Tangent bundt - Tangent bundle

Uformelt opnås tangentbundtet af en manifold (som i dette tilfælde er en cirkel) ved at overveje alle tangentrummene (øverst) og forbinde dem sammen på en jævn og ikke-overlappende måde (bund).

I differentialgeometri er tangentbundtet af en differentierbar manifold en manifold, der samler alle tangentvektorerne i . Som et sæt er det givet ved den usammenhængende forening af tangensrummene i . Det er,

hvor betegner tangensrummet til punktet . Så et element af kan betragtes som et par , hvor er et punkt i og er en tangentvektor til at .

Der er en naturlig projektion

defineret af . Denne projektion kortlægger hvert element i tangensrummet til det enkelte punkt .

Tangentbundtet er udstyret med en naturlig topologi (beskrevet i et afsnit nedenfor ). Med denne topologi er tangentbundtet til en manifold det prototypiske eksempel på et vektorbundt (som er et fiberbundt, hvis fibre er vektorrum ). En sektion af er et vektorfelt på , og dobbeltbundtet til er cotangent -bundtet , som er den usammenhængende forening af cotangentrummene i . Per definition er en manifold er parallelt virkende hvis og kun hvis tangenten bundt er trivielt . Per definition en manifold er indrammet hvis og kun hvis tangenten bundt er stabilt trivielt, hvilket betyder, at for nogle trivielle bundt af Whitney sum er trivielt. For eksempel er den n -dimensionelle sfære S n indrammet for alle n , men kun paralleliserbar for n = 1, 3, 7 (efter resultater fra Bott -Milnor og Kervaire).

Rolle

En af tangentbundtets hovedroller er at tilvejebringe et domæne og område for derivatet af en glat funktion. Nemlig, hvis er en glat funktion med og glatte manifolder, er dens derivat en glat funktion .

Topologi og glat struktur

Tangentbundtet er udstyret med en naturlig topologi ( ikke den usammenhængende foreningstopologi ) og glat struktur for at gøre det til en mangfoldighed i sig selv. Dimensionen af er dobbelt så stor som .

Hvert tangentrum i en n -dimensionel manifold er et n -dimensionelt vektorrum. Hvis er en åben sammentrykkelig delmængde af , så er der en diffeomorfisme, der begrænser sig til en lineær isomorfisme fra hvert tangentrum til . Som en manifol er det imidlertid ikke altid diffeomorft i forhold til produktmanifolden . Når det er af formen , siges det at tangentbundtet er trivielt . Trivielle tangentbundter forekommer sædvanligvis for manifolder udstyret med en 'kompatibel gruppestruktur'; for eksempel i det tilfælde, hvor manifolden er en Lie -gruppe . Tangentbundtet i enhedscirklen er trivielt, fordi det er en Lie -gruppe (under multiplikation og dens naturlige differentialstruktur). Det er imidlertid ikke rigtigt, at alle rum med trivielle tangentbundter er Lie -grupper; manifolder, der har et trivielt tangentbundt, kaldes paralleliserbare . Ligesom manifolder lokalt er modelleret på det euklidiske rum , modelleres tangentbundter lokalt , hvor der er en åben delmængde af det euklidiske rum.

Hvis M er en glat n -dimensionel manifold, så er den udstyret med et atlas af diagrammer , hvor er et åbent sæt i og

er en diffeomorfisme . Disse lokale koordinater giver anledning til en isomorfisme for alle . Vi kan derefter definere et kort

ved

Vi bruger disse kort til at definere topologi og glat struktur på . En delmængde af er åben, hvis og kun hvis

er åben i for hver Disse kort er homeomorfier mellem åbne delmængder af og fungerer derfor som diagrammer for den glatte struktur på . Overgangsfunktionerne på diagramoverlapninger induceres af de jakobiske matricer i den tilhørende koordinattransformation og er derfor glatte kort mellem åbne undersæt af .

Tangentbundtet er et eksempel på en mere generel konstruktion kaldet et vektorbundt (som i sig selv er en bestemt slags fiberbundt ). Eksplicit kan tangentbundtet til en -dimensionel manifold defineres som et rangvektorbundt , over hvis overgangsfunktioner er givet af jakoberen af de tilhørende koordinattransformationer.

Eksempler

Det enkleste eksempel er det af . I dette tilfælde er tangentbundtet trivielt: hver er kanonisk isomorf til via kortet, der trækker fra , hvilket giver en diffeomorfisme .

Et andet enkelt eksempel er enhedscirklen , (se billedet ovenfor). Cirkelens tangentbundt er også trivielt og isomorft for . Geometrisk er dette en cylinder med uendelig højde.

De eneste tangentbundter, der let kan visualiseres, er dem i den reelle linje og enhedscirklen , som begge er trivielle. For 2-dimensionelle manifolder er tangentbundtet 4-dimensionelt og derfor svært at visualisere.

Et simpelt eksempel på et ikke -træt tangentbundt er enhedens kugle : dette tangentbundt er ikke -lokalt som en konsekvens af den hårede kuglesætning . Derfor er sfæren ikke paralleliserbar.

Vektorfelter

En jævn tildeling af en tangentvektor til hvert punkt i en manifold kaldes et vektorfelt . Specifikt er et vektorfelt på en manifold et glat kort

sådan at med for hver . På fiberbundtets sprog kaldes et sådant kort et snit . Et vektorfelt på er derfor et snit af tangentbundtet med .

