Tensorfelt - Tensor field

I matematik og fysik , en tensor felt tildeler en tensor til hvert punkt i en matematisk rum (typisk et euklidisk rum eller manifold ). Tensorfelter bruges i differential geometri , algebraisk geometri , generel relativitet , i analysen af stress og belastning i materialer og i mange anvendelser inden for de fysiske videnskaber . Da en tensor er en generalisering af en skalar (et rent tal, der repræsenterer en værdi, for eksempel hastighed) og en vektor (et rent tal plus en retning, ligesom hastighed), er et tensorfelt en generalisering af et skalarfelt eller vektorfelt, der tildeler henholdsvis en skalar eller vektor til hvert punkt i rummet.

Mange matematiske strukturer kaldet "tensorer" er tensorfelter. For eksempel Riemann krumning tensor er ikke en tensor, som navnet antyder, men en tensor felt : Det er opkaldt efter Bernhard Riemann , og knytter en tensor til hvert punkt af en Riemannsk manifold , som er et topologisk rum .

Geometrisk introduktion

Intuitivt visualiseres et vektorfelt bedst som en "pil" knyttet til hvert punkt i en region med variabel længde og retning. Et eksempel på et vektorfelt på et buet rum er et vejrkort, der viser vandret vindhastighed på hvert punkt på Jordens overflade.

Den generelle idé om tensorfelt kombinerer kravet om rigere geometri - for eksempel en ellipsoid, der varierer fra punkt til punkt, i tilfælde af en metrisk tensor - med tanken om, at vi ikke ønsker, at vores forestilling afhænger af den særlige metode til kortlægning af overfladen. Det bør eksistere uafhængigt af breddegrad og længdegrad, eller hvilken særlig "kartografisk projektion" vi bruger til at indføre numeriske koordinater.

Via koordinatovergange

Efter Schouten (1951) og McConnell (1957) er konceptet med en tensor afhængig af et begreb om en referenceramme (eller koordinatsystem ), som kan være fast (i forhold til nogle baggrundsreferencerammer), men generelt kan det have lov at variere inden for en klasse af transformationer af disse koordinatsystemer.

F.eks. Kan koordinater, der tilhører det n -dimensionelle virkelige koordinatrum, udsættes for vilkårlige affinetransformationer : ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle x^{k} \ mapsto A_ {j}^{k} x^{j}+a^{k}}$

(med n -dimensionale indeks, summering underforstået ). En kovariant vektor eller covector er et system af funktioner, der transformeres under denne affine transformation af reglen ${\ displaystyle v_ {k}}$

${\ displaystyle v_ {k} \ mapsto v_ {i} A_ {k}^{i}.}$

Listen over kartesiske koordinatbaserede vektorer transformeres som en covektor, siden under affin -transformationen . En kontravariant vektor er et system af funktioner af koordinaterne, der under en sådan affin transformation gennemgår en transformation ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {k} \ mapsto A_ {k}^{i} \ mathbf {e} _ {i}}$${\ displaystyle v^{k}}$

${\ displaystyle v^{k} \ mapsto (A^{-1}) _ {j}^{k} v^{j}.}$

Dette er netop det krav, der er nødvendigt for at sikre, at mængden er et invariant objekt, der ikke afhænger af det valgte koordinatsystem. Mere generelt har en tensor af valens ( p , q ) p nedenstående indekser og q ovenpå indekser, hvor transformationsloven er ${\ displaystyle v^{k} \ mathbf {e} _ {k}}$

${\ displaystyle {T_ {i_ {1} \ cdots i_ {p}}}^{j_ {1} \ cdots j_ {q}} \ mapsto A_ {i_ {1}}^{i '_ {1}} \ cdots A_ {i_ {p}}^{i '_ {p}} {T_ {i' _ {1} \ cdots i '_ {p}}}^{j' _ {1} \ cdots j '_ { q}} (A^{-1}) _ {j '_ {1}}^{j_ {1}} \ cdots (A^{-1}) _ {j' _ {q}}^{j_ { q}}.}$

