ( a , b ), således at a er et medlem af A og b er et medlem af B.

Eksempler:

• {1, 2} × {rød, hvid, grøn} = {(1, rød), (1, hvid), (1, grøn), (2, rød), (2, hvid), (2, grøn) }.
• {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
• {a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}.

Nogle grundlæggende egenskaber ved kartesiske produkter:

• A × ∅ = ∅.
• A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ).
• ( A ∪ B ) × C = ( A × C ) ∪ ( B × C ).

Lad A og B være endelige mængder; så er kardinaliteten af ​​det kartesiske produkt produktet af kardinaliteterne:

• | A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

Ansøgninger

Mængder er allestedsnærværende i moderne matematik. For eksempel er strukturer i abstrakt algebra , såsom grupper , felter og ringe , sæt lukket under en eller flere operationer.

En af de vigtigste anvendelser af naiv mængdeteori er i konstruktionen af ​​relationer . En relation fra et domæne A til et codomæne B er en delmængde af det kartesiske produkt A × B . Tager man for eksempel mængden S = {sten, papir, saks} af figurer i spillet af samme navn i betragtning, er forholdet "slag" fra S til S mængden B = {(saks, papir), (papir, sten ), (sten, saks)} ; således slår x y i spillet, hvis parret ( x , y ) er medlem af B. Et andet eksempel er mængden F af alle par ( x , x ² ) , hvor x er reel. Denne relation er en delmængde af R × R , fordi mængden af ​​alle kvadrater er delmængde af mængden af ​​alle reelle tal. Da der for hvert x i R findes et og kun ét par ( x ,...) i F , kaldes det en funktion . I funktionel notation kan denne relation skrives som F ( x ) = x ² .

Princip for inklusion og eksklusion

Inklusions-udelukkelsesprincippet bruges til at beregne størrelsen af ​​foreningen af ​​mængder: størrelsen af ​​foreningen er størrelsen af ​​de to sæt, minus størrelsen af ​​deres skæringspunkt.

Inklusions-eksklusionsprincippet er en tælleteknik, der kan bruges til at tælle antallet af elementer i en forening af to sæt - hvis størrelsen af ​​hvert sæt og størrelsen af ​​deres skæringspunkt er kendt. Det kan udtrykkes symbolsk som

${\displaystyle |A\kop B|=|A|+|B|-|A\cap B|.}$

En mere generel form for princippet kan bruges til at finde kardinaliteten af ​​enhver endelig forening af mængder:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|A_{1}\kop A_{2}\kop A_{3}\kop \ldots \kop A_{n}\right|=&\left(\left|A_ {1}\right|+\left|A_{2}\right|+\left|A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n}\right|\right)\\&{}- \left(\left|A_{1}\cap A_{2}\right|+\left|A_{1}\cap A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n-1}\cap A_{n}\right|\right)\\&{}+\ldots \\&{}+\left(-1\right)^{n-1}\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots \cap A_{n}\right|\right).\end{aligned}}}$

De Morgans love

Augustus De Morgan udtalte to love om sæt.

Hvis A og B er to sæt,

• ( A ∪ B )′ = A ′ ∩ B ′

Komplementet af A forening B er lig med komplementet af A gennemskåret med komplementet af B .

• ( A ∩ B )′ = A ′ ∪ B ′

Komplementet af A gennemskåret med B er lig med komplementet af A forening til komplementet af B.

Se også

Noter

Referencer

• Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: Hans matematik og filosofi om det uendelige . Boston: Harvard University Press . ISBN 0-691-02447-2.
• Halmos, Paul R. (1960). Naiv mængdeteori . Princeton, NJ: Van Nostrand. ISBN 0-387-90092-6.
• Stoll, Robert R. (1979). Sætteori og logik . Mineola, NY: Dover Publications . ISBN 0-486-63829-4.
• Velleman, Daniel (2006). Sådan beviser du det: En struktureret tilgang . Cambridge University Press . ISBN 0-521-67599-5.

eksterne links

• Ordbogsdefinitionen af ​​sæt på Wiktionary
• Cantors "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" (på tysk)