Hældning - Slope

Hældning:

I matematik er hældningen eller gradienten af en linje et tal, der beskriver både retning og stejlhed af linjen. Hældning betegnes ofte med bogstavet m ; der er ikke noget klart svar på spørgsmålet, hvorfor bogstavet m bruges til hældning, men dets tidligste brug på engelsk forekommer hos O'Brien (1844), der skrev ligningen for en lige linje som " y = mx + b ", og det kan findes også hos Todhunter (1888), der skrev det som " y = mx + c ".

Hældning beregnes ved at finde forholdet mellem den "lodrette ændring" og den "vandrette ændring" mellem (enhver) to forskellige punkter på en linje. Nogle gange udtrykkes forholdet som en kvotient ("stigning over løb"), hvilket giver det samme tal for hver to forskellige punkter på samme linje. En linje, der er faldende, har en negativ "stigning". Linjen kan være praktisk - som angivet af en vejmåler eller i et diagram, der modellerer en vej eller et tag, enten som en beskrivelse eller som en plan.

Den stejlhed , hældning, eller kvalitet af en linje måles ved absolutte værdi af hældningen. En hældning med en større absolut værdi angiver en stejlere linje. Den retning af en linje enten stigende, faldende, vandret eller lodret.

  • En linje stiger, hvis den går op fra venstre mod højre. Hældningen er positiv , dvs. .
  • En linje falder, hvis den går ned fra venstre mod højre. Hældningen er negativ , dvs. .
  • Hvis en linje er vandret, er hældningen nul . Dette er en konstant funktion .
  • Hvis en linje er lodret, er hældningen udefineret (se nedenfor).

Stigningen af ​​en vej mellem to punkter er forskellen mellem vejens højde på de to punkter, f.eks. Y 1 og y 2 , eller med andre ord er stigningen ( y 2 - y 1 ) = Δ y . For relativt korte afstande, hvor jordens krumning kan blive negligeret, er løbet forskellen i afstand fra et fast punkt målt langs en plan, vandret linje, eller med andre ord, løbet er ( x 2 - x 1 ) = Δ x . Her beskrives vejens hældning mellem de to punkter ganske enkelt som forholdet mellem højdeændringen og den vandrette afstand mellem to punkter på linjen.

I matematisk sprog er linjens hældning m

Begrebet hældning gælder direkte for karakterer eller gradienter inden for geografi og anlæg . Gennem trigonometri er hældningen m på en linje relateret til dens hældningsvinkel θ af tangensfunktionen

Således har en 45 ° stigende linje en hældning på +1 og en 45 ° faldende linje har en hældning på −1.

Som en generalisering af denne praktiske beskrivelse definerer matematikken i differentialregning hældningen af ​​en kurve på et punkt som hældningen af tangentlinjen på det tidspunkt. Når kurven er angivet med en række punkter i et diagram eller i en liste over punkternes koordinater, kan hældningen ikke beregnes på et punkt, men mellem to givne punkter. Når kurven er givet som en kontinuerlig funktion, måske som en algebraisk formel, giver differentialregningen regler, der giver en formel for kurvens hældning på et hvilket som helst tidspunkt i midten af ​​kurven.

Denne generalisering af hældningsbegrebet gør det muligt at planlægge og bygge meget komplekse konstruktioner, der går langt ud over statiske strukturer, der enten er vandrette eller lodrette, men kan ændre sig i tid, bevæge sig i kurver og ændre sig afhængigt af ændringer i andre faktorer . Derved bliver den simple idé om hældning et af hovedgrundlaget for den moderne verden med hensyn til både teknologi og det byggede miljø.


Definition

Hældning illustreret for y  = (3/2) x  - 1. Klik for at forstørre
Hældning af en linje i koordinatsystem, fra f (x) =-12x+2 til f (x) = 12x+2

Hældningen af ​​en linje i planet, der indeholder x- og y -akserne, er generelt repræsenteret af bogstavet m og defineres som ændringen i y -koordinaten divideret med den tilsvarende ændring i x -koordinaten mellem to forskellige punkter på linjen. Dette beskrives ved følgende ligning:

(Det græske bogstav delta , Δ, bruges almindeligvis i matematik til at betyde "forskel" eller "ændring".)