Konceptet med et tensorfelt kan opnås ved at specialisere de tilladte koordinattransformationer til at være glatte (eller differentierbare , analytiske osv.). Et covektorfelt er en funktion af koordinaterne, der transformeres af jakobianeren af overgangsfunktionerne (i den givne klasse). På samme måde transformeres et kontravariant vektorfelt ved den inverse Jacobian. ${\ displaystyle v_ {k}}$${\ displaystyle v^{k}}$

Tensor bundter

Et tensorbundt er et fiberbundt, hvor fiberen er et tensorprodukt af et hvilket som helst antal kopier af tangensrummet og/eller cotangentrummet i basisrummet , som er en manifold. Som sådan er fiberen et vektorrum, og tensorbundtet er en særlig slags vektorbundt .

Vektoren bundt er en naturlig ideen om "vektorrum afhængigt kontinuerligt (eller glat) på parametrene" - parametrene bliver punkterne i en manifold M . For eksempel kan et vektorrum af en dimension afhængigt af en vinkel ligne en Möbius -strimmel eller alternativt som en cylinder . I betragtning af et vektorbundt V over M kaldes det tilsvarende feltbegreb for en sektion af bundtet: for m varierende over M , et valg af vektor

v _m i V _m ,

hvor V _m er vektorrummet "ved" m .

Da tensor -produktkonceptet er uafhængigt af ethvert valg af grundlag, er det rutinemæssigt at tage tensorproduktet af to vektorbundter på M. Begyndende med tangentbundtet (bundtet med tangentrum ) flytter hele apparatet forklaret ved komponentfri behandling af tensorer rutinemæssigt videre-igen uafhængigt af koordinater, som nævnt i indledningen.

Vi kan derfor give en definition af tensorfelt , nemlig som et afsnit af et eller andet tensorbundt . (Der er vektorbundter, der ikke er tensorbundter: f.eks. Möbius -båndet.) Dette er derefter garanteret geometrisk indhold, da alt er blevet gjort på en iboende måde. Mere præcist tildeler et tensorfelt til et givet punkt i manifolden en tensor i rummet

${\ displaystyle V \ otimes \ cdots \ otimes V \ otimes V^{*} \ otimes \ cdots \ otimes V^{*},}$

hvor V er tangensrummet på det tidspunkt, og V ^∗ er cotangentrummet . Se også tangentbundt og cotangentbundt .

I betragtning af to tensorbundter E → M og F → M kan et lineært kort A : Γ ( E ) → Γ ( F ) fra rummet af sektioner af E til sektioner af F betragtes som sig selv som et tensorsnit af hvis og kun hvis det tilfredsstiller A ( fs ) = fA ( s ), for hver sektion s i Γ ( E ), og hver glat funktion f på M . Således er et tensorsnit ikke kun et lineært kort over sektionernes vektorrum, men et C ^∞ ( M ) -linearet kort over modulet af sektioner. Denne egenskab bruges for eksempel til at kontrollere, at selvom Lie -derivatet og kovariantderivatet ikke er tensorer, er torsions- og krumningstensorer bygget af dem. ${\ displaystyle \ scriptstyle E^{*} \ otimes F}$

Notation

Notationen for tensorfelter kan undertiden til forveksling ligner betegnelsen for tensorrum. Således kan tangentbundtet TM = T ( M ) undertiden skrives som

${\ displaystyle T_ {0}^{1} (M) = T (M) = TM}$

at understrege, at tangenten bundt er området rum i (1,0) tensor felter (dvs. vektor felter) på manifolden M . Dette skal ikke forveksles med den meget lignende udseende

${\ displaystyle T_ {0}^{1} (V)}$;

i sidstnævnte tilfælde, vi bare have en tensor plads, mens der i den tidligere, har vi en tensor rum defineret for hvert punkt i manifolden M .

