sfære -Sphere

Kugle
En perspektivisk projektion af en sfære
Type	Glat overflade Algebraisk overflade
Euler char.	2
Symmetri gruppe	O(3)
Overfladeareal	4πr 2
Bind	4/3πr 3

En kugle (fra oldgræsk σφαῖρα ( sphaîra )  'klode, kugle') er et geometrisk objekt, der er en tredimensionel analog til en todimensionel cirkel . En kugle er det sæt af punkter , der alle er i samme afstand r fra et givet punkt i det tredimensionelle rum. Det givne punkt er kuglens centrum , og r er kuglens radius. De tidligst kendte omtaler af sfærer forekommer i de gamle græske matematikeres arbejde .

Kuglen er et grundlæggende objekt inden for mange felter af matematik . Kugler og næsten sfæriske former optræder også i naturen og industrien. Bobler såsom sæbebobler antager en sfærisk form i ligevægt. Jorden er ofte tilnærmet som en kugle i geografi , og himmelkuglen er et vigtigt begreb inden for astronomi . Fremstillede varer, herunder trykbeholdere og de fleste buede spejle og linser , er baseret på kugler. Kugler ruller jævnt i alle retninger, så de fleste bolde , der bruges til sport og legetøj, er kugleformede, ligesom kuglelejer .

Grundlæggende terminologi

To ortogonale radier af en kugle

Som tidligere nævnt er r kuglens radius; enhver linje fra midten til et punkt på kuglen kaldes også en radius.

Hvis en radius forlænges gennem midten til den modsatte side af kuglen, skaber det en diameter . Ligesom radius kaldes længden af ​​en diameter også for diameteren og betegnes d . Diametre er de længste linjestykker, der kan tegnes mellem to punkter på kuglen: deres længde er to gange radius, d = 2 r . To punkter på kuglen forbundet med en diameter er antipodale punkter af hinanden.

En enhedssfære er en kugle med enhedsradius ( r =1). For nemheds skyld tages sfærer ofte for at have deres centrum ved koordinatsystemets begyndelse, og sfærer i denne artikel har deres centrum i origo, medmindre et center er nævnt.

En storcirkel på kuglen har samme centrum og radius som kuglen og deler den i to lige store halvkugler .

Selvom Jorden ikke er perfekt sfærisk, er termer lånt fra geografi praktiske at anvende på sfæren. Hvis et bestemt punkt på en kugle (vilkårligt) betegnes som dets nordpol , kaldes dets antipodale punkt sydpolen . Den store cirkel, der er lige langt fra hver af dem, er så ækvator . Store cirkler gennem polerne kaldes længdelinjer eller meridianer . En linje, der forbinder de to poler, kan kaldes rotationsaksen . Små cirkler på kuglen, der er parallelle med ækvator, er breddelinjer . I geometri, der ikke er relateret til astronomiske legemer, bør geocentrisk terminologi kun bruges til illustration og noteres som sådan, medmindre der ikke er nogen chance for misforståelser.

Matematikere betragter en kugle som en todimensionel lukket overflade indlejret i det tredimensionelle euklidiske rum . De skelner mellem en kugle og en kugle , som er en tredimensionel manifold med grænse , der omfatter det volumen, som kuglen indeholder. En åben bold udelukker selve sfæren, mens en lukket bold inkluderer sfæren: en lukket bold er foreningen af ​​den åbne bold og kuglen, og en kugle er grænsen for en (lukket eller åben) bold. Sondringen mellem bold og sfære er ikke altid blevet opretholdt, og især ældre matematiske referencer taler om en sfære som et fast stof. Forskellen mellem " cirkel " og " disk " i planet er ens.

Små kugler kaldes nogle gange kugler, f.eks. i Mars-kugler .

Ligninger

I analytisk geometri er en kugle med centrum ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) og radius r stedet for alle punkter ( x , y , z ) således at

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}$

Da det kan udtrykkes som et kvadratisk polynomium, er en kugle en kvadratisk overflade , en type algebraisk overflade .

