Kurvlinære koordinater kan formuleres i tensorberegning med vigtige anvendelser inden for fysik og teknik , især til beskrivelse af transport af fysiske størrelser og deformation af stof i fluidmekanik og kontinuummekanik .
Vektor og tensoralgebra i tredimensionelle krumlinjede koordinater
- Bemærk: Einstein-summeringskonventionen om opsummering på gentagne indekser bruges nedenfor.
Elementær vektor og tensoralgebra i kurvlinære koordinater bruges i noget af den ældre videnskabelige litteratur inden for mekanik og fysik og kan være uundværlig for at forstå arbejde fra begyndelsen og midten af 1900'erne, for eksempel teksten af Green og Zerna. Nogle nyttige relationer i algebra af vektorer og andenordens tensorer i krumlinjære koordinater er angivet i dette afsnit. Notationen og indholdet er primært fra Ogden, Naghdi, Simmonds, Green og Zerna, Basar og Weichert og Ciarlet.
Koordinere transformationer
Overvej to koordinatsystemer med koordinatvariabler, og som vi kort skal repræsentere som henholdsvis retfærdige og altid antage, at vores indeks løber fra 1 til 3. Vi antager, at disse koordinatsystemer er indlejret i det tredimensionelle euklidiske rum. Koordinater og kan bruges til at forklare hinanden, for når vi bevæger os langs koordinatlinjen i det ene koordinatsystem, kan vi bruge den anden til at beskrive vores position. På denne måde koordinerer og er hinandens funktioner
-
til
som kan skrives som
-
til
Disse tre ligninger kaldes sammen også en koordinatransformation fra til. Lad os betegne denne transformation med . Vi repræsenterer derfor transformationen fra koordinatsystemet med koordinatvariabler til koordinatsystemet med koordinater som:
På samme måde kan vi repræsentere som en funktion af som følger:
-
til
på samme måde kan vi skrive de gratis ligninger mere kompakt som
-
til
Disse tre ligninger kaldes også sammen en koordinatransformation fra til . Lad os betegne denne transformation ved . Vi repræsenterer transformationen fra koordinatsystemet med koordinatvariabler til koordinatsystemet med koordinater som:
Hvis transformation er bijektiv, kalder vi billedet af transformation, nemlig et sæt tilladte koordinater til . Hvis det er lineært, kaldes koordinatsystemet et affinat koordinatsystem , ellers kaldes det et krumlinjært koordinatsystem
Jacobianeren
Da vi nu ser, at koordinaterne og er funktionerne for hinanden, kan vi tage afledningen af koordinatvariablen i forhold til koordinatvariablen
overveje
-
for disse derivater kan arrangeres i en matrix, for eksempel , hvor elementet er i rækken og kolonnen
-
Den resulterende matrix kaldes den Jacobianske matrix.
Vektorer i kurvlinære koordinater
Lad ( b 1 , b 2 , b 3 ) være et vilkårligt grundlag for et tredimensionelt euklidisk rum. Generelt er basisvektorerne hverken enhedsvektorer eller indbyrdes ortogonale . Det kræves dog, at de er lineært uafhængige. Derefter kan en vektor v udtrykkes som
Komponenterne v k er de kontravariant komponenter i vektoren v .
Det gensidige grundlag ( b 1 , b 2 , b 3 ) defineres af forholdet
hvor δ i j er Kronecker-deltaet .
Vektoren v kan også udtrykkes som det gensidige grundlag:
Komponenterne v k er de covariant komponenter af vektoren .
Andenordens tensorer i krumme koordinater
En anden ordens tensor kan udtrykkes som
Komponenterne S ij kaldes kontravariant komponenter, S i j de blandede højre-covariant komponenter, S i j de blandede venstre- covariant komponenter, og S ij de covariant komponenter af andenordens tensor.
