Sfæriske multipolmomenter - Spherical multipole moments

Sfæriske flerpolede øjeblikke er koefficienterne i en serie udvidelse af et potentiale , der varierer omvendt med afstanden R til en kilde, dvs. , som 1 / R . Eksempler på sådanne potentialer er det elektriske potentiale , det magnetiske potentiale og tyngdepotentialet .

For klarhedens skyld illustrerer vi udvidelsen for en punktladning og generaliserer derefter til en vilkårlig ladetæthed . Gennem denne artikel henviser de primede koordinater som f.eks. Til ladningens position (er), hvorimod de ikke-primede koordinater som f.eks. Henviser til det punkt, hvor potentialet observeres. Vi bruger også sfæriske koordinater overalt, f.eks. Har vektoren koordinater, hvor er radius, er colatitude og er den azimutale vinkel. ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r ^ {\ prime}})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r ^ {\ prime}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r ^ {\ prime}}}$ ${\ displaystyle (r ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})}$ ${\ displaystyle r ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ theta ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {\ prime}}$

Sfæriske multipolmomenter af en punktladning

Figur 1: Definitioner for den sfæriske multipole-udvidelse

Det elektriske potentiale på grund af en punktladning placeret ved er givet af ${\ displaystyle \ mathbf {r ^ {\ prime}}}$

{\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ frac {1} {R}} = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon }} {\ frac {1} {\ sqrt {r ^ {2} + r ^ {\ prime 2} -2r ^ {\ prime} r \ cos \ gamma}}}.}

hvor er afstanden mellem ladningspositionen og observationspunktet og er vinklen mellem vektorerne og . Hvis observationspunktets radius er større end ladningens radius , kan vi udregne 1 / r og udvide kvadratroden i kraft af at bruge Legendre polynomer ${\ displaystyle R \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r ^ {\ prime}} \ right |}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r ^ {\ prime}}}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle (r ^ {\ prime} / r) <1}$

{\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon r}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {r ^ {\ prime}} {r}} \ højre) ^ {l} P_ {l} (\ cos \ gamma)}

Dette er nøjagtigt analogt med den aksiale multipoludvidelse .

Vi kan udtrykke med hensyn til koordinaterne for observationspunktet og ladningspositionen ved hjælp af den sfæriske lov af cosinus (fig. 2) ${\ displaystyle \ cos \ gamma}$

{\ displaystyle \ cos \ gamma = \ cos \ theta \ cos \ theta ^ {\ prime} + \ sin \ theta \ sin \ theta ^ {\ prime} \ cos (\ phi - \ phi ^ {\ prime})}

Figur 2: Vinkler mellem enhedsvektorerne (koordinataksen), (observationspunktet) og (ladningspositionen).

{\ displaystyle \ mathbf {\ hat {z}}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}}

{\ displaystyle \ mathbf {{\ hat {r}} ^ {\ prime}}}

Udskiftning af denne ligning i Legendre-polynomerne og faktorering af de primede og uprimede koordinater giver den vigtige formel kendt som sfærisk harmonisk additionssætning ${\ displaystyle \ cos \ gamma}$

{\ displaystyle P_ {l} (\ cos \ gamma) = {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} \ sum _ {m = -l} ^ {l} Y_ {lm} (\ theta, \ phi) Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})}

hvor funktionerne er de sfæriske harmoniske . Substitution af denne formel med de potentielle udbytter ${\ displaystyle Y_ {lm}}$

{\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon r}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {r ^ {\ prime}} {r}} \ højre) ^ {l} \ venstre ({\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} \ højre) \ sum _ {m = -l} ^ {l} Y_ {lm} (\ theta, \ phi) Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})}

som kan skrives som

{\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {l} \ venstre ({\ frac {Q_ {lm}} {r ^ {l + 1}}} \ højre) {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} (\ theta, \ phi)}

hvor multipolmomenterne er defineret

{\ displaystyle Q_ {lm} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ q \ left (r ^ {\ prime} \ right) ^ {l} {\ sqrt {\ frac {4 \ pi } {2l + 1}}} Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})}

.

Som med aksiale multipolmomenter kan vi også overveje tilfældet, når observationspunktets radius er mindre end ladningens radius . I så fald skriver vi muligvis ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r ^ {\ prime}}$

{\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon r ^ {\ prime}}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ left ({ \ frac {r} {r ^ {\ prime}}} til højre) ^ {l} \ venstre ({\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} \ højre) \ sum _ {m = -l} ^ {l} Y_ {lm} (\ theta, \ phi) Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})}

som kan skrives som

{\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {l} I_ {lm} r ^ {l} {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} (\ theta, \ phi)}

hvor de indre sfæriske multipolmomenter er defineret som det komplekse konjugat af uregelmæssige faste harmoniske

{\ displaystyle I_ {lm} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {q} {\ left (r ^ {\ prime} \ right) ^ {l + 1}}} {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})}

