Tensorer i kurvlinære koordinater - Tensors in curvilinear coordinates

Kurvlinære koordinater kan formuleres i tensorberegning med vigtige anvendelser inden for fysik og teknik , især til beskrivelse af transport af fysiske størrelser og deformation af stof i fluidmekanik og kontinuummekanik .

Vektor og tensoralgebra i tredimensionelle krumlinjede koordinater

Bemærk: Einstein-summeringskonventionen om opsummering på gentagne indekser bruges nedenfor.

Elementær vektor og tensoralgebra i kurvlinære koordinater bruges i noget af den ældre videnskabelige litteratur inden for mekanik og fysik og kan være uundværlig for at forstå arbejde fra begyndelsen og midten af ​​1900'erne, for eksempel teksten af ​​Green og Zerna. Nogle nyttige relationer i algebra af vektorer og andenordens tensorer i krumlinjære koordinater er angivet i dette afsnit. Notationen og indholdet er primært fra Ogden, Naghdi, Simmonds, Green og Zerna, Basar og Weichert og Ciarlet.

Koordinere transformationer

Overvej to koordinatsystemer med koordinatvariabler, og som vi kort skal repræsentere som henholdsvis retfærdige og altid antage, at vores indeks løber fra 1 til 3. Vi antager, at disse koordinatsystemer er indlejret i det tredimensionelle euklidiske rum. Koordinater og kan bruges til at forklare hinanden, for når vi bevæger os langs koordinatlinjen i det ene koordinatsystem, kan vi bruge den anden til at beskrive vores position. På denne måde koordinerer og er hinandens funktioner

til

som kan skrives som

til

Disse tre ligninger kaldes sammen også en koordinatransformation fra til. Lad os betegne denne transformation med . Vi repræsenterer derfor transformationen fra koordinatsystemet med koordinatvariabler til koordinatsystemet med koordinater som:

På samme måde kan vi repræsentere som en funktion af som følger:

til

på samme måde kan vi skrive de gratis ligninger mere kompakt som

til

Disse tre ligninger kaldes også sammen en koordinatransformation fra til . Lad os betegne denne transformation ved . Vi repræsenterer transformationen fra koordinatsystemet med koordinatvariabler til koordinatsystemet med koordinater som:

Hvis transformation er bijektiv, kalder vi billedet af transformation, nemlig et sæt tilladte koordinater til . Hvis det er lineært, kaldes koordinatsystemet et affinat koordinatsystem , ellers kaldes det et krumlinjært koordinatsystem

Jacobianeren

Da vi nu ser, at koordinaterne og er funktionerne for hinanden, kan vi tage afledningen af ​​koordinatvariablen i forhold til koordinatvariablen

overveje

for disse derivater kan arrangeres i en matrix, for eksempel , hvor elementet er i rækken og kolonnen

Den resulterende matrix kaldes den Jacobianske matrix.

Vektorer i kurvlinære koordinater

Lad ( b 1 , b 2 , b 3 ) være et vilkårligt grundlag for et tredimensionelt euklidisk rum. Generelt er basisvektorerne hverken enhedsvektorer eller indbyrdes ortogonale . Det kræves dog, at de er lineært uafhængige. Derefter kan en vektor v udtrykkes som

Komponenterne v k er de kontravariant komponenter i vektoren v .

Det gensidige grundlag ( b 1 , b 2 , b 3 ) defineres af forholdet

hvor δ i j er Kronecker-deltaet .

Vektoren v kan også udtrykkes som det gensidige grundlag:

Komponenterne v k er de covariant komponenter af vektoren .

Andenordens tensorer i krumme koordinater

En anden ordens tensor kan udtrykkes som

Komponenterne S ij kaldes kontravariant komponenter, S i j de blandede højre-covariant komponenter, S i j de blandede venstre- covariant komponenter, og S ij de covariant komponenter af andenordens tensor.

