Glathed - Smoothness

En bump -funktion er en glat funktion med kompakt støtte .

I matematisk analyse er en funktions glathed en egenskab målt ved antallet af kontinuerlige derivater, den har over et eller andet domæne. I det mindste kan en funktion betragtes som glat, hvis den er differentierbar overalt (derfor kontinuerlig). I den anden ende kan det også besidde derivater af alle ordrer i sit domæne , i hvilket tilfælde det siges at være uendeligt differentierbart og omtalt som en C-uendelig funktion (eller funktion).

Differentierbarhedsklasser

Differentierbarhedsklasse er en klassificering af funktioner i henhold til egenskaberne af deres derivater . Det er et mål for den højeste afledte rækkefølge, der findes for en funktion.

Overvej et åbent sæt på den reelle linje og en funktion f defineret på det sæt med reelle værdier. Lad k være et ikke-negativt heltal . Funktionen f siges at være af (differentierbarhed) klasse C k, hvis derivaterne f ′, f ″, ..., f ( k ) eksisterer og er kontinuerlige . Funktionen f siges at være uendeligt differentierbar , glat eller af klasse C , hvis den har derivater af alle ordrer. Funktionen f siges at være af klasse C ω eller analytisk , hvis f er glat, og hvis dens Taylor -serieudvidelse omkring et hvilket som helst punkt i sit domæne konvergerer til funktionen i et eller andet område af punktet. C ω er således strengt indeholdt i C . Bumpfunktioner er eksempler på funktioner i C ∞, men ikke i C ω .

For at sige det anderledes består klassen C 0 af alle kontinuerlige funktioner. Klassen C 1 består af alle differentierbare funktioner, hvis derivat er kontinuerligt; sådanne funktioner kaldes kontinuerlig differentierbar . Således er en C 1 funktion er præcis en funktion, hvis derivat eksisterer og er af klasse C 0 . Generelt kan klasserne C k defineres rekursivt ved at erklære C 0 for at være sættet for alle kontinuerlige funktioner og erklære C k for et positivt heltal k til at være sættet af alle differentierbare funktioner, hvis derivat er i C k −1 . Især er C k indeholdt i C k −1 for hver k > 0, og der er eksempler på, at denne indeslutning er streng ( C kC k −1 ). Klassen C af uendeligt differentierbare funktioner, er skæringspunktet mellem klasserne C k, da k varierer over de ikke-negative heltal.

Eksempler

Den C 0 funktion f ( x ) = x for x ≥ 0 , og 0 ellers.
Funktionen g ( x ) = x 2 sin (1/ x ) for x > 0 .
Funktionen med for og er differentierbar. Denne funktion er imidlertid ikke kontinuerligt differentierbar.
En glat funktion, der ikke er analytisk.

Funktionen

er kontinuerlig, men ikke differentierbar ved x = 0 , så den er af klasse C 0 , men ikke af klasse C 1 .

Funktionen

er differentierbar med derivat

Fordi oscillerer som x → 0, ikke er kontinuerlig ved nul. Derfor er den differentierbar, men ikke af klasse C 1 . Desuden, hvis man tager ( x ≠ 0) i dette eksempel, kan det bruges til at vise, at den afledte funktion af en differentierbar funktion kan være ubegrænset på et kompakt sæt, og derfor kan en differentierbar funktion på et kompakt sæt ikke være lokalt Lipschitz kontinuerlig .

Funktionerne

hvor k er lige, er kontinuerlige og k gange differentierede overhovedet x . Men ved x = 0 er de ikke ( k + 1) gange differentierbare, så de er af klasse C k , men ikke af klasse C j, hvor j > k .

Den eksponentielle funktion er analytisk og falder derfor ind i klassen C ω . De trigonometriske funktioner er også analytiske, uanset hvor de er defineret.