Curly (script) bogstaver er undertiden bruges til at betegne mængden af uendeligt-differentiable tensor felter på M . Dermed,

${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {n}^{m} (M)}$

er sektionerne af ( m , n ) tensor-bundtet på M, der er uendeligt forskellige. Et tensorfelt er et element i dette sæt.

Den C ^∞ ( M ) forklaring modul

Der er en anden mere abstrakt (men ofte nyttig) måde at karakterisere tensorfelter på et mangfoldigt M , som gør tensorfelter til ærlige tensorer (dvs. enkelt multilinære kortlægninger), dog af en anden type (selvom det normalt ikke er derfor, man ofte siger " tensor "når man virkelig betyder" tensorfelt "). Først kan vi betragte sættet af alle glatte (C ^∞ ) vektorfelter på M , (se afsnittet om notation ovenfor) som et enkelt mellemrum - et modul over ringen af glatte funktioner, C ^∞ ( M ), med punktvis skalar multiplikation. Forestillinger om multilinearitet og tensorprodukter strækker sig let til moduler over enhver kommutativ ring . ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} (M)}$

Som et motiverende eksempel kan du overveje pladsen til glatte kovektorfelter ( 1-formularer ), også et modul over de glatte funktioner. Disse virker på glatte vektorfelter for at give jævne funktioner ved punktvis evaluering, nemlig givet et kovektorfelt ω og et vektorfelt X , definerer vi ${\ displaystyle {\ mathcal {T}}^{*} (M)}$

( ω ( X )) ( p ) = ω ( p ) ( X ( p )).

På grund af den involverede punktvise karakter er virkningen af ω på X et C ^∞ ( M ) -linearet kort, dvs.

( ω ( fX )) ( p ) = f ( p ) ω ( p ) ( X ( p )) = ( fω ) ( p ) ( X ( p )) = ( fω ( X )) ( p )

for enhver p i M og glat funktion f . Således kan vi betragte covektorfelter ikke bare som sektioner af cotangentbundtet, men også lineære afbildninger af vektorfelter til funktioner. Ved den dobbelt-dobbelte konstruktion kan vektorfelter på samme måde udtrykkes som afbildninger af covektorfelter til funktioner (nemlig vi kunne starte "indfødt" med kovektorfelter og arbejde op derfra).

I en fuldstændig parallel til konstruktionen af ​​almindelige enkelttensorer (ikke tensorfelter!) På M som multilineariske kort på vektorer og covektorer kan vi betragte generelle ( k , l ) tensorfelter på M som C ^∞ ( M ) -flerlinjekort defineret på l kopier af og k kopier af til C ^∞ ( M ). ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} (M)}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}}^{*} (M)}$

I betragtning af enhver vilkårlig kortlægning T fra et produkt af k kopier af og l kopier af til C ^∞ ( M ) viser det sig, at det stammer fra et tensorfelt på M, hvis og kun hvis det er multilinjært over C ^∞ ( M ) . Således udtrykker denne form for multilinearitet implicit det faktum, at vi virkelig har at gøre med et punktvis defineret objekt, dvs. et tensorfelt, i modsætning til en funktion, der, selv når den evalueres på et enkelt punkt, afhænger af alle værdierne af vektorfelter og 1-former samtidigt. ${\ displaystyle {\ mathcal {T}}^{*} (M)}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}} (M)}$

En hyppig eksempel anvendelse af denne generelle regel viser, at Levi-Civita forbindelse , som er en kortlægning af glatte vektorfelter tager et par vektorfelter til et vektorfelt, ikke definerer en tensor felt på M . Dette er fordi det kun er R -lineært i Y (i stedet for fuld C ^∞ ( M ) -linearitet opfylder det Leibniz -reglen, )). Ikke desto mindre skal det understreges, at selvom det ikke er et tensorfelt, kvalificerer det stadig som et geometrisk objekt med en komponentfri fortolkning. ${\ displaystyle (X, Y) \ mapsto \ nabla _ {X} Y}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {X} (fY) = (Xf) Y+f \ nabla _ {X} Y}$

Ansøgninger

Krumningstensoren diskuteres i differentialgeometri, og spændingsenergietensoren er vigtig i fysikken, og disse to tensorer er relateret af Einsteins teori om generel relativitetsteori .

