Standard basis - Standard basis

Hver vektor a i tre dimensioner er en lineær kombination af standardbasisvektorerne i , j og k .

I matematik er standardbasis (også kaldet naturlig basis eller kanonisk basis ) for et koordinatvektorrum (såsom eller ) det sæt af vektorer, hvis komponenter alle er nul, undtagen en, der er lig med 1. For eksempel i tilfælde af Euklidisk plan dannet af par ( x , y ) af reelle tal , standardbasis dannes af vektorerne ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {x} = (1,0), \ quad \ mathbf {e} _ {y} = (0,1).}$

Tilsvarende er standardgrundlaget for det tredimensionelle rum dannet af vektorer ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {x} = (1,0,0), \ quad \ mathbf {e} _ {y} = (0,1,0), \ quad \ mathbf {e} _ { z} = (0,0,1).}$

Her peger vektoren e _x i x- retningen, vektoren e _y peger i y- retningen, og vektoren e _z peger i z- retningen. Der er flere almindelige notationer for standardbasisvektorer, herunder { e _x ,  e _y ,  e _z }, { e ₁ ,  e ₂ ,  e ₃ }, { i ,  j ,  k } og { x ,  y ,  z } . Disse vektorer er undertiden skrevet med en hat for at understrege deres status som enhed vektorer ( standard enhedsvektorer ).

Disse vektorer er et grundlag i den forstand, at enhver anden vektor kan udtrykkes entydigt som en lineær kombination af disse. For eksempel kan hver vektor v i tredimensionelt rum skrives entydigt som

${\ displaystyle v_ {x} \, \ mathbf {e} _ {x} + v_ {y} \, \ mathbf {e} _ {y} + v_ {z} \, \ mathbf {e} _ {z} ,}$

de skalarer v _x ,  v _y ,  v _z er de skalære komponenter af vektoren v .

I det n - dimensionelle euklidiske rum består standardgrundlaget af n forskellige vektorer ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {i}: 1 \ leq i \ leq n \},}$

hvor e _i betegner vektoren med en 1 i i th koordinere og 0'er andetsteds.

Standardbaser kan defineres for andre vektorrum , hvis definition involverer koefficienter, såsom polynomer og matricer . I begge tilfælde består standardbasis af elementerne i rummet, således at alle koefficienter undtagen en er 0, og den ikke-nul ene er 1. For polynomer består standardbasis således af monomierne og kaldes almindeligvis monomial basis . For matricer består standardbasis af m × n- matricer med nøjagtigt en ikke-nul indgang, hvilket er 1. For eksempel dannes standardgrundlaget for 2 × 2 matricer af de 4 matricer ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {m \ times n}}$

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {11} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ mathbf {e} _ {12} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \ \ 0 & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ mathbf {e} _ {21} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ mathbf {e} _ {22} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}$

Ejendomme

Per definition er standardbasis en sekvens af ortogonale enhedsvektorer . Med andre ord er det et ordnet og ortonormalt grundlag.

Imidlertid er en ordnet ortonormal basis ikke nødvendigvis et standardgrundlag. For eksempel repræsenterer de to vektorer, der repræsenterer en 30 ° rotation af 2D-standardbasis beskrevet ovenfor, dvs.

${\ displaystyle v_ {1} = \ left ({{\ sqrt {3}} \ over 2}, {1 \ over 2} \ right) \,}$

${\ displaystyle v_ {2} = \ left ({1 \ over 2}, {- {\ sqrt {3}} \ over 2} \ right) \,}$

er også ortogonale enhedsvektorer, men de er ikke justeret med akserne i det kartesiske koordinatsystem , så grundlaget med disse vektorer opfylder ikke definitionen af ​​standardbasis.

Generaliseringer

Der er et standardgrundlag også for ringen af polynomer i n bestemt over et felt , nemlig monomierne .

Alt det foregående er familiens særlige tilfælde

${\ displaystyle {(e_ {i})} _ {i \ i I} = ((\ delta _ {ij}) _ {j \ i I}) _ {i \ i I}}$

hvor er et hvilket som helst sæt og er Kronecker-deltaet , lig med nul, når jeg er ≠ j og lig med 1, hvis jeg = j . Denne familie er det kanoniske grundlag for R- modulet ( gratis modul ) ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$

${\ displaystyle R ^ {(I)}}$

af alle familier

${\ displaystyle f = (f_ {i})}$

fra I til en ring R , som er nul bortset fra et endeligt antal indekser, hvis vi fortolker 1 som 1 _R , enheden i R .

Andre anvendelser

Eksistensen af ​​andre 'standard' baser er blevet et emne af interesse for algebraisk geometri , begyndende med arbejde fra Hodge fra 1943 på Grassmannians . Det er nu en del af repræsentationsteorien kaldet standard monomial teori . Idéen om standardgrundlag i den universelle omsluttende algebra af en Lie-algebra er etableret af sætningen Poincaré – Birkhoff – Witt .

Gröbner baser kaldes også undertiden standard baser.

I fysik kaldes standardbasisvektorerne for et givet euklidisk rum undertiden som versors af akserne i det tilsvarende kartesiske koordinatsystem.

Se også

• Kanoniske enheder
• Eksempler på vektorrum § Generelt koordinatrum

Referencer

• Ryan, Patrick J. (2000). Euklidisk og ikke-euklidisk geometri: en analytisk tilgang . Cambridge; New York: Cambridge University Press. ISBN   0-521-27635-7 . (side 198)

• Schneider, Philip J .; Eberly, David H. (2003). Geometriske værktøjer til computergrafik . Amsterdam; Boston: Morgan Kaufmann Publishers. ISBN   1-55860-594-0 . (side 112)