Metrisk tensor og forholdet mellem komponenter
Mængderne g ij , g ij er defineret som
Fra ovenstående ligninger har vi
Komponenterne i en vektor er relateret af
Også,
Komponenterne i andenordens tensor er relateret til
Den skiftende tensor
På en ortonormal højrehåndsbasis defineres den tredje ordens alternerende tensor som
Generelt kan den samme tensor udtrykkes som
Det kan vises
Nu,
Derfor,
På samme måde kan vi vise det
Vector operationer
Identitetskort
Identitetskortet, som jeg definerede, kan vises til at være:
Scalar (dot) produkt
Det skalære produkt af to vektorer i krumlinjede koordinater er
Vektor (kryds) produkt
Den cross produkt af to vektorer er givet ved:
hvor ε ijk er permutationssymbolet og e i er en kartesisk basisvektor. I kurvlinære koordinater er det ækvivalente udtryk:
hvor er tredje ordens alternerende tensor . Den cross produkt af to vektorer er givet ved:
hvor ε ijk er permutationssymbolet og er en kartesisk basisvektor. Derfor,
og
Derfor,
Vender tilbage til vektorproduktet og bruger forholdet:
giver os:
Tensoroperationer
Identitetskortet defineret af kan vises at være
Handling af en anden ordens tensor på en vektor
Handlingen kan udtrykkes i kurvlinære koordinater som
Indre produkt af to andenordens tensorer
Det indre produkt af to andenordens tensorer kan udtrykkes i kurvlinære koordinater som
Alternativt
Bestemmelse af en anden ordens tensor
Hvis er en andenordens tensor, defineres determinanten af forholdet
hvor er vilkårlige vektorer og
Forholdet mellem krumlinjære og kartesiske basisvektorer
Lad ( e 1 , e 2 , e 3 ) være de sædvanlige kartesiske basisvektorer for det euklidiske interesseområde og lad
hvor F Jeg er en anden ordens transformation tensor at kortene e jeg at b jeg . Derefter,
Fra dette forhold kan vi vise det
Lad være transformationen Jakob. Fra definitionen af determinanten,
Siden
vi har
Et antal interessante resultater kan udledes ved hjælp af ovenstående forhold.
Overvej først
Derefter
På samme måde kan vi vise det
Derfor bruger det faktum, at ,
En anden interessant relation er afledt nedenfor. Husk det
hvor A er en alligevel ubestemt konstant. Derefter
Denne observation fører til forholdet
I indeksnotation,
hvor er det sædvanlige permutationssymbol .
Vi har ikke identificeret et eksplicit udtryk for transformationstensoren F, fordi en alternativ form for kortlægningen mellem krumlinjær og kartesisk base er mere nyttig. Under forudsætning af en tilstrækkelig grad af glathed i kortlægningen (og lidt misbrug af notation) har vi det
Tilsvarende
Fra disse resultater har vi
og
Vektor- og tensorberegning i tredimensionelle krumlinjede koordinater
- Bemærk: Einstein-summeringskonventionen om opsummering på gentagne indekser bruges nedenfor.
Simmonds, i sin bog om tensor analyse , citerer Albert Einstein siger
Denne teoris magi vil næppe undlade at påtvinge sig nogen, der virkelig har forstået den; det repræsenterer en ægte triumf for metoden til absolut differentiell beregning, grundlagt af Gauss, Riemann, Ricci og Levi-Civita.
Vektor- og tensor-beregning i almindelige kurvlinære koordinater anvendes i tensoranalyse på firedimensionelle krumlinjeformede manifolder i generel relativitet , i mekanikken i buede skaller , til at undersøge de invariansegenskaber af Maxwells ligninger, som har været af interesse i metamaterialer og i mange andre områder .
Nogle nyttige forhold i beregningen af vektorer og andenordens tensorer i krumlinjede koordinater er angivet i dette afsnit. Notationen og indholdet er primært fra Ogden, Simmonds, Green og Zerna, Basar og Weichert og Ciarlet.
