Tensor produkt - Tensor product

I matematik er tensorproduktet af to vektorrum V og W (over samme felt ) et vektorrum, der kan betragtes som rummet for alle tensorer, der kan bygges ud fra vektorer fra dets bestanddele ved hjælp af en ekstra operation, der kan betragtes som en generalisering og abstraktion af det ydre produkt . På grund af forbindelsen med tensorer, som er elementerne i et tensorprodukt, finder tensorprodukter anvendelser inden for mange anvendelsesområder, herunder inden for fysik og teknik, selvom den fulde teoretiske mekanik af dem beskrevet nedenfor ikke er almindeligt nævnt der. For eksempel, i generel relativitet , beskrives tyngdefeltet gennem den metriske tensor , som er et felt (i betydningen fysik) af tensorer, et på hvert punkt i rum-tid- manifolden , og som hver lever i tensoren selvprodukt af tangentrum på dets bopæl på manifolden (en sådan samling af tensorprodukter knyttet til et andet rum kaldes et tensorbundt ). ${\ displaystyle V \ otimes W}$ ${\ displaystyle T_ {x} M}$

Tensorer i endelige dimensioner og det ydre produkt

Begrebet tensorprodukt generaliserer ideen om at danne tensorer fra vektorer ved hjælp af det ydre produkt, som er en operation, der kan defineres i endelige-dimensionelle vektorrum ved hjælp af matricer : givet to vektorer og skrevet i form af komponenter, dvs. ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ i V}$${\ displaystyle \ mathbf {w} \ i W}$

og

deres ydre produkt eller Kronecker -produkt er givet af matricen ${\ displaystyle n \ gange m}$

eller hvad angår elementer, er den -te komponent ${\ displaystyle ij}$

Den matrix dannet på denne måde svarer naturligt til en tensor , hvor en sådan forstås som en multilineær funktionel på ved indlægning det med matrixmultiplikation mellem en vektor og dens dobbelte eller transponering: ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle V^{*} \ gange W^{*},}$

Det er vigtigt at bemærke, at tensoren, som skrevet, tager to dobbelte vektorer - dette er et vigtigt punkt, der vil blive behandlet senere. I tilfælde af endelige dimensioner er der ikke en stærk forskel mellem et rum og dets dobbelt, men det betyder noget i uendelige dimensioner, og i øvrigt er det vigtigt at få den regulære-mod-dobbelte del til at sikre, at ideen om tensors at blive udviklet her svarer korrekt til andre sanser, hvor de ses, f.eks. hvad angår transformationer, hvilket er almindeligt inden for fysik.

Tensorerne, der er konstrueret på denne måde, genererer selv et vektorrum, når vi tilføjer og skalerer dem på den naturlige komponentmæssige måde, og faktisk kan alle multilinære funktionaler af den givne type skrives som en sum af ydre produkter, som vi kan kalde rene tensorer eller simple tensorer . Dette er tilstrækkeligt til at definere tensorproduktet, når vi kan skrive vektorer og transformationer i form af matricer, men for at få en fuldstændig generel operation vil en mere abstrakt tilgang være påkrævet. Især vil vi gerne isolere de "væsentlige træk" i tensorproduktet uden at skulle specificere et bestemt grundlag for dets konstruktion, og det er det, vi vil gøre i de følgende afsnit.

Abstraktion af tensor -produktet

For at nå dette mål er den mest naturlige måde at gå videre på ved at isolere en væsentlig karakteristisk egenskab, der ud fra alle mulige vektorrum, vi kunne bygge fra V og W , beskriver den, der (op til isomorfisme ) er deres tensor produkt, og som finder anvendelse uden hensyntagen til eventuelle vilkårlige valg såsom et valg af grundlag. Og måden at gøre dette på er at vende tensorkonceptet "indefra og ud" - i stedet for at se tensorerne som objekter, der virker på vektorer på samme måde som et to -lineært kort, vil vi se dem i stedet som objekter, der skal reageres på for at producere et bilinear kort. Tricket er at erkende, at Kronecker -produktet " bevarer alle oplysninger " om, hvilke vektorer der gik ind i det: forholdet mellem vektorkomponenter kan udledes af

og fra disse nøgletal blev de individuelle komponenter selv genoprettet (op til en konstant faktor). Som et resultat kan et enkelt Kronecker ydre produkt bruges i stedet for de par vektorer, der dannede det, og omvendt. Vigtigst af alt betyder dette, at vi kan skrive et hvilket som helst bilineart kort for ethvert tredje vektorrum Z , som et ensartet kort, hvor ${\ displaystyle (v, w)}$${\ displaystyle f: V \ gange W \ til Z,}$${\ displaystyle f _ {\ operatorname {T}}: V \ otimes W \ to Z}$

Den universelle egenskab er altså, at hvis vi har en kombinationsoperation, og vi får et to -lineært kort over den nævnte form, er der præcis en sådan, der opfylder dette krav. Dette er ikke svært at se, om vi udvider med hensyn til baser, men det vigtigere ved det er, at det kan bruges som en måde at karakterisere tensorproduktet på - det vil sige, at vi kan bruge det til at definere tensorproduktet aksiomatisk med ingen henvisning til sådan. Men før vi kan gøre det, skal vi først vise, at tensorproduktet findes og er unikt for alle vektorrum V og W, og for at gøre det har vi brug for en konstruktion. ${\ displaystyle \, \ otimes, \,}$${\ displaystyle f _ {\ operatorname {T}}}$

Det konstruktive tensor -produkt

Det frie vektorrum

For at udføre en sådan konstruktion involverer det første trin, vi vil overveje, at introducere noget, der kaldes et " frit vektorrum " over et givet sæt. Tanken bag denne idé består dybest set af, hvad vi sagde i det første afsnit ovenfor: da en generisk tensor kan skrives med dobbeltsummen ${\ displaystyle T}$

den mest naturlige måde at gribe dette problem an på er på en eller anden måde at finde ud af, hvordan vi kan "glemme" det specifikke valg af baser, og som bruges her. I matematik er den måde, vi "glemmer" om repræsentative detaljer om noget, at etablere en identifikation, der fortæller os, at to forskellige ting, der skal betragtes som repræsentationer af det samme, faktisk er sådanne, dvs. som givet dem siger enten "ja , de er "eller" nej, det er de ikke ", og derefter" klumper sammen "alle repræsentationer som udgør" repræsenteret "uden henvisning til nogen især ved at pakke dem alle sammen i et enkelt sæt. Formelt set bygger vi først et ækvivalensforhold og tager derefter kvoten angivet af denne relation. ${\ displaystyle \ mathbf {e}}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$