I elektromagnetisme kombineres de elektriske og magnetiske felter til et elektromagnetisk tensorfelt .

Det er værd at bemærke, at differentielle former , der bruges til at definere integration på manifolder, er en type tensorfelt.

Tensorregning

I teoretisk fysik og andre felter giver differentialligninger i form af tensorfelter en meget generel måde at udtrykke relationer, der både er geometriske i naturen (garanteret af tensor -naturen) og konventionelt knyttet til differentialregning . Selv for at formulere sådanne ligninger kræver et nyt begreb, det kovariante derivat . Dette håndterer formuleringen af ​​variation af et tensorfelt langs et vektorfelt . Den oprindelige absolutte differentialregningsbegreb , som senere blev kaldt tensor -beregning , førte til isolering af det geometriske forbindelsesbegreb .

Vridning af et linjebundt

En udvidelse af tensor feltet idé inkorporerer en ekstra linje bundt L på M . Hvis W er tensor produkt bundt af V med L , så W er et bundt vektorrum af netop den samme dimension som V . Dette gør det muligt at definere begrebet tensortæthed , en 'snoet' type tensorfelt. En tensortæthed er det særlige tilfælde, hvor L er bundtet af tætheder på en manifold , nemlig det bestemmende bundt af cotangentbundtet . (For at være helt nøjagtig bør man også anvende den absolutte værdi på overgangsfunktionerne - dette gør lille forskel for en orienterbar manifold .) For en mere traditionel forklaring, se artikel om tensortæthed .

Et træk ved bundt af tætheder (igen antager orienterbarhed) L er, at L ^s er veldefineret for rigtige talværdier af s ; dette kan aflæses fra overgangsfunktionerne, som tager strengt positive reelle værdier. Dette betyder f.eks., At vi kan tage en halvdensitet , sagen hvor s = ½. Generelt kan vi tage sektioner af W , tensorproduktet af V med L ^s , og overveje tensortæthedsfelter med vægt s .

Halvtætheder anvendes på områder som at definere integrale operatører på manifolder og geometrisk kvantisering .

Den flade sag

Når M er et euklidisk rum, og alle felter er taget til at være invariante ved oversættelser af vektorer af M , kommer vi tilbage til en situation, hvor et tensorfelt er synonymt med en tensor 'sidder ved oprindelsen'. Dette gør ingen stor skade og bruges ofte i applikationer. Anvendt på tensor tætheder, det gør en forskel. Bundtet af tætheder kan ikke alvorligt defineres 'på et tidspunkt'; og derfor er en begrænsning af den moderne matematiske behandling af tensorer, at tensortætheder er defineret i en rundkørsel.

Cykler og kæderegler

Som en avanceret forklaring på tensor- konceptet kan man fortolke kædereglen i det multivariable tilfælde, som det anvendes til at koordinere ændringer, også som kravet om selvkonsistente begreber om tensor, der giver anledning til tensorfelter.

Abstrakt kan vi identificere kædereglen som en 1- cocycle . Det giver den konsistens, der kræves for at definere tangentbundtet på en iboende måde. De andre vektorbundter af tensorer har sammenlignelige cocycler, der stammer fra anvendelse af tensorelle konstruktioners funktionalitetsegenskaber på selve kædereglen ; det er derfor, de også er iboende (læs, 'naturlige') begreber.

Det, der normalt tales om som den 'klassiske' tilgang til tensorer, forsøger at læse dette baglæns - og er derfor en heuristisk, post hoc -tilgang frem for virkelig en grundlæggende. Implicit i at definere tensorer ved, hvordan de transformerer under en koordinatændring, er den slags selvkonsistens, som cyklussen udtrykker. Konstruktionen af ​​tensortætheder er en 'vridning' på cykelniveauet. Geometers har ikke været i tvivl om den geometriske natur tensor mængder ; denne form for nedstigningsargument begrunder abstrakt hele teorien.

Generaliseringer

Tensortætheder

Begrebet et tensorfelt kan generaliseres ved at overveje objekter, der transformerer forskelligt. Et objekt, der transformeres som et almindeligt tensorfelt under koordinattransformationer, bortset fra at det også ganges med determinanten for jakobianeren for den inverse koordinattransformation til w th -effekten, kaldes en tensortæthed med vægt w . Uændret, i sproget i multilinear algebra, kan man tænke på tensortætheder som multilineariske kort, der tager deres værdier i et tæthedsbundt som det (1 -dimensionelle) rum for n -former (hvor n er rummets dimension), som modsætning til at tage deres værdier i netop R . Højere "vægte" svarer så bare til at tage yderligere tensorprodukter med denne plads i sortimentet.

Et særligt tilfælde er skalartætheden. Scalar 1-densiteter er især vigtige, fordi det er fornuftigt at definere deres integral over en manifold. De optræder for eksempel i Einstein -Hilbert -handlingen i generel relativitet. Det mest almindelige eksempel på en skalær 1-densitet er volumenelementet , der i nærvær af en metrisk tensor g er kvadratroden af ​​dens determinant i koordinater, angivet . Den metriske tensor er en kovariant tensor af rækkefølge 2, og dens skala afgøres derfor af kvadratet i koordinatovergangen: ${\ displaystyle {\ sqrt {\ det g}}}$

${\ displaystyle \ det (g ') = \ venstre (\ det {\ frac {\ delvis x} {\ delvis x'}} \ højre)^{2} \ det (g),}$

som er transformationsloven for en skalartæthed af vægt +2.

Mere generelt er enhver tensortæthed produktet af en almindelig tensor med en skalartæthed af den passende vægt. I sproget med vektorbundter er tangentbundtets determinante bundt et linjebundt, der kan bruges til at 'vride' andre bundter med gange. Selvom den mere generelle transformationslov rent faktisk kan bruges til at genkende disse tensorer, er der et globalt spørgsmål, der rejser sig, hvilket afspejler, at man i transformationsloven kan skrive enten den jakobiske determinant eller dens absolutte værdi. Ikke-integrerede kræfter i de (positive) overgangsfunktioner i bundtet af tætheder giver mening, så vægten af ​​en tæthed i den forstand ikke begrænses til heltalsværdier. Begrænsning til ændringer af koordinater med positiv jakobisk determinant er mulig på orienterbare manifolder , fordi der er en konsekvent global måde at eliminere minustegnene på; men ellers er linjebundtet med tætheder og linjebundt med n -former forskellige. For mere om den iboende betydning, se tæthed på en manifold .

Se også

• Jet bundt
• Ricci-beregning  -Tensorindeksnotation for tensorbaserede beregninger
• Spinor felt

Noter

Referencer

• Frankel, T. (2012), The Geometry of Physics (3. udgave) , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-60260-1.
• Lambourne [Open University], RJA (2010), relativitet, gravitation og kosmologi , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-13138-4.
• Lerner, RG ; Trigg, GL (1991), Encyclopaedia of Physics (2. udgave) , VHC Publishers.
• McConnell, AJ (1957), Applications of Tensor Analysis , Dover Publications, ISBN 9780486145020.
• McMahon, D. (2006), Relativity DeMystified , McGraw Hill (USA), ISBN 0-07-145545-0.
• C. Misner, KS Thorne, JA Wheeler (1973), Gravitation , WH Freeman & Co, ISBN 0-7167-0344-0CS1 maint: flere navne: forfatterliste ( link ).
• Parker, CB (1994), McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2. udgave) , McGraw Hill, ISBN 0-07-051400-3.
• Schouten, Jan Arnoldus (1951), Tensoranalyse for fysikere , Oxford University Press.
• Steenrod, Norman (5. april 1999). Fiberbundternes topologi . Princeton matematiske serier. 14 . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC  40734875 .