Lad a, b, c, d, e være reelle tal med a ≠ 0 og sæt

${\displaystyle x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac { -d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.}$

Så ligningen

${\displaystyle f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0}$

har ingen reelle punkter som løsninger, hvis og kaldes ligningen for en imaginær kugle . Hvis , den eneste løsning af er punktet, og ligningen siges at være ligningen for en punktkugle . Endelig, i tilfældet , er en ligning af en kugle, hvis centrum er og hvis radius er . ${\displaystyle \rho <0}$${\displaystyle \rho =0}$${\displaystyle f(x,y,z)=0}$${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$${\displaystyle \rho >0}$${\displaystyle f(x,y,z)=0}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle {\sqrt {\rho }}}$

Hvis a i ovenstående ligning er nul, så er f ( x , y , z ) = 0 ligningen for en plan. Således kan et plan opfattes som en kugle med uendelig radius, hvis centrum er et uendeligt punkt .

Parametrisk

En parametrisk ligning for kuglen med radius og centrum kan parametreres ved hjælp af trigonometriske funktioner . ${\displaystyle r>0}$${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \\z& =z_{0}+r\cos \theta \,\end{aligned}}}$

De anvendte symboler her er de samme som dem, der bruges i sfæriske koordinater . r er konstant, mens θ varierer fra 0 til π og varierer fra 0 til 2 π . ${\displaystyle \varphi }$

Ejendomme

Indelukket bind

Kugle og omskrevet cylinder

I tre dimensioner er volumenet inde i en kugle (det vil sige volumenet af en kugle , men klassisk kaldet volumenet af en kugle)

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi}{6}}\ d^{3}\ca. 0,5236\cdot d^{3} }$

hvor r er radius og d er kuglens diameter. Arkimedes udledte først denne formel ved at vise, at volumenet inde i en kugle er det dobbelte af volumenet mellem kuglen og den omskrevne cylinder af kuglen (hvis højden og diameteren er lig med kuglens diameter). Dette kan bevises ved at indskrive en kegle på hovedet i halvkugle, idet man bemærker, at arealet af et tværsnit af keglen plus arealet af et tværsnit af kuglen er det samme som arealet af tværsnittet af den omskrivende cylinder , og anvender Cavalieris princip . Denne formel kan også udledes ved hjælp af integralregning , dvs. diskintegration til at summere rumfanget af et uendeligt antal cirkulære skiver af uendeligt lille tykkelse stablet side om side og centreret langs x -aksen fra x = − r til x = r , under antagelse af kuglen med radius r er centreret ved origo.

Til de fleste praktiske formål kan volumenet inde i en kugle indskrevet i en terning tilnærmes til 52,4 % af terningens volumen, da V =π/6 d ³ , hvor d er kuglens diameter og også længden af ​​en side af terningen ogπ/6 ≈ 0,5236. For eksempel har en kugle med en diameter på 1  m 52,4 % af volumenet af en terning med en kantlængde på 1  m, eller omkring 0,524 m ³ .

Overfladeareal

Overfladearealet af en kugle med radius r er :

${\displaystyle A=4\pi r^{2}.}$

Arkimedes udledte først denne formel fra det faktum, at projektionen til den laterale overflade af en omskrevet cylinder er områdebevarende. En anden tilgang til at opnå formlen kommer fra det faktum, at den er lig med den afledede af formlen for rumfanget med hensyn til r , fordi det samlede volumen inde i en kugle med radius r kan opfattes som summeringen af ​​overfladearealet af et uendeligt tal af sfæriske skaller af uendelig lille tykkelse stablet koncentrisk inde i hinanden fra radius 0 til radius r . Ved infinitesimal tykkelse er afvigelsen mellem det indre og ydre overfladeareal af enhver given skal uendeligt lille, og grundstofvolumenet ved radius r er simpelthen produktet af overfladearealet ved radius r og den uendelige lille tykkelse.

Kuglen har det mindste overfladeareal af alle overflader, der omslutter et givet volumen, og det omslutter det største volumen blandt alle lukkede overflader med et givet overfladeareal. Kuglen optræder derfor i naturen: for eksempel er bobler og små vanddråber nogenlunde kugleformede, fordi overfladespændingen lokalt minimerer overfladearealet.

Overfladearealet i forhold til massen af ​​en kugle kaldes det specifikke overfladeareal og kan udtrykkes ud fra ovennævnte ligninger som

${\displaystyle \mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }},}$

hvor ρ er densiteten (forholdet mellem masse og volumen).