Men før vi kan gøre det, skal vi først udvikle, hvad vi vil tage ækvivalensforholdet over. Den måde, vi gør det på, er at nærme os dette omvendt, fra "bunden op": da vi ikke er garanteret et, i det mindste konstruerbart, grundlag, når vi starter fra vilkårlige vektorrum, kan vi i stedet prøve at starte med at garantere, at vi har en - det vil sige, vi starter først med at overveje et "grundlag", alene, som givet, og derefter bygge vektorrummet ovenpå. Til dette formål opnår vi følgende: formoder, at det er et sæt, som vi kunne kalde et abstrakt grundsæt . Overvej nu alle formelle udtryk for formularen ${\ displaystyle B}$

af vilkårlig, men endelig, længde og for hvilke der er skalarer og er medlemmer af Intuitivt, er dette en lineær kombination af basisvektorerne i den sædvanlige forstand at udvide et element i et vektorrum. Vi kalder dette et "formelt udtryk", fordi det teknisk set er ulovligt at formere sig, da der som standard ikke er defineret multiplikationsoperation på et vilkårligt sæt og et vilkårligt felt af skalarer. I stedet vil vi "foregive" (svarende til at definere de imaginære tal ), at dette refererer til noget, og derefter gå i gang med at manipulere det i henhold til de regler, vi forventer for et vektorrum, fx summen af ​​to sådanne strenge ved hjælp af den samme sekvens af medlemmer af is ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a_ {j}}$${\ displaystyle \ beta _ {j}}$${\ displaystyle B.}$${\ displaystyle a_ {j} \ beta _ {j}}$${\ displaystyle B}$

hvor vi har brugt associative , commutative og distributive love til at omarrangere den første sum til den anden. Ved at fortsætte på denne måde for skalarmultipler og alle kombinationer af forskellige længder af vektorer kan vi opbygge en vektortilsætning og skalarmultiplikation på dette sæt formelle udtryk, og vi kalder det det frie vektorrum over skrivning Bemærk, at elementerne betragtes som længde -en formelle udtryk med koefficient 1 foran, danner et Hamel -grundlag for dette rum. ${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle F (B).}$${\ displaystyle B,}$

Tensorproduktudtrykket abstraheres derefter ved at overveje, at hvis og repræsenterer "abstrakte basisvektorer" fra to sæt og det vil sige, at " " og " ", så regnes par af disse i det kartesiske produkt, dvs. at de står for tensorprodukterne (Bemærk, at tensor -produkterne i udtrykket er på en eller anden måde "atomiske", dvs. tilføjelser og skalar -multiplikationer deler dem ikke op i noget andet, så vi kan erstatte dem med noget andet uden at ændre den matematiske struktur.) Med sådan en identifikation kan vi definerer således tensorproduktet af to frie vektorrum og som noget (der endnu ikke skal besluttes), der er isomorft for${\ displaystyle \ beta _ {j}}$${\ displaystyle \ gamma _ {j}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle G,}$${\ displaystyle \ beta _ {j} = \ mathbf {e} _ {j}}$${\ displaystyle \ gamma _ {j} = \ mathbf {f} _ {j}}$${\ displaystyle B \ gange G,}$${\ displaystyle (\ beta _ {i}, \ gamma _ {j})}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {f} _ {j}.}$${\ displaystyle F (B)}$${\ displaystyle F (G)}$${\ displaystyle F (B \ gange G).}$

Ækvivalensforholdet

Ovenstående definition vil fungere for ethvert vektorrum, hvor vi kan specificere et grundlag, da vi bare kan genopbygge det som det frie vektorrum over dette grundlag: ovenstående konstruktion afspejler nøjagtigt, hvordan du repræsenterer vektorer via Hamel -grundkonstruktionen ved design. Vi har faktisk ikke vundet noget ... før vi gør dette.

Nu antager vi ikke adgang til baser for vektorrum, og som vi ønsker at danne tensorproduktet af. I stedet vil vi tage alle af og som "grundlag" for at opbygge de tensorer. Dette er den næstbedste ting og den eneste ting, vi garanteret vil være i stand til at gøre, uanset eventuelle bekymringer ved at finde et specifikt grundlag; dette svarer til at tilføje vilkårlige ydre produkter af vilkårlige vektorer. Den eneste forskel her er, at hvis vi bruger den frie vektorrummekonstruktion og danner det indlysende , vil den have mange redundante versioner af, hvad der skulle være den samme tensor; gå tilbage til vores grundsag, hvis vi overvejer eksemplet, hvor vi i standardgrundlaget kan overveje, at tensoren dannet af vektorer og dvs. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}}$${\ displaystyle F (V) \ otimes F (W) = F (V \ gange W),}$${\ displaystyle V = W = \ mathbb {R} ^{2}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ begin {bmatrix} 0 & 3 \ end {bmatrix}}^{\ mathsf {T}}}$${\ displaystyle \ mathbf {y} = {\ begin {bmatrix} 5 & -3 \ end {bmatrix}}^{\ mathsf {T}},}$

kunne også repræsenteres af andre summer, såsom summen ved hjælp af individuelle grundlæggende tensorer f.eks ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {j},}$

Disse, mens lige udtryk i den konkrete sag, ville svare til forskellige elementer i det frie vektorrum, nemlig ${\ displaystyle F (V \ gange W),}$

i det første tilfælde og

i det andet tilfælde. Således må vi kondensere dem - det er her ækvivalensforholdet spiller ind. Tricket til at bygge det er at bemærke, at givet enhver vektor i et vektorrum er det altid muligt at repræsentere det som summen af ​​to andre vektorer og ikke lig med originalen. Hvis ikke andet, lad være en hvilken som helst vektor og tag derefter - som også viser, at hvis vi får en vektor og derefter en anden vektor, kan vi skrive den første vektor i form af den anden sammen med en passende tredje vektor (faktisk på mange måder - overvej bare skalarmultipler af den anden vektor i samme subtraktion.). ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {b}}$${\ displaystyle \ mathbf {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {b}: = \ mathbf {x} -\ mathbf {a}}$

Dette er nyttigt for os, fordi det ydre produkt opfylder følgende linearitetsegenskaber, hvilket kan bevises ved simpel algebra på de tilsvarende matrixudtryk:

Hvis vi vil relatere det ydre produkt til f.eks. At vi kan bruge det første forhold ovenfor sammen med et passende udtryk for som en sum af en vektor og et skalært multiplum af${\ displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}}$${\ displaystyle \ mathbf {e_ {1}} \ otimes \ mathbf {w},}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {e_ {1}}.}$

