Overflade integreret - Surface integral

I matematik , især multivariabel beregning , er en overfladeintegral en generalisering af flere integraler til integration over overflader . Det kan betragtes som den dobbelte integrale analog af linjeintegralet . Givet en overflade, kan man integrere en skalarfelt (dvs. en funktion af position som returnerer en skalar som en værdi) over overfladen, eller et vektorfelt (dvs. en funktion, som returnerer en vektor som værdi). Hvis et område R ikke er fladt, kaldes det en overflade som vist på illustrationen.

Overfladeintegraler har anvendelser inden for fysik , især med teorier om klassisk elektromagnetisme .

Definitionen af ​​overfladeintegral er afhængig af opdeling af overfladen i små overfladeelementer.
En illustration af et enkelt overfladeelement. Disse elementer gøres uendeligt små ved den begrænsende proces, for at tilnærme overfladen.

Overfladeintegraler af skalarfelter

For at finde en eksplicit formel for overfladeintegralet over en overflade S , er vi nødt til at parameterisere S ved at definere et system med krumme lineære koordinaterS , som breddegrad og længdegrad på en kugle . Lad en sådan parameterisering være r ( s , t ) , hvor ( s , t ) varierer i et område T i planet . Derefter er overfladeintegralet givet af

hvor udtrykket mellem søjler på højre side er størrelsen af den cross produkt af de partielle afledede af r ( s , t ) , og er kendt som overfladen element (hvilket ville fx give en mindre værdi nær poler i en kugle. hvor længdegraderne konvergerer mere dramatisk og breddegradskoordinater er mere kompakt adskilt). Overfladeintegralet kan også udtrykkes i den ækvivalente form

hvor g er determinanten for den første grundlæggende form for overfladekortlægningen r ( s , t ) .

For eksempel, hvis vi vil finde overfladearealet af grafen for en eller anden skalarfunktion, f.eks. Z = f ( x , y ) , har vi

hvor r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y )) . Så det , og . Så,

som er standardformlen for arealet af en overflade beskrevet på denne måde. Man kan genkende vektoren i den næstsidste linje ovenfor som den normale vektor til overfladen.

Bemærk, at på grund af krydsproduktets tilstedeværelse fungerer ovenstående formler kun for overflader indlejret i et tredimensionelt rum.

Dette kan ses som at integrere en Riemannian volumenform på den parameteriserede overflade, hvor den metriske tensor er givet af overfladens første grundlæggende form .

Overfladeintegraler af vektorfelter

En buet overflade med et vektorfelt, der passerer igennem den. De røde pile (vektorer) repræsenterer feltets størrelse og retning på forskellige punkter på overfladen
Overfladen opdelt i små patches ved en parametrering af overfladen
Fluksen gennem hver patch er lig med den normale (vinkelrette) komponent i feltet på plasterets placering ganget med arealet . Den normale komponent er lig med dot produkt af med enheden normal vektor (blå pile)
Den samlede strømning gennem overfladen findes ved at optælle for hvert plaster. I grænsen, når plastrene bliver uendeligt små, er dette overfladeintegralet

Betragt et vektorfelt v på en overflade S , det vil sige for hver r = ( x , y , z ) i S , er v ( r ) en vektor.

Overfladeintegralet kan defineres komponentmæssigt i henhold til definitionen af ​​overfladeintegralet af et skalarfelt; resultatet er en vektor. Dette gælder f.eks. I udtrykket af det elektriske felt på et bestemt punkt på grund af en elektrisk ladet overflade eller tyngdekraften på et bestemt punkt på grund af et arkmateriale.

Alternativt, hvis vi integrerer den normale komponent i vektorfeltet over overfladen, er resultatet en skalar, normalt kaldet fluxen, der passerer gennem overfladen. Forestil dig, at vi har en væske, der strømmer gennem S , sådan at v ( r ) bestemmer væskens hastighed ved r . Den flux defineres som mængden af fluid, der strømmer gennem S per tidsenhed.

Denne illustration indebærer, at hvis vektorfeltet er tangent til S på hvert punkt, så er fluxen nul, fordi væsken bare strømmer parallelt med S , og hverken ind eller ud. Dette indebærer også, at hvis v ikke bare flyder langs S , det vil sige, hvis v har både en tangential og en normal komponent, så bidrager kun den normale komponent til fluxen. Baseret på denne begrundelse, for at finde fluxen, skal vi tage prikproduktet af v med enhedsoverfladen normal n til S på hvert punkt, hvilket vil give os et skalarfelt og integrere det opnåede felt som ovenfor. Vi finder formlen

Krydsproduktet på højre side af dette udtryk er en (ikke nødvendigvis ensartet) overflade normal bestemt af parametrering.

