Topologi -Topology

I matematik handler topologi (fra de græske ord τόπος , ' sted , placering' og λόγος , 'studie') med egenskaberne ved et geometrisk objekt , der er bevaret under kontinuerlige deformationer , såsom strækning , vridning , krølning og bøjning ; altså uden at lukke huller, åbne huller, rive, lime eller gå igennem sig selv.

Et topologisk rum er et sæt udstyret med en struktur, kaldet en topologi , som gør det muligt at definere kontinuerlig deformation af underrum, og mere generelt alle former for kontinuitet . Euklidiske rum og mere generelt metriske rum er eksempler på et topologisk rum, da enhver afstand eller metrik definerer en topologi. De deformationer, der betragtes i topologien, er homeomorfismer og homotopier . En egenskab, der er invariant under sådanne deformationer, er en topologisk egenskab . Grundlæggende eksempler på topologiske egenskaber er: dimensionen , som gør det muligt at skelne mellem en linje og en overflade ; kompakthed , som gør det muligt at skelne mellem en linje og en cirkel; forbundethed , som gør det muligt at skelne en cirkel fra to ikke-skærende cirkler.

Ideerne bag topologien går tilbage til Gottfried Leibniz , som i det 17. århundrede forestillede sig geometria situs og analyse situs . Leonhard Eulers syv broer i Königsberg- problemet og polyederformlen er uden tvivl feltets første teoremer. Udtrykket topologi blev introduceret af Johann Benedict Listing i det 19. århundrede, selvom det først var i de første årtier af det 20. århundrede, at ideen om et topologisk rum blev udviklet.

Motivering

Den motiverende indsigt bag topologi er, at nogle geometriske problemer ikke afhænger af den nøjagtige form af de involverede objekter, men snarere af den måde, de er sat sammen på. For eksempel har firkanten og cirklen mange egenskaber til fælles: de er begge endimensionelle objekter (set fra et topologisk synspunkt) og adskiller begge planet i to dele, delen indeni og delen udenfor.

I et af de første artikler inden for topologi demonstrerede Leonhard Euler, at det var umuligt at finde en rute gennem byen Königsberg (nu Kaliningrad ), som ville krydse hver af dens syv broer nøjagtigt én gang. Dette resultat afhang ikke af broernes længder eller deres afstand fra hinanden, men kun af forbindelsesegenskaber: hvilke broer forbinder til hvilke øer eller flodbredder. Dette Syv Broer af Königsberg problem førte til den gren af ​​matematik kendt som graf teori .

På samme måde siger den behårede kuglesætning i algebraisk topologi, at "man ikke kan rede håret fladt på en behåret kugle uden at skabe en cowlick ." Denne kendsgerning er umiddelbart overbevisende for de fleste mennesker, selvom de måske ikke genkender den mere formelle sætning i sætningen, at der ikke er noget ikke-forsvindende kontinuerligt tangentvektorfelt på kuglen. Som med Broerne i Königsberg afhænger resultatet ikke af kuglens form; det gælder enhver form for glat klat, så længe den ikke har huller.

For at håndtere disse problemer, der ikke er afhængige af objekternes nøjagtige form, skal man være klar over, hvilke egenskaber disse problemer er afhængige af. Fra dette behov opstår forestillingen om homeomorfisme. Umuligheden af ​​at krydse hver bro kun én gang gælder for ethvert arrangement af broer, der er homøomorfe i forhold til dem i Königsberg, og behårede kugle-sætningen gælder for ethvert rum, der er homøomorfe i forhold til en kugle.

Intuitivt er to rum homeomorfe, hvis det ene kan deformeres til det andet uden at skære eller lime. En traditionel vittighed er, at en topolog ikke kan skelne et kaffekrus fra en doughnut, da en tilstrækkeligt bøjelig doughnut kunne omformes til en kaffekop ved at skabe en fordybning og gradvist forstørre den, mens hullet krympes til et håndtag.