Andre geometriske egenskaber

En kugle kan konstrueres som overfladen dannet ved at rotere en cirkel omkring en hvilken som helst af dens diametre ; dette er i bund og grund den traditionelle definition af en sfære som givet i Euklids elementer . Da en cirkel er en speciel type ellipse , er en kugle en speciel type omdrejningsellipsoide . Udskiftning af cirklen med en ellipse roteret om dens hovedakse , bliver formen til en prolat sfæroid ; drejet om den lille akse, en oblate sfæroid.

En kugle er entydigt bestemt af fire punkter, der ikke er koplanære . Mere generelt er en kugle entydigt bestemt af fire forhold, såsom at passere gennem et punkt, være tangent til et plan osv. Denne egenskab er analog med den egenskab, at tre ikke-kollineære punkter bestemmer en unik cirkel i et plan.

Følgelig er en kugle entydigt bestemt af (det vil sige passerer gennem) en cirkel og et punkt, der ikke er i denne cirkels plan.

Ved at undersøge de fælles løsninger af ligningerne for to sfærer , kan det ses, at to sfærer skærer hinanden i en cirkel, og det plan, der indeholder den cirkel, kaldes det radikale plan for de skærende sfærer. Selvom det radikale plan er et reelt plan, kan cirklen være imaginær (sfærerne har ikke noget reelt punkt tilfælles) eller bestå af et enkelt punkt (sfærerne tangerer i det punkt).

Vinklen mellem to sfærer i et reelt skæringspunkt er den dihedrale vinkel bestemt af tangentplanerne til sfærerne i det punkt. To sfærer skærer hinanden i samme vinkel i alle punkter i deres skæringscirkel. De skærer hinanden i rette vinkler (er ortogonale ), hvis og kun hvis kvadratet af afstanden mellem deres centre er lig med summen af ​​kvadraterne af deres radier.

Blyant af kugler

Hvis f ( x , y , z ) = 0 og g ( x , y , z ) = 0 er ligningerne for to adskilte sfærer

${\displaystyle sf(x,y,z)+tg(x,y,z)=0}$

er også ligningen for en kugle for vilkårlige værdier af parametrene s og t . Sættet af alle sfærer, der opfylder denne ligning, kaldes en blyant af sfærer bestemt af de oprindelige to sfærer. I denne definition tillades en kugle at være et plan (uendelig radius, centrum ved uendelig), og hvis begge de oprindelige kugler er planer, er alle kuglerne i blyanten planer, ellers er der kun ét plan (det radikale plan) i blyant.

Elleve egenskaber af kuglen

En normalvektor til en kugle, en normalplan og dens normale snit. Krumningen af ​​skæringskurven er sektionskrumningen. For kuglen vil hvert normalsnit gennem et givet punkt være en cirkel med samme radius: kuglens radius. Det betyder, at hvert punkt på kuglen vil være et navlepunkt.

I deres bog Geometry and the Imagination beskriver David Hilbert og Stephan Cohn-Vossen elleve egenskaber ved kuglen og diskuterer, om disse egenskaber entydigt bestemmer kuglen. Flere egenskaber gælder for planet , som kan opfattes som en kugle med uendelig radius. Disse egenskaber er:

1. Punkterne på kuglen er alle i samme afstand fra et fast punkt. Også forholdet mellem afstanden mellem dets punkter og to faste punkter er konstant.

   Den første del er den sædvanlige definition af sfæren og bestemmer den unikt. Den anden del kan let udledes og følger et lignende resultat af Apollonius af Perga for cirklen . Denne anden del gælder også for flyet .

2. Kuglens konturer og plane sektioner er cirkler.

   Denne egenskab definerer kuglen unikt.

3. Kuglen har konstant bredde og konstant omkreds.

   Bredden af ​​en overflade er afstanden mellem par af parallelle tangentplaner. Talrige andre lukkede konvekse overflader har konstant bredde, for eksempel Meissner-kroppen . Omkredsen af ​​en overflade er omkredsen af ​​grænsen for dens ortogonale projektion på et plan. Hver af disse egenskaber indebærer den anden.

