Hastighed - Velocity

Hastighed
Da der sker en retningsændring, mens racerbiler drejer på det buede spor, er deres hastighed ikke konstant.
Almindelige symboler	v , v , v →
Andre enheder	mph , ft / s
I SI-basisenheder	m / s
Dimension	L T −1

En del af en serie om
Klassisk mekanik
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ Anden lov om bevægelse
Historie Tidslinje Lærebøger
Grene
Grundlæggende
Formuleringer
Kerneemner
Rotation
Forskere
Kategorier
v t e

Den hastighed af et objekt er ændringshastigheden af sin position i forhold til en referenceramme , og er en funktion af tiden. Hastighed svarer til en specifikation af et objekts hastighed og bevægelsesretning (f.eks 60  km / t mod nord). Hastighed er et grundlæggende koncept inden for kinematik , den gren af klassisk mekanik, der beskriver legemsbevægelser.

Velocity er en fysisk vektor mængde ; både størrelse og retning er nødvendig for at definere det. Den skalære absolutte værdi ( størrelse ) af hastighed kaldes hastighed , idet den er en sammenhængende afledt enhed, hvis størrelse måles i SI ( metrisk system ) som meter pr. Sekund (m / s eller m⋅s ^-1 ). For eksempel er "5 meter pr. Sekund" en skalar, hvorimod "5 meter pr. Sekund øst" er en vektor. Hvis der er en ændring i hastighed, retning eller begge dele, har objektet en skiftende hastighed og siges at gennemgå en acceleration .

Konstant hastighed vs acceleration

For at have en konstant hastighed skal et objekt have en konstant hastighed i en konstant retning. Konstant retning begrænser objektet til bevægelse i en lige sti, således betyder en konstant hastighed bevægelse i en lige linje med en konstant hastighed.

For eksempel har en bil, der bevæger sig med konstant 20 kilometer i timen i en cirkelsti, en konstant hastighed, men har ikke en konstant hastighed, fordi dens retning ændres. Derfor betragtes bilen som en acceleration.

Forskel mellem hastighed og hastighed

Kinematiske størrelser af en klassisk partikel: masse m , position r , hastighed v , acceleration a .

Hastighed, den skalære størrelse af en hastighedsvektor, angiver kun, hvor hurtigt et objekt bevæger sig.

Bevægelsesligning

Gennemsnitlig hastighed

Hastighed defineres som hastigheden for ændring af position med hensyn til tid, hvilket også kan betegnes som den øjeblikkelige hastighed for at understrege forskellen fra gennemsnitshastigheden. I nogle anvendelser gennemsnitlige hastighed kan være behov for et objekt, det vil sige, den konstante hastighed, der ville give den samme resulterende forskydning som en variabel hastighed i det samme tidsinterval, v ( t ) , i løbet af nogen tid periode Δ t . Gennemsnitlig hastighed kan beregnes som:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ bar {v}}} = {\ frac {\ Delta {\ boldsymbol {x}}} {\ Delta {\ mathit {t}}}}.}$

Den gennemsnitlige hastighed er altid mindre end eller lig med genstandens gennemsnitshastighed. Dette kan ses ved at indse, at mens afstanden altid øges strengt, kan forskydning øges eller falde i størrelse såvel som ændre retning.

Med hensyn til en forskydningstidsgraf ( x vs. t ) kan den øjeblikkelige hastighed (eller simpelthen hastighed) betragtes som hældningen af ​​tangentlinjen til kurven på ethvert punkt og gennemsnitshastigheden som hældningen af sekantlinjen mellem to punkter med t- koordinater lig med grænserne for tidsperioden for den gennemsnitlige hastighed.

Den gennemsnitlige hastighed er den samme som den gennemsnitlige hastighed over tid - det vil sige dens tidsvægtede gennemsnit, som kan beregnes som tidsintegralet af hastigheden:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ bar {v}}} = {1 \ over t_ {1} -t_ {0}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {\ boldsymbol {v }} (t) \ dt,}$

hvor vi kan identificere

${\ displaystyle \ Delta {\ boldsymbol {x}} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {\ boldsymbol {v}} (t) \ dt}$

og

${\ displaystyle \ Delta t = t_ {1} -t_ {0}.}$

Øjeblikkelig hastighed

Eksempel på en hastighed vs. tidsgraf og forholdet mellem hastighed v på y-aksen, acceleration a (de tre grønne tangentlinjer repræsenterer værdierne for acceleration ved forskellige punkter langs kurven) og forskydning s (det gule område under kurve.)

Hvis vi betragter v som hastighed og x som forskydningsvektoren (positionsændring), så kan vi udtrykke den (øjeblikkelige) hastighed af en partikel eller genstand på et hvilket som helst tidspunkt t som afledningen af positionen med hensyn til tid:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} = \ lim _ {{\ Delta t} \ to 0} {\ frac {\ Delta {\ boldsymbol {x}}} {\ Delta t}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {x}}} {d {\ mathit {t}}}}.}$

Fra denne afledte ligning kan det i det endimensionelle tilfælde ses, at området under en hastighed vs. tid ( v vs. t- graf) er forskydningen, x . I beregningsudtryk er integralet af hastighedsfunktionen v ( t ) forskydningsfunktionen x ( t ) . I figuren svarer dette til det gule område under kurven mærket s ( s er en alternativ betegnelse for forskydning).

${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} = \ int {\ boldsymbol {v}} \ d {\ mathit {t}}.}$

Da afledningen af ​​positionen med hensyn til tid giver ændringen i position (i meter ) divideret med ændringen i tid (i sekunder ), måles hastigheden i meter pr. Sekund (m / s). Selvom begrebet øjeblikkelig hastighed i første omgang kan virke kontraintuitivt, kan det betragtes som den hastighed, som objektet ville fortsætte med at bevæge sig ved, hvis det stoppede med at accelerere i det øjeblik.