Lighed mellem to konkrete tensorer opnås derefter, hvis brug af ovenstående regler giver os mulighed for at omarrangere den ene summe af ydre produkter i den anden ved passende nedbrydning af vektorer - uanset om vi har et sæt faktiske basisvektorer. Når vi anvender det på vores eksempel ovenfor, ser vi, at vi selvfølgelig har det

for hvilken substitution i

giver os

og fornuftig brug af fordelingsegenskaberne lader os omarrangere til den ønskede form. Ligeledes er der en tilsvarende "spejl" manipulation i forhold til de frie vektorrum elementer og etc., og dette til sidst fører os til den formelle definition af tensor produktet. ${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle (e_ {1}, e_ {1}),}$ ${\ displaystyle (e_ {1}, e_ {2}),}$

Sætter hele konstruktionen sammen

Det abstrakte tensorprodukt af to vektorrum og over et fælles basisfelt er kvotientvektorrummet${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle K}$

hvor er ækvivalensrelationen af formel lighed genereret ved at antage, at der for hver og taget som formelle udtryk i det frie vektorrum følgende hold: ${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle (v, w)}$${\ displaystyle (v ', w')}$${\ displaystyle F (V \ gange W),}$

Identitet

${\ displaystyle (v, w) \ sim (v, w).}$

Symmetri

${\ displaystyle (v, w) \ sim (v ', w')}$ indebærer ${\ displaystyle (v ', w') \ sim (v, w).}$

Transitivitet

${\ displaystyle (v, w) \ sim (v ', w')}$og indebærer${\ displaystyle (v ', w') \ sim (v '', w '')}$${\ displaystyle (v, w) \ sim (v '', w '').}$

Distribution

${\ displaystyle (v, w)+(v ', w) \ sim (v+v', w)}$ og ${\ displaystyle (v, w)+(v, w ') \ sim (v, w+w').}$

Skalær multipler

${\ displaystyle c (v, w) \ sim (v, cw)}$ og ${\ displaystyle c (v, w) \ sim (cv, w).}$

og derefter teste ækvivalens af generiske formelle udtryk gennem passende manipulationer baseret derpå. Aritmetik defineres på tensorproduktet ved at vælge repræsentative elementer, anvende de aritmetiske regler og til sidst tage ækvivalensklassen. Desuden er der givet to vektorer og ækvivalensklassen angivet${\ displaystyle v \ in V}$${\ displaystyle w \ i W,}$${\ displaystyle [(v, w)]}$${\ displaystyle v \ otimes w.}$

Ejendomme

Notation

Elementer af omtales ofte som tensorer , selvom dette udtryk også refererer til mange andre beslægtede begreber. Hvis v tilhører V og w tilhører W , betegnes ækvivalensklassen ( v , w ), som kaldes tensorproduktet af v med w . I fysik og teknik henviser denne brug af symbolet specifikt til den ydre produktdrift ; resultatet af det ydre produkt er en af ​​standardmetoderne til at repræsentere ækvivalensklassen Et element af det kan skrives i formen kaldes en ren eller simpel tensor . Generelt er et element i tensor -produktrummet ikke en ren tensor, men derimod en begrænset lineær kombination af rene tensorer. For eksempel, hvis og er lineært uafhængige , og og er også lineært uafhængige, kan det ikke skrives som en ren tensor. Antallet af simple tensorer, der kræves for at udtrykke et element i et tensorprodukt, kaldes tensorrangen (må ikke forveksles med tensororden , som er antallet af mellemrum, man har taget produktet af, i dette tilfælde 2; i notation, antal indekser), og for lineære operatorer eller matricer, der betragtes som (1, 1) tensorer (rumelementer ), stemmer det overens med matrixrangen . ${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle v \ otimes w,}$${\ displaystyle \, \ otimes \,}$${\ displaystyle v \ otimes w}$${\ displaystyle v \ otimes w.}$${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle v \ otimes w}$${\ displaystyle v_ {1}}$${\ displaystyle v_ {2}}$${\ displaystyle w_ {1}}$${\ displaystyle w_ {2}}$${\ displaystyle v_ {1} \ otimes w_ {1}+v_ {2} \ otimes w_ {2}}$${\ displaystyle V \ otimes V^{*}}$

Dimension

I betragtning af baser og for henholdsvis V og W danner tensorerne et grundlag for Derfor, hvis V og W er endelige-dimensionelle, er dimensionen af ​​tensorproduktet produktet af dimensioner af de originale rum; for eksempel er isomorf til${\ displaystyle \ left \ {v_ {i} \ right \}}$${\ displaystyle \ left \ {w_ {j} \ right \}}$${\ displaystyle \ left \ {v_ {i} \ otimes w_ {j} \ right \}}$${\ displaystyle V \ otimes W.}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{m} \ otimes \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{mn}.}$

Tensorprodukt af lineære kort

Tensor -produktet fungerer også på lineære kort mellem vektorrum. Specifikt givet to lineære kort og mellem vektorrum, er tensorproduktet af de to lineære kort S og T et lineært kort ${\ displaystyle S: V \ til X}$${\ displaystyle T: W \ til Y}$

defineret af

På denne måde bliver tensorproduktet en bifunktion fra kategorien vektorrum til sig selv, kovariant i begge argumenter.

Hvis S og T begge er injektive , surjektive eller (i tilfælde af at V , X , W og Y er normerede vektorrum eller topologiske vektorrum ) kontinuert , er det henholdsvis injektivt, surjektivt eller kontinuerligt. ${\ displaystyle S \ otimes T}$

Ved at vælge baser for alle involverede vektorrum kan de lineære kort S og T repræsenteres af matricer . Derefter, afhængigt af hvordan tensor vektoriseres matricen beskriver tensor produkt er Kronecker produkt af de to matricer. For eksempel, hvis V , X , W og Y ovenfor alle er todimensionale, og baser er blevet fikseret for dem alle, og S og T er givet af matricerne ${\ displaystyle v \ otimes w}$${\ displaystyle S \ otimes T}$

henholdsvis, er tensorproduktet af disse to matricer

Den resulterende rang er højst 4, og dermed er den resulterende dimension 4. Bemærk, at rang her betegner tensorrangen, dvs. antallet af nødvendige indekser (mens matrixrangen tæller antallet af frihedsgrader i det resulterende array). Bemærk${\ displaystyle \ operatorname {Tr} A \ otimes B = \ operatorname {Tr} A \ times \ operatorname {Tr} B.}$

Et dyadisk produkt er det særlige tilfælde af tensorproduktet mellem to vektorer af samme dimension.