Sættet med alle vektorfelter på er betegnet med . Vektorfelter kan tilføjes punktvis

og ganget med glatte funktioner på M

for at få andre vektorfelter. Sættet med alle vektorfelter tager derefter strukturen af ​​et modul over den kommutative algebra af glatte funktioner på M , betegnet .

Et lokalt vektorfelt på er en lokal sektion af tangentbundtet. Det vil sige, at et lokalt vektorfelt kun er defineret på et åbent sæt og tildeler hvert punkt i en vektor i det tilhørende tangensrum. Sættet med lokale vektorfelter på danner en struktur kendt som en skare af rigtige vektorrum på .

Den ovennævnte konstruktion kan ligeså godt anvendes til cotangens bundle - de differentielle 1-former på er netop de dele af cotangens bundtet , som associerer til hvert punkt en 1-covector , som kort tangentvektorer til reelle tal: . Tilsvarende kortlægger en differential 1-form et glat vektorfelt til en glat funktion .

Tangentbundter af højere orden

Da tangentbundtet i sig selv er en glat manifold, kan tangentbundtets anden ordens defineres ved gentagen anvendelse af tangentbundtkonstruktionen:

Generelt kan tangentsammenslutningen i den orden defineres rekursivt som .

Et glat kort har et induceret derivat, for hvilket tangentbundtet er det passende domæne og område . På samme måde giver tangentbundter af højere orden domænet og området for derivater af højere orden .

En tydelig, men beslægtet konstruktion er jetbundterne på en manifold, som er bundter bestående af jetfly .

Kanonisk vektorfelt på tangentbundt

På hvert tangentbundt , der betragtes som en mangfoldighed i sig selv, kan man definere et kanonisk vektorfelt som det diagonale kort på tangentrummet på hvert punkt. Dette er muligt, fordi tangentrummet i et vektorrum W naturligvis er et produkt, da vektorrummet i sig selv er fladt og dermed har et naturligt diagonalt kort givet af denne produktstruktur. Anvendelse af denne produktstruktur på tangentrummet på hvert punkt og globalisering giver det kanoniske vektorfelt. Uformelt, selvom manifolden er buet, er hvert tangentrum på et punkt , fladt, så tangentbundtmanifolden er lokalt et produkt af en buet og en flad.Således er tangentbundtet i tangentbundtet lokalt (bruges til "valg af koordinater "og for" naturlig identifikation "):

og kortet er projektionen på de første koordinater:

Opdeling af det første kort via nulafsnittet og det andet kort efter diagonalen giver det kanoniske vektorfelt.

Hvis der er lokale koordinater for , har vektorfeltet udtrykket

Mere præcist - det første par koordinater ændres ikke, fordi det er sektionen af ​​et bundt, og disse er kun punktet i basisrummet: det sidste par koordinater er selve sektionen. Dette udtryk for vektorfeltet afhænger kun af , ikke af , da kun tangentretningerne naturligt kan identificeres.

Alternativt kan du overveje den skalære multiplikationsfunktion:

Afledningen af ​​denne funktion med hensyn til variablen på et tidspunkt er en funktion , som er en alternativ beskrivelse af det kanoniske vektorfelt.

Eksistensen af ​​et sådant vektorfelt på er analogt med den kanoniske enformcotangent-bundtet . Nogle gange kaldes det også Liouville -vektorfeltet eller radialvektorfeltet . Brug af en kan karakterisere tangentbundtet. Grundlæggende kan karakteriseres ved hjælp af 4 aksiomer, og hvis en manifold har et vektorfelt, der opfylder disse aksiomer, er manifolden et tangentbundt, og vektorfeltet er det kanoniske vektorfelt på det. Se f.eks. De León et al.

Lifte

Der er forskellige måder at løfte objekter på til objekter på . For eksempel, hvis er en kurve i , så ( tangenten af ) er en kurve i . I modsætning hertil, uden yderligere antagelser om (f.eks. En Riemannian -metrik ), er der ingen lignende løft i cotangent -bundtet .

Den lodrette løft af en funktion er funktionen defineret af , hvor er den kanoniske projektion.

Se også

Noter

  1. ^ A b De disjunkte union sikrer, at for to vilkårlige punkter x 1 og x 2 af manifold M de tangentrum T 1 og T 2 har ingen fælles vektor. Dette er grafisk illustreret i det ledsagende billede for tangentbundt af cirkel S 1 , se afsnit Eksempler : alle tangenter til en cirkel ligger i cirkelplanet. For at gøre dem adskilt er det nødvendigt at justere dem i et plan vinkelret på cirkelplanet.

Referencer

  • Lee, Jeffrey M. (2009), Manifolds and Differential Geometry , Graduate Studies in Mathematics , bind. 107, Providence: American Mathematical Society |volume=har ekstra tekst ( hjælp ). ISBN  978-0-8218-4815-9
  • John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds , (2003) Springer-Verlag, New York. ISBN  0-387-95495-3 .
  • Jürgen Jost , Riemannian geometri og geometrisk analyse , (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN  3-540-42627-2
  • Ralph Abraham og Jerrold E. Marsden , Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin-Cummings, London. ISBN  0-8053-0102-X
  • M. De León, E. Merino, JA Oubiña, M. Salgado, A characterization of tangent and stable tangent bundles , Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, Vol. 61, nej. 1, 1994, 1-15 [1]

eksterne links