Homeomorfisme kan betragtes som den mest grundlæggende topologiske ækvivalens . En anden er homotopiækvivalens . Dette er sværere at beskrive uden at blive teknisk, men den væsentlige opfattelse er, at to objekter er homotopi-ækvivalente, hvis de begge er resultatet af at "klemme" en større genstand.

Historie

Topologi, som en veldefineret matematisk disciplin, stammer fra den tidlige del af det tyvende århundrede, men nogle isolerede resultater kan spores flere århundreder tilbage. Blandt disse er visse spørgsmål i geometri undersøgt af Leonhard Euler . Hans papir fra 1736 om Königsbergs syv broer betragtes som en af ​​de første praktiske anvendelser af topologi. Den 14. november 1750 skrev Euler til en ven, at han havde indset vigtigheden af ​​et polyeders kanter . Dette førte til hans polyederformel , V − E + F = 2 (hvor V , E , og F henholdsvis angiver antallet af hjørner, kanter og flader af polyederet). Nogle autoriteter betragter denne analyse som den første teorem, der signalerer topologiens fødsel.

Yderligere bidrag blev givet af Augustin-Louis Cauchy , Ludwig Schläfli , Johann Benedict Listing , Bernhard Riemann og Enrico Betti . Listing introducerede udtrykket "Topologie" i Vorstudien zur Topologie , skrevet på hans modersmål tysk, i 1847, efter at have brugt ordet i ti år i korrespondance, før det første optræden på tryk. Den engelske form "topologi" blev brugt i 1883 i Listings nekrolog i tidsskriftet Nature for at skelne "kvalitativ geometri fra den almindelige geometri, hvor kvantitative relationer hovedsageligt behandles".

Deres arbejde blev korrigeret, konsolideret og meget udvidet af Henri Poincaré . I 1895 udgav han sit banebrydende papir om Analysis Situs , som introducerede de begreber, der nu er kendt som homotopi og homologi , som nu betragtes som en del af algebraisk topologi .

Topologiske karakteristika for lukkede 2-manifolds

Manifold	Euler num	Orienterbarhed	Betti numre			Torsionskoefficient (1-dim)
			b 0	b 1	b 2
Kugle	2	Orienterbar	1	0	1	ingen
Torus	0	Orienterbar	1	2	1	ingen
2-hullet torus	−2	Orienterbar	1	4	1	ingen
g -hullet torus ( slægt g )	2-2 g	Orienterbar	1	2 g	1	ingen
Projektivt plan	1	Ikke-orienterbar	1	0	0	2
Lille flaske	0	Ikke-orienterbar	1	1	0	2
Kugle med c krydskapsler ( c > 0 )	2 - c	Ikke-orienterbar	1	c - 1	0	2
2-manifold med g huller og c krydshætter ( c > 0 )	2 - (2 g + c )	Ikke-orienterbar	1	(2 g + c ) − 1	0	2

Ved at forene arbejdet med funktionsrum af Georg Cantor , Vito Volterra , Cesare Arzelà , Jacques Hadamard , Giulio Ascoli og andre introducerede Maurice Fréchet det metriske rum i 1906. Et metrisk rum betragtes nu som et specialtilfælde af et generelt topologisk rum, med evt. givet topologisk rum, der potentielt giver anledning til mange distinkte metriske rum. I 1914 opfandt Felix Hausdorff udtrykket "topologiske rum" og gav definitionen for det, der nu kaldes et Hausdorff-rum . I øjeblikket er et topologisk rum en let generalisering af Hausdorff-rum, givet i 1922 af Kazimierz Kuratowski .

Moderne topologi afhænger stærkt af mængdeteoriens ideer, udviklet af Georg Cantor i den senere del af det 19. århundrede. Ud over at etablere de grundlæggende ideer om mængdeteori, overvejede Cantor punktsæt i det euklidiske rum som en del af sin undersøgelse af Fourier-serier . For yderligere udvikling, se punktsættopologi og algebraisk topologi.