De to tilfælde kan underordnes i et enkelt udtryk, hvis og er defineret til at være henholdsvis den mindste og større af de to radier og ; potentialet ved en punktladning tager derefter form, som undertiden kaldes Laplace-ekspansion ${\ displaystyle r _ {<}}$ ${\ displaystyle r _ {>}}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r ^ {\ prime}}$

{\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} {\ frac {r _ {<} ^ { l}} {r _ {>} ^ {l + 1}}} \ venstre ({\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} \ højre) \ sum _ {m = -l} ^ {l} Y_ {lm} (\ theta, \ phi) Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})}

Udvendige sfæriske multipolmomenter

Det er ligetil at generalisere disse formler ved at erstatte punktladningen med et uendeligt lille ladningselement og integrere. Den funktionelle udvidelsesform er den samme. I det udvendige tilfælde, hvor resultatet er: ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r} ^ {\ prime}) d \ mathbf {r} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle r> r ^ {\ prime}}$

{\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {l} \ venstre ({\ frac {Q_ {lm}} {r ^ {l + 1}}} \ højre) {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} (\ theta, \ phi) \ ,,}

hvor de generelle multipolmomenter er defineret

{\ displaystyle Q_ {lm} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int d \ mathbf {r} ^ {\ prime} \ rho (\ mathbf {r} ^ {\ prime}) \ left (r ^ {\ prime} \ right) ^ {l} {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime} , \ phi ^ {\ prime}).}

Bemærk

Potentialet Φ ( r ) er reelt, så det komplekse konjugat af ekspansionen er lige så gyldigt. Optagelse af det komplekse konjugat fører til en definition af multipolmomentet, der er proportionalt med Y _lm , ikke til dets komplekse konjugat. Dette er en almindelig konvention, se molekylære multipoler for mere om dette.

Indvendige sfæriske multipolmomenter

Tilsvarende har den indvendige multipoludvidelse den samme funktionelle form. I det indvendige tilfælde, hvor resultatet er: ${\ displaystyle r ^ {\ prime}> r}$

{\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {l} I_ {lm} r ^ {l} {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} (\ theta, \ phi),}

med de indre multipolmomenter defineret som

{\ displaystyle I_ {lm} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int d \ mathbf {r} ^ {\ prime} {\ frac {\ rho (\ mathbf {r} ^ { \ prime})} {\ left (r ^ {\ prime} \ right) ^ {l + 1}}} {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} ^ { *} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime}).}

Interaktionsenergier i sfæriske multipoler

En simpel formel til interaktionsenergien for to ikke-overlappende, men koncentriske ladningsfordelinger kan udledes. Lad den første ladningsfordeling være centreret om oprindelsen og ligger helt inden for den anden ladningsfordeling . Interaktionsenergien mellem to statiske ladningsfordelinger er defineret af ${\ displaystyle \ rho _ {1} (\ mathbf {r} ^ {\ prime})}$ ${\ displaystyle \ rho _ {2} (\ mathbf {r} ^ {\ prime})}$

{\ displaystyle U \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int d \ mathbf {r} \ rho _ {2} (\ mathbf {r}) \ Phi _ {1} (\ mathbf {r})}

Potentialet i den første (centrale) ladningsfordeling kan udvides i udvendige multipoler ${\ displaystyle \ Phi _ {1} (\ mathbf {r})}$

{\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {l} Q_ {1lm} \ left ({\ frac {1} {r ^ {l + 1}}} \ right) {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ {lm } (\ theta, \ phi)}

hvor repræsenterer det udvendige multipolmoment for den første ladningsfordeling. Udskiftning af denne udvidelse giver formlen ${\ displaystyle Q_ {1lm}}$ ${\ displaystyle lm}$

{\ displaystyle U = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {l} Q_ {1lm} \ int d \ mathbf {r} \ \ rho _ {2} (\ mathbf {r}) \ left ({\ frac {1} {r ^ {l + 1}}} til højre) {\ sqrt {\ frac { 4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} (\ theta, \ phi)}

Da integralet er lig med det komplekse konjugat af de indre multipolmomenter af den anden (perifere) ladningsfordeling, reduceres energiformlen til den enkle form ${\ displaystyle I_ {2lm}}$

{\ displaystyle U = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {l} Q_ {1lm} I_ {2lm} ^ {*}}

For eksempel kan denne formel bruges til at bestemme den elektrostatiske interaktionsenergi i atomkernen med dens omgivende elektroniske orbitaler. Omvendt, i betragtning af interaktionsenergierne og de indre multipolmomenter af de elektroniske orbitaler, kan man finde de ydre multipolmomenter (og dermed form) af atomkernen.

Specielt tilfælde af aksial symmetri

Den sfæriske multipoleudvidelse tager en simpel form, hvis ladningsfordelingen er aksialt symmetrisk (dvs. er uafhængig af den azimutale vinkel ). Ved at udføre de integrationer, der definerer og , kan det vises, at multipolmomenterne alle er nul undtagen når . Brug af den matematiske identitet ${\ displaystyle \ phi ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle Q_ {lm}}$ ${\ displaystyle I_ {lm}}$ ${\ displaystyle m = 0}$