Trekant - Triangle

Ligesidet trekant
En almindelig trekant
Type	Regelmæssig polygon
Kanter og hjørner	3
Schläfli -symbol	{3}
Coxeter diagram
Symmetri gruppe	Dihedral (D 3 ), bestil 2 × 3
Indvendig vinkel ( grader )	60 °
Dobbelt polygon	Selv
Ejendomme	Konveks , cyklisk , ligesidet , isogonal , isotoksal

Trekant
En trekant
Kanter og hjørner	3
Schläfli -symbol	{3} (for ligesidet)
Areal	forskellige metoder; se nedenunder
Indvendig vinkel ( grader )	60 ° (for ligesidet)

En trekant er en polygon med tre kanter og tre hjørner . Det er en af ​​de grundlæggende former i geometri . En trekant med hjørner A , B og C er angivet . ${\ displaystyle \ trekant ABC}$

I euklidisk geometri bestemmer alle tre punkter, når de er ikke- collinear , en unik trekant og samtidigt et unikt plan (dvs. et todimensionalt euklidisk rum ). Med andre ord er der kun et plan, der indeholder den trekant, og hver trekant er indeholdt i et eller andet plan. Hvis hele geometrien kun er det euklidiske plan , er der kun et plan, og alle trekanter er indeholdt i det; i højere-dimensionelle euklidiske rum er dette imidlertid ikke længere sandt. Denne artikel handler om trekanter i euklidisk geometri, og især det euklidiske plan, medmindre andet er angivet.

Typer af trekant

Terminologien til kategorisering af trekanter er mere end to tusinde år gammel, efter at have været defineret på den allerførste side af Euclids elementer . De navne, der bruges til moderne klassificering, er enten en direkte translitteration af Euklides græske eller deres latinske oversættelser.

Efter længder på siderne

Den antikke græske matematiker Euklid definerede tre typer trekanter i henhold til længderne af deres sider:

Græsk : τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς , ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς , σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς , lit.  'Af trilaterale figurer er en isopleuron [ligesidet] trekant den, der har sine tre sider lige, en ensartet den, der har to af dens sider alene ens, og en skala , der har sine tre sider ulige.'

• En ligesidet trekant ( græsk : ἰσόπλευρον , romaniseret :  isópleuron , lit.  'lige sider') har tre sider af samme længde. En ligesidet trekant er også en regulær polygon med alle vinkler, der måler 60 °.
• En ensartet trekant ( græsk : ἰσοσκελὲς , romaniseret :  isoskelés , lit.  'lige ben') har to sider af lige længde. En ensbenet trekant har også to vinkler af samme mål, nemlig vinklerne modsat de to sider af samme længde. Denne kendsgerning er indholdet af den ensartede trekantssætning , som var kendt af Euclid . Nogle matematikere definerer en ensartet trekant til at have nøjagtigt to lige store sider, hvorimod andre definerer en ensartet trekant som en med mindst to lige store sider. Sidstnævnte definition ville gøre alle ligesidede trekanter ensbenede trekanter. Den 45–45–90 højre trekant, der vises i tetrakis firkantede fliser , er ensartet.
• En skalet trekant ( græsk : σκαληνὸν , romaniseret :  skalinón , lit.  'ulige') har alle sider i forskellige længder. Tilsvarende har den alle vinkler af forskellig størrelse.

• 

  Ligesidet trekant

• 

  Lighedbenet trekant

• 

  Scalene trekant

Lememærker , også kaldet flåtmærker, bruges i diagrammer over trekanter og andre geometriske figurer til at identificere sider af lige længder. En side kan markeres med et mønster af "flåter", korte linjesegmenter i form af talemærker ; to sider har lige længder, hvis de begge er markeret med samme mønster. I en trekant er mønsteret normalt ikke mere end 3 flåter. En ligesidet trekant har det samme mønster på alle 3 sider, en ensbenet trekant har det samme mønster på kun 2 sider, og en skala i trekant har forskellige mønstre på alle sider, da ingen sider er ens.

På samme måde bruges mønstre af 1, 2 eller 3 koncentriske buer inde i vinklerne til at angive lige vinkler: en ligesidet trekant har det samme mønster på alle 3 vinkler, en ensartet trekant har det samme mønster på kun 2 vinkler og en skala i trekant har forskellige mønstre på alle vinkler, da ingen vinkler er ens.

Ved indre vinkler

Trekanter kan også klassificeres efter deres indre vinkler , målt her i grader .

• En retvinklet trekant (eller retvinklet trekant , tidligere kaldet en rektanglet trekant ) har en af ​​dens indvendige vinkler, der måler 90 ° (en ret vinkel ). Siden modsat den rigtige vinkel er hypotenusen , den længste side af trekanten. De to andre sider kaldes trekantens ben eller catheti (ental: cathetus ). Højre trekanter adlyder Pythagoras sætning : summen af ​​firkanterne i længderne af de to ben er lig med kvadratet af hypotenusens længde: a ² + b ² = c ² , hvor a og b er benlængderne og c er hypotenusens længde. Særlige højre trekanter er rigtige trekanter med yderligere egenskaber, der gør beregninger, der involverer dem lettere. En af de to mest berømte er den 3–4–5 højre trekant, hvor 3 ² + 4 ² = 5 ² . 3–4–5 trekanten er også kendt som den egyptiske trekant. I denne situation er 3, 4 og 5 en pythagoransk triple . Den anden er en ensartet trekant, der har 2 vinkler, der måler 45 grader (45–45–90 trekant).
  • Trekanter, der ikke har en vinkel på 90 °, kaldes skrå trekanter .
• En trekant med alle indvendige vinkler, der måler mindre end 90 °, er en spids trekant eller spidsvinklet trekant . Hvis c er længden på den længste side, så a ² + b ² > c ² , hvor a og b er længderne på de andre sider.
• En trekant med en indvendig vinkel, der måler mere end 90 °, er en stump trekant eller stump-vinklet trekant . Hvis c er længden på den længste side, så a ² + b ² < c ² , hvor a og b er længderne på de andre sider.
• En trekant med en indvendig vinkel på 180 ° (og kollinære hjørner) er degenereret . En højre degenereret trekant har kollinære hjørner, hvoraf to er sammenfaldende.

En trekant, der har to vinkler med samme mål, har også to sider med samme længde, og derfor er det en ensartet trekant. Det følger heraf, at i en trekant, hvor alle vinkler har samme mål, har alle tre sider samme længde og er derfor ligesidet.

Ret	Stump	Spids
	${\ displaystyle \ underbrace {\ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad} _ {}}$
	Skråt

Grundlæggende fakta

Trekanter antages at være todimensionale planfigurer , medmindre konteksten bestemmer andet (se Ikke-plane trekanter nedenfor). Ved strenge behandlinger kaldes en trekant derfor en 2- simplex (se også Polytope ). Elementære fakta om trekanter blev præsenteret af Euklid i bøgerne 1-4 af hans elementer , skrevet omkring 300 f.Kr.

Den Summen af foranstaltningerne i de indvendige vinkler i en trekant i euklidisk rum er altid 180 grader. Denne kendsgerning svarer til Euklides parallelle postulat . Dette tillader bestemmelse af målingen af ​​den tredje vinkel i enhver trekant, givet målingen af ​​to vinkler. En udvendig vinkel på en trekant er en vinkel, der er et lineært par (og dermed supplerende ) til en indre vinkel. Målingen af ​​en udvendig vinkel på en trekant er lig med summen af ​​målene for de to indvendige vinkler, der ikke støder op til den; dette er den udvendige vinkel sætning . Summen af ​​målene for de tre udvendige vinkler (en for hvert toppunkt) i enhver trekant er 360 grader.

