Enhed sidst - Unit in the last place

Inden for datalogi og numerisk analyse er enhed på det sidste sted eller enhed med mindst præcision ( ulp ) afstanden mellem to på hinanden følgende floating-point tal, dvs. værdien det mindst signifikante ciffer (højre ciffer) repræsenterer, hvis det er 1. Det bruges som et mål for nøjagtighed i numeriske beregninger.

Definition

En definition er: I radix med præcision , hvis , så . ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle b^{e} \ leq | x | <b^{e+1}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ulp} (x) = b^{\ max \ {e, \, e _ {\ min} \}-p+1}}$

En anden definition, foreslået af John Harrison, er en smule anderledes: er afstanden mellem de to nærmeste grænsende floating-point tal og (dvs. dem med og ), forudsat at eksponentområdet ikke er overgrænset. Disse definitioner adskiller sig kun ved radixens underskrevne beføjelser. ${\ displaystyle \ operatorname {ulp} (x)}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a \ leq x \ leq b}$ ${\ displaystyle a \ neq b}$

The IEEE 754 specifikationsbaserede efterfulgt af alle moderne floating-point hardware-kræver, at resultatet af en elementær aritmetisk operation (addition, subtraktion, multiplikation, division, og kvadratroden siden 1985, og FMA 2008-) være korrekt afrundet , hvilket indebærer, at i afrunding til nærmeste er det afrundede resultat inden for 0,5 ulp af det matematisk nøjagtige resultat ved hjælp af John Harrisons definition; omvendt indebærer denne egenskab, at afstanden mellem det afrundede resultat og det matematisk nøjagtige resultat minimeres (men for halvvejs-tilfældene tilfredsstilles det med to på hinanden følgende flydende tal). Anerkendte numeriske biblioteker beregner de grundlæggende transcendentale funktioner til mellem 0,5 og ca. 1 ulp. Kun få biblioteker beregner dem inden for 0,5 ulp, da dette problem er komplekst på grund af tabellagerens dilemma .

Eksempler

Eksempel 1

Lad være et positivt flydende tal, og antag, at den aktive afrundingstilstand er rund til nærmeste, er knyttet til lige , betegnet . Hvis , så . Ellers eller afhængigt af værdien af det mindst betydende ciffer og eksponenten for . Dette demonstreres i følgende Haskell -kode, der er skrevet ved en interaktiv prompt: ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ operatorname {RN}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ulp} (x) \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ operatorname {RN} (x+1)> x}$ ${\ displaystyle \ operatorname {RN} (x+1) = x}$ ${\ displaystyle \ operatorname {RN} (x+1) = x+\ operatorname {ulp} (x)}$ ${\ displaystyle x}$

> until (\x -> x == x+1) (+1) 0 :: Float
1.6777216e7
> it-1
1.6777215e7
> it+1
1.6777216e7

Her starter vi med 0 i enkelt præcision og tilføjer gentagne gange 1, indtil operationen ikke ændrer værdien. Da betydningen for et enkeltpræcisionstal indeholder 24 bit, er det første heltal, der ikke ligefrem kan repræsenteres, 2 ²⁴ +1, og denne værdi afrundes til 2 ²⁴ i runde til nærmeste, knytter sig til lige. Resultatet er således 2 ²⁴ .

Eksempel 2

Det følgende eksempel i Java tilnærmer $π$ som et decimaltalsværdi ved at finde de to dobbelte værdier bracketing : . ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle p_ {0} <\ pi <p_ {1}}$

// π with 20 decimal digits
BigDecimal π = new BigDecimal("3.14159265358979323846");

// truncate to a double floating point
double p0 = π.doubleValue();
// -> 3.141592653589793  (hex: 0x1.921fb54442d18p1)

// p0 is smaller than π, so find next number representable as double
double p1 = Math.nextUp(p0);
// -> 3.1415926535897936 (hex: 0x1.921fb54442d19p1)

Derefter bestemmes som . ${\ displaystyle \ operatorname {ulp} (\ pi)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ulp} (\ pi) = p_ {1} -p_ {0}}$

// ulp(π) is the difference between p1 and p0
BigDecimal ulp = new BigDecimal(p1).subtract(new BigDecimal(p0));
// -> 4.44089209850062616169452667236328125E-16
// (this is precisely 2**(-51))

// same result when using the standard library function
double ulpMath = Math.ulp(p0);
// -> 4.440892098500626E-16 (hex: 0x1.0p-51)

Eksempel 3

Et andet eksempel i Python , der også er skrevet ved en interaktiv prompt, er:

>>> x = 1.0
>>> p = 0
>>> while x != x + 1:
...   x = x * 2
...   p = p + 1
... 
>>> x
9007199254740992.0
>>> p
53
>>> x + 2 + 1
9007199254740996.0

I dette tilfælde starter vi med x = 1og gentagne gange fordobler det indtil x = x + 1. På samme måde som i eksempel 1 er resultatet 2 ^53, fordi formatet med dobbelt præcision flydende punkt bruger en 53-bit signifikant.

Sprogstøtte

Den Boost C ++ biblioteker tilbyder funktioner boost::math::float_next, boost::math::float_prior, boost::math::nextafter og boost::math::float_advancefor at opnå i nærheden (og fjernt) flydende værdier, og boost::math::float_distance(a, b)at beregne floating-point afstanden mellem to fordobles.

Den C-sprog biblioteket indeholder funktioner til at beregne den næste floating-point-tal i en given retning: nextafterfog nexttowardffor float, nextafterog nexttowardfor double, nextafterlog nexttowardlfor long double, erklæret i <math.h>. Det giver også makroer FLT_EPSILON, DBL_EPSILON, LDBL_EPSILON, som repræsenterer den positive difference mellem 1,0 og den næste større repræsenterbare tal i den tilsvarende type (dvs. ulp af en).

Den Java standard biblioteket giver funktionerne Math.ulp(double)og Math.ulp(float). De blev introduceret med Java 1.5.

Den Swift standard biblioteket giver adgang til næste decimaltal i en given retning via instans egenskaber nextDownog nextUp. Det giver også instansegenskaben ulpog typeegenskaben ulpOfOne(som svarer til C-makroer som FLT_EPSILON) for Swifts floating-point-typer.

Se også

IEEE 754
ISO/IEC 10967 , del 1 kræver en ulp -funktion
Mindst signifikant bit (LSB)
Maskin epsilon

Referencer

Bibliografi

Goldberg, David (1991–03). "Afrundingsfejl" i "Hvad enhver computerforsker bør vide om floating-point-aritmetik". Computing Surveys, ACM, marts 1991. Hentet fra http://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html#689 .
Muller, Jean-Michel (2010). Håndbog i floating-point aritmetik . Boston: Birkhäuser. s. 32–37. ISBN 978-0-8176-4704-9.

Languages

In other projects