Grundlæggende definitioner
Lad placeringen af et punkt i rummet være karakteriseret ved tre koordinatvariabler .
Den koordinat kurve q 1 betegner en kurve, hvor q 2 , q 3 er konstante. Lad x være punktets vektor i forhold til en eller anden oprindelse. Så forudsat at en sådan kortlægning og dens inverse eksisterer og er kontinuerlig, kan vi skrive
Felterne ψ i ( x ) kaldes de krumlinjære koordinatfunktioner i det krumlinjære koordinatsystem ψ ( x ) = φ -1 ( x ).
Den q jeg koordinere kurver er defineret ved et-parameter familie af funktioner givet ved
med q j , q k fast.
Tangentvektor til koordinering af kurver
Den tangent vektor til kurven x jeg ved punktet x i (α) (eller til koordinatsystemet kurven q i i punktet x ) er
Gradient
Scalar felt
Lad f ( x ) være et skalært felt i rummet. Derefter
Gradienten af feltet f er defineret af
hvor c er en vilkårlig konstant vektor. Hvis vi definerer komponenterne c jeg af c er sådan, at
derefter
Hvis vi sætter , så har vi gjort det siden
som tilvejebringer et middel til at ekstrahere den kontravariant komponent i en vektor c .
Hvis b jeg er covariant (eller naturlige) basis i et punkt, og hvis b jeg er kontravariant (eller gensidige) basis på dette punkt, derefter
En kort begrundelse for dette valg af basis gives i det næste afsnit.
Vektor felt
En lignende proces kan bruges til at nå frem til gradienten af et vektorfelt f ( x ). Gradienten er givet af
Hvis vi betragter gradienten af positionsvektorfeltet r ( x ) = x , kan vi vise det
Vektorfeltet b jeg er tangent til q jeg koordinere kurve og danner en naturlig basis ved hvert punkt på kurven. Dette grundlag, som diskuteret i begyndelsen af denne artikel, kaldes også det covariante krumlinjære grundlag. Vi kan også definere et gensidigt grundlag eller kontravariant krumlinjært grundlag, b i . Alle de algebraiske forhold mellem basisvektorerne, som diskuteret i afsnittet om tensoralgebra, gælder for det naturlige grundlag og dets gensidige på hvert punkt x .
Da c er vilkårlig, kan vi skrive
Bemærk, at kontravariant basisvektor b jeg er vinkelret på overfladen af konstant ψ jeg og er givet ved
Christoffel symboler af den første slags
De Christoffel symboler af den første art er defineret som
For at udtrykke Γ ijk med hensyn til g ij bemærker vi det
Da b i, j = b j, i har vi Γ ijk = Γ jik . Brug af disse til at omarrangere ovenstående forhold giver
Christoffel symboler af anden slags
De Christoffel symboler af den anden art er defineret som
hvori
Dette indebærer, at
Andre relationer, der følger, er
Et andet særligt nyttigt forhold, der viser, at Christoffel-symbolet kun afhænger af metrisk tensor og dets derivater, er
Eksplicit udtryk for gradienten af et vektorfelt
De følgende udtryk for gradienten af et vektorfelt i kurvlinære koordinater er ret nyttige.
Repræsenterer et fysisk vektorfelt
Vektorfeltet v kan repræsenteres som
hvor er feltets kovariante komponenter, er de fysiske komponenter og (ingen opsummering )
er den normaliserede kontravariant basisvektor.