Lighed og kongruens

To trekanter siges at være ens , hvis hver vinkel i en trekant har samme mål som den tilsvarende vinkel i den anden trekant. De tilsvarende sider af lignende trekanter har længder, der er i samme andel, og denne egenskab er også tilstrækkelig til at fastslå lighed.

Nogle grundlæggende sætninger om lignende trekanter er:

• Hvis og kun hvis et par indvendige vinkler på to trekanter har samme mål som hinanden, og et andet par også har det samme mål som hinanden, er trekanterne ens.
• Hvis og kun hvis et par tilsvarende sider af to trekanter er i samme forhold som et andet par af tilsvarende sider, og deres medfølgende vinkler har samme mål, så er trekanterne ens. (Den inkluderede vinkel for to sider af en polygon er den indre vinkel mellem disse to sider.)
• Hvis og kun hvis tre par af tilsvarende sider af to trekanter alle er i samme andel, så er trekanterne ens.

To trekanter, der er kongruente, har nøjagtig samme størrelse og form: Alle par med tilsvarende indvendige vinkler er lige store, og alle par af tilsvarende sider har samme længde. (Dette er i alt seks ligheder, men tre er ofte tilstrækkelige til at bevise kongruens.)

Nogle individuelt nødvendige og tilstrækkelige betingelser for at et par trekanter er kongruente er:

• SAS Postulat: To sider i en trekant har samme længde som to sider i den anden trekant, og de medfølgende vinkler har samme mål.
• ASA: To indvendige vinkler og den medfølgende side i en trekant har henholdsvis samme mål og længde som dem i den anden trekant. (Den medfølgende side for et par vinkler er den side, der er fælles for dem.)
• SSS: Hver side af en trekant har samme længde som en tilsvarende side af den anden trekant.
• AAS: To vinkler og en tilsvarende (ikke inkluderet) side i en trekant har henholdsvis samme mål og længde som dem i den anden trekant. (Dette kaldes undertiden AAcorrS og inkluderer derefter ASA ovenfor.)

Nogle individuelt tilstrækkelige betingelser er:

• Hypotenuse-ben (HL) sætning: Hypotenusen og et ben i en højre trekant har samme længde som dem i en anden højre trekant. Dette kaldes også RHS (retvinklet, hypotenuse, side).
• Hypotenuse-vinkelsætning: Hypotenusen og en spids vinkel i den ene højre trekant har henholdsvis samme længde og mål som dem i den anden højre trekant. Dette er blot et særligt tilfælde af AAS -sætningen.

En vigtig betingelse er:

• Side-side-vinkel (eller vinkel-side-side) tilstand: Hvis to sider og en tilsvarende ikke-inkluderet vinkel på en trekant har henholdsvis samme længde og mål som dem i en anden trekant, er dette ikke tilstrækkeligt til at bevise overensstemmelsen; men hvis den givne vinkel er modsat den længere side af de to sider, så er trekanterne kongruente. Hypotenuse-Leg Theorem er et særligt tilfælde af dette kriterium. Tilstanden Side-side-vinkel garanterer ikke i sig selv, at trekanterne er kongruente, fordi den ene trekant kan være stump-vinklet og den anden spids-vinklet.

Ved hjælp af rigtige trekanter og begrebet lighed kan de trigonometriske funktioner sinus og cosinus defineres. Disse er funktioner i en vinkel, der undersøges i trigonometri .

Højre trekanter

En central sætning er Pythagoras sætning , der angiver i en hvilken som helst højre trekant , kvadratet af hypotenusens længde er lig med summen af ​​firkanterne for længderne på de to andre sider. Hvis hypotenusen har længden c , og benene har længderne a og b , siger sætningen det

${\ displaystyle a^{2}+b^{2} = c^{2}.}$

Det omvendte er sandt: Hvis længderne på siderne af en trekant opfylder ovenstående ligning, så har trekanten en ret vinkel modsat side c .

Nogle andre fakta om rigtige trekanter:

• De rette vinkler i en retvinklet trekant er komplementære .

${\ displaystyle a+b+90^{\ circ} = 180^{\ circ} \ Højre pil a+b = 90^{\ circ} \ Højre pil a = 90^{\ circ} -b.}$

• Hvis benene på en højre trekant har samme længde, har vinklerne modsat disse ben samme mål. Da disse vinkler er komplementære, følger det, at hver måler 45 grader. Ifølge Pythagoras sætning er længden af ​​hypotenusen længden af ​​et ben gange √ 2 .
• I en højre trekant med spidse vinkler på 30 og 60 grader er hypotenusen dobbelt så lang som den kortere side, og den længere side er lig med længden af ​​de kortere sidetider √ 3 :

${\ displaystyle c = 2a \,}$

${\ displaystyle b = a \ times {\ sqrt {3}}.}$

For alle trekanter er vinkler og sider forbundet med cosinusloven og syndeloven (også kaldet cosinusreglen og sinusreglen ).

Eksistensen af ​​en trekant

Tilstand på siderne

De Trekantsuligheden hedder det, at summen af længderne af eventuelle to sider af en trekant skal være større end eller lig med længden af den tredje side. Denne sum kan kun svare til længden på den tredje side i tilfælde af en degenereret trekant, en med kollinære hjørner. Det er ikke muligt for denne sum at være mindre end længden på den tredje side. Der findes en trekant med tre givne positive sidelængder, hvis og kun hvis disse sidelængder tilfredsstiller trekantens ulighed.

Betingelser på vinklerne

Tre givne vinkler danner en ikke-degenereret trekant (og faktisk en uendelighed af dem), hvis og kun hvis begge disse betingelser holder: (a) hver af vinklerne er positive, og (b) vinklerne summerer til 180 °. Hvis degenererede trekanter er tilladt, er vinkler på 0 ° tilladt.

Trigonometriske forhold

Tre positive vinkler α , β og γ , hver af dem mindre end 180 °, er vinklerne på en trekant, hvis og kun hvis en af ​​følgende betingelser holder:

${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ alpha} {2}} \ tan {\ frac {\ beta} {2}}+\ tan {\ frac {\ beta} {2}} \ tan {\ frac {\ gamma} {2}}+\ tan {\ frac {\ gamma} {2}} \ tan {\ frac {\ alpha} {2}} = 1,}$

${\ displaystyle \ sin ^{2} {\ frac {\ alpha} {2}}+\ sin ^{2} {\ frac {\ beta} {2}}+\ sin ^{2} {\ frac {\ gamma} {2}}+2 \ sin {\ frac {\ alpha} {2}} \ sin {\ frac {\ beta} {2}} \ sin {\ frac {\ gamma} {2}} = 1, }$

${\ displaystyle \ sin (2 \ alpha)+\ sin (2 \ beta)+\ sin (2 \ gamma) = 4 \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) \ sin (\ gamma),}$

${\ displaystyle \ cos ^{2} \ alpha +\ cos ^{2} \ beta +\ cos ^{2} \ gamma +2 \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) = 1,}$

${\ displaystyle \ tan (\ alpha)+\ tan (\ beta)+\ tan (\ gamma) = \ tan (\ alpha) \ tan (\ beta) \ tan (\ gamma),}$

den sidste lighed gælder kun, hvis ingen af ​​vinklerne er 90 ° (så tangentfunktionens værdi er altid begrænset).

