Skæve koordinater - Skew coordinates

Et system med skæve koordinater er et krumlinjært koordinatsystem, hvor koordinatoverfladerne ikke er ortogonale , i modsætning til ortogonale koordinater .

Skæve koordinater har tendens til at være mere komplicerede at arbejde med sammenlignet med ortogonale koordinater, da den metriske tensor vil have ikke-nul off-diagonale komponenter, hvilket forhindrer mange forenklinger i formler for tensoralgebra og tensor-beregning . De ikke-nul-off-diagonale komponenter i den metriske tensor er et direkte resultat af ikke-ortogonaliteten af ​​koordinaternes basisvektorer, da de pr. Definition:

hvor er den metriske tensor og (covariant) basisvektorerne .

Disse koordinatsystemer kan være nyttige, hvis geometri af et problem passer godt ind i et skævt system. For eksempel vil det være nemmest at løse Laplace's ligning i et parallelogram , når det gøres i passende skævede koordinater.

Kartesiske koordinater med en skæv akse

Et koordinatsystem, hvor x- aksen er bøjet mod z- aksen.

Det enkleste 3D-tilfælde af et skævt koordinatsystem er et kartesisk , hvor en af ​​akserne (for eksempel x- aksen) er bøjet i en vis vinkel og holder sig vinkelret på en af ​​de resterende to akser. I dette eksempel er x- aksen for en kartesisk koordinat bøjet mod z- aksen ved at forblive vinkelret på y- aksen.

Algebra og nyttige mængder

Lad , og henholdsvis være enhedsvektorer langs , og akser. Disse repræsenterer det covariante grundlag; beregning af deres dot-produkter giver følgende komponenter i den metriske tensor :

der er mængder, der vil være nyttige senere.

Det modstridende grundlag er givet af

Det kontroversielle grundlag er ikke meget praktisk at bruge, men det vises i definitioner, så det skal overvejes. Vi foretrækker at skrive mængder med hensyn til det covariante grundlag.

Da basisvektorerne alle er konstante, vil vektoraddition og subtraktion simpelthen være kendt komponentmæssig tilføjelse og subtraktion. Lad det nu være

hvor summen angiver summering over alle indeksværdier (i dette tilfælde i = 1, 2, 3). De kontravariant og covariante komponenter i disse vektorer kan relateres af

så eksplicit,

Den dot produkt i form af kontravariant komponenter er så

og med hensyn til covariante komponenter

Calculus

Per definition er den gradient af en skalar funktion f er

hvor er koordinaterne x , y , z indekseret. At anerkende dette som en vektor skrevet med hensyn til kontravariant, kan det omskrives:

Den divergens af en vektor er

og af en tensor

Den Laplacian af f er

og da den covariante basis er normal og konstant, er vektoren Laplacian den samme som den komponentvise Laplacian i en vektor skrevet med hensyn til den covariante basis.

Mens både prikproduktet og gradienten er noget rodet, fordi de har ekstra vilkår (sammenlignet med et kartesisk system), viser advektionsoperatøren, der kombinerer et prikprodukt med en gradient, meget enkel:

som kan anvendes til både skalære funktioner og vektorfunktioner, komponentvis, når de udtrykkes på det covariante grundlag.

Endelig er krøllen af en vektor

Referencer