Andenordens tensorfelt
Gradienten af et andet ordens tensorfelt kan ligeledes udtrykkes som
Eksplicitte udtryk for gradienten
Hvis vi betragter udtrykket for tensoren i form af et kontravariant grundlag, så
Vi kan også skrive
Repræsenterer et fysisk andenordens tensorfelt
De fysiske komponenter i et andet ordens tensorfelt kan opnås ved anvendelse af en normaliseret kontravariant basis, dvs.
hvor de hatte basisvektorer er blevet normaliseret. Dette indebærer, at (igen ingen opsummering)
Divergens
Vektor felt
Den divergens af et vektorfelt ( ) er defineret som
Med hensyn til komponenter med hensyn til en krumlinjær basis
En alternativ ligning for divergensen af et vektorfelt anvendes ofte. For at udlede dette forhold husk det
Nu,
Bemærker, at på grund af symmetrien af ,
vi har
Husk, at hvis [ g ij ] er matrixen, hvis komponenter er g ij , så er matrixens inverse . Matrixens inverse er givet af
hvor A ij er kofaktormatrixen for komponenterne g ij . Fra matrixalgebra har vi
Derfor,
Tilslutning af dette forhold til udtrykket for divergensen giver
En lille manipulation fører til den mere kompakte form
Andenordens tensorfelt
Den divergens af en anden ordens tensor felt er defineret ved hjælp
hvor a er en vilkårlig konstant vektor. I krumme koordinater,
Laplacian
Scalar felt
Laplacian i et skalarfelt φ ( x ) defineres som
Brug af det alternative udtryk for divergensen af et vektorfelt giver os
Nu
Derfor,
Krølle af et vektorfelt
Krøllen for et vektorfelt v i covariante krumlinjære koordinater kan skrives som
hvor
Ortogonale krumlinjære koordinater
Antag med henblik på dette afsnit, at det krumlinjære koordinatsystem er ortogonalt , dvs.
eller ækvivalent
hvor . Som før, er covariant basisvektorer og b jeg , b j er kontravariant basisvektorer. Lad også ( e 1 , e 2 , e 3 ) være en baggrund, fast, kartesisk basis. En liste over ortogonale kurvlinære koordinater er angivet nedenfor.
Metrisk tensor i ortogonale krøllede koordinater
Lad r ( x ) være punktvektoren for punktet x i forhold til koordinatsystemets oprindelse. Notationen kan forenkles ved at bemærke, at x = r ( x ). På hvert punkt kan vi konstruere et lille linjeelement d x . Kvadratet for linieelementets længde er det skalære produkt d x • d x og kaldes metricen for rummet . Husk, at interesseområdet antages at være euklidisk, når vi taler om krumlinjære koordinater. Lad os udtrykke placeringsvektoren med hensyn til baggrund, fast, kartesisk basis, dvs.
Ved hjælp af kædereglen kan vi derefter udtrykke d x i form af tredimensionelle ortogonale krumlinjære koordinater ( q 1 , q 2 , q 3 ) som
Derfor er metricen givet af
Den symmetriske størrelse
kaldes den grundlæggende (eller metriske) tensor i det euklidiske rum i krumlinjære koordinater.
Bemærk også det
hvor h ij er Lamé-koefficienterne.
Hvis vi definerer skaleringsfaktorer, h i , ved hjælp af
vi får et forhold mellem den grundlæggende tensor og Lamé-koefficienterne.
Eksempel: Polarkoordinater
Hvis vi betragter polære koordinater for R 2 , til efterretning, at
(r, θ) er de krøllede koordinater, og den Jacobianske determinant for transformation ( r , θ) → ( r cos θ, r sin θ) er r .
De ortogonale basisvektorer er b r = (cos θ, sin θ), b θ = (- r sin θ, r cos θ). De normaliserede basisvektorer er e r = (cos θ, sin θ), e θ = (−sin θ, cos θ), og skaleringsfaktorerne er h r = 1 og h θ = r . Grundtensoren er g 11 = 1, g 22 = r 2 , g 12 = g 21 = 0.
Linje- og overfladeintegraler
Hvis vi ønsker at bruge kurvlinære koordinater til vektorberegningsberegninger , skal der foretages justeringer i beregningen af linje-, overflade- og volumenintegraler. For enkelhedens skyld begrænser vi diskussionen igen til tre dimensioner og ortogonale krumlinjære koordinater. De samme argumenter gælder dog for -dimensionelle problemer, selvom der er nogle yderligere udtryk i udtrykkene, når koordinatsystemet ikke er retvinklet.