Punkter, linjer og cirkler forbundet med en trekant

Der er tusinder af forskellige konstruktioner, der finder et særligt punkt forbundet med (og ofte inden i) en trekant, der tilfredsstiller en unik egenskab: se artiklen Encyclopedia of Triangle Centers for et katalog over dem. Ofte konstrueres de ved at finde tre linjer forbundet symmetrisk med de tre sider (eller hjørner) og derefter bevise, at de tre linjer mødes i et enkelt punkt: et vigtigt redskab til at bevise eksistensen af ​​disse er Cevas sætning , som giver en kriterium for at bestemme, hvornår tre sådanne linjer er samtidige . På samme måde konstrueres linjer forbundet med en trekant ofte ved at bevise, at tre symmetrisk konstruerede punkter er kollinære : her giver Menelaus sætning et nyttigt generelt kriterium. I dette afsnit forklares blot nogle få af de mest almindelige konstruktioner.

En vinkelret halveringslinje på en side af en trekant er en lige linje, der passerer gennem midten af siden og er vinkelret på den, dvs. danner en ret vinkel med den. De tre vinkelrette bisektorer mødes i et enkelt punkt, trekants omkreds , normalt betegnet med O ; dette punkt er midten af omkredsen , cirklen passerer gennem alle tre hjørner. Diameteren af ​​denne cirkel, kaldet circumdiameter , kan findes fra loven om siner angivet ovenfor. Cirkelens radius kaldes circumradius .

Thales 'sætning indebærer, at hvis circumcenteret er placeret på en side af trekanten, så er den modsatte vinkel den rigtige. Hvis circumcenter er placeret inde i trekanten, så er trekanten akut; hvis circumcenter er placeret uden for trekanten, så er trekanten stump.

En højde af en trekant er en lige linje gennem et toppunkt og vinkelret på (dvs. danner en ret vinkel med) den modsatte side. Denne modsatte side kaldes basis af højden, og det punkt, hvor højden gennemskærer basis (eller dens forlængelse) kaldes foden af højden. Højdenes længde er afstanden mellem basen og toppunktet. De tre højder skærer hinanden i et enkelt punkt, kaldet orthocenter af trekanten, sædvanligvis betegnet med H . Orthocenteret ligger inde i trekanten, hvis og kun hvis trekanten er akut.

En vinkelhalveringslinje i en trekant er en lige linje gennem et toppunkt, der skærer den tilsvarende vinkel i to. De tre vinkel -bisektorer skærer hinanden i et enkelt punkt, incenteret , normalt betegnet med I , midten af ​​trekantsens cirkel . Inkirklen er cirklen, der ligger inde i trekanten og berører alle tre sider. Dens radius kaldes inradius . Der er tre andre vigtige cirkler, cirklerne ; de ligger uden for trekanten og berører den ene side samt forlængelserne af de to andre. Centrene for in- og excircles danner et ortocentrisk system .

En median af en trekant er en lige linje gennem et toppunkt og midtpunktet på den modsatte side og deler trekanten i to lige store områder. De tre medianer skærer hinanden et enkelt punkt, trekanten s tyngdepunkt eller geometrisk barycenter, som regel angivet med G . Centroid af et stift trekantet objekt (skåret ud af et tyndt ark med ensartet tæthed) er også dets massecenter : objektet kan balanceres på sin centroid i et ensartet tyngdefelt. Centroiden skærer hver median i forholdet 2: 1, dvs. afstanden mellem et toppunkt og centroid er to gange afstanden mellem centroid og midtpunktet på den modsatte side.

Midtpunkterne på de tre sider og fødderne på de tre højder ligger alle på en enkelt cirkel, trekants ni-punkts cirkel . De resterende tre punkter, som den er opkaldt til, er midtpunkterne i højdepartiet mellem hjørnerne og ortocenteret . Niopunktscirkelens radius er halvdelen af ​​cirkelcirkelens cirkel. Den rører ved inkredsen (ved Feuerbach -punktet ) og de tre cirkler .

Orthocenteret (blåt punkt), midten af ​​nipunktscirklen (rød), centroid (orange) og circumcenter (grøn) ligger alle på en enkelt linje, kendt som Eulers linje (rød linje). Midten af ​​den ni-punkts cirkel ligger ved midtpunktet mellem ortocenteret og omkredsen, og afstanden mellem centroid og circumcenter er halvt så stor mellem centroid og ortocenter.

Centrum af omkredsen er generelt ikke placeret på Eulers linje.

Hvis man afspejler en median i vinkelhalveringslinjen, der passerer gennem det samme toppunkt, opnår man en symmedian . De tre symmedikere skærer hinanden i et enkelt punkt, det symmetiske punkt i trekanten.

Beregning af sider og vinkler

Der er forskellige standardmetoder til beregning af længden på en side eller målingen af ​​en vinkel. Visse metoder er velegnede til beregning af værdier i en retvinklet trekant; mere komplekse metoder kan være påkrævet i andre situationer.

Trigonometriske forhold i rigtige trekanter

I rigtige trekanter kan de trigonometriske forhold mellem sinus, cosinus og tangens bruges til at finde ukendte vinkler og længder af ukendte sider. Trekantens sider kendes som følger:

• Den hypotenusen er siden modsat den rette vinkel, eller defineres som den længste side af en retvinklet trekant, i dette tilfælde h .
• Den modsatte side er den side, der er modsat den vinkel, vi er interesseret i, i dette tilfælde a .
• Den tilstødende side er den side, der er i kontakt med den vinkel, vi er interesseret i, og den rigtige vinkel, deraf dens navn. I dette tilfælde er den tilstødende side b .

Sinus, cosinus og tangent

Den sinus af en vinkel er forholdet mellem længden af den modsatte side til længden af hypotenusen. I vores tilfælde

${\ displaystyle \ sin A = {\ frac {\ text {modsat side}} {\ text {hypotenuse}}} = {\ frac {a} {h}} \ ,.}$

Dette forhold afhænger ikke af den valgte højre trekant, så længe den indeholder vinklen A , da alle disse trekanter er ens .

Den cosinus af en vinkel er forholdet mellem længden af den hosliggende side til længden af hypotenusen. I vores tilfælde

${\ displaystyle \ cos A = {\ frac {\ text {tilstødende side}} {\ text {hypotenuse}}} = {\ frac {b} {h}} \ ,.}$

Den tangent til en vinkel er forholdet mellem længden af den modsatte side til længden af den hosliggende side. I vores tilfælde

${\ displaystyle \ tan A = {\ frac {\ text {modsat side}} {\ text {tilstødende side}}} = {\ frac {a} {b}} = {\ frac {\ sin A} {\ cos EN}}\,.}$

Akronymet " SOH-CAH-TOA " er en nyttig mnemonic for disse nøgletal.

Omvendte funktioner

De inverse trigonometriske funktioner kan bruges til at beregne de indre vinkler for en retvinklet trekant med længden af ​​to sider.

Arcsin kan bruges til at beregne en vinkel fra længden af ​​den modsatte side og længden af ​​hypotenusen.

${\ displaystyle \ theta = \ arcsin \ left ({\ frac {\ text {modsat side}} {\ text {hypotenuse}}} \ højre)}$

Arccos kan bruges til at beregne en vinkel fra længden af ​​den tilstødende side og længden af ​​hypotenusen.

