Enkel harmonisk bevægelse - Simple harmonic motion

I mekanik og fysik er simpel harmonisk bevægelse (undertiden forkortet SHM ) en særlig type periodisk bevægelse, hvor genopretningskraften på det bevægelige objekt er direkte proportional med størrelsen af ​​objektets forskydning og virker mod objektets ligevægtsposition. Det resulterer i en svingning , som, hvis uhæmmet ved friktion eller andre dissipation af energi , fortsætter på ubestemt tid.

Enkel harmonisk bevægelse kan tjene som en matematisk model for en række forskellige bevægelser, men er karakteriseret ved svingningen af ​​en masse på en fjeder, når den er underlagt den lineære elastiske genopretningskraft givet af Hookes lov . Bevægelsen er sinusformet i tid og viser en enkelt resonansfrekvens . Andre fænomener kan modelleres ved simpel harmonisk bevægelse, herunder bevægelse af et simpelt pendul , selvom nettokraften på objektet for enden af ​​pendulet skal være proportional med forskydningen (og alligevel, for at det skal være en præcis model) det er kun en god tilnærmelse, når svingningsvinklen er lille; se tilnærmelse til lille vinkel ). Enkel harmonisk bevægelse kan også bruges til at modellere molekylær vibration .

Enkel harmonisk bevægelse danner grundlag for karakterisering af mere kompliceret periodisk bevægelse gennem teknikkerne i Fourier -analyse .

Introduktion

Bevægelsen af ​​en partikel, der bevæger sig langs en lige linje med en acceleration, hvis retning altid er mod et fast punkt på linjen, og hvis størrelse er proportional med afstanden fra det faste punkt, kaldes simpel harmonisk bevægelse.

Enkel harmonisk bevægelse vist både i det virkelige rum og faserum . Den bane er periodisk . (Her er hastigheds- og positionsaksen vendt om fra standardkonventionen for at justere de to diagrammer)

I diagrammet er vist en enkel harmonisk oscillator , der består af en vægt fastgjort til den ene ende af en fjeder. Den anden ende af fjederen er forbundet med en stiv understøtning, såsom en væg. Hvis systemet efterlades i hvile ved ligevægt position så er der ingen netto kraft virker på massen. Men hvis massen forskydes fra ligevægtspositionen, udøver fjederen en genoprettende elastisk kraft, der adlyder Hookes lov .

Matematisk er restaureringskraften F givet ved

hvor F er den genoprettende elastiske kraft, der udøves af fjederen (i SI -enheder: N ), k er fjederkonstanten ( N · m −1 ), og x er forskydningen fra ligevægtspositionen (m).

For enhver simpel mekanisk harmonisk oscillator:

  • Når systemet forskydes fra sin ligevægtsposition, har en genoprettende kraft, der adlyder Hookes lov, en tendens til at genoprette systemet til ligevægt.

Når massen er fortrængt fra sin ligevægtsposition, oplever den en netto genoprettende kraft. Som et resultat accelererer det og begynder at gå tilbage til ligevægtspositionen. Når massen bevæger sig tættere på ligevægtspositionen, falder genopretningskraften. Ved ligevægtspositionen forsvinder nettogendannelseskraften. Ved x = 0 har massen imidlertid momentum på grund af den acceleration, den genoprettende kraft har givet. Derfor fortsætter massen forbi ligevægtspositionen og komprimerer fjederen. En netgendannende kraft sænker den derefter, indtil dens hastighed når nul, hvorefter den accelereres tilbage til ligevægtspositionen igen.

Så længe systemet ikke har nogen energi tab, fortsætter massen til at svinge. Således er simpel harmonisk bevægelse en type periodisk bevægelse. Hvis energi går tabt i systemet, udviser massen dæmpet svingning .

Note, hvis den reelle rum og faserummet plot er ikke co-lineære, faserummet bevægelse bliver elliptisk. Det indelukkede område afhænger af amplituden og den maksimale momentum.

Dynamik

I Newtons mekanik , for en-dimensionel simpel harmonisk bevægelse, kan bevægelsesligningen, der er en andenordens lineær almindelig differentialligning med konstante koefficienter, opnås ved hjælp af Newtons 2. lov og Hookes lov for en masse på en fjeder .

hvor m er det oscillerende legems inertimasse , x er dens forskydning fra ligevægtspositionen (eller middelværdien), og k er en konstant ( fjederkonstanten for en masse på en fjeder).

Derfor,

At løse differentialligningen ovenfor giver en løsning, der er en sinusformet funktion :

hvor betydningen af de konstanter og kan let findes: indstilling på ligningen ovenfor ser vi , så er udgangsstillingen af partiklen, ; tage differentialkvotienten af denne ligning og evaluering ved nul får vi at , så er den initiale hastighed af partiklen delt med vinkelfrekvensen, . Således kan vi skrive:

Denne ligning kan også skrives i formen:

hvor
eller tilsvarende
I opløsningen, c 1 og c 2 er to konstanter bestemt af de oprindelige betingelser (specifikt den indledende position på t = 0 er c 1 , mens den indledende hastighed er c 2 ω ), og oprindelsen er indstillet til at være den ligevægtsposition. Hver af disse konstanter har en fysisk betydning af bevægelsen: A er amplituden (maksimal forskydning fra ligevægtspositionen), ω = 2 πf er vinkelfrekvensen , og φ er den indledende fase .