4. Alle punkter i en kugle er navlestrenge .

   På ethvert punkt på en overflade er en normal retning vinkelret på overfladen, fordi på kuglen er disse linjer, der stråler ud fra kuglens centrum. Skæringen af ​​et plan, der indeholder normalen med overfladen, vil danne en kurve, der kaldes en normal sektion, og krumningen af ​​denne kurve er den normale krumning . For de fleste punkter på de fleste overflader vil forskellige sektioner have forskellige krumninger; de maksimale og minimale værdier af disse kaldes de vigtigste krumninger . Enhver lukket overflade vil have mindst fire punkter kaldet navlespidser . Ved en navle er alle sektionskrumninger lige store; især er de vigtigste krumninger lige store. Navlespidser kan opfattes som de punkter, hvor overfladen er tæt tilnærmet af en kugle.

   For kuglen er krumningen af ​​alle normale sektioner ens, så hvert punkt er en navlestreng. Kuglen og planet er de eneste overflader med denne egenskab.

5. Kuglen har ikke en overflade af centre.

   For et givet normalsnit eksisterer en krumningscirkel, der er lig med tværsnitskrumningen, er tangent til overfladen, og hvis midterlinjer ligger langs med normallinjen. For eksempel kaldes de to centre, der svarer til de maksimale og minimale sektionskrumninger, brændpunkterne , og sættet af alle sådanne centre danner brændfladen .

   For de fleste overflader danner fokaloverfladen to ark, der hver er en overflade og mødes ved navlepunkter. Flere tilfælde er specielle:

   * For kanaloverflader danner det ene ark en kurve, og det andet ark er en overflade

   * For kegler , cylindre, tori og cyklider danner begge plader kurver.

   * For kuglen er centrum af hver svingende cirkel i centrum af kuglen, og brændfladen danner et enkelt punkt. Denne egenskab er unik for sfæren.

6. Alle kuglens geodetik er lukkede kurver.

   Geodesik er kurver på en overflade, der giver den korteste afstand mellem to punkter. De er en generalisering af begrebet en ret linje i planet. For sfæren er geodætikken store cirkler. Mange andre overflader deler denne egenskab.

7. Af alle de faste stoffer med et givet volumen er kuglen den med det mindste overfladeareal; af alle faste stoffer med et givet overfladeareal, er kuglen den, der har det største volumen.

   Det følger af isoperimetrisk ulighed . Disse egenskaber definerer kuglen unikt og kan ses i sæbebobler : en sæbeboble vil omslutte et fast volumen, og overfladespændingen minimerer dens overfladeareal for det volumen. En frit svævende sæbeboble nærmer sig derfor en kugle (selvom sådanne eksterne kræfter som tyngdekraften vil forvrænge boblens form lidt). Det kan også ses på planeter og stjerner, hvor tyngdekraften minimerer overfladearealet for store himmellegemer.

8. Kuglen har den mindste totale gennemsnitlige krumning blandt alle konvekse faste stoffer med et givet overfladeareal.

   Middelkrumningen er gennemsnittet af de to hovedkrumninger, som er konstant, fordi de to hovedkrumninger er konstante på alle punkter af kuglen.

9. Kuglen har konstant middelkrumning.

   Kuglen er den eneste indlejrede overflade, der mangler grænse eller singulariteter med konstant positiv middelkrumning. Andre sådanne nedsænkede overflader som minimale overflader har konstant middelkrumning.

10. Kuglen har konstant positiv Gaussisk krumning.

    Gaussisk krumning er produktet af de to vigtigste krumninger. Det er en iboende egenskab, der kan bestemmes ved at måle længde og vinkler og er uafhængig af, hvordan overfladen er indlejret i rummet. Derfor vil bøjning af en overflade ikke ændre den Gaussiske krumning, og andre overflader med konstant positiv Gaussisk krumning kan opnås ved at skære en lille spalte i kuglen og bøje den. Alle disse andre overflader ville have grænser, og kuglen er den eneste overflade, der mangler en grænse med konstant positiv Gauss-krumning. Pseudosfæren er et eksempel på en overflade med konstant negativ Gaussisk krumning.

11. Kuglen omdannes til sig selv af en tre-parameter familie af stive bevægelser.

    Ved at rotere rundt om en hvilken som helst akse, vil en enhedssfære ved origo afbilde kuglen på sig selv. Enhver drejning om en linje gennem origo kan udtrykkes som en kombination af drejninger omkring trekoordinataksen (se Euler-vinkler ). Derfor eksisterer en tre-parameter familie af rotationer, således at hver rotation transformerer kuglen til sig selv; denne familie er rotationsgruppen SO(3) . Planet er den eneste anden overflade med en tre-parameter familie af transformationer (oversættelser langs x- og y -akserne og rotationer omkring origo). Cirkulære cylindre er de eneste overflader med to-parameter familier af stive bevægelser og overflader af omdrejninger og helicoider er de eneste overflader med en én-parameter familie.