Universel ejendom

I forbindelse med vektorrum er tensorproduktet og det tilhørende bilineariske kort karakteriseret op til isomorfisme af en universel egenskab vedrørende bilineariske kort . (Husk på, at et to -lineært kort er en funktion, der er særskilt lineær i hvert af dets argumenter.) Uformelt er det mest generelle to -lineære kort ud af${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle \ varphi: V \ gange W \ til V \ otimes W}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle V \ times W.}$

Vektorrummet og det tilhørende to -lineære kort har den egenskab, som ethvert to -lineært kort fra til alle vektorrumsfaktorer unikt igennem . Ved at sige " faktorer gennem unikt", mener vi, at der er et unikt lineært kort, sådan at${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle \ varphi: V \ gange W \ til V \ otimes W}$${\ displaystyle h: V \ gange W \ til Z}$${\ displaystyle V \ gange W}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle {\ tilde {h}}: V \ otimes W \ til Z}$${\ displaystyle h = {\ tilde {h}} \ circ \ varphi.}$

Denne karakterisering kan forenkle beviser for tensor -produktet. For eksempel er tensorproduktet symmetrisk, hvilket betyder, at der er en kanonisk isomorfisme :

At konstruere, siger et kort fra til det er tilstrækkeligt til at give et to -lineært kort, der kortlægger til Så betyder universelle egenskab af faktorerne et kort Et kort i den modsatte retning er defineret på samme måde, og man kontrollerer, at de to lineære kort og er inverse til hinanden ved igen at bruge deres universelle egenskaber. ${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle W \ otimes V,}$${\ displaystyle h: V \ gange W \ til W \ otimes V}$${\ displaystyle (v, w)}$${\ displaystyle w \ otimes v.}$${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ tilde {h}}: V \ otimes W \ til W \ otimes V.}$${\ displaystyle {\ tilde {g}}: W \ otimes V \ to V \ otimes W}$${\ displaystyle {\ tilde {h}}}$${\ displaystyle {\ tilde {g}}}$

Den universelle egenskab er yderst nyttig til at vise, at et kort til et tensorprodukt er injektivt. Antag for eksempel, at vi vil vise, at det er isomorft til Da alle simple tensorer har formen og derfor er alle elementer i tensorproduktet af formen ved additivitet i den første koordinat, har vi en naturlig kandidat til en isomorfisme givet ved kortlægning til og dette kort er trivielt surjektivt. ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ otimes \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle a \ otimes b = (ab) \ otimes 1,}$${\ displaystyle x \ otimes 1}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} \ otimes \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x \ otimes 1,}$

Viser injektivitet direkte ville indebære en eller anden måde at vise, at der ikke er nogen ikke-trivielle relationer mellem og til som synes skræmmende. Vi ved imidlertid, at der er et to -lineært kort givet ved at multiplicere koordinaterne sammen, og tensorproduktets universelle egenskab giver derefter et kort over vektorrum, der kortlægges til og derfor er en invers af den tidligere konstruerede homomorfisme, hvilket umiddelbart medfører den ønskede resultat. Bemærk, at det på forhånd ikke engang er klart, at dette inverse kort er veldefineret, men den universelle ejendom og tilhørende to-lineære kort tilsammen tilsiger, at dette er tilfældet. ${\ displaystyle x \ otimes 1}$${\ displaystyle y \ otimes 1}$${\ displaystyle x \ neq y,}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ otimes \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x \ otimes 1}$${\ displaystyle x,}$

Lignende ræsonnement kan bruges til at vise, at tensorproduktet er associativt, det vil sige, at der er naturlige isomorfier

$${\ displaystyle V_ {1} \ otimes \ left (V_ {2} \ otimes V_ {3} \ right) \ cong \ left (V_ {1} \ otimes V_ {2} \ right) \ otimes V_ {3}. }$$

Derfor er det sædvanligt at udelade parenteserne og skrive , så den ijk-th komponent af er ${\ displaystyle V_ {1} \ otimes V_ {2} \ otimes V_ {3}}$${\ displaystyle U \ otimes V \ otimes W}$

$${\ displaystyle (\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}) _ {ijk} = u_ {i} v_ {j} w_ {k},}$$

ligner det første eksempel på denne side.

Kategorien af ​​vektorrum med tensorprodukt er et eksempel på en symmetrisk monoid kategori .

Den universelle ejendomsdefinition af et tensorprodukt er gyldig i flere kategorier end blot kategorien vektorrum. I stedet for at bruge multilinear (bilinear) maps, anvender den generelle tensor -produktdefinition multimorfismer.

Tensorkræfter og fletning

Lad n være et ikke-negativt heltal. Den n th tensor effekt af vektorrummet V er den n -fold tensor produkt af V med sig selv. Det er

$${\ displaystyle V^{\ otimes n} \; {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} \; \ underbrace {V \ otimes \ cdots \ otimes V} _ {n}.}$$

En permutation af sættet bestemmer en kortlægning af

n th kartesiske magt V som følger: ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ {1,2, \ ldots, n \}}$

$${\ displaystyle {\ begin {cases} \ sigma: V^{n} \ til V^{n} \\\ sigma \ venstre (v_ {1}, v_ {2}, \ ldots, v_ {n} \ højre ) = \ left (v _ {\ sigma (1)}, v _ {\ sigma (2)}, \ ldots, v _ {\ sigma (n)} \ right) \ end {cases}}}$$

Lade

$${\ displaystyle \ varphi: V^{n} \ til V^{\ otimes n}}$$

være det naturlige multilinear indlejring af den kartesiske magt V i tensor magt V . Derefter er der ved den universelle ejendom en unik isomorfisme

$${\ displaystyle \ tau _ {\ sigma}: V^{\ otimes n} \ til V^{\ otimes n}}$$

sådan at

$${\ displaystyle \ varphi \ circ \ sigma = \ tau _ {\ sigma} \ circ \ varphi.}$$

Isomorfismen kaldes

fletningskortet forbundet med permutationen${\ displaystyle \ tau _ {\ sigma}}$${\ displaystyle \ sigma.}$

Produkt af tensorer

Se også: Klassisk behandling af tensorer

For ikke-negative heltal r og s er en type

tensor på et vektorrum V et element af ${\ displaystyle (r, s)}$

$${\ displaystyle T_ {s}^{r} (V) = \ underbrace {V \ otimes \ cdots \ otimes V} _ {r} \ otimes \ underbrace {V^{*} \ otimes \ cdots \ otimes V^{ *}} _ {s} = V^{\ otimes r} \ otimes \ left (V^{*} \ right)^{\ otimes s}.}$$