I betragtning af to punkter og er ændringen i fra det ene til det andet ( løb ), mens ændringen i er ( stigning ). Ved at substituere begge størrelser i ovenstående ligning genereres formlen:

Formlen mislykkes for en lodret linje, parallelt med aksen (se Division med nul ), hvor hældningen kan tages som uendelig , så hældningen af ​​en lodret linje betragtes som udefineret.

Eksempler

Antag, at en linje løber gennem to punkter: P  = (1, 2) og Q  = (13, 8). Ved at dividere forskellen i -koordinater med forskellen i -koordinater kan man opnå linjens hældning:

.
Da hældningen er positiv, stiger retning af linjen. Siden | m | <1 er hældningen ikke særlig stejl (hældning <45 °).

Som et andet eksempel kan du overveje en linje, der løber gennem punkterne (4, 15) og (3, 21). Derefter er linjens hældning

Da hældningen er negativ, falder linjens retning. Siden | m |> 1 er faldet temmelig stejlt (fald> 45 °).

Algebra og geometri

  • Hvis 'er en lineær funktion af ', så er koefficienten for hældningen af ​​den linje, der oprettes ved at plotte funktionen. Derfor, hvis linjens ligning er givet i formen
så er hældningen. Denne form for en linies ligning kaldes hældnings -skæringsformen , fordi den kan tolkes som y -afsnittet af linjen, det vil sige -koordinaten, hvor linjen skærer -aksen.
  • Hvis hældningen af en linje og et punkt på linjen begge kendes, kan linjens ligning findes ved hjælp af punkt-hældningsformlen :
er
.
  • To linjer er parallelle, hvis og kun hvis de ikke er den samme linje (sammenfaldende), og enten er deres skråninger ens, eller de er begge lodrette og derfor har begge udefinerede skråninger. To linjer er vinkelret, hvis produktet af deres skråninger er -1, eller den ene har en hældning på 0 (en vandret linje), og den anden har en udefineret hældning (en lodret linje).
  • Vinklen θ mellem −90 ° og 90 °, som en linje foretager med x -aksen, er relateret til hældningen m som følger:
og
  (dette er tangens inverse funktion; se inverse trigonometriske funktioner ).

Eksempler

Overvej f.eks. En linje, der løber gennem punkterne (2,8) og (3,20). Denne linje har en hældning, m , på

Man kan derefter skrive linjens ligning i punkt-hældningsform:

eller:

Vinklen θ mellem -90 ° og 90 °, som denne linje gør med x -aksen, er

Overvej de to linjer: y = −3 x + 1 og y = −3 x - 2 . Begge linjer har hældning m = −3 . De er ikke den samme linje. Så de er parallelle linjer.

Betragt de to linjer y = −3 x + 1 og y = x/3- 2 . Hældningen på den første linje er m 1 = -3 . Hældningen af ​​den anden linje er m 2 =1/3. Produktet af disse to skråninger er -1. Så disse to linjer er vinkelret.

Statistikker

I statistik kan gradienten af ​​den mindst passende firkantede regressionslinje for en given stikprøve af data skrives som:

,

Denne mængde m kaldes som regressionshældning for linjen . Mængden er Pearsons korrelationskoefficient , er standardafvigelsen for y-værdierne og er standardafvigelsen for x-værdierne. Dette kan også skrives som et forhold mellem kovarianser :

Hældning af en vej eller jernbane

Hovedartikler: Grade (hældning) , Grade separation

Der er to almindelige måder at beskrive stejlheden på en vej eller jernbane . Den ene er ved vinklen mellem 0 ° og 90 ° (i grader), og den anden er ved hældningen i procent. Se også stejl jernbane og rackbane .