Abelprisen 2022 blev tildelt Dennis Sullivan "for hans banebrydende bidrag til topologi i dens bredeste forstand, og især dens algebraiske, geometriske og dynamiske aspekter".

Begreber

Topologier på sæt

Udtrykket topologi refererer også til en specifik matematisk idé, der er central for det område af matematik, der kaldes topologi. Uformelt beskriver en topologi, hvordan elementer i et sæt forholder sig rumligt til hinanden. Det samme sæt kan have forskellige topologier. For eksempel kan den reelle linje , det komplekse plan og Cantor-sættet opfattes som det samme sæt med forskellige topologier.

Formelt set, lad X være en mængde og lad τ være en familie af delmængder af X . Så kaldes τ en topologi på X, hvis:

1. Både det tomme sæt og X er elementer af τ .
2. Enhver forening af elementer af τ er et element af τ .
3. Enhver skæring af endeligt mange elementer af τ er et element af τ .

Hvis τ er en topologi på X , så kaldes parret ( X , τ ) et topologisk rum. Notationen X _τ kan bruges til at angive en mængde X udstyret med den særlige topologi τ . Per definition er enhver topologi et π -system .

Medlemmerne af τ kaldes åbne mængder i X . En delmængde af X siges at være lukket, hvis dens komplement er i τ (det vil sige, dens komplement er åben). En delmængde af X kan være åben, lukket, begge dele (et clopen-sæt ) eller ingen af ​​delene. Det tomme sæt og selve X er altid både lukkede og åbne. En åben delmængde af X , som indeholder et punkt x , kaldes et kvarter til x .

Kontinuerlige funktioner og homeomorfismer

En funktion eller et kort fra et topologisk rum til et andet kaldes kontinuert , hvis det omvendte billede af et åbent sæt er åbent. Hvis funktionen afbilder de reelle tal til de reelle tal (begge mellemrum med standardtopologien), så svarer denne definition af kontinuert til definitionen af ​​kontinuert i calculus . Hvis en kontinuert funktion er en-til-en og på , og hvis den omvendte funktion af funktionen også er kontinuert, så kaldes funktionen en homøomorfi, og funktionens domæne siges at være homøomorf i forhold til området. En anden måde at sige dette på er, at funktionen har en naturlig forlængelse af topologien. Hvis to rum er homøomorfe, har de identiske topologiske egenskaber og anses topologisk for ens. Terningen og kuglen er homøomorfe, ligesom kaffekoppen og doughnuten er. Kuglen er dog ikke homøomorf til doughnuten.

Manifolder

Mens topologiske rum kan være ekstremt varierede og eksotiske, fokuserer mange områder af topologi på den mere velkendte klasse af rum kendt som manifolds. En manifold er et topologisk rum, der ligner det euklidiske rum nær hvert punkt. Mere præcist har hvert punkt i en n -dimensional manifold et kvarter , der er homøomorf til det euklidiske rum med dimension n . Linjer og cirkler , men ikke ottetal , er endimensionelle manifolder. Todimensionelle manifolder kaldes også overflader , selvom ikke alle overflader er manifolder. Eksempler inkluderer planet , sfæren og torusen, som alle kan realiseres uden selvskæring i tre dimensioner, og Klein-flasken og det virkelige projektive plan , som ikke kan (det vil sige, at alle deres erkendelser er overflader, der ikke er mangfoldige) .

Emner

Generel topologi

Generel topologi er den gren af ​​topologi, der beskæftiger sig med de grundlæggende mængdeteoretiske definitioner og konstruktioner, der bruges i topologi. Det er grundlaget for de fleste andre grene af topologi, herunder differentiel topologi, geometrisk topologi og algebraisk topologi. Et andet navn for generel topologi er punktsættopologi.