Metrisk tensor og forholdet mellem komponenter

Mængderne g ij , g ij er defineret som

Fra ovenstående ligninger har vi

Komponenterne i en vektor er relateret af

Også,

Komponenterne i andenordens tensor er relateret til

Den skiftende tensor

På en ortonormal højrehåndsbasis defineres den tredje ordens alternerende tensor som

Generelt kan den samme tensor udtrykkes som

Det kan vises

Nu,

Derfor,

På samme måde kan vi vise det

Vector operationer

Identitetskort

Identitetskortet, som jeg definerede, kan vises til at være:

Scalar (dot) produkt

Det skalære produkt af to vektorer i krumlinjede koordinater er

Vektor (kryds) produkt

Den cross produkt af to vektorer er givet ved:

hvor ε ijk er permutationssymbolet og e i er en kartesisk basisvektor. I kurvlinære koordinater er det ækvivalente udtryk:

hvor er tredje ordens alternerende tensor . Den cross produkt af to vektorer er givet ved:

hvor ε ijk er permutationssymbolet og er en kartesisk basisvektor. Derfor,

og

Derfor,

Vender tilbage til vektorproduktet og bruger forholdet:

giver os:

Tensoroperationer

Identitetskort

Identitetskortet defineret af kan vises at være

Handling af en anden ordens tensor på en vektor

Handlingen kan udtrykkes i kurvlinære koordinater som

Indre produkt af to andenordens tensorer

Det indre produkt af to andenordens tensorer kan udtrykkes i kurvlinære koordinater som

Alternativt

Bestemmelse af en anden ordens tensor

Hvis er en andenordens tensor, defineres determinanten af ​​forholdet

hvor er vilkårlige vektorer og

Forholdet mellem krumlinjære og kartesiske basisvektorer

Lad ( e 1 , e 2 , e 3 ) være de sædvanlige kartesiske basisvektorer for det euklidiske interesseområde og lad

hvor F Jeg er en anden ordens transformation tensor at kortene e jeg at b jeg . Derefter,

Fra dette forhold kan vi vise det

Lad være transformationen Jakob. Fra definitionen af ​​determinanten,

Siden

vi har

Et antal interessante resultater kan udledes ved hjælp af ovenstående forhold.

Overvej først

Derefter

På samme måde kan vi vise det

Derfor bruger det faktum, at ,

En anden interessant relation er afledt nedenfor. Husk det

hvor A er en alligevel ubestemt konstant. Derefter

Denne observation fører til forholdet

I indeksnotation,

hvor er det sædvanlige permutationssymbol .

Vi har ikke identificeret et eksplicit udtryk for transformationstensoren F, fordi en alternativ form for kortlægningen mellem krumlinjær og kartesisk base er mere nyttig. Under forudsætning af en tilstrækkelig grad af glathed i kortlægningen (og lidt misbrug af notation) har vi det

Tilsvarende

Fra disse resultater har vi

og

Vektor- og tensorberegning i tredimensionelle krumlinjede koordinater

Bemærk: Einstein-summeringskonventionen om opsummering på gentagne indekser bruges nedenfor.

Simmonds, i sin bog om tensor analyse , citerer Albert Einstein siger

Denne teoris magi vil næppe undlade at påtvinge sig nogen, der virkelig har forstået den; det repræsenterer en ægte triumf for metoden til absolut differentiell beregning, grundlagt af Gauss, Riemann, Ricci og Levi-Civita.

Vektor- og tensor-beregning i almindelige kurvlinære koordinater anvendes i tensoranalyse på firedimensionelle krumlinjeformede manifolder i generel relativitet , i mekanikken i buede skaller , til at undersøge de invariansegenskaber af Maxwells ligninger, som har været af interesse i metamaterialer og i mange andre områder .

Nogle nyttige forhold i beregningen af ​​vektorer og andenordens tensorer i krumlinjede koordinater er angivet i dette afsnit. Notationen og indholdet er primært fra Ogden, Simmonds, Green og Zerna, Basar og Weichert og Ciarlet.