Linjeintegraler
Normalt i beregningen af linieintegraler er vi interesserede i at beregne
hvor x ( t ) parametriserer C i kartesiske koordinater. I krøllede koordinater er udtrykket
ved kædereglen . Og fra definitionen af Lamé-koefficienterne,
og dermed
Siden da har vi gjort det
og vi kan fortsætte normalt.
Overfladeintegraler
Ligeledes, hvis vi er interesserede i en overfladeintegral , er den relevante beregning med parametriseringen af overfladen i kartesiske koordinater:
Igen har vi det i krumme koordinater
og vi benytter definitionen af krumlinjære koordinater igen for at give efter
Derfor,
hvor er permutationssymbolet .
I determinant form vil krydsproduktet med hensyn til kurvlinære koordinater være:
Grad, krølle, div, laplacian
I ortogonale krumme linier med 3 dimensioner, hvor
man kan udtrykke gradienten af et skalar- eller vektorfelt som
For en ortogonal basis
Den divergens af et vektorfelt kan så skrives som
Også,
Derfor,
Vi kan få et udtryk for laplacianen på en lignende måde ved at bemærke det
Så har vi det
Udtrykkene for gradient, divergens og laplacian kan udvides direkte til n -dimensioner.
Den krølle af en vektorfelt er givet ved
hvor ε ijk er Levi-Civita-symbolet .
Eksempel: Cylindriske polære koordinater
For cylindriske koordinater, vi har
og
hvor
Derefter er de kovariante og kontravariant basisvektorer
hvor er enhedsvektorerne i retningerne.
Bemærk, at komponenterne i den metriske tensor er sådan, at
hvilket viser, at grundlaget er vinkelret.
Ikke-nul-komponenterne i Christoffel-symbolet af den anden slags er
Repræsenterer et fysisk vektorfelt
De normaliserede kontravariant basisvektorer i cylindriske polære koordinater er
og de fysiske komponenter i en vektor v er
Gradient af et skalarfelt
Gradienten af et skalarfelt, f ( x ), i cylindriske koordinater kan nu beregnes ud fra det generelle udtryk i krumlinjede koordinater og har formen
Gradient af et vektorfelt
På lignende måde kan gradienten af et vektorfelt, v ( x ), i cylindriske koordinater vises at være
Divergens af et vektorfelt
Ved hjælp af ligningen for divergensen af et vektorfelt i krumlinjede koordinater kan divergensen i cylindriske koordinater vises at være
Laplacian i et skalar felt
Laplacian beregnes lettere ved at bemærke det . I cylindriske polære koordinater
Derfor,
Repræsenterer et fysisk andenordens tensorfelt
De fysiske komponenter i et andet ordens tensorfelt er dem, der opnås, når tensoren udtrykkes som et normaliseret kontravariant. I cylindriske polære koordinater er disse komponenter:
Gradient af et andet ordens tensorfelt
Ved hjælp af ovenstående definitioner kan vi vise, at gradienten af et andet ordens tensorfelt i cylindriske polære koordinater kan udtrykkes som
Divergens af et andet ordens tensorfelt
Divergensen af et andet ordens tensorfelt i cylindriske polære koordinater kan opnås fra udtrykket for gradienten ved at samle termer, hvor det skalære produkt af de to ydre vektorer i de dyadiske produkter ikke er nul. Derfor,
Se også
Referencer
- Bemærkninger
- Yderligere læsning
-
Spiegel, MR (1959). Vector analyse . New York: Schaums Outline Series. ISBN 0-07-084378-3.
-
Arfken, George (1995). Matematiske metoder til fysikere . Akademisk presse. ISBN 0-12-059877-9.
eksterne links