Den stødfunktionen

er glat, så af klasse C , men det er ikke analytisk ved x = ± 1 , og er derfor ikke af klasse C ω . Funktionen f er et eksempel på en glat funktion med kompakt støtte .

Multivariate differentieringsklasser

En funktion defineret på et åbent sæt af siges at være af klasse på for et positivt heltal , hvis alle partielle derivater

eksisterer og er kontinuerlige for alle ikke-negative heltal, sådan og hver . Tilsvarende, er af klasse på hvis th orden Fréchet derivat af eksisterer og er kontinuert i ethvert punkt . Funktionen siges at være af klasse, eller hvis den er kontinuerlig tændt .

En funktion , defineret på et åbent sæt af , siges at være af klasse på for et positivt heltal , hvis alle dens komponenter

er af klasse , hvor er de naturlige
fremskrivninger defineret af . Det siges at være af klasse, eller hvis det er kontinuerligt eller ækvivalent, hvis alle komponenter er kontinuerlige, tændt .

Rummet af C k funktioner

Lad D være en åben delmængde af den virkelige linje. Mængden af alle C k reelle funktioner defineret på D er en Fréchet vektorrum med tælleligt familie af seminorms

hvor K varierer over en stigende sekvens af kompakte sæt, hvis forening er D , og m = 0, 1, ..., k .

Sættet med C funktioner over D danner også et Fréchet -rum. Man bruger de samme seminorme som ovenfor, bortset fra at m får lov at ligge over alle ikke-negative heltalværdier.

Ovenstående rum forekommer naturligt i applikationer, hvor funktioner med derivater af bestemte ordrer er nødvendige; Men især i undersøgelsen af delvise differentialligninger kan det nogle gange være mere frugtbart at arbejde i stedet med Sobolev -mellemrummene .

Parametrisk kontinuitet

Begreberne parametrisk kontinuitet og geometrisk kontinuitet ( G n ) blev introduceret af Brian Barsky for at vise, at en kurves jævnhed kunne måles ved at fjerne begrænsninger for hastigheden , hvormed parameteren sporer kurven.

Parametrisk kontinuitet er et begreb, der anvendes på parametriske kurver , som beskriver jævnheden af ​​parameterens værdi med afstand langs kurven.

Definition

En (parametrisk) kurve siges at være af klasse

C k , hvis den findes og er kontinuerlig på , hvor derivater ved slutpunkterne anses for at være ensidige derivater (dvs. ved fra højre og fra venstre).

Som en praktisk anvendelse af dette koncept, skal en kurve, der beskriver bevægelsen af en genstand med en parameter for tiden har C 1 kontinuitet og dens første afledede er differentiabel-til genstand, som har begrænset acceleration. For jævnere bevægelse, som f.eks. Et kameras vej, mens du laver en film, kræves højere ordener af parametrisk kontinuitet.

Kontinuitetsorden

To Bézier -kurvesegmenter vedhæftet, der kun er C 0 kontinuerlige
To Bézier kurve segmenter fastgjort på en sådan måde, at de er C 1 kontinuerlig

Den forskellige rækkefølge af parametrisk kontinuitet kan beskrives som følger:

  • C 0 : nulderivat er kontinuerligt (kurver er kontinuerlige)
  • C 1 : zeroth og første derivater er kontinuerlige
  • C 2 : nul, første og anden derivat er kontinuerlig
  • C n : 0 -th til n -th derivater er kontinuerlige

Geometrisk kontinuitet

Kurver med G 1 -kontakt (cirkler, linje)

blyant af keglesnit med G 2 -kontakt: p fix, variabel ( : cirkel ,: ellipse ,: parabel,: hyperbola)

Begrebet geometrisk kontinuitet eller geometrisk kontinuitet blev primært anvendt på de keglesnit (og beslægtede former) af matematikere som Leibniz , Kepler og Poncelet . Begrebet var et tidligt forsøg på gennem geometri frem for algebra at beskrive kontinuitetsbegrebet som udtrykt gennem en parametrisk funktion.