Behandling efter matematikområde

Sfærisk geometri

Stor cirkel på en kugle

De grundlæggende elementer i den euklidiske plangeometri er punkter og linjer . På sfæren er punkter defineret i sædvanlig forstand. Analogen til "linjen" er den geodætiske , som er en stor cirkel ; det afgørende kendetegn ved en storcirkel er, at planet, der indeholder alle dens punkter, også passerer gennem kuglens centrum. Måling ved buelængde viser, at den korteste vej mellem to punkter, der ligger på kuglen, er det kortere segment af den store cirkel , der inkluderer punkterne.

Mange sætninger fra klassisk geometri gælder også for sfærisk geometri, men ikke alle gør det, fordi kuglen ikke opfylder nogle af klassisk geometris postulater , herunder parallelpostulatet . I sfærisk trigonometri defineres vinkler mellem storcirkler. Sfærisk trigonometri adskiller sig fra almindelig trigonometri i mange henseender. For eksempel overstiger summen af ​​de indre vinkler i en sfærisk trekant altid 180 grader. Desuden er to lignende sfæriske trekanter kongruente.

Ethvert par af punkter på en kugle, der ligger på en lige linje gennem kuglens centrum (dvs. diameteren), kaldes antipodale punkter - på kuglen er afstanden mellem dem nøjagtigt halvdelen af ​​længden af ​​omkredsen. Ethvert andet (dvs. ikke antipodal) par af distinkte punkter på en kugle

• ligge på en unik stor cirkel,
• segmentere den i en mindre (dvs. kortere) og en større (dvs. længere) bue , og
• lad den lille bues længde være den korteste afstand mellem dem på kuglen.

Sfærisk geometri er en form for elliptisk geometri , som sammen med hyperbolsk geometri udgør ikke-euklidisk geometri .

Differential geometri

Kuglen er en glat overflade med konstant Gauss-krumning i hvert punkt lig med 1/ r ² . Ifølge Gauss' Theorema Egregium er denne krumning uafhængig af kuglens indlejring i det 3-dimensionelle rum. Også efter Gauss kan en kugle ikke kortlægges til et plan, mens både arealer og vinkler bevares. Derfor introducerer enhver kortprojektion en form for forvrængning.

En kugle med radius r har arealelement . Dette kan findes fra volumenelementet i sfæriske koordinater med r holdt konstant. ${\displaystyle dA=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi }$

En kugle med en hvilken som helst radius centreret ved nul er en integreret overflade med følgende differentialform :

${\displaystyle x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.}$

Denne ligning afspejler, at positionsvektoren og tangentplanet i et punkt altid er ortogonale i forhold til hinanden. Ydermere er den udadvendte normalvektor lig med positionsvektoren skaleret med 1/r .

I Riemannsk geometri angiver fyldningsområdets formodning , at halvkuglen er den optimale (mindste areal) isometriske fyldning af den Riemannske cirkel .

Topologi

I topologi er en n -sfære defineret som et rum homøomorft til grænsen af ​​en ( n + 1) -kugle ; således er den homøomorf til den euklidiske n -sfære, men mangler måske dens metriske .

• En 0-sfære er et par punkter med den diskrete topologi .
• En 1-sfære er en cirkel ( op til homøomorfisme); således er for eksempel (billedet af) enhver knude en 1-kugle.
• En 2-sfære er en almindelig sfære (op til homøomorfisme); således er for eksempel enhver sfæroid en 2-sfære.

n - ^sfæren betegnes Sn . Det er et eksempel på en kompakt topologisk manifold uden grænse . En kugle behøver ikke at være glat ; hvis den er glat, behøver den ikke at være diffeomorf i forhold til den euklidiske sfære (en eksotisk sfære ).

Kuglen er det omvendte billede af et etpunktssæt under den kontinuerte funktion || x || , så den er lukket; S ⁿ er også afgrænset, så den er kompakt af Heine-Borel-sætningen .