Forhold til acceleration

Selvom hastighed er defineret som hastigheden for ændring af position, er det ofte almindeligt at starte med et udtryk for et objekts acceleration . Som det ses af de tre grønne tangentlinjer i figuren, er et objekts øjeblikkelige acceleration på et tidspunkt et hældning af linjen, der tangerer kurven for en v ( t ) -graf på det punkt. Med andre ord defineres acceleration som afledet af hastighed med hensyn til tid:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {a}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {v}}} {d {\ mathit {t}}}}.}$

Derfra kan vi få et udtryk for hastighed som området under en a ( t ) acceleration vs. tidsgraf. Som ovenfor gøres dette ved hjælp af begrebet integral:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} = \ int {\ boldsymbol {a}} \ d {\ mathit {t}}.}$

Konstant acceleration

I det specielle tilfælde af konstant acceleration kan hastighed undersøges ved hjælp af suvatligningerne . Ved at betragte en som lig med en vilkårlig konstant vektor er det trivielt at vise det

${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} = {\ boldsymbol {u}} + {\ boldsymbol {a}} t}$

med v som hastighed ved tid t og u som hastighed ved tid t = 0 . Ved at kombinere denne ligning med suvat ligningen x = u t + a t ² /2 , er det muligt at relatere forskydningen og den gennemsnitlige hastighed ved

${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} = {\ frac {({\ boldsymbol {u}} + {\ boldsymbol {v}})} {2}} {\ mathit {t}} = {\ boldsymbol {\ bjælke {v}}} {\ mathit {t}}}$ .

Det er også muligt at udlede et udtryk for hastigheden uafhængig af tiden, kendt som Torricelli-ligningen , som følger:

${\ displaystyle v ^ {2} = {\ boldsymbol {v}} \ cdot {\ boldsymbol {v}} = ({\ boldsymbol {u}} + {\ boldsymbol {a}} t) \ cdot ({\ boldsymbol {u}} + {\ boldsymbol {a}} t) = u ^ {2} + 2t ({\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {u}}) + a ^ {2} t ^ {2 }}$

${\ displaystyle (2 {\ boldsymbol {a}}) \ cdot {\ boldsymbol {x}} = (2 {\ boldsymbol {a}}) \ cdot ({\ boldsymbol {u}} t + {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {a}} t ^ {2}) = 2t ({\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {u}}) + a ^ {2} t ^ {2} = v ^ {2} -u ^ {2}}$

${\ displaystyle \ derfor v ^ {2} = u ^ {2} +2 ({\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {x}})}$

hvor v = | v | etc.

Ovenstående ligninger er gyldige for både Newtonsk mekanik og speciel relativitet . Hvor newtonsk mekanik og særlig relativitet er forskellige, er, hvordan forskellige observatører ville beskrive den samme situation. Især i newtonsk mekanik er alle observatører enige om værdien af ​​t, og transformationsreglerne for position skaber en situation, hvor alle ikke-accelererende observatører vil beskrive accelerationen af ​​et objekt med de samme værdier. Ingen af ​​dem gælder for særlig relativitet. Med andre ord kan kun relativ hastighed beregnes.

Mængder, der er afhængige af hastighed

Den bevægende genstands kinetiske energi er afhængig af dens hastighed og er givet ved ligningen

${\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ tfrac {1} {2}} mv ^ {2}}$

ignorerer speciel relativitet , hvor E _k er den kinetiske energi og m er massen. Kinetisk energi er en skalar størrelse, da den afhænger af hastighedens kvadrat, men en relateret størrelse, momentum , er en vektor og defineret ved

${\ displaystyle {\ boldsymbol {p}} = m {\ boldsymbol {v}}}$

I særlig relativitet vises den dimensionsløse Lorentz-faktor ofte og er givet af

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}$

hvor γ er Lorentz-faktoren og c er lysets hastighed.

Escape-hastighed er den mindste hastighed, som et ballistisk objekt har brug for for at flygte fra en massiv krop som Jorden. Det repræsenterer den kinetiske energi, der, når den føjes til objektets tyngdepotentialenergi, (som altid er negativ) er lig med nul. Den generelle formel for et objekts flugthastighed i en afstand r fra centrum af en planet med masse M er

${\ displaystyle v _ {\ text {e}} = {\ sqrt {\ frac {2GM} {r}}} = {\ sqrt {2gr}},}$

hvor G er Gravitationskonstanten og g er Gravitationsacceleration . Undslippehastigheden fra jordens overflade er ca. 11200 m / s og er uanset objektets retning. Dette gør "flugthastighed" noget af en misvisende betegnelse, da det mere korrekte udtryk ville være "flugthastighed": ethvert objekt, der opnår en hastighed af den størrelse, uanset atmosfære, vil forlade basiskroppens nærhed, så længe den ikke ' t krydser med noget i vejen.

Relativ hastighed

Relativ hastighed er en måling af hastigheden mellem to objekter som bestemt i et enkelt koordinatsystem. Relativ hastighed er grundlæggende i både klassisk og moderne fysik, da mange fysiksystemer beskæftiger sig med den relative bevægelse af to eller flere partikler. I Newtons mekanik er den relative hastighed uafhængig af den valgte inertiale referenceramme. Dette er ikke længere tilfældet med særlig relativitet , hvor hastigheder afhænger af valget af referenceramme.

Hvis en genstand A bevæger sig med hastigheden vektor v og en genstand B med hastighedsvektor w , så hastigheden af objektet A i forhold til objekt B er defineret som forskellen mellem de to hastighedsvektorer:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} _ {A