Formlerne til konvertering af en hældning givet i procent til en vinkel i grader og omvendt er:

 , (dette er tangens inverse funktion; se trigonometri )
og

hvor vinklen er i grader og de trigonometriske funktioner fungerer i grader. For eksempel er en hældning på 100 % eller 1000 en vinkel på 45 °.

En tredje måde er at give en stigningsenhed i f.eks. 10, 20, 50 eller 100 vandrette enheder, f.eks. 1:10. 1:20, 1:50 eller 1: 100 (eller "1 ud af 10" , "1 i 20" osv.) Bemærk, at 1:10 er stejlere end 1:20. For eksempel betyder stejlhed på 20% 1: 5 eller en hældning med vinkel 11,3 °.

Veje og jernbaner har både langsgående skråninger og krydsskråninger.

Regning

På hvert punkt er derivatet hældningen af ​​en linje, der er tangent til kurven på det tidspunkt. Bemærk: derivatet ved punkt A er positivt, hvor grønt og bindestreg, negativt hvor rødt og stiplet, og nul hvor sort og fast.

Begrebet en hældning er centralt for differentialregning . For ikke-lineære funktioner varierer ændringshastigheden langs kurven. Den afledede af funktionen i et punkt er hældningen af linjen tangent til kurven i det punkt, og er således lig med ændringshastigheden af funktionen ved dette punkt.

Hvis vi lader Δ x og Δ y være afstandene (langs henholdsvis x- og y -akserne) mellem to punkter på en kurve, så er hældningen givet af ovenstående definition,

,

er hældningen af ​​en sekant linje til kurven. For en linje er sekanten mellem to punkter selve linjen, men dette er ikke tilfældet for nogen anden kurvetype.

For eksempel er hældningen af ​​sekanten, der skærer y = x 2 ved (0,0) og (3,9) 3. (Tangentens hældning ved x = 32 er også 3— en konsekvens af middelværdien sætning .)

Ved at flytte de to punkter tættere sammen, så Δ y og Δ x falder, nærmer sekantlinjen sig en tangentlinje tættere på kurven, og som sådan nærmer sekantens hældning sig tangensens. Ved hjælp af differentialregning kan vi bestemme grænsen eller værdien, som Δ yx nærmer sig, når y og Δ x kommer tættere på nul ; det følger, at denne grænse er tangentens nøjagtige hældning. Hvis y er afhængig af x , er det tilstrækkeligt at tage grænsen, hvor kun Δ x nærmer sig nul. Derfor er tangentens hældning grænsen for Δ y / Δ x, når Δ x nærmer sig nul, eller dy / dx . Vi kalder denne grænse for derivatet .

Dens værdi på et punkt på funktionen giver os tangentens hældning på det tidspunkt. Lad f.eks. Y = x 2 . Et punkt på denne funktion er (-2,4). Afledningen af ​​denne funktion er d y / d x = 2 x . Så hældningen af ​​linjen, der tangerer til y ved (-2,4) er 2 · (-2) = -4. Ligningen for denne tangentlinje er: y -4 = ( -4) ( x -( -2)) eller y = -4 x -4 .

Forskel på skråninger

En udvidelse af ideen om vinkel følger af forskellen på skråninger. Overvej forskydningskortlægningen

Derefter kortlægges (1,0) til (1, v ). Hældningen på (1,0) er nul, og hældningen på (1, v ) er v. Forskydningskortlægningen tilføjede en hældning på v . For to punkter på {(1, y ): y i R } med skråninger m og n , billedet

er stigningen steget med v , men forskellen n - m på skråninger er den samme før og efter forskydningen. Denne invariance af hældningsforskelle gør hældning til en kantet invariant foranstaltning , på lige fod med cirkulær vinkel (invariant under rotation) og hyperbolsk vinkel, med invariance gruppe af squeeze mappings .

Se også

Referencer

eksterne links