Bemærkelsesværdigt nok er det muligt at vende en almindelig kugle vrangen ud i et tredimensionelt rum med mulige selvskæringer, men uden at skabe folder, i en proces kaldet kugle-eversion .

Kuglens antipodale kvotient er overfladen kaldet det reelle projektive plan , som også kan opfattes som den nordlige halvkugle med antipodale punkter på ækvator identificeret.

Kurver på en kugle

Plan sektion af en kugle: 1 cirkel

Koaksial skæring af en kugle og en cylinder: 2 cirkler

Cirkler

Cirkler på kuglen er ligesom cirkler i planet opbygget af alle punkter en vis afstand fra et fast punkt på kuglen. Skæringspunktet mellem en kugle og et plan er en cirkel, et punkt eller tom. Store cirkler er skæringspunktet mellem kuglen og et plan, der passerer gennem midten af ​​en kugle: andre kaldes små cirkler.

Mere komplicerede overflader kan også skære en kugle i cirkler: skæringspunktet mellem en kugle og en omdrejningsflade , hvis akse indeholder kuglens centrum (er koaksiale ) består af cirkler og/eller punkter, hvis de ikke er tomme. For eksempel viser diagrammet til højre skæringspunktet mellem en kugle og en cylinder, som består af to cirkler. Hvis cylinderradius var kuglens, ville skæringspunktet være en enkelt cirkel. Hvis cylinderradius var større end kuglens, ville krydset være tomt.

Loxodrome

Loxodrome

I navigation er en rhumb line eller loxodrome en bue, der krydser alle længdemeridianer i samme vinkel. Loxodromer er det samme som lige linjer i Mercator-projektionen . En rhumb line er ikke en sfærisk spiral . Bortset fra nogle simple tilfælde er formlen for en rhumb line kompliceret.

Clelia kurver

sfærisk spiral med${\displaystyle c=8}$

En Clelia-kurve er en kurve på en kugle, for hvilken længdegraden og kolatituden opfylder ligningen ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \varphi =c\;\theta ,\quad c>0}$.

Særlige tilfælde er: Vivianis kurve ( ) og sfæriske spiraler ( ) såsom Seifferts spiral . Clelia-kurver tilnærmer banen for satellitter i polær kredsløb . ${\displaystyle c=1}$${\displaystyle c>2}$

Kugleformede kegler

Analogen af ​​et keglesnit på kuglen er en sfærisk kegleformet , en kvartskurve , som kan defineres på flere ækvivalente måder, herunder:

• som skæringspunktet mellem en kugle med en kvadratisk kegle, hvis toppunkt er kuglens centrum;
• som skæringspunktet mellem en kugle med en elliptisk eller hyperbolsk cylinder , hvis akse passerer gennem kuglens centrum;
• som stedet for punkter, hvis sum eller forskel af storcirkelafstande fra et par brændpunkter er en konstant.

Mange sætninger vedrørende plane keglesnit strækker sig også til sfæriske kegleformer.

Skæring af en kugle med en mere generel overflade

Generel skæringssfære-cylinder

Hvis en kugle skæres af en anden overflade, kan der være mere komplicerede kugleformede kurver.

Eksempel

kugle – cylinder

Skæringspunktet mellem kuglen med ligning og cylinderen med ligning er ikke kun en eller to cirkler. Det er løsningen af ​​det ikke-lineære ligningssystem ${\displaystyle \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;}$${\displaystyle \;(y-y_{0})^{2}+z^{2}=a^{2},\;y_{0}\neq 0\;}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0}$

${\displaystyle (y-y_{0})^{2}+z^{2}-a^{2}=0\ .}$

(se implicit kurve og diagrammet)

Generaliseringer

Ellipsoider

En ellipsoide er en kugle, der er blevet strakt eller komprimeret i en eller flere retninger. Mere præcist er det billedet af en sfære under en affin transformation . En ellipsoide har det samme forhold til kuglen, som en ellipse har til en cirkel.