${\ displaystyle \ theta = \ arccos \ venstre ({\ frac {\ text {tilstødende side}} {\ text {hypotenuse}}} \ højre)}$

Arctan kan bruges til at beregne en vinkel fra længden af ​​den modsatte side og længden af ​​den tilstødende side.

${\ displaystyle \ theta = \ arctan \ venstre ({\ frac {\ text {modsat side}} {\ tekst {tilstødende side}}} \ højre)}$

I indledende geometri- og trigonometriforløb bruges notationen sin ⁻¹ , cos ⁻¹ osv. Ofte i stedet for arcsin, arccos osv. Men arcsin, arccos osv. Er notation standard i højere matematik, hvor trigonometriske funktioner hæves sædvanligvis til magter, da dette undgår forvirring mellem multiplikativ invers og kompositionsinvers .

Sinus, cosinus og tangentregler

Den sinusrelation eller sinus regel, stater, at forholdet mellem længden af en side til sinus af dens tilsvarende modsatte vinkel er konstant, der er

${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}}.}$

Dette forhold er lig med diameteren af ​​den omskrevne cirkel i den givne trekant. En anden fortolkning af denne sætning er, at hver trekant med vinklerne α, β og γ ligner en trekant med sidelængder, der er lig med sin α, sin β og sin γ. Denne trekant kan konstrueres ved først at konstruere en cirkel med diameter 1 og indskrive to af vinklerne i trekanten i den. Længden af ​​siderne af den trekant vil være sin α, sin β og sin γ. Den side, hvis længde er sin α, er modsat den vinkel, hvis mål er α osv.

Den Cosinusrelation eller cosinus regel forbinder længden af en ukendt side af en trekant med længden af de andre sider og vinkel modsat til det ukendte side. I henhold til loven:

For en trekant med længden af ​​siderne a , b , c og vinkler på henholdsvis α, β, γ givet to kendte længder af en trekant a og b og vinklen mellem de to kendte sider γ (eller vinklen modsat det ukendte side c ), for at beregne den tredje side c , kan følgende formel bruges:

${\ displaystyle c^{2} \ = a^{2}+b^{2} -2ab \ cos (\ gamma)}$

${\ displaystyle b^{2} \ = a^{2}+c^{2} -2ac \ cos (\ beta)}$

${\ displaystyle a^{2} \ = b^{2}+c^{2} -2bc \ cos (\ alpha)}$

Hvis længderne på alle tre sider af en trekant er kendt, kan de tre vinkler beregnes:

${\ displaystyle \ alpha = \ arccos \ left ({\ frac {b^{2}+c^{2} -a^{2}} {2bc}} \ right)}$

${\ displaystyle \ beta = \ arccos \ venstre ({\ frac {a^{2}+c^{2} -b^{2}} {2ac}} \ højre)}$

${\ displaystyle \ gamma = \ arccos \ venstre ({\ frac {a^{2}+b^{2} -c^{2}} {2ab}} \ højre)}$

Den lov af tangenter , eller tangent regel, kan bruges til at finde en side eller en vinkel, når to sider og en vinkel eller to vinkler og en side, er kendt. Det hedder, at:

${\ displaystyle {\ frac {ab} {a+b}} = {\ frac {\ tan [{\ frac {1} {2}} (\ alpha -\ beta)]} {\ tan [{\ frac { 1} {2}} (\ alfa +\ beta)]}}.}$

Løsning af trekanter

"Løsning af trekanter" er det vigtigste trigonometriske problem: at finde manglende egenskaber ved en trekant (tre vinkler, længderne på de tre sider osv.), Når mindst tre af disse egenskaber er angivet. Trekanten kan være placeret på et plan eller på en kugle . Dette problem opstår ofte i forskellige trigonometriske applikationer, såsom geodesi , astronomi , konstruktion , navigation osv.

Beregning af arealet af en trekant

Beregning af arealet T i en trekant er et elementært problem, der ofte opstår i mange forskellige situationer. Den mest kendte og enkleste formel er:

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} bh,}$

hvor b er længden af ​​bunden af ​​trekanten, og h er trekants højde eller højde. Udtrykket "base" betegner enhver side, og "højde" angiver længden af ​​en vinkelret fra toppunktet modsat basen ind på linjen indeholdende basen. I 499 CE Aryabhata brugte denne illustrerede metode i Aryabhatiya (afsnit 2.6).

Selvom den er enkel, er denne formel kun nyttig, hvis højden let kan findes, hvilket ikke altid er tilfældet. For eksempel kan landmåler i et trekantet felt finde det relativt let at måle længden på hver side, men relativt vanskelig at konstruere en 'højde'. Forskellige metoder kan bruges i praksis, afhængigt af hvad man ved om trekanten. Følgende er et udvalg af ofte anvendte formler for området i en trekant.

Brug af trigonometri

Højden af ​​en trekant kan findes ved anvendelse af trigonometri .

Kender SAS : Ved hjælp af etiketterne i billedet til højre er højden h = en synd${\ displaystyle \ gamma}$ . I stedet for dette i formlen, der er afledt ovenfor, kan arealet af trekanten udtrykkes som: ${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} bh}$

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} ab \ sin \ gamma = {\ frac {1} {2}} bc \ sin \ alpha = {\ frac {1} {2}} ca \ sin \ beta}$

(hvor α er den indvendige vinkel ved A , β er den indvendige vinkel ved B , er den indvendige vinkel ved C og c er linjen AB ). ${\ displaystyle \ gamma}$

Da sin α = sin ( π - α) = sin (β + ) og tilsvarende for de to andre vinkler: ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} ab \ sin (\ alpha +\ beta) = {\ frac {1} {2}} bc \ sin (\ beta +\ gamma) = {\ frac {1} {2}} ca \ sin (\ gamma +\ alpha).}$

Kendskab til AAS :

${\ displaystyle T = {\ frac {b^{2} (\ sin \ alpha) (\ sin (\ alpha +\ beta))} {2 \ sin \ beta}},}$

og analogt, hvis den kendte side er a eller c .

At kende ASA :

${\ displaystyle T = {\ frac {a^{2}} {2 (\ cot \ beta +\ cot \ gamma)}} = {\ frac {a^{2} (\ sin \ beta) (\ sin \ gamma)} {2 \ sin (\ beta +\ gamma)}},}$

og analogt, hvis den kendte side er b eller c .