Her er det

dobbelte vektorrum (som består af alle lineære kort f fra V til jordfeltet K ). ${\ displaystyle V^{*}}$

Der er et produktkort, kaldet (tensor) produkt af tensors

$${\ displaystyle T_ {s}^{r} (V) \ otimes _ {K} T_ {s '}^{r'} (V) \ til T_ {s+s '}^{r+r'} ( V).}$$

Det defineres ved at gruppere alle forekommende "faktorer" V sammen: skrivning for et element af

V og for et element i dobbeltrummet, ${\ displaystyle v_ {i}}$${\ displaystyle f_ {i}}$

$${\ displaystyle (v_ {1} \ otimes f_ {1}) \ otimes (v '_ {1}) = v_ {1} \ otimes v' _ {1} \ otimes f_ {1}.}$$

Valg af et V -grundlag og det tilsvarende dobbelte basis for inducerer naturligvis et grundlag for (dette grundlag er beskrevet i

artiklen om Kronecker -produkter ). Med hensyn til disse baser kan komponenterne i et (tensor) produkt af to (eller flere) tensorer beregnes. For eksempel, hvis F og G er to kovariante tensorer af henholdsvis orden m og n (dvs. og ), er komponenterne i deres tensorprodukt givet ved ${\ displaystyle V^{*}}$${\ displaystyle T_ {s}^{r} (V)}$${\ displaystyle F \ i T_ {m}^{0}}$${\ displaystyle G \ i T_ {n}^{0}}$

$${\ displaystyle (F \ otimes G) _ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {m+n}} = F_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {m}} G_ {i_ { m+1} i_ {m+2} i_ {m+3} \ cdots i_ {m+n}}.}$$

Således er komponenterne i tensorproduktet fra to tensorer det almindelige produkt af komponenterne i hver tensor. Et andet eksempel: Lad U være en tensor af type (1, 1) med komponenter og lad

V være en tensor af typen med komponenter Derefter ${\ displaystyle U _ {\ beta}^{\ alpha},}$${\ displaystyle (1,0)}$${\ displaystyle V^{\ gamma}.}$

$${\ displaystyle \ left (U \ otimes V \ right)^{\ alpha} {} _ {\ beta} {}^{\ gamma} = U^{\ alpha} {} _ {\ beta} V^{\ gamma}}$$

og

$${\ displaystyle (V \ otimes U)^{\ mu \ nu} {} _ {\ sigma} = V^{\ mu} U^{\ nu} {} _ {\ sigma}.}$$

Tensorer udstyret med deres produktdrift danner en algebra , kaldet tensoralgebra .

Evalueringskort og tensorsammentrækning

For tensorer af typen (1, 1) er der et kanonisk evalueringskort

$${\ displaystyle V \ otimes V^{*} \ til K}$$

defineret af dets virkning på rene tensorer:

$${\ displaystyle v \ otimes f \ mapsto f (v).}$$

Mere generelt er der for tensorer af typen med

r , s > 0 et kort, kaldet tensorkontraktion , ${\ displaystyle (r, s),}$

$${\ displaystyle T_ {s}^{r} (V) \ til T_ {s-1}^{r-1} (V).}$$

(Kopierne af og som dette kort skal anvendes på, skal angives.) ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V^{*}}$

På den anden side, hvis den er

endelig-dimensionel , er der et kanonisk kort i den anden retning (kaldet coevaluation map ) ${\ displaystyle V}$

$${\ displaystyle {\ begin {cases} K \ to V \ otimes V^{*} \\\ lambda \ mapsto \ sum _ {i} \ lambda v_ {i} \ otimes v_ {i}^{*} \ end {cases}}}$$

hvor er ethvert grundlag for og er dets

dobbelte grundlag . Dette kort afhænger ikke af valget af grundlag. ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$${\ displaystyle V,}$${\ displaystyle v_ {i}^{*}}$

Samspillet mellem evaluering og samevaluering kan bruges til at karakterisere endelige-dimensionelle vektorrum uden at referere til baser.

Tilstødende repræsentation

Tensorproduktet kan naturligt betragtes som et modul for

Lie -algebraen ved hjælp af den diagonale handling: lad os for enkeltheden antage derefter for hver${\ displaystyle T_ {s}^{r} (V)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {End} (V)}$${\ displaystyle r = s = 1,}$${\ displaystyle u \ in \ mathrm {End} (V),}$

$${\ displaystyle u (a \ otimes b) = u (a) \ otimes ba \ otimes u^{*} (b),}$$

hvor er

transponeringen af u , det vil sige med hensyn til den indlysende parring på${\ displaystyle u^{*} \ om \ mathrm {End} \ venstre (V^{*} \ højre)}$${\ displaystyle V \ otimes V^{*},}$

$${\ displaystyle \ langle u (a), b \ rangle = \ langle a, u^{*} (b) \ rangle.}$$

Der er en kanonisk isomorfisme givet af ${\ displaystyle T_ {1}^{1} (V) \ til \ mathrm {End} (V)}$

$${\ displaystyle (a \ otimes b) (x) = \ langle x, b \ rangle a.}$$

Under denne isomorfisme kan hver u in først ses som en endomorfisme af og derefter ses som en endomorfisme af Faktisk er det den

tilhørende repræsentationsannonce ( u ) for${\ displaystyle \ mathrm {End} (V)}$${\ displaystyle T_ {1}^{1} (V)}$${\ displaystyle \ mathrm {End} (V).}$ ${\ displaystyle \ mathrm {End} (V).}$

Forholdet mellem tensorprodukt og Hom

I betragtning af to endelige dimensionelle vektorrum U , V over det samme felt K , betegner det dobbelte rum for U som U* og K -vektorrummet for alle lineære kort fra U til V som Hom ( U , V ) . Der er en isomorfisme,

$${\ displaystyle U^{*} \ otimes V \ cong \ mathrm {Hom} (U, V),}$$

defineret ved en handling af den rene tensor på et element af${\ displaystyle f \ otimes v \ i U^{*} \ otimes V}$${\ displaystyle U,}$

$${\ displaystyle (f \ otimes v) (u) = f (u) v.}$$

Dens "inverse" kan defineres ved hjælp af et grundlag og dets dobbelte basis som i afsnittet "

Evalueringskort og tensorsammentrækning " ovenfor: ${\ displaystyle \ {u_ {i} \}}$${\ displaystyle \ {u_ {i}^{*} \}}$

$${\ displaystyle {\ begin {cases} \ mathrm {Hom} (U, V) \ til U^{*} \ otimes V \\ F \ mapsto \ sum _ {i} u_ {i}^{*} \ otimes F (u_ {i}). \ End {cases}}}$$

Dette resultat indebærer

$${\ displaystyle \ dim (U \ otimes V) = \ dim (U) \ dim (V),}$$

som giver automatisk den vigtige kendsgerning, at danner grundlag for hvor er grundlag for

U og V . ${\ displaystyle \ {u_ {i} \ otimes v_ {j} \}}$${\ displaystyle U \ otimes V}$${\ displaystyle \ {u_ {i} \}, \ {v_ {j} \}}$

I betragtning af tre vektorrum U , V , W er tensorproduktet endvidere forbundet til vektorrummet for alle lineære kort som følger:

$${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (U \ otimes V, W) \ cong \ mathrm {Hom} (U, \ mathrm {Hom} (V, W)).}$$

Dette er et eksempel på adjoint functors : tensor -produktet er "venstre adjoint" til Hom.