Det grundlæggende studieobjekt er topologiske rum , som er mængder udstyret med en topologi , det vil sige en familie af delmængder , kaldet åbne mængder , som er lukket under endelige skæringspunkter og (endelige eller uendelige) foreninger . De grundlæggende begreber for topologi, såsom kontinuitet , kompakthed og forbundethed , kan defineres i form af åbne sæt. Intuitivt fører kontinuerlige funktioner nærliggende punkter til nærliggende punkter. Kompakte sæt er dem, der kan dækkes af endeligt mange sæt af vilkårligt lille størrelse. Forbundne sæt er sæt, der ikke kan deles i to stykker, der er langt fra hinanden. Ordene i nærheden , vilkårligt små og langt fra hinanden kan alle gøres præcise ved at bruge åbne sæt. Flere topologier kan defineres på et givet rum. Ændring af en topologi består i at ændre samlingen af ​​åbne sæt. Dette ændrer, hvilke funktioner der er kontinuerlige, og hvilke delmængder der er kompakte eller tilsluttede.

Metriske rum er en vigtig klasse af topologiske rum, hvor afstanden mellem to punkter er defineret af en funktion kaldet metrisk . I et metrisk rum er et åbent sæt en forening af åbne skiver, hvor en åben skive med radius r centreret ved x er mængden af ​​alle punkter, hvis afstand til x er mindre end r . Mange fællesrum er topologiske rum, hvis topologi kan defineres af en metrik. Dette er tilfældet med den reelle linje , det komplekse plan , reelle og komplekse vektorrum og euklidiske rum . At have en metrisk forenkler mange beviser.

Algebraisk topologi

Algebraisk topologi er en gren af ​​matematikken, der bruger værktøjer fra algebra til at studere topologiske rum. Det grundlæggende mål er at finde algebraiske invarianter, der klassificerer topologiske rum op til homeomorfisme, selvom de fleste normalt klassificerer op til homotopiækvivalens.

De vigtigste af disse invarianter er homotopigrupper , homologi og kohomologi .

Selvom algebraisk topologi primært bruger algebra til at studere topologiske problemer, er det nogle gange også muligt at bruge topologi til at løse algebraiske problemer. Algebraisk topologi, for eksempel, giver mulighed for et bekvemt bevis for, at enhver undergruppe af en fri gruppe igen er en fri gruppe.

Differentiel topologi

Differentiel topologi er det felt, der beskæftiger sig med differentierbare funktioner på differentierbare manifolder . Det er tæt forbundet med differentialgeometri og tilsammen udgør de den geometriske teori om differentiable manifolder.

Mere specifikt overvejer differentiel topologi de egenskaber og strukturer, der kun kræver en glat struktur på en manifold for at blive defineret. Glatte manifolder er "blødere" end manifolds med ekstra geometriske strukturer, som kan fungere som hindringer for visse typer ækvivalenser og deformationer , der findes i differentiel topologi. For eksempel er volumen og Riemannsk krumning invarianter, der kan skelne forskellige geometriske strukturer på den samme glatte manifold - det vil sige, man kan glat "udflad" visse manifolds, men det kan kræve at forvrænge rummet og påvirke krumningen eller volumenet.

Geometrisk topologi

Geometrisk topologi er en gren af ​​topologi, der primært fokuserer på lavdimensionelle manifolds (det vil sige rum med dimensionerne 2, 3 og 4) og deres interaktion med geometri, men den inkluderer også en højere dimensionel topologi. Nogle eksempler på emner i geometrisk topologi er orienterbarhed , håndtagsnedbrydninger , lokal fladhed , krølning og den plane og højere-dimensionelle Schönflies-sætning .

I højdimensionel topologi er karakteristiske klasser en grundlæggende invariant, og kirurgiteori er en nøgleteori.

Lavdimensionel topologi er stærkt geometrisk, som afspejlet i uniformiseringssætningen i 2 dimensioner - hver overflade tillader en konstant krumningsmetrik; geometrisk har den en af ​​3 mulige geometrier: positiv krumning /sfærisk, nul krumning/flad og negativ krumning/hyperbolsk – og geometriseringsformodningen ( nu sætning) i 3 dimensioner – hver 3-manifold kan skæres i stykker, hver af som har en af ​​otte mulige geometrier.