Ved hjælp af Herons formel

Trekantens form bestemmes af sidernes længder. Derfor kan området også udledes af sidernes længder. Efter Herons formel :

${\ displaystyle T = {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}}$

hvor er halvmåler eller halvdelen af ​​trekants omkreds. ${\ displaystyle s = {\ tfrac {a+b+c} {2}}}$

Tre andre ækvivalente måder at skrive Herons formel på er

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} -2 (a^{4} +b^{4}+c^{4})}}}}$

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {2 (a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+b^{2} c^ {2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a+bc) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}}.}$

Brug af vektorer

Arealet af et parallelogram indlejret i et tredimensionelt euklidisk rum kan beregnes ved hjælp af vektorer . Lad vektorer AB og AC punkt henholdsvis fra A til B og fra A til C . Arealet af parallelogram ABDC er derefter

${\ displaystyle | \ mathbf {AB} \ times \ mathbf {AC} |,}$

som er størrelsen af krydsproduktet af vektorerne AB og AC . Arealet af trekant ABC er halvdelen af ​​dette,

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} | \ mathbf {AB} \ times \ mathbf {AC} |.}$

Arealet af trekanten ABC kan også udtrykkes i form af prikprodukter som følger:

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {(\ mathbf {AB} \ cdot \ mathbf {AB}) (\ mathbf {AC} \ cdot \ mathbf {AC})-(\ mathbf { AB} \ cdot \ mathbf {AC})^{2}}} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {| \ mathbf {AB} |^{2} | \ mathbf {AC} |^ {2}-(\ mathbf {AB} \ cdot \ mathbf {AC})^{2}}}. \,}$

I todimensionalt euklidisk rum, der udtrykker vektor AB som en fri vektor i kartesisk rum lig med ( x ₁ , y ₁ ) og AC som ( x ₂ , y ₂ ), kan dette omskrives som:

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \, | x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1} |. \,}$

Brug af koordinater

Hvis toppunkt A er placeret ved oprindelsen (0, 0) af et kartesisk koordinatsystem, og koordinaterne for de to andre hjørner er angivet med B = ( x _B , y _B ) og C = ( x _C , y _C ) , så området kan beregnes som 1 ⁄ 2 gange den absolutte værdi af determinanten

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ venstre | \ det {\ begin {pmatrix} x_ {B} & x_ {C} \\ y_ {B} & y_ {C} \ end {pmatrix}} \ right | = {\ frac {1} {2}} | x_ {B} y_ {C} -x_ {C} y_ {B} |.}$

For tre generelle hjørner er ligningen:

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ venstre | \ det {\ begin {pmatrix} x_ {A} & x_ {B} & x_ {C} \\ y_ {A} & y_ {B} & y_ { C} \\ 1 & 1 & 1 \ slut {pmatrix}} \ right | = {\ frac {1} {2}} {\ big |} x_ {A} y_ {B} -x_ {A} y_ {C}+x_ { B} y_ {C} -x_ {B} y_ {A}+x_ {C} y_ {A} -x_ {C} y_ {B} {\ big |},}$

som kan skrives som

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} {\ big |} (x_ {A} -x_ {C}) (y_ {B} -y_ {A})-(x_ {A} -x_ {B}) (y_ {C} -y_ {A}) {\ big |}.}$

Hvis punkterne er mærket i rækkefølge i retning mod uret, er ovenstående determinantudtryk positive, og absolutværditegnene kan udelades. Ovenstående formel er kendt som snørebåndsformlen eller landmålerens formel.

Hvis vi lokaliserer hjørnerne i det komplekse plan og betegner dem i retning mod uret som a = x _A + y _A i , b = x _B + y _B i og c = x _C + y _C i og betegner deres komplekse konjugater som ,, og derefter formlen ${\ displaystyle {\ bar {a}}}$${\ displaystyle {\ bar {b}}}$${\ displaystyle {\ bar {c}}}$

${\ displaystyle T = {\ frac {i} {4}} {\ begin {vmatrix} a & {\ bar {a}} & 1 \\ b & {\ bar {b}} & 1 \\ c & {\ bar {c} } & 1 \ end {vmatrix}}}$

svarer til snørebåndsformlen.

I tre dimensioner er arealet af en generel trekant A = ( x _A , y _A , z _A ) , B = ( x _B , y _B , z _B ) og C = ( x _C , y _C , z _C ) Pythagoras sum af arealerne for de respektive projektioner på de tre hovedplaner (dvs. x = 0, y = 0 og z = 0):

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {{\ begin {vmatrix} x_ {A} & x_ {B} & x_ {C} \\ y_ {A} & y_ {B} & y_ {C } \\ 1 & 1 & 1 \ slut {vmatrix}}^{2}+{\ begin {vmatrix} y_ {A} & y_ {B} & y_ {C} \\ z_ {A} & z_ {B} & z_ {C} \\ 1 & 1 & 1 \ end {vmatrix}}^{2}+{\ begin {vmatrix} z_ {A} & z_ {B} & z_ {C} \\ x_ {A} & x_ {B} & x_ {C} \\ 1 & 1 & 1 \ end {vmatrix }}^{2}}}.}$

Brug af linjeintegraler

Området inden enhver lukket kurve, såsom en trekant, er givet ved linje integrerende omkring kurven for den algebraiske eller underskrevet afstand af et punkt på kurven fra en vilkårlig orienteret lige linje L . Punkter til højre for L som orienteret antages at være i negativ afstand fra L , mens vægten for integralet anses for at være komponenten af ​​buelængde parallelt med L frem for selve buelængden.

Denne metode er velegnet til beregning af arealet af en vilkårlig polygon . Når man tager L til at være x -aksen, er linjens integral mellem på hinanden følgende hjørner ( x _i , y _i ) og ( x _{i +1} , y _{i +1} ) givet af basistiden middelhøjden, nemlig ( x _{i +1} - x _i ) ( y _i + y _{i +1} )/2 . Områdets tegn er en overordnet indikator for kørselsretningen, med negativt område, der angiver tværgående retning. Arealet af en trekant falder derefter ud som tilfældet med en polygon med tre sider.

Mens linieintegral-metoden har tilfælles med andre koordinatbaserede metoder, vælger det vilkårlige valg af et koordinatsystem, i modsætning til de andre, at det ikke foretager et vilkårligt valg af trekants toppunkt som oprindelse eller side som base. Desuden forpligter valget af koordinatsystem, der er defineret af L, kun to frihedsgrader frem for de sædvanlige tre, da vægten er en lokal afstand (f.eks. X _{i +1} - x _i i ovenstående), hvorfra metoden ikke kræver at vælge en akse vinkelret på L .

Når man arbejder i polære koordinater, er det ikke nødvendigt at konvertere til kartesiske koordinater for at bruge linjeintegration, da linjeintegralet mellem på hinanden følgende hjørner ( r _i , θ _i ) og ( r _{i +1} , θ _{i +1} ) i en polygon er givet direkte ved r _i r _{i +1} sin (θ _{i +1} - θ _i )/2 . Dette er gyldigt for alle værdier af θ, med et vist fald i numerisk nøjagtighed, når | θ | er mange størrelsesordener større end π. Med denne formulering angiver det negative område med uret tværgående, hvilket man bør huske på, når man blander polare og kartesiske koordinater. Ligesom valget af y -akse ( x = 0 ) er uvæsentligt for linjeintegration i kartesiske koordinater, er valget af nuloverskrift ( θ = 0 ) uvæsentligt her.

Formler, der ligner Herons formel

Tre formler har samme struktur som Herons formel, men udtrykkes i forskellige variabler. For det første betegner vi medianerne fra henholdsvis siderne a , b og c som m _a , m _b og m _c og deres semisum ( m _a + m _b + m _c )/2 som σ, har vi

${\ displaystyle T = {\ frac {4} {3}} {\ sqrt {\ sigma (\ sigma -m_ {a}) (\ sigma -m_ {b}) (\ sigma -m_ {c})}}} .}$

Dernæst betegner højderne fra henholdsvis siderne a , b og c som h _a , h _b og h _c og betegner semisummen af ​​højdernes reciprokke, som vi har ${\ displaystyle H = (h_ {a}^{-1}+h_ {b}^{-1}+h_ {c}^{-1})/2}$

${\ displaystyle T^{-1} = 4 {\ sqrt {H (H-h_ {a}^{-1}) (H-h_ {b}^{-1}) (H-h_ {c}^ {-1})}}}.}$

Og ved at betegne semisummen af ​​vinklenes synder som S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2 , har vi

${\ displaystyle T = D^{2} {\ sqrt {S (S- \ sin \ alpha) (S- \ sin \ beta) (S- \ sin \ gamma)}}}}$

hvor D er cirkelcirkelens diameter:${\ displaystyle D = {\ tfrac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ tfrac {b} {\ sin \ beta}} = {\ tfrac {c} {\ sin \ gamma}}.}$

Brug af Picks sætning

Se Picks sætning for en teknik til at finde arealet af enhver vilkårlig gitterpolygon (en tegnet på et gitter med lodret og vandret tilstødende gitterpunkter på lige store afstande og med hjørner på gitterpunkter).