Grundtanken bag geometrisk kontinuitet var, at de fem keglesnit virkelig var fem forskellige versioner af samme form. En ellipse har en tendens til en cirkel, når excentriciteten nærmer sig nul, eller til en parabel, når den nærmer sig en; og en hyperbol har tendens til en parabel, når excentriciteten falder mod en; det kan også have en tendens til at krydse linjer . Der var således kontinuitet mellem de keglesnit. Disse ideer førte til andre begreber om kontinuitet. For eksempel, hvis en cirkel og en lige linje var to udtryk af samme form, kunne en linje måske betragtes som en cirkel med uendelig radius . For at det skulle være tilfældet, skulle man gøre linjen lukket ved at lade punktet være et punkt på cirklen, og for og at være identisk. Sådanne ideer var nyttige i udformningen af ​​den moderne, algebraisk definerede idé om

kontinuiteten i en funktion og af (se projektivt udvidet reel linje for mere).

Glathed af kurver og overflader

En kurve eller overflade kan beskrives som havende G n kontinuitet, med n være den stigende grad af glathed. Overvej segmenterne på hver side af et punkt på en kurve:

  • G 0 : Kurverne rører ved samlingspunktet.
  • G 1 : Kurverne deler også en fælles tangentretning ved samlingspunktet.
  • G 2 : Kurverne deler også et fælles krumningscenter ved samlingspunktet.

Generelt eksisterer G n -kontinuitet, hvis kurverne kan repareres til at have C n (parametrisk) kontinuitet. En reparation af kurven er geometrisk identisk med originalen; kun parameteren påvirkes.

Tilsvarende har to vektorfunktioner f ( t ) og g ( t ) G n kontinuitet, hvis f ( n ) ( t ) ≠ 0 og f ( n ) ( t ) ≡ kg ( n ) ( t ) , for en skalar k > 0 (dvs. hvis retningen, men ikke nødvendigvis størrelsen, af de to vektorer er ens).

Selvom det kan være indlysende, at en kurve ville kræve, at G 1 -kontinuiteten fremstår glat, for god æstetik , f.eks. Dem, der ønskes inden for arkitektur og sportsbildesign , kræves der højere niveauer af geometrisk kontinuitet. For eksempel vil refleksioner i en karosseri ikke fremstå glatte, medmindre karosseriet har G 2 -kontinuitet.

Et afrundet rektangel (med halvfems graders cirkelbuer i de fire hjørner) har G 1 -kontinuitet, men har ikke G 2 -kontinuitet. Det samme er tilfældet for en afrundet terning , med oktanter af en kugle i hjørnerne og kvartcylindere langs kanterne. Hvis en redigerbar kurve med G 2 -kontinuitet er påkrævet, vælges der typisk kubiske splines ; disse kurver bruges ofte i industrielt design .

Glathed af stykkevis definerede kurver og overflader

Andre begreber

Forhold til analyse

Selvom alle analytiske funktioner er "glatte" (dvs. har alle derivater kontinuerlige) på det sæt, de er analytiske på, viser eksempler som bumpfunktioner (nævnt ovenfor), at det modsatte ikke er sandt for funktioner i realerne: der findes glatte reelle funktioner, der ikke er analytiske. Enkle eksempler på funktioner, der er glatte men ikke analytiske på noget tidspunkt, kan laves ved hjælp af Fourier -serier ; et andet eksempel er Fabius -funktionen . Selvom det kan se ud til, at sådanne funktioner er undtagelsen frem for reglen, viser det sig, at de analytiske funktioner er spredt meget tyndt mellem de glatte; mere stringent udgør de analytiske funktioner en sparsom delmængde af de glatte funktioner. Desuden findes der for hver åben delmængde A af den reelle linje glatte funktioner, der er analytiske på A og ingen andre steder.