2-dimensionel topologi kan studeres som kompleks geometri i én variabel ( Riemann- overflader er komplekse kurver) - ved uniformiseringssætningen svarer enhver konform klasse af metrikker til en unik kompleks, og 4-dimensionel topologi kan studeres fra punktet syn på kompleks geometri i to variable (komplekse overflader), selvom ikke hver 4-manifold indrømmer en kompleks struktur.

Generaliseringer

Nogle gange er man nødt til at bruge topologiens værktøjer, men et "sæt af punkter" er ikke tilgængeligt. I den meningsløse topologi betragter man i stedet gitteret af åbne mængder som teoriens grundlæggende begreb, mens Grothendieck-topologier er strukturer defineret på vilkårlige kategorier , der tillader definitionen af ​​remskiver på disse kategorier, og dermed definitionen af ​​generelle kohomologiteorier.

Ansøgninger

Biologi

Topologi er blevet brugt til at studere forskellige biologiske systemer, herunder molekyler og nanostruktur (f.eks. membranobjekter). Især kredsløbstopologi og knudeteori er blevet anvendt i vid udstrækning til at klassificere og sammenligne topologien af ​​foldede proteiner og nukleinsyrer. Kredsløbstopologi klassificerer foldede molekylære kæder baseret på det parvise arrangement af deres intra-kæde-kontakter og kædekrydsninger. Knotteori , en gren af ​​topologi, bruges i biologi til at studere virkningerne af visse enzymer på DNA. Disse enzymer skærer, vrider og forbinder DNA'et igen, hvilket forårsager knuder med observerbare effekter såsom langsommere elektroforese . Topologi bruges også i evolutionær biologi til at repræsentere forholdet mellem fænotype og genotype . Fænotypiske former, der ser ret forskellige ud, kan kun adskilles af nogle få mutationer afhængigt af, hvordan genetiske ændringer kortlægges til fænotypiske ændringer under udvikling. I neurovidenskab er topologiske størrelser som Euler-karakteristikken og Betti-tallet blevet brugt til at måle kompleksiteten af ​​aktivitetsmønstre i neurale netværk.

Computer videnskab

Topologisk dataanalyse bruger teknikker fra algebraisk topologi til at bestemme storskalastrukturen af ​​et sæt (for eksempel at bestemme, om en sky af punkter er sfærisk eller toroidformet ). Den vigtigste metode, der anvendes til topologisk dataanalyse, er at:

1. Erstat et sæt datapunkter med en familie af simple komplekser , indekseret af en nærhedsparameter.
2. Analyser disse topologiske komplekser via algebraisk topologi - specifikt via teorien om vedvarende homologi .
3. Indkode den vedvarende homologi af et datasæt i form af en parameteriseret version af et Betti-nummer , som kaldes en stregkode.

Flere grene af programmeringssprogssemantik , såsom domæneteori , er formaliseret ved hjælp af topologi. I denne sammenhæng karakteriserer Steve Vickers , der bygger på arbejde af Samson Abramsky og Michael B. Smyth , topologiske rum som boolske eller Heyting-algebraer over åbne mængder, der karakteriseres som semidecidable (ækvivalent, endeligt observerbare) egenskaber.

Fysik

Topologi er relevant for fysik inden for områder som kondenseret stoffysik , kvantefeltteori og fysisk kosmologi .

Den topologiske afhængighed af mekaniske egenskaber i faste stoffer er af interesse i discipliner inden for maskinteknik og materialevidenskab . Elektriske og mekaniske egenskaber afhænger af arrangementet og netværksstrukturerne af molekyler og elementære enheder i materialer. Trykstyrken af ​​sammenkrøllede topologier studeres i forsøg på at forstå den høje styrke til vægt af sådanne strukturer, der for det meste er tomt rum . Topologi er af yderligere betydning i kontaktmekanik , hvor afhængigheden af ​​stivhed og friktion på dimensionaliteten af ​​overfladestrukturer er genstand for interesse med anvendelser i multi-body fysik.