Grundlæggende definitioner

Lad placeringen af ​​et punkt i rummet være karakteriseret ved tre koordinatvariabler .

Den koordinat kurve q 1 betegner en kurve, hvor q 2 , q 3 er konstante. Lad x være punktets vektor i forhold til en eller anden oprindelse. Så forudsat at en sådan kortlægning og dens inverse eksisterer og er kontinuerlig, kan vi skrive

Felterne ψ i ( x ) kaldes de krumlinjære koordinatfunktioner i det krumlinjære koordinatsystem ψ ( x ) = φ -1 ( x ).

Den q jeg koordinere kurver er defineret ved et-parameter familie af funktioner givet ved

med q j , q k fast.

Tangentvektor til koordinering af kurver

Den tangent vektor til kurven x jeg ved punktet x i (α) (eller til koordinatsystemet kurven q i i punktet x ) er

Gradient

Scalar felt

Lad f ( x ) være et skalært felt i rummet. Derefter

Gradienten af ​​feltet f er defineret af

hvor c er en vilkårlig konstant vektor. Hvis vi definerer komponenterne c jeg af c er sådan, at

derefter

Hvis vi sætter , så har vi gjort det siden

som tilvejebringer et middel til at ekstrahere den kontravariant komponent i en vektor c .

Hvis b jeg er covariant (eller naturlige) basis i et punkt, og hvis b jeg er kontravariant (eller gensidige) basis på dette punkt, derefter

En kort begrundelse for dette valg af basis gives i det næste afsnit.

Vektor felt

En lignende proces kan bruges til at nå frem til gradienten af ​​et vektorfelt f ( x ). Gradienten er givet af

Hvis vi betragter gradienten af ​​positionsvektorfeltet r ( x ) = x , kan vi vise det

Vektorfeltet b jeg er tangent til q jeg koordinere kurve og danner en naturlig basis ved hvert punkt på kurven. Dette grundlag, som diskuteret i begyndelsen af ​​denne artikel, kaldes også det covariante krumlinjære grundlag. Vi kan også definere et gensidigt grundlag eller kontravariant krumlinjært grundlag, b i . Alle de algebraiske forhold mellem basisvektorerne, som diskuteret i afsnittet om tensoralgebra, gælder for det naturlige grundlag og dets gensidige på hvert punkt x .

Da c er vilkårlig, kan vi skrive

Bemærk, at kontravariant basisvektor b jeg er vinkelret på overfladen af konstant ψ jeg og er givet ved

Christoffel symboler af den første slags

De Christoffel symboler af den første art er defineret som

For at udtrykke Γ ijk med hensyn til g ij bemærker vi det

Da b i, j = b j, i har vi Γ ijk = Γ jik . Brug af disse til at omarrangere ovenstående forhold giver

Christoffel symboler af anden slags

De Christoffel symboler af den anden art er defineret som

hvori

Dette indebærer, at

Andre relationer, der følger, er

Et andet særligt nyttigt forhold, der viser, at Christoffel-symbolet kun afhænger af metrisk tensor og dets derivater, er

Eksplicit udtryk for gradienten af ​​et vektorfelt

De følgende udtryk for gradienten af ​​et vektorfelt i kurvlinære koordinater er ret nyttige.

Repræsenterer et fysisk vektorfelt

Vektorfeltet v kan repræsenteres som

hvor er feltets kovariante komponenter, er de fysiske komponenter og (ingen opsummering )

er den normaliserede kontravariant basisvektor.