Dimensionalitet

Kugler kan generaliseres til rum med et vilkårligt antal dimensioner . For ethvert naturligt tal n er en " n -sfære", ofte skrevet som S ⁿ , det sæt af punkter i ( n + 1 )-dimensionelle euklidiske rum, der er i en fast afstand r fra et centralt punkt i dette rum, hvor r er som før et positivt reelt tal. I særdeleshed:

• S ⁰ : en 0-sfære består af to diskrete punkter, − r og r
• S ¹ : en 1-kugle er en cirkel med radius r
• S ² : en 2-sfære er en almindelig kugle
• S ³ : en 3-sfære er en kugle i det 4-dimensionelle euklidiske rum.

Kugler for n > 2 kaldes undertiden hypersfærer .

n - sfæren med enhedsradius centreret ved origo betegnes S ⁿ og omtales ofte som "den" n -sfære. Den almindelige kugle er en 2-sfære, fordi det er en 2-dimensionel overflade, som er indlejret i et 3-dimensionelt rum.

Metriske mellemrum

Mere generelt, i et metrisk rum ( E , d ) , er sfæren af ​​centrum x og radius r > 0 sættet af punkter y , således at d ( x , y ) = r .

Hvis midten er et fornemt punkt, der anses for at være oprindelsen til E , som i et normeret rum, er det ikke nævnt i definitionen og notationen. Det samme gælder for radius, hvis den tages til at være lig med én, som i tilfældet med en enhedssfære .

I modsætning til en bold kan selv en stor kugle være et tomt sæt. For eksempel, i Z ⁿ med euklidisk metrisk , er en kugle med radius r kun tom, hvis r ² kan skrives som summen af ​​n kvadrater af heltal .

Et oktaeder er en kugle i taxa-geometri , og en terning er en kugle i geometri, der bruger Chebyshev-afstanden .

Historie

Kuglens geometri blev studeret af grækerne. Euklids elementer definerer sfæren i bog XI, diskuterer forskellige egenskaber ved sfæren i bog XII og viser, hvordan man indskriver de fem regulære polyedre i en sfære i bog XIII. Euclid inkluderer ikke arealet og volumen af ​​en kugle, kun en sætning om, at volumenet af en kugle varierer som den tredje potens af dens diameter, sandsynligvis på grund af Eudoxus fra Cnidus . Formlerne for volumen og areal blev først bestemt i Archimedes 's On the Sphere and Cylinder ved hjælp af udmattelsesmetoden . Zenodorus var den første, der sagde, at kuglen for et givet overfladeareal er det faste stof med maksimalt volumen.

Archimedes skrev om problemet med at opdele en kugle i segmenter, hvis volumener er i et givet forhold, men løste det ikke. En løsning ved hjælp af parablen og hyperbelen blev givet af Dionysodorus af Amisus (ca. 1. århundrede f.Kr.), og et lignende problem - at konstruere et segment med samme volumen som et givet segment og i overflade til et andet segment - blev løst senere af al-Quhi .

Galleri

• 

  Et billede af en af ​​de mest nøjagtige menneskeskabte kugler, da det bryder billedet af Einstein i baggrunden. Denne kugle var et smeltet kvartsgyroskop til Gravity Probe B- eksperimentet og adskiller sig i form fra en perfekt kugle med ikke mere end 40 atomer (mindre end 10  nm) tykkelse. Det blev annonceret den 1. juli 2008, at australske videnskabsmænd havde skabt endnu mere næsten perfekte kugler, nøjagtige til 0,3  nm, som led i en international jagt på at finde et nyt globalt standardkilogram .

• 

  Slag med spillekort, der illustrerer tekniske instrumenter, England, 1702. Sparkonge : Kugler

Regioner

Se også

Noter og referencer

Noter

Referencer

Yderligere læsning

• Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3.
• Dunham, William (1997). Det matematiske univers: En alfabetisk rejse gennem de store beviser, problemer og personligheder . Wiley . New York. s.  28 , 226. Bibcode : 1994muaa.book.....D . ISBN 978-0-471-17661-9.
• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3. udgave), New York: Wiley , ISBN 978-0-471-50728-4.
• Steinhaus, H. (1969), Mathematical Snapshots (Tredje amerikanske udgave), Oxford University Press.
• Woods, Frederick S. (1961) [1922], Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry , Dover.
• John C. Polking (15. april 1999). "Sfærens geometri" . www.math.csi.cuny.edu . Hentet 21. januar 2022 .

eksterne links

• Mathematica/Ensartet sfærisk fordeling
• Overfladeareal af kuglesikker