Tensor produkter af moduler over en ring

Hovedartikel: Tensorprodukt af moduler

Tensorproduktet af to moduler A og B over en kommutativ ring R er defineret på nøjagtig samme måde som tensorproduktet af vektorrum over et felt:

$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B: = F (A \ gange B)/G}$$

hvor nu er det frie R -modul genereret af det cartesiske produkt og G er R -modulet genereret af de samme relationer som ovenfor . ${\ displaystyle F (A \ gange B)}$

Mere generelt kan tensorproduktet defineres, selvom ringen er ikke-kommutativ . I dette tilfælde skal A være en højre- R -modul og B er en venstre- R -modul, og i stedet for de to sidste relationer ovenfor er forholdet

$${\ displaystyle (ar, b) \ sim (a, rb)}$$

er pålagt. Hvis R er ikke -kommutativ, er dette ikke længere et R -modul, men bare en abelsk gruppe .

Den universelle egenskab bærer også over, lidt modificeret: kortet defineret af er et

midterlinearisk kort (omtalt som "det kanoniske midterlinjære kort".); det vil sige tilfredsstiller: ${\ displaystyle \ varphi: A \ gange B \ til A \ otimes _ {R} B}$${\ displaystyle (a, b) \ mapsto a \ otimes b}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} \ phi (a+a ', b) & = \ phi (a, b)+\ phi (a', b) \\\ phi (a, b+b ') & = \ phi (a, b)+\ phi (a, b ') \\\ phi (ar, b) & = \ phi (a, rb) \ end {justeret}}}$$

De to første egenskaber gør φ til et to -lineært kort over den abelske gruppe For ethvert midterlinjært kort over en unik gruppe homomorfisme

f af tilfredsstiller, og denne egenskab bestemmer inden for gruppe isomorfisme. Se hovedartiklen for detaljer. ${\ displaystyle A \ gange B.}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle A \ gange B,}$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}$${\ displaystyle \ psi = f \ circ \ varphi,}$${\ displaystyle \ phi}$

Tensor produkt af moduler over en ikke-kommutativ ring

Lad A være en højre R -modul og B være en venstre R -modul. Så er tensorproduktet af A og B en abelsk gruppe defineret af

$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B: = F (A \ gange B)/G}$$

hvor er en fri abelsk gruppe over og G er undergruppen af genereret af relationer ${\ displaystyle F (A \ gange B)}$${\ displaystyle A \ gange B}$${\ displaystyle F (A \ gange B)}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} & \ forall a, a_ {1}, a_ {2} \ in A, \ forall b, b_ {1}, b_ {2} \ i B, {\ text {for alle }} r \ i R: \\ & (a_ {1}, b)+(a_ {2}, b)-(a_ {1}+a_ {2}, b), \\ & (a, b_ { 1})+(a, b_ {2})-(a, b_ {1}+b_ {2}), \\ & (ar, b)-(a, rb). \\\ end {align}} }$$

Den universelle ejendom kan angives som følger. Lad G være en abelsk gruppe med et kort, der er bilinear, i den forstand at ${\ displaystyle q: A \ gange B \ til G}$

$${\ displaystyle {\ begin {justeret} q (a_ {1}+a_ {2}, b) & = q (a_ {1}, b)+q (a_ {2}, b), \\ q (a , b_ {1}+b_ {2}) & = q (a, b_ {1})+q (a, b_ {2}), \\ q (ar, b) & = q (a, rb). \ end {align}}}$$

Så er der et unikt kort sådan, at for alle og${\ displaystyle {\ overline {q}}: A \ otimes B \ to G}$${\ displaystyle {\ overline {q}} (a \ otimes b) = q (a, b)}$${\ displaystyle a \ i A}$${\ displaystyle b \ i B.}$

Desuden kan vi give en modulstruktur under nogle ekstra betingelser: ${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}$

1. Hvis A er en ( S , R ) -bimodul, så er en venstre

S -modul hvor${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}$${\ displaystyle s (a \ otimes b): = (sa) \ otimes b.}$

Hvis B er en ( R , S ) -bimodul, så er en højre

S -modul hvor${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}$${\ displaystyle (a \ otimes b) s: = a \ otimes (bs).}$

Hvis A er en ( S , R ) -bimodule og B er en ( R , T ) -bimodul, så er en (

S , T ) -bimodul, hvor venstre og højre handlinger er defineret på samme måde som de to foregående eksempler.${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}$

Hvis R er en kommutativ ring, så er A og B ( R , R ) -bimoduler hvor og Ved 3), kan vi konkludere, er en (

R , R ) -bimodul.${\ displaystyle ra: = ar}$${\ displaystyle br: = rb.}$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}$

Beregning af tensorproduktet

For vektorrum beregnes tensorproduktet hurtigt, da baser af

V for W umiddelbart bestemmer et grundlag for som blev nævnt ovenfor. For moduler over en generel (kommutativ) ring er ikke alle moduler gratis. For eksempel er Z / n Z ikke en fri abelsk gruppe ( Z -modul). Tensorproduktet med Z / n Z er givet af ${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle V \ otimes W,}$

$${\ displaystyle M \ otimes _ {\ mathbf {Z}} \ mathbf {Z} /n \ mathbf {Z} = M /nM.}$$

Mere generelt givet en præsentation af noget R -modul M , det vil sige en række generatorer sammen med relationer ${\ displaystyle m_ {i} \ i M, i \ i I}$

$${\ displaystyle \ sum _ {j \ i J} a_ {ji} m_ {i} = 0, \ qquad a_ {ij} \ i R,}$$

tensor -produktet kan beregnes som følgende cokernel :

