Tangent vektor - Tangent vector

I matematik er en tangentvektor en vektor , der tangenterer en kurve eller overflade på et givet punkt. Tangentvektorer er beskrevet i kurvens differentialgeometri i forbindelse med kurver i R ⁿ . Mere generelt er tangentvektorer elementer i et tangentrum i en differentierbar manifold . Tangentvektorer kan også beskrives med hensyn til bakterier . Formelt set er en tangentvektor på punktet en lineær afledning af algebraen defineret af kimspækket ved . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

Motivering

Inden vi går videre til en generel definition af tangentvektoren, diskuterer vi dens anvendelse i beregning og dens tensoregenskaber .

Regning

Lad være en parametrisk glat kurve . Tangentvektoren er givet ved , hvor vi har brugt en primtast i stedet for den sædvanlige prik for at angive differentiering med hensyn til parameter t . Enhedens tangentvektor er givet ved ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}$${\ displaystyle \ mathbf {r} ^{\ prime} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {T} (t) = {\ frac {\ mathbf {r} ^{\ prime} (t)} {| \ mathbf {r} ^{\ prime} (t) |}} \, .}$

Eksempel

I betragtning af kurven

${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = \ {(1+t^{2}, e^{2t}, \ cos {t}) | \ t \ in \ mathbb {R} \}}$

i , er enhedens tangensvektor at givet ved ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$${\ displaystyle t = 0}$

${\ displaystyle \ mathbf {T} (0) = {\ frac {\ mathbf {r} ^{\ prime} (0)} {\ | \ mathbf {r} ^{\ prime} (0) \ |}} = \ venstre. {\ frac {(2t, 2e^{2t}, \ -\ sin {t})} {\ sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\ sin^{2} {t }}}} \ højre | _ {t = 0} = (0,1,0) \ ,.}$

Modsætning

Hvis er givet parametrisk i det n -dimensionale koordinatsystem x ⁱ (her har vi brugt overskrift som et indeks i stedet for det sædvanlige abonnement) af eller ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = (x^{1} (t), x^{2} (t), \ ldots, x^{n} (t))}$

${\ displaystyle \ mathbf {r} = x^{i} = x^{i} (t), \ quad a \ leq t \ leq b \ ,,}$

derefter er tangentvektorfeltet givet ved ${\ displaystyle \ mathbf {T} = T^{i}}$

${\ displaystyle T^{i} = {\ frac {dx^{i}} {dt}} \ ,.}$

Under en ændring af koordinater

${\ displaystyle u^{i} = u^{i} (x^{1}, x^{2}, \ ldots, x^{n}), \ quad 1 \ leq i \ leq n}$

tangentvektoren i u ⁱ -koordinatsystemet er givet ved ${\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {T}}} = {\ bar {T}}^{i}}$

${\ displaystyle {\ bar {T}}^{i} = {\ frac {du^{i}} {dt}} = {\ frac {\ delvis u^{i}} {\ delvis x^{s} }} {\ frac {dx^{s}} {dt}} = T^{s} {\ frac {\ delvis u^{i}} {\ delvis x^{s}}}}$

hvor vi har brugt Einstein -summationskonventionen . Derfor vil en tangentvektor med en glat kurve transformere som en kontravariant tensor af orden en under en ændring af koordinater.

Definition

Lad være en differentierbar funktion og lad være en vektor i . Vi definerer retningsderivatet i retningen på et punkt ved ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^{n} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle D _ {\ mathbf {v}} f (\ mathbf {x}) = \ venstre. {\ frac {d} {dt}} f (\ mathbf {x} +t \ mathbf {v}) \ højre | _ {t = 0} = \ sum _ {i = 1}^{n} v_ {i} {\ frac {\ delvis f} {\ delvis x_ {i}}} (\ mathbf {x}) \, .}$

Tangentvektoren på punktet kan derefter defineres som ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} (f (\ mathbf {x})) \ equiv (D _ {\ mathbf {v}} (f)) (\ mathbf {x}) \ ,.}$

Ejendomme

Lad være differentierbare funktioner, lad være tangentvektorer i at , og lad . Derefter ${\ displaystyle f, g: \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}, \ mathbf {w}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$

1. ${\ displaystyle (a \ mathbf {v} +b \ mathbf {w}) (f) = a \ mathbf {v} (f) +b \ mathbf {w} (f)}$
2. ${\ displaystyle \ mathbf {v} (af+bg) = a \ mathbf {v} (f)+b \ mathbf {v} (g)}$
3. ${\ displaystyle \ mathbf {v} (fg) = f (\ mathbf {x}) \ mathbf {v} (g)+g (\ mathbf {x}) \ mathbf {v} (f) \ ,.}$

Tangentvektor på manifolder

Lad være en differentierbar manifold og lad være algebraen med reelt værdsatte differentierbare funktioner på . Derefter er tangentvektoren til et punkt i manifolden givet af afledningen, der skal være lineær - dvs. for enhver, og vi har ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A (M)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle D_ {v}: A (M) \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f, g \ i A (M)}$${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle D_ {v} (af+bg) = aD_ {v} (f)+bD_ {v} (g) \ ,.}$

Bemærk, at afledningen per definition vil have egenskaben Leibniz

${\ displaystyle D_ {v} (f \ cdot g) (x) = D_ {v} (f) (x) \ cdot g (x)+f (x) \ cdot D_ {v} (g) (x) \ ,.}$

Se også

• Differentierbar overflade#Tangentplan og normal vektor

Referencer

Bibliografi

• Gray, Alfred (1993), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces , Boca Raton: CRC Press.
• Stewart, James (2001), Calculus: Concepts and Contexts , Australien: Thomson/Brooks/Cole.
• Kay, David (1988), Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus , New York: McGraw-Hill.