Sætningen siger:

${\ displaystyle T = I+{\ frac {1} {2}} B-1}$

hvor er antallet af interne gitterpunkter og B er antallet af gitterpunkter, der ligger på grænsen til polygonen. ${\ displaystyle I}$

Andre områdeformler

Der findes mange andre områdeformler, f.eks

${\ displaystyle T = r \ cdot s,}$

hvor r er inradius , og s er semiperimeteret (faktisk gælder denne formel for alle tangentielle polygoner ), og

${\ displaystyle T = r_ {a} (sa) = r_ {b} (sb) = r_ {c} (sc)}$

hvor er cirklernes radier, der tangerer henholdsvis siderne a, b, c . ${\ displaystyle r_ {a}, \, r_ {b}, \, r_ {c}}$

Vi har også

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} D^{2} (\ sin \ alpha) (\ sin \ beta) (\ sin \ gamma)}$

og

${\ displaystyle T = {\ frac {abc} {2D}} = {\ frac {abc} {4R}}}$

for omkredsdiameter D ; og

${\ displaystyle T = {\ frac {\ tan \ alpha} {4}} (b^{2}+c^{2} -a^{2})}$

for vinkel α ≠ 90 °.

Området kan også udtrykkes som

${\ displaystyle T = {\ sqrt {rr_ {a} r_ {b} r_ {c}}}.}$

I 1885 gav Baker en samling af over hundrede forskellige områdeformler til trekanten. Disse omfatter:

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} [abch_ {a} h_ {b} h_ {c}]^{1/3},}$

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {abh_ {a} h_ {b}}},}$

${\ displaystyle T = {\ frac {a+b} {2 (h_ {a}^{-1}+h_ {b}^{-1})}},}$

${\ displaystyle T = {\ frac {Rh_ {b} h_ {c}} {a}}}$

for circumradius (radius af cirkelcirkel) R , og

${\ displaystyle T = {\ frac {h_ {a} h_ {b}} {2 \ sin \ gamma}}.}$

Øvre grænse på området

Arealet T i enhver trekant med omkreds p opfylder

${\ displaystyle T \ leq {\ tfrac {p^{2}} {12 {\ sqrt {3}}}},}$

med ligestilling, hvis og kun hvis trekanten er ligesidet.

Andre øvre grænser på området T er givet af

${\ displaystyle 4 {\ sqrt {3}} T \ leq a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

og

${\ displaystyle 4 {\ sqrt {3}} T \ leq {\ frac {9abc} {a+b+c}},}$

begge igen holder hvis og kun hvis trekanten er ligesidet.

Halvering af området

Der er uendeligt mange linjer, der halverer arealet af en trekant . Tre af dem er medianerne, som er de eneste bisektorer i området, der går gennem centroid. Tre andre omrids bisektorer er parallelle med trekants sider.

Enhver linje gennem en trekant, der deler både trekants areal og omkreds i halvdelen, går gennem trekantens incenter. Der kan være en, to eller tre af disse for en given trekant.

Yderligere formler for generelle euklidiske trekanter

Formlerne i dette afsnit gælder for alle euklidiske trekanter.

Medianer, vinkelhalveringslinjer, vinkelrette sidebisektorer og højder

Medianerne og siderne er relateret af

${\ displaystyle {\ frac {3} {4}} (a^{2}+b^{2}+c^{2}) = m_ {a}^{2}+m_ {b}^{2} +m_ {c}^{2}}$

og

${\ displaystyle m_ {a} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {2b^{2}+2c^{2} -a^{2}}} = {\ sqrt {{\ frac { 1} {2}} (a^{2}+b^{2}+c^{2})-{\ frac {3} {4}} a^{2}}}}$,

og ækvivalent for m _b og m _c .

For vinkel A modsat side a er længden af ​​den interne vinkelhalveringslinje givet ved

${\ displaystyle w_ {A} = {\ frac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}} {b+c}} = {\ sqrt {bc \ venstre [1-{\ frac {a^{2} } {(b+c)^{2}}} \ right]}} = {\ frac {2bc} {b+c}} \ cos {\ frac {A} {2}},}$

for semiperimeter s , hvor bisektorlængden måles fra toppunktet til hvor den møder den modsatte side.

De indvendige vinkelrette bisektorer er givet af

${\ displaystyle p_ {a} = {\ frac {2aT} {a^{2}+b^{2} -c^{2}}},}$

${\ displaystyle p_ {b} = {\ frac {2bT} {a^{2}+b^{2} -c^{2}}},}$

${\ displaystyle p_ {c} = {\ frac {2cT} {a^{2} -b^{2}+c^{2}}},}$

hvor siderne er og området er${\ displaystyle a \ geq b \ geq c}$${\ displaystyle T.}$

Højden fra for eksempel siden af ​​længden a er

${\ displaystyle h_ {a} = {\ frac {2T} {a}}.}$

Circumradius og inradius

Følgende formler involverer circumradius R og inradius r :

${\ displaystyle R = {\ sqrt {\ frac {a^{2} b^{2} c^{2}} {(a+b+c) (-a+b+c) (a-b+c ) (a+bc)}}};}$

${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ frac {(-a+b+c) (a-b+c) (a+bc)} {4 (a+b+c)}}}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {r}} = {\ frac {1} {h_ {a}}}+{\ frac {1} {h_ {b}}}+{\ frac {1} {h_ {c}}}}$

hvor h _a etc. er højderne til de abonnerede sider;

${\ displaystyle {\ frac {r} {R}} = {\ frac {4T^{2}} {sabc}} = \ cos \ alpha +\ cos \ beta +\ cos \ gamma -1;}$

og

${\ displaystyle 2Rr = {\ frac {abc} {a+b+c}}}$.

Produktet af to sider af en trekant er lig med højden til den tredje side gange cirkelcirkelens diameter D :

${\ displaystyle ab = h_ {c} D, \ quad \ quad bc = h_ {a} D, \ quad ca = h_ {b} D.}$

Tilstødende trekanter

Antag, at to tilstødende, men ikke-overlappende trekanter deler den samme side af længden f og deler den samme cirkel, således at siden med længden f er en akkord af cirkelcirklen, og trekanterne har sidelængder ( a , b , f ) og ( c , d , f ), hvor de to trekanter tilsammen danner en cyklisk firkant med sidelængder i rækkefølge ( a , b , c , d ). Derefter

${\ displaystyle f^{2} = {\ frac {(ac+bd) (ad+bc)} {(ab+cd)}}. \,}$

Centroid

Lad G være midterdelen i en trekant med hjørner A , B og C , og lad P være et hvilket som helst indre punkt. Derefter er afstanden mellem punkterne relateret til

${\ displaystyle (PA)^{2}+(PB)^{2}+(PC)^{2} = (GA)^{2}+(GB)^{2}+(GC)^{2} +3 (PG)^{2}. \,}$

Summen af ​​firkanterne på trekantsiderne er tre gange summen af ​​centroidens kvadratiske afstande fra hjørnerne:

${\ displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2} = 3 (GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).}$

Lad q _a , q _b og q _c være afstandene fra centroid til siderne af længderne a , b og c . Derefter

${\ displaystyle {\ frac {q_ {a}} {q_ {b}}} = {\ frac {b} {a}}, \ quad \ quad {\ frac {q_ {b}} {q_ {c}} } = {\ frac {c} {b}}, \ quad \ quad {\ frac {q_ {a}} {q_ {c}}} = {\ frac {c} {a}} \,}$

og

${\ displaystyle q_ {a} \ cdot a = q_ {b} \ cdot b = q_ {c} \ cdot c = {\ frac {2} {3}} T \,}$

for området T .

Circumcenter, incenter og ortocenter

Carnots sætning siger, at summen af ​​afstandene fra circumcenter til de tre sider er lig med summen af ​​circumradius og inradius. Her anses et segments længde for at være negativt, hvis og kun hvis segmentet ligger helt uden for trekanten. Denne metode er især nyttig til at udlede egenskaberne ved mere abstrakte former for trekanter, såsom dem induceret af Lie -algebraer , der ellers har de samme egenskaber som sædvanlige trekanter.

Eulers sætning siger, at afstanden d mellem circumcenter og incenter er givet ved

${\ displaystyle \ displaystyle d^{2} = R (R-2r)}$

eller tilsvarende

${\ displaystyle {\ frac {1} {Rd}}+{\ frac {1} {R+d}} = {\ frac {1} {r}},}$

hvor R er omkredsen og r er inradius. Således for alle trekanter R ≥ 2 r , med ligestilling for ligesidet trekanter.

Hvis vi angiver, at ortocenteret deler en højde op i segmenter af længder u og v , en anden højde i segmentlængder w og x og den tredje højde i segmentlængder y og z , så uv = wx = yz .

Afstanden fra en side til omkredsen er lig med halvdelen af ​​afstanden fra det modsatte toppunkt til ortocenteret.

Summen af ​​kvadraternes afstande fra hjørnerne til ortocenteret H plus summen af ​​sidernes firkanter er tolv gange kvadratet i omkredsen:

${\ displaystyle AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2} = 12R^{2}.}$

Vinkler

Ud over syndeloven , cosinusloven , tangentloven og de tidligere trigonometriske eksistensbetingelser for enhver trekant

${\ displaystyle a = b \ cos C+c \ cos B, \ quad b = c \ cos A+a \ cos C, \ quad c = a \ cos B+b \ cos A.}$

Morleys trisektorsætning

Morleys trisektorsætning siger, at i enhver trekant danner de tre skæringspunkter for de tilstødende vinkelstrisektorer en ligesidet trekant, kaldet Morley -trekanten .

Figurer indskrevet i en trekant

Kegler

Som diskuteret ovenfor har hver trekant en unik indskrevet cirkel (inkirkel), der er indvendig i trekanten og tangerer til alle tre sider.

Hver trekant har en unik Steiner -inellipse, der er indvendig i trekanten og tangerer ved sidepunkterne . Mardens sætning viser, hvordan man finder fokus på denne ellipse . Denne ellipse har det største område af enhver ellipse, der tangerer alle tre sider af trekanten.

Den Mandart inellipse af en trekant er ellipsen indskrevet i trekanten tangent til siderne på kontaktpunkterne i sine excircles.

For enhver ellipse indskrevet i en trekant ABC , lad brændpunkter være P og Q . Derefter

${\ displaystyle {\ frac {{\ overline {PA}} \ cdot {\ overline {QA}}} {{\ overline {CA}} \ cdot {\ overline {AB}}}}+{\ frac {{\ overline {PB}} \ cdot {\ overline {QB}}} {{\ overline {AB}} \ cdot {\ overline {BC}}}}+{\ frac {{\ overline {PC}} \ cdot {\ overline {QC}}} {{\ overline {BC}} \ cdot {\ overline {CA}}}} = 1.}$

Konveks polygon

Hver konvekst polygon med areal T kan indskrives i en trekant af område højst lig med 2 T . Lighed gælder (udelukkende) for et parallelogram .

Sekskant

Den Lemoine sekskant er en cyklisk sekskant med knudepunkter givet af de seks skæringer af siderne i en trekant med de tre linjer, der er parallelle med siderne, og at passere gennem dens symmedian punkt . I enten sin enkle form eller sin selvskærende form er Lemoine-sekskanten indvendig i trekanten med to hjørner på hver side af trekanten.

Firkanter

Hver akut trekant har tre indskrevne firkanter (firkanter i dens indre, så alle fire kvadraters hjørner ligger på en side af trekanten, så to af dem ligger på samme side, og derfor falder den ene side af firkanten sammen med en del af en side af trekanten). I en højre trekant falder to af firkanterne sammen og har et toppunkt i trekants rette vinkel, så en højre trekant har kun to forskellige indskrevne firkanter. En stump trekant har kun en indskrevet firkant, hvor en side falder sammen med en del af trekantens længste side. Inden for en given trekant er en længere fælles side forbundet med en mindre indskrevet firkant. Hvis en indskrevet firkant har en side af længden q _a, og trekanten har en side af længden a , hvoraf en del falder sammen med en side af firkanten, så q _a , a , højden h _a fra siden a , og trekantens område T er relateret iflg

${\ displaystyle q_ {a} = {\ frac {2Ta} {a^{2}+2T}} = {\ frac {ah_ {a}} {a+h_ {a}}}.}$

Det største mulige forhold mellem arealet af den indskrevne firkant og arealet af trekanten er 1/2, hvilket sker, når a ² = 2 T , q = a /2 , og højden af ​​trekanten fra bunden af ​​længden a er lig med a . Det mindste mulige forhold mellem siden af ​​en indskrevet firkant og siden af ​​en anden i den samme stumpe trekant er Begge disse ekstreme tilfælde forekommer for den ensartede højre trekant. ${\ displaystyle 2 {\ sqrt {2}}/3 = 0,94 ....}$

Trekanter

Fra et indre punkt i en referencetrekant tjener de nærmeste punkter på de tre sider som hjørnerne af pedaltrekanten af dette punkt. Hvis det indvendige punkt er referencetrekantens omkreds, er pedaltrekantens hjørner midtpunkterne på referencetrekantens sider, og derfor kaldes pedaltrekanten midtpunktstriangel eller medial trekant. Midtpunktstrianglen opdeler referencetrekanten i fire kongruente trekanter, der ligner referencetrekanten.

Den Gergonne trekant eller intouch trekant af en henvisning trekant har sine knudepunkter på de tre punkter i tangency af referencen trekantens sider med dens incircle. Den extouch trekant af en henvisning trekant har sine knudepunkter på de punkter i tangency af referencen trekantens excircles med dens sider (ikke udvidet).

Figurer omskrevet omkring en trekant

Den tangentielle trekant i en referencetrekant (bortset fra en retvinklet trekant) er trekanten, hvis sider er på tangentlinjerne til referencetrekantens cirkel i dens hjørner.

Som nævnt ovenfor har hver trekant en unik cirkel, en cirkel, der passerer gennem alle tre hjørner, hvis centrum er skæringspunktet mellem de vinkelrette bisektorer af trekantsiderne.

Hver trekant har endvidere en unik Steiner -omkreds , der passerer gennem trekantens hjørner og har sit centrum ved trekantens midterpunkt. Af alle ellipser, der går gennem trekantens hjørner, har den det mindste område.

Den Kiepert hyperbel er den unikke keglesnit , som passerer gennem trekantens tre toppunkter, dens tyngdepunkt og dets circumcenter.

Af alle trekanter indeholdt i en given konveks polygon findes der en trekant med maksimalt areal, hvis hjørner alle er hjørner af den givne polygon.

Angiver placeringen af ​​et punkt i en trekant

En måde at identificere placeringer af punkter i (eller uden for) en trekant er at placere trekanten på en vilkårlig placering og orientering i det kartesiske plan og bruge kartesiske koordinater. Selvom den er praktisk til mange formål, har denne tilgang den ulempe, at alle punkternes koordinatværdier afhænger af den vilkårlige placering i flyet.

To systemer undgår denne funktion, så koordinaterne for et punkt ikke påvirkes ved at flytte trekanten, rotere den eller reflektere den som i et spejl, hvoraf nogen giver en kongruent trekant eller endda ved at skalere den til en lignende trekant :

• Trilinære koordinater angiver de relative afstande for et punkt fra siderne, så koordinater angiver, at forholdet mellem punktets afstand fra den første side til dens afstand fra den anden side er osv.${\ displaystyle x: y: z}$${\ displaystyle x: y}$
• Barycentriske koordinater for formen angiver punktets placering ved de relative vægte, der skulle sættes på de tre hjørner for at balancere den ellers vægtløse trekant på det givne punkt.${\ displaystyle \ alpha: \ beta: \ gamma}$

Ikke-plane trekanter

En ikke-plan trekant er en trekant, der ikke er indeholdt i et (fladt) plan. Nogle eksempler på ikke-plane trekanter i ikke-euklidiske geometrier er sfæriske trekanter i sfærisk geometri og hyperbolske trekanter i hyperbolisk geometri .

Mens målingerne af de indre vinkler i plane trekanter altid summerer til 180 °, har en hyperbolsk trekant målinger af vinkler, der summerer til mindre end 180 °, og en sfærisk trekant har målinger af vinkler, der summerer til mere end 180 °. En hyperbolsk trekant kan opnås ved at tegne på en negativt buet overflade, såsom en sadeloverflade , og en sfærisk trekant kan opnås ved at tegne på en positivt buet overflade, såsom en kugle . Hvis man således tegner en kæmpe trekant på Jordens overflade, vil man opdage, at summen af ​​målingerne af dens vinkler er større end 180 °; faktisk vil det være mellem 180 ° og 540 °. Især er det muligt at tegne en trekant på en kugle, således at målingen af ​​hver af dens indre vinkler er lig med 90 °, hvilket summerer til i alt 270 °.

Specifikt er summen af ​​vinklerne på en trekant på en kugle

180 ° × (1 + 4 f ),

hvor f er brøkdelen af ​​kuglens område, der er omsluttet af trekanten. Antag for eksempel, at vi tegner en trekant på Jordens overflade med hjørner på Nordpolen, på et punkt på ækvator ved 0 ° længdegrad og et punkt på ækvator ved 90 ° vestlig længde . Den store cirkellinje mellem de to sidstnævnte punkter er ækvator, og den store cirkellinje mellem et af disse punkter og Nordpolen er en længdegrad; så der er rette vinkler på de to punkter på ækvator. Desuden er vinklen på Nordpolen også 90 °, fordi de to andre hjørner adskiller sig med 90 ° længdegrad. Så summen af ​​vinklerne i denne trekant er 90 ° + 90 ° + 90 ° = 270 ° . Trekanten omslutter 1/4 af den nordlige halvkugle (90 °/360 ° set fra Nordpolen) og derfor 1/8 af Jordens overflade, så i formlen f = 1/8 ; således giver formlen korrekt summen af ​​trekants vinkler som 270 °.

Fra ovenstående vinkelsumformel kan vi også se, at Jordens overflade er lokalt flad: Hvis vi tegner en vilkårligt lille trekant i nærheden af ​​et punkt på Jordens overflade, vil brøkdelen f af Jordens overflade, der er omsluttet af trekanten, være vilkårligt tæt på nul. I dette tilfælde forenkles vinkelsumformlen til 180 °, hvilket vi ved er, hvad den euklidiske geometri fortæller os for trekanter på en flad overflade.

Trekanter i konstruktion

Rektangler har været den mest populære og almindelige geometriske form for bygninger, da formen er let at stable og organisere; som standard er det let at designe møbler og inventar, så de passer ind i rektangulært formede bygninger. Men trekanter, selvom de er sværere at bruge konceptuelt, giver en stor styrke. Da computerteknologi hjælper arkitekter med at designe kreative nye bygninger, bliver trekantede former stadig mere udbredt som dele af bygninger og som den primære form for nogle typer skyskrabere samt byggematerialer. I Tokyo i 1989 havde arkitekter spekuleret på, om det var muligt at bygge et 500-etagers tårn for at levere overkommelige kontorlokaler til denne tætpakket by, men med fare for bygninger fra jordskælv mente arkitekter, at en trekantet form ville være nødvendig, hvis sådan en bygning skulle opføres.

I New York City , da Broadway krydser store veje, skæres de resulterende blokke som trekanter, og bygninger er blevet bygget på disse former; en sådan bygning er den trekantede Flatiron -bygning, som ejendomsfolk indrømmer, at der er en "skæbne af akavede rum, der ikke let rummer moderne kontormøbler", men som ikke har forhindret strukturen i at blive et skelsættende ikon. Designere har lavet huse i Norge ved hjælp af trekantede temaer. Trekantformer har optrådt i kirker såvel som i offentlige bygninger, herunder gymnasier samt understøtninger til innovative boligdesign.

Trekanter er robuste; mens et rektangel kan falde sammen til et parallelogram fra tryk til et af dets punkter, har trekanter en naturlig styrke, der understøtter strukturer mod sidetryk. En trekant ændrer ikke form, medmindre dens sider er bøjede eller forlængede eller knækkede, eller hvis dens led går i stykker; i det væsentlige understøtter hver af de tre sider de to andre. Et rektangel derimod er mere afhængig af styrken af ​​dets led i strukturel forstand. Nogle innovative designere har foreslået at lave mursten ikke ud af rektangler, men med trekantede former, der kan kombineres i tre dimensioner. Det er sandsynligt, at trekanter i stigende grad vil blive brugt på nye måder, efterhånden som arkitekturen stiger i kompleksitet. Det er vigtigt at huske, at trekanter er stærke med hensyn til stivhed, men mens de er pakket i et tesselleringsarrangement, er trekanterne ikke så stærke som sekskanter under komprimering (heraf forekomsten af ​​sekskantede former i naturen ). Tessellerede trekanter opretholder stadig overlegen styrke til cantilevering , og dette er grundlaget for en af ​​de stærkeste menneskeskabte strukturer, tetraedrisk fagværk .

Se også

Noter

Referencer

eksterne links

• Ivanov, AB (2001) [1994], "Triangle" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Clark Kimberling: Encyclopedia over trekantscentre . Lister omkring 5200 interessante punkter forbundet med enhver trekant.