En topologisk kvantefeltteori (eller topologisk feltteori eller TQFT) er en kvantefeltteori, der beregner topologiske invarianter .

Selvom TQFT'er blev opfundet af fysikere, er de også af matematisk interesse, idet de blandt andet er relateret til knudeteori , teorien om fire-manifolds i algebraisk topologi og til teorien om modulrum i algebraisk geometri. Donaldson , Jones , Witten og Kontsevich har alle vundet Fields-medaljer for arbejde relateret til topologisk feltteori.

Den topologiske klassificering af Calabi-Yau-manifolder har vigtige implikationer i strengteori , da forskellige manifolder kan opretholde forskellige slags strenge.

I kosmologi kan topologi bruges til at beskrive universets overordnede form . Dette forskningsområde er almindeligvis kendt som rumtidstopologi .

I kondenseret stof kommer en relevant anvendelse til topologisk fysik fra muligheden for at opnå envejsstrøm, som er en strøm beskyttet mod tilbagespredning. Det blev først opdaget i elektronik med den berømte kvante Hall-effekt , og derefter generaliseret inden for andre områder af fysikken, for eksempel i fotonik af FDM Haldane .

Robotik

De mulige positioner af en robot kan beskrives af en manifold kaldet konfigurationsrum . I området for bevægelsesplanlægning finder man stier mellem to punkter i konfigurationsrummet. Disse stier repræsenterer en bevægelse af robottens led og andre dele til den ønskede stilling.

Spil og puslespil

Tangleling-puslespil er baseret på topologiske aspekter af puslespillets former og komponenter.

Fiber kunst

For at skabe en sammenhængende samling af stykker i en modulær konstruktion, er det nødvendigt at skabe en ubrudt bane i en rækkefølge, som omgiver hvert stykke og kun krydser hver kant én gang. Denne proces er en anvendelse af den Eulerske vej .

Se også

Referencer

Citater

Bibliografi

• Aleksandrov, PS (1969) [1956], "Kapitel XVIII Topologi", i Aleksandrov, AD; Kolmogorov, AN; Lavrent'ev, MA (red.), Mathematics / Its Content, Methods and Meaning (2. udgave), The MIT Press
• Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology , Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029804-2
• Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology , Princeton University Press

Yderligere læsning

• Ryszard Engelking , General Topology , Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, december 1989, ISBN  3-88538-006-4 .
• Bourbaki ; Elements of Mathematics: General Topology , Addison-Wesley (1966).
• Breitenberger, E. (2006). "Johann Benedict Listing". I James, IM (red.). Topologiens historie . Nordholland. ISBN 978-0-444-82375-5.
• Kelley, John L. (1975). Generel topologi . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90125-1.
• Brown, Ronald (2006). Topologi og gruppeoider . Bogbølge. ISBN 978-1-4196-2722-4.(Giver en velmotiveret, geometrisk redegørelse for generel topologi og viser brugen af ​​groupoids til at diskutere van Kampens sætning , dække rum og kredsløbsrum .)
• Wacław Sierpiński , General Topology , Dover Publications, 2000, ISBN  0-486-41148-6
• Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius' forunderlige band i matematik, spil, litteratur, kunst, teknologi og kosmologi . Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-826-1.(Giver en populær introduktion til topologi og geometri)
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2. udgave), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1

eksterne links

• "Topologi, generelt" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Elementær topologi: Et første kursus Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
• Topologi hos Curlie
• Den Topologiske Zoo ved Geometricentret .
• Topologi Atlas
• Topologikursus Forelæsningsnotater Aisling McCluskey og Brian McMaster, Topologiatlas.
• Topologi ordliste
• Moskva 1935: Topologi bevæger sig mod Amerika , et historisk essay af Hassler Whitney .