Andenordens tensorfelt

Gradienten af ​​et andet ordens tensorfelt kan ligeledes udtrykkes som

Eksplicitte udtryk for gradienten

Hvis vi betragter udtrykket for tensoren i form af et kontravariant grundlag, så

Vi kan også skrive

Repræsenterer et fysisk andenordens tensorfelt

De fysiske komponenter i et andet ordens tensorfelt kan opnås ved anvendelse af en normaliseret kontravariant basis, dvs.

hvor de hatte basisvektorer er blevet normaliseret. Dette indebærer, at (igen ingen opsummering)

Divergens

Vektor felt

Den divergens af et vektorfelt ( ) er defineret som

Med hensyn til komponenter med hensyn til en krumlinjær basis

En alternativ ligning for divergensen af ​​et vektorfelt anvendes ofte. For at udlede dette forhold husk det

Nu,

Bemærker, at på grund af symmetrien af ,

vi har

Husk, at hvis [ g ij ] er matrixen, hvis komponenter er g ij , så er matrixens inverse . Matrixens inverse er givet af

hvor A ij er kofaktormatrixen for komponenterne g ij . Fra matrixalgebra har vi

Derfor,

Tilslutning af dette forhold til udtrykket for divergensen giver

En lille manipulation fører til den mere kompakte form

Andenordens tensorfelt

Den divergens af en anden ordens tensor felt er defineret ved hjælp

hvor a er en vilkårlig konstant vektor. I krumme koordinater,

Laplacian

Scalar felt

Laplacian i et skalarfelt φ ( x ) defineres som

Brug af det alternative udtryk for divergensen af ​​et vektorfelt giver os

Nu

Derfor,

Krølle af et vektorfelt

Krøllen for et vektorfelt v i covariante krumlinjære koordinater kan skrives som

hvor

Ortogonale krumlinjære koordinater

Antag med henblik på dette afsnit, at det krumlinjære koordinatsystem er ortogonalt , dvs.

eller ækvivalent

hvor . Som før, er covariant basisvektorer og b jeg , b j er kontravariant basisvektorer. Lad også ( e 1 , e 2 , e 3 ) være en baggrund, fast, kartesisk basis. En liste over ortogonale kurvlinære koordinater er angivet nedenfor.

Metrisk tensor i ortogonale krøllede koordinater

Lad r ( x ) være punktvektoren for punktet x i forhold til koordinatsystemets oprindelse. Notationen kan forenkles ved at bemærke, at x = r ( x ). På hvert punkt kan vi konstruere et lille linjeelement d x . Kvadratet for linieelementets længde er det skalære produkt d x • d x og kaldes metricen for rummet . Husk, at interesseområdet antages at være euklidisk, når vi taler om krumlinjære koordinater. Lad os udtrykke placeringsvektoren med hensyn til baggrund, fast, kartesisk basis, dvs.

Ved hjælp af kædereglen kan vi derefter udtrykke d x i form af tredimensionelle ortogonale krumlinjære koordinater ( q 1 , q 2 , q 3 ) som

Derfor er metricen givet af

Den symmetriske størrelse

kaldes den grundlæggende (eller metriske) tensor i det euklidiske rum i krumlinjære koordinater.

Bemærk også det

hvor h ij er Lamé-koefficienterne.

Hvis vi definerer skaleringsfaktorer, h i , ved hjælp af

vi får et forhold mellem den grundlæggende tensor og Lamé-koefficienterne.

Eksempel: Polarkoordinater

Hvis vi betragter polære koordinater for R 2 , til efterretning, at

(r, θ) er de krøllede koordinater, og den Jacobianske determinant for transformation ( r , θ) → ( r cos θ, r sin θ) er r .

De ortogonale basisvektorer er b r = (cos θ, sin θ), b θ = (- r sin θ, r cos θ). De normaliserede basisvektorer er e r = (cos θ, sin θ), e θ = (−sin θ, cos θ), og skaleringsfaktorerne er h r = 1 og h θ = r . Grundtensoren er g 11 = 1, g 22 = r 2 , g 12 = g 21 = 0.

Linje- og overfladeintegraler

Hvis vi ønsker at bruge kurvlinære koordinater til vektorberegningsberegninger , skal der foretages justeringer i beregningen af ​​linje-, overflade- og volumenintegraler. For enkelhedens skyld begrænser vi diskussionen igen til tre dimensioner og ortogonale krumlinjære koordinater. De samme argumenter gælder dog for -dimensionelle problemer, selvom der er nogle yderligere udtryk i udtrykkene, når koordinatsystemet ikke er retvinklet.