Det er nyttigt at sammenligne situationen med situationen for allestedsnærværende transcendentale tal på den virkelige linje. Både på den reelle linje og i sæt af glatte funktioner er de eksempler, vi kommer med ved første tanke (algebraiske/rationelle tal og analytiske funktioner) langt bedre opført end de fleste tilfælde: De transcendentale tal og ingen steder analytiske funktioner har fuldt mål (deres komplementer er sparsomme).

Den således beskrevne situation står i markant kontrast til komplekse differentierbare funktioner. Hvis en kompleks funktion kun kan differentieres én gang på et åbent sæt, er den både uendeligt differentierbar og analytisk på dette sæt.

Glatte partitioner af enhed

Glatte funktioner med givet lukket understøttelse bruges til konstruktion af glatte skillevægge af enhed (se opdeling af enhed og topologi ordliste ); disse er vigtige i undersøgelsen af glatte manifolder , for eksempel for at vise, at Riemanniske metrik kan defineres globalt fra deres lokale eksistens. Et simpelt tilfælde er en bumpfunktion på den reelle linje, det vil sige en glat funktion f, der tager værdien 0 uden for et interval [ a , b ] og sådan

I betragtning af et antal overlappende intervaller på linjen kan bumpfunktioner konstrueres på hver af dem og på semi-uendelige intervaller og til at dække hele linjen, således at summen af ​​funktionerne altid er 1.

Fra det, der lige er blevet sagt, gælder enhedens skillevægge ikke for holomorfe funktioner ; deres forskellige adfærd i forhold til eksistens og analytisk fortsættelse er en af ​​rødderne til skært teori. I modsætning hertil har skiver med glatte funktioner en tendens til ikke at bære meget topologisk information.

Smidige funktioner på og mellem manifolder

Givet en glat manifold , for dimension og en

atlas derefter et kort er glatte på hvis for alle der eksisterer et diagram , således at og er en glat funktion fra et kvarter af i til (alle partielle afledede op til en given ordre er kontinuerlig). Glathed kan kontrolleres med hensyn til ethvert diagram i atlaset, der indeholder, da glathedskravene til overgangsfunktionerne mellem diagrammer sikrer, at hvis det er glat nær i et diagram, vil det være glat nær i ethvert andet diagram.

Hvis er et kort fra til en -dimensionel manifold , så er det glat, hvis der for hvert er et diagram, der indeholder og et diagram, der indeholder sådan en og er en glat funktion fra

Glatte kort mellem manifolder fremkalder lineære kort mellem tangentrum : for på hvert tidspunkt

kortlægger pushforward (eller differential) tangentvektorer til tangentvektorer ved : og på tangentbundtets niveau er pushforward et vektorbundt homomorfisme : Det dobbelte til pushforward er tilbagetrækningen , som "trækker" covectors på bagsiden til covectors på og -former til -former: På denne måde kan glatte funktioner mellem manifolder transportere lokale data , som vektorfelter og differentialformer , fra en manifold til en anden, eller ned til euklidisk rum, hvor beregninger som integration er godt forstået.

Forbilleder og skub fremad langs glatte funktioner er generelt ikke mangfoldige uden yderligere forudsætninger. Forbilleder af regelmæssige punkter (det vil sige, hvis forskellen ikke forsvinder på forbildet) er mangfoldige; dette er forbillede sætning . På samme måde er skub fremad langs indlejringer mangfoldige.

Smidige funktioner mellem undersæt af manifolder

Der er en tilsvarende forestilling om glat kort for vilkårlige undersæt af manifolder. If er en

funktion, hvis domæne og område er undersæt af manifolder og hhv. siges at være glat, hvis der for alle er et åbent sæt med og en glat funktion, så for alle

Se også

lysbueslængde og lineær afstand mellem to punkter på en bølgelignende funktion
  • Glat skema
  • Glat tal (talteori)
  • Udjævning
  • Spline
  • Referencer