Denne formel definerer integralet til venstre (bemærk prikken og vektornotationen for overfladeelementet).

Vi kan også fortolke dette som et særligt tilfælde af integration af 2-former, hvor vi identificerer vektorfeltet med en 1-form og derefter integrerer dets Hodge dual over overfladen. Dette svarer til at integrere over den nedsænkede overflade, hvor er den inducerede volumenform på overfladen, opnået ved indvendig multiplikation af Riemannian -metriket for det omgivende rum med overfladens ydre normal.

Overfladeintegraler af differentielle 2-former

Lade

være en differential 2-form defineret på en overflade S , og lad

være en orientering bevare parametrisering af S med i D . Ændring af koordinater fra til , differentialformerne transformeres som

Så forvandles til , hvor betegner determinanten for jakobianeren af overgangsfunktionen fra til . Transformationen af ​​de andre former er ens.

Derefter er overfladeintegralet af fS givet af

hvor

er fladeelementet normal til S .

Lad os bemærke, at overfladeintegralen i denne 2-form er den samme som overfladeintegralen i vektorfeltet, der har som komponenter , og .

Sætninger, der involverer overfladeintegraler

Forskellige nyttige resultater for overfladeintegraler kan udledes ved hjælp af differentialgeometri og vektorberegning , såsom divergenssættet og dets generalisering, Stokes 'sætning .

Afhængighed af parametrering

Lad os se, at vi definerede overfladen integral ved hjælp af en parametrisering af overfladen S . Vi ved, at en given overflade kan have flere parametreringer. For eksempel, hvis vi flytter placeringen af ​​Nordpolen og Sydpolen på en kugle, ændres breddegraden og længdegraden for alle punkterne på sfæren. Et naturligt spørgsmål er så, om definitionen af ​​overfladeintegralet afhænger af den valgte parametrering. For integraler af skalarfelter er svaret på dette spørgsmål enkelt; værdien af ​​overfladeintegralet vil være den samme, uanset hvilken parametrering man bruger.

For integraler af vektorfelter er tingene mere komplicerede, fordi overfladens normale er involveret. Det kan bevises, at givet to parametreringer af den samme overflade, hvis overfladens normaler peger i samme retning, opnår man den samme værdi for overfladeintegralet med begge parametreringer. Hvis normerne for disse parametreringer imidlertid peger i modsatte retninger, er værdien af ​​overfladeintegralet opnået ved hjælp af en parametrering den negative af den, der opnås via den anden parametrering. Det følger heraf, at vi på grund af en overflade ikke behøver at holde os til nogen unik parametrering, men når vi integrerer vektorfelter, skal vi på forhånd beslutte i hvilken retning normalen vil pege og derefter vælge enhver parametrering, der er i overensstemmelse med den retning.

Et andet problem er, at overflader undertiden ikke har parametriseringer, der dækker hele overfladen. Den oplagte løsning er derefter at opdele denne overflade i flere stykker, beregne overfladeintegralet på hvert stykke og derefter tilføje dem alle sammen. Sådan fungerer tingene faktisk, men når man integrerer vektorfelter, skal man igen være forsigtig med, hvordan man vælger den normalt pegende vektor for hvert stykke af overfladen, så når stykkerne sættes sammen igen, er resultaterne konsistente. For cylinderen betyder det, at hvis vi beslutter, at for sideregionen vil normalen pege ud af kroppen, og for de øverste og nederste cirkulære dele skal den normale også pege ud af kroppen.

Endelig er der overflader, der ikke indrømmer en overflade normal på hvert punkt med ensartede resultater (f.eks. Möbius -strimlen ). Hvis en sådan overflade deles i stykker, vælges på hvert stykke en parametrering og tilsvarende overfladenormal, og stykkerne sættes sammen igen, vil vi opdage, at de normale vektorer, der kommer fra forskellige stykker, ikke kan forenes. Det betyder, at vi ved et kryds mellem to stykker vil have normale vektorer, der peger i modsatte retninger. En sådan overflade kaldes ikke-orienterbar , og på denne slags overflade kan man ikke tale om at integrere vektorfelter.

Se også

Referencer

eksterne links