$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N = \ operatorname {coker} \ venstre (N^{J} \ til N^{I} \ højre)}$$

Her og kortet bestemmes ved at sende nogle i den

j kopi af til (in ). I daglig tale kan dette omformuleres ved at sige, at en præsentation af M giver anledning til en præsentation af Dette refereres til ved at sige, at tensorproduktet er en helt nøjagtig funktor . Det er generelt ikke nøjagtigt venstre, det vil sige givet et injektivt kort over R -moduler tensorproduktet ${\ displaystyle N^{J} = \ oplus _ {j \ i J} N,}$${\ displaystyle N^{J} \ til N^{I}}$${\ displaystyle n \ i N}$${\ displaystyle N^{J}}$${\ displaystyle a_ {ij} n}$${\ displaystyle N^{I}}$${\ displaystyle M \ oplus _ {R} N.}$${\ displaystyle M_ {1} \ til M_ {2},}$

$${\ displaystyle M_ {1} \ otimes _ {R} N \ til M_ {2} \ otimes _ {R} N}$$

er normalt ikke injektiv. For eksempel giver tensorering af det (injektive) kort givet ved multiplikation med n , n  : Z → Z med Z / n Z nulkortet 0: Z / n Z → Z / n Z , hvilket ikke er injektivt. Højere Tor -funktioner måler, at defekten af ​​tensorproduktet ikke efterlades nøjagtig. Alle højere Tor -funktorer samles i det afledte tensor -produkt .

Tensorprodukt af algebraer

Hovedartikel: Tensorprodukt af algebraer

Lad R være en kommutativ ring. Tensorproduktet af R -moduler gælder især, hvis A og B er R -algebraer . I dette tilfælde er tensorproduktet et

R -algebra i sig selv ved at sætte ${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}$

$${\ displaystyle (a_ {1} \ otimes b_ {1}) \ cdot (a_ {2} \ otimes b_ {2}) = (a_ {1} \ cdot a_ {2}) \ otimes (b_ {1} \ cdot b_ {2}).}$$

For eksempel,

$${\ displaystyle R [x] \ otimes _ {R} R [y] \ cong R [x, y].}$$

Et særligt eksempel er, når A og B er felter, der indeholder en fælles delfelt R . Den tensor produkt af felter er nært beslægtet med Galois teori : hvis fx A = R [ x ] / f ( x ) , hvor f er nogle irreducible polynomium med koefficienter i R , kan tensor produkt beregnes som

$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B \ cong B [x]/f (x)}$$

hvor nu f tolkes som det samme polynomium, men med sine koefficienter betragtes som elementer i B . I det større felt B kan polynomet blive reducerbart, hvilket indbringer Galois -teorien. For eksempel, hvis A = B er en Galois -udvidelse af R , så

$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} A \ cong A [x]/f (x)}$$

er isomorf (som en A -algebra) til${\ displaystyle A^{\ operatorname {deg} (f)}.}$

Eigenkonfigurationer af tensorer

Kvadratiske matricer med indgange i en

felt repræsenterer lineære afbildninger af vektorrum , sige og dermed lineære afbildninger af projektive rum end Hvis er non-singul derefter er veldefineret overalt, og egenvektorer af svarer til de faste punkter i The eigenconfiguration af består af punkter i forudsat er generisk og er algebraisk lukket . De faste punkter på ikke -lineære kort er egenvektorer for tensorer. Lad være en -dimensionel tensor af format med poster, der ligger i et algebraisk lukket felt med karakteristisk nul. En sådan tensor definerer polynomiske kort og med koordinater ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K^{n} \ til K^{n},}$${\ displaystyle \ psi: \ mathbb {P} ^{n-1} \ to \ mathbb {P} ^{n-1}}$${\ displaystyle K.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ psi.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n-1},}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle A = (a_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {d}})}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle n \ times n \ times \ cdots \ times n}$${\ displaystyle (a_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {d}})}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle A \ in (K^{n})^{\ otimes d}}$ ${\ displaystyle K^{n} \ til K^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n-1} \ to \ mathbb {P} ^{n-1}}$

$${\ displaystyle \ psi _ {i} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {j_ {2} = 1}^{n} \ sum _ {j_ {3} = 1} ^{n} \ cdots \ sum _ {j_ {d} = 1}^{n} a_ {ij_ {2} j_ {3} \ cdots j_ {d}} x_ {j_ {2}} x_ {j_ {3 }} \ cdots x_ {j_ {d}} \; \; {\ mbox {for}} i = 1, \ ldots, n}$$

Hver af koordinaterne for er således et

homogent polynom af grad i Egenvektorerne er begrænsningens løsninger ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle \ psi _ {i}}$${\ displaystyle d-1}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ venstre (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ højre).}$${\ displaystyle A}$

$${\ displaystyle {\ mbox {rank}} {\ begin {pmatrix} x_ {1} & x_ {2} & \ cdots & x_ {n} \\\ psi _ {1} (\ mathbf {x}) & \ psi _ {2} (\ mathbf {x}) & \ cdots & \ psi _ {n} (\ mathbf {x}) \ end {pmatrix}} \ leq 1}$$

og egenkonfigurationen er givet af sorten af

mindreårige i denne matrix. ${\ displaystyle 2 \ gange 2}$

Andre eksempler på tensor -produkter

Tensorprodukt af Hilbert -rum

Hovedartikel: Tensorprodukt af Hilbert -rum

Hilbert-rum generaliserer endelige-dimensionelle vektorrum til utallige uendelige dimensioner. Tensorproduktet er stadig defineret; det er tensorproduktet af Hilbert -rum .

Topologisk tensor -produkt

Hovedartikel: Topologisk tensorprodukt

Når grundlaget for et vektorrum ikke længere er tællbart, er den passende aksiomatiske formalisering for vektorrummet et topologisk vektorrums . Tensorproduktet er stadig defineret, det er det topologiske tensorprodukt .

Tensorprodukt af graderede vektorrum

Hovedartikel: Graderet vektorrum § Operationer på graderede vektorrum

Nogle vektorrum kan nedbrydes til direkte summer af underrum. I sådanne tilfælde kan tensorproduktet fra to mellemrum dekomponeres i summer af produkter fra underrummene (analogt med den måde, multiplikation fordeler sig på addition).

Tensorprodukt af repræsentationer

Hovedartikel: Tensorprodukt af repræsentationer

Vektorrum udstyret med en yderligere multiplikativ struktur kaldes algebraer . Tensorproduktet af sådanne algebraer er beskrevet af Littlewood -Richardson -reglen .

Tensorprodukt af kvadratiske former

Hovedartikel: Tensorprodukt af kvadratiske former

Tensorprodukt af flere lineære former

I betragtning af to flerlinjære former og på et vektorrum over feltet er deres tensorprodukt den multilinære form ${\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {k})}$${\ displaystyle g (x_ {1}, \ dots, x_ {m})}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle K}$

$${\ displaystyle (f \ otimes g) (x_ {1}, \ dots, x_ {k+m}) = f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) g (x_ {k+1}, \ prikker, x_ {k+m}).}$$

Dette er et specielt tilfælde af produktet af tensorer, hvis de ses som multilineariske kort (se også tensors som multilineariske kort ). Således kan komponenterne i tensorproduktet i flerlinjære former beregnes af Kronecker -produktet .

Tensorprodukt af skiver af moduler

Hovedartikel: Skive af moduler

Tensorprodukt af linjebundter

Hovedartikel: Vektorbundt § Operationer på vektorgrupper

Se også: tensor produktbundt

Tensorprodukt af felter

Hovedartikel: Tensorprodukt af felter

Tensorprodukt af grafer

Hovedartikel: Tensorprodukt af grafer

Det skal nævnes, at selvom det kaldes "tensorprodukt", er dette ikke et tensorprodukt af grafer i ovenstående betydning; faktisk er det det kategoriteoretiske produkt i kategorien grafer og grafhomomorfismer . Men det er faktisk det Kronecker tensor produkt af adjacency matricer af graferne. Sammenlign også afsnittet Tensor -produkt af lineære kort ovenfor.

Monoide kategorier

Den mest generelle indstilling for tensorproduktet er den monoide kategori . Det indfanger tensoringens algebraiske essens uden at henvise til noget specifikt, hvad der bliver tensoreret. Således kan alle tensorprodukter udtrykkes som en anvendelse af den monoide kategori til en bestemt indstilling, der virker på nogle bestemte objekter.

Kvotientalgebraer

En række vigtige underrum af tensoralgebraen kan konstrueres som kvotienter : disse omfatter den ydre algebra , den symmetriske algebra , Clifford -algebraen , Weyl -algebraen og den universelle omsluttende algebra generelt.

Den udvendige algebra er konstrueret af det ydre produkt . I betragtning af et vektorrum V er det ydre produkt defineret som ${\ displaystyle V \ kile V}$

$${\ displaystyle V \ wedge V: = V \ otimes V/\ {v \ otimes v \ mid v \ in V \}.}$$

Bemærk, at når det underliggende felt for V ikke har karakteristik 2, svarer denne definition til

$${\ displaystyle V \ kile V: = V \ otimes V/\ {v_ {1} \ otimes v_ {2}+v_ {2} \ otimes v_ {1} \ mid (v_ {1}, v_ {2}) \ i V^{2} \}.}$$

Billedet af i det ydre produkt sædvanligvis betegnet og opfylder, ved konstruktion, Lignende konstruktioner er mulige for ( n faktorer), hvilket giver anledning til den n th ydre kraft af V . Sidstnævnte opfattelse er grundlaget for differentielle n -former . ${\ displaystyle v_ {1} \ otimes v_ {2}}$${\ displaystyle v_ {1} \ kile v_ {2}}$${\ displaystyle v_ {1} \ kile v_ {2} =-v_ {2} \ kile v_ {1}.}$${\ displaystyle V \ otimes \ dots \ otimes V}$${\ displaystyle \ Lambda ^{n} V,}$

Den symmetriske algebra er konstrueret på en lignende måde ud fra det symmetriske produkt

$${\ displaystyle V \ odot V: = V \ otimes V/\ {v_ {1} \ otimes v_ {2} -v_ {2} \ otimes v_ {1} \ mid (v_ {1}, v_ {2}) \ i V^{2} \}.}$$

Mere generelt

$${\ displaystyle \ operatorname {Sym} ^{n} V: = \ underbrace {V \ otimes \ dots \ otimes V} _ {n}/(\ dots \ otimes v_ {i} \ otimes v_ {i+1} \ otimes \ dots -\ dots \ otimes v_ {i+1} \ otimes v_ {i} \ otimes \ dots)}$$

Det vil sige, at i den symmetriske algebra kan to tilstødende vektorer (og derfor alle) udskiftes. De resulterende objekter kaldes symmetriske tensorer .

Tensorprodukt i programmering

Array programmeringssprog

Array programmeringssprog kan have dette mønster indbygget. F.eks. I APL udtrykkes tensorproduktet som ○.×(f.eks. A ○.× BEller A ○.× B ○.× C). I J er tensorproduktet den dyadiske form af */(f.eks. a */ bEller a */ b */ c).

Bemærk, at J's behandling også tillader repræsentation af nogle tensorfelter, som aog bkan være funktioner i stedet for konstanter. Dette produkt af to funktioner er en afledt funktion, og hvis aog ber differentierbare , så a */ ber det differentierbart.

Denne form for notation findes imidlertid ikke universelt på array -sprog. Andre array-sprog kræver muligvis eksplicit behandling af indekser (f.eks. MATLAB ) og /eller understøtter muligvis ikke funktioner i højere orden, f.eks. Det jacobiske derivat (f.eks. Fortran /APL).

Se også

• Dyadisk produkt
• Udvidelse af skalarer
• Monoid kategori  - Kategori, der tillader tensorprodukter
• Tensor algebra  - Universel konstruktion i multilinear algebra
• Tensorsammentrækning
• Topologisk tensorprodukt  - Tensorproduktkonstruktioner til topologiske vektorrum

Noter

Referencer

• Bourbaki, Nicolas (1989). Elementer af matematik, algebra jeg . Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9.
• Gowers, Timothy . "Sådan mister du din frygt for tensorprodukter" . Arkiveret fra originalen 23. juli 2021.
• Grillet, Pierre A. (2007). Abstrakt algebra . Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 978-0387715674.
• Halmos, Paul (1974). Endelige dimensionelle vektorrum . Springer. ISBN 0-387-90093-4.
• Hungerford, Thomas W. (2003). Algebra . Springer. ISBN 0387905189.
• Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Revideret tredje udgave), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556 , Zbl  0984.00001
• Mac Lane, S .; Birkhoff, G. (1999). Algebra . AMS Chelsea. ISBN 0-8218-1646-2.
• Aguiar, M .; Mahajan, S. (2010). Monoide funktioner, arter og Hopf -algebraer . CRM Monograph Series Vol 29. ISBN 978-0-8218-4776-3.
• "Bibliografi om gruppers nonabeliske tensorprodukt" .