Ved hjælp af beregningsteknikkerne kan hastigheden og accelerationen som funktion af tiden findes:

Hastighed:
Maksimal hastighed: v = ωA (ved ligevægtspunkt)
Maksimal acceleration: 2 (på ekstreme punkter)

Per definition, hvis en masse m er under SHM, er dens acceleration direkte proportional med forskydning.

hvor

Da ω = 2 πf ,

og, da T = 1/fhvor T er tidsperioden,

Disse ligninger viser, at den simple harmoniske bevægelse er isokron (perioden og frekvensen er uafhængige af amplituden og bevægelsens indledende fase).

Energi

Erstatter ω 2 medk/m, systemets kinetiske energi K på tidspunktet t er

og den potentielle energi er
I mangel af friktion og andet energitab har den samlede mekaniske energi en konstant værdi

Eksempler

Et udæmpet fjedermassesystem undergår simpel harmonisk bevægelse.

De følgende fysiske systemer er nogle eksempler på simpel harmonisk oscillator .

Messe på en kilde

En masse m fastgjort til en fjeder af fjederkonstant k udviser enkel harmonisk bevægelse i lukket rum . Ligningen til beskrivelse af perioden

viser, at oscillationsperioden er uafhængig af amplituden, selvom amplituden i praksis skal være lille. Ovenstående ligning er også gyldig i det tilfælde, hvor der påføres en ekstra konstant kraft på massen, dvs. at den ekstra konstante kraft ikke kan ændre oscillationsperioden.

Ensartet cirkulær bevægelse

Enkel harmonisk bevægelse kan betragtes som den endimensionelle projektion af ensartet cirkulær bevægelse . Hvis et objekt bevæger sig med vinkelhastigheden ω omkring en cirkel med radius r centreret ved oprindelsen af den xy -plane, så dens bevægelse langs hver koordinat er simpel harmonisk bevægelse med amplitude r og vinkelfrekvens ω .

Oscillerende bevægelse

Det er en krops bevægelse, når den bevæger sig frem og tilbage omkring et bestemt punkt. Denne type bevægelse kaldes også oscillerende bevægelse eller vibrerende bevægelse.

Masse af et simpelt pendul

Bevægelsen af ​​et ikke -dæmpet pendul nærmer sig simpel harmonisk bevægelse, hvis svingningen er lille.

I den lille vinkel-tilnærmelse tilnærmes bevægelsen af ​​et simpelt pendul ved simpel harmonisk bevægelse. Perioden for en masse, der er knyttet til et pendul med længde l med gravitationsacceleration, er givet ved

Dette viser, at oscillationsperioden er uafhængig af pendulets amplitude og masse, men ikke af accelerationen på grund af tyngdekraften , derfor ville et pendul af samme længde på Månen svinge langsommere på grund af Månens lavere tyngdefeltstyrke. Fordi værdien af varierer lidt over jordens overflade, vil tidsperioden variere lidt fra sted til sted og vil også variere med højden over havets overflade.

Denne tilnærmelse er kun nøjagtig for små vinkler på grund af udtrykket for vinkelacceleration α, der er proportional med sinus for forskydningsvinklen:

hvor jeg er inertimomentet . Når θ er lille, synd  θθ og derfor bliver udtrykket til
hvilket gør vinkelacceleration direkte proportional med θ , hvilket opfylder definitionen af ​​simpel harmonisk bevægelse.

Skotsk åg

En skotsk åg -mekanisme kan bruges til at konvertere mellem rotationsbevægelse og lineær frem- og tilbagegående bevægelse. Den lineære bevægelse kan have forskellige former afhængigt af slotens form, men det grundlæggende åg med en konstant rotationshastighed frembringer en lineær bevægelse, der er enkel harmonisk i formen.

Scotch åg animation

Se også

Noter

  1. ^
    Valget af at bruge en cosinus i denne ligning er en konvention. Andre gyldige formuleringer er:

    hvor
    da cos θ = sin (π/2- θ ) .
  2. ^
    Den maksimale forskydning (dvs. amplituden), x max , opstår, når cos ( wt ± cp ) = 1 , og dermed når x max = A .


Referencer

  1. ^ "Enkel harmonisk bevægelse - begreber" .
  • Fowles, Grant R .; Cassiday, George L. (2005). Analytisk mekanik (7. udgave). Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-49492-7.
  • Taylor, John R. (2005). Klassisk mekanik . University Science Books. ISBN 1-891389-22-X.
  • Thornton, Stephen T .; Marion, Jerry B. (2003). Klassisk dynamik i partikler og systemer (5. udgave). Brooks Cole. ISBN 0-534-40896-6.
  • Walker, Jearl (2011). Fysikkens principper (9. udgave). Hoboken, New Jersey: Wiley. ISBN 978-0-470-56158-4.

eksterne links