Linjeintegraler

Normalt i beregningen af linieintegraler er vi interesserede i at beregne

hvor x ( t ) parametriserer C i kartesiske koordinater. I krøllede koordinater er udtrykket

ved kædereglen . Og fra definitionen af ​​Lamé-koefficienterne,

og dermed

Siden da har vi gjort det

og vi kan fortsætte normalt.

Overfladeintegraler

Ligeledes, hvis vi er interesserede i en overfladeintegral , er den relevante beregning med parametriseringen af ​​overfladen i kartesiske koordinater:

Igen har vi det i krumme koordinater

og vi benytter definitionen af ​​krumlinjære koordinater igen for at give efter

Derfor,

hvor er permutationssymbolet .

I determinant form vil krydsproduktet med hensyn til kurvlinære koordinater være:

Grad, krølle, div, laplacian

I ortogonale krumme linier med 3 dimensioner, hvor

man kan udtrykke gradienten af et skalar- eller vektorfelt som

For en ortogonal basis

Den divergens af et vektorfelt kan så skrives som

Også,

Derfor,

Vi kan få et udtryk for laplacianen på en lignende måde ved at bemærke det

Så har vi det

Udtrykkene for gradient, divergens og laplacian kan udvides direkte til n -dimensioner.

Den krølle af en vektorfelt er givet ved

hvor ε ijk er Levi-Civita-symbolet .

Eksempel: Cylindriske polære koordinater

For cylindriske koordinater, vi har

og

hvor

Derefter er de kovariante og kontravariant basisvektorer

hvor er enhedsvektorerne i retningerne.

Bemærk, at komponenterne i den metriske tensor er sådan, at

hvilket viser, at grundlaget er vinkelret.

Ikke-nul-komponenterne i Christoffel-symbolet af den anden slags er

Repræsenterer et fysisk vektorfelt

De normaliserede kontravariant basisvektorer i cylindriske polære koordinater er

og de fysiske komponenter i en vektor v er

Gradient af et skalarfelt

Gradienten af ​​et skalarfelt, f ( x ), i cylindriske koordinater kan nu beregnes ud fra det generelle udtryk i krumlinjede koordinater og har formen

Gradient af et vektorfelt

På lignende måde kan gradienten af ​​et vektorfelt, v ( x ), i cylindriske koordinater vises at være

Divergens af et vektorfelt

Ved hjælp af ligningen for divergensen af ​​et vektorfelt i krumlinjede koordinater kan divergensen i cylindriske koordinater vises at være

Laplacian i et skalar felt

Laplacian beregnes lettere ved at bemærke det . I cylindriske polære koordinater

Derfor,

Repræsenterer et fysisk andenordens tensorfelt

De fysiske komponenter i et andet ordens tensorfelt er dem, der opnås, når tensoren udtrykkes som et normaliseret kontravariant. I cylindriske polære koordinater er disse komponenter:

Gradient af et andet ordens tensorfelt

Ved hjælp af ovenstående definitioner kan vi vise, at gradienten af ​​et andet ordens tensorfelt i cylindriske polære koordinater kan udtrykkes som

Divergens af et andet ordens tensorfelt

Divergensen af ​​et andet ordens tensorfelt i cylindriske polære koordinater kan opnås fra udtrykket for gradienten ved at samle termer, hvor det skalære produkt af de to ydre vektorer i de dyadiske produkter ikke er nul. Derfor,

Se også

Referencer

Bemærkninger
Yderligere læsning
  • Spiegel, MR (1959). Vector analyse . New York: Schaums Outline Series. ISBN 0-07-084378-3.
  • Arfken, George (1995). Matematiske metoder til fysikere . Akademisk presse. ISBN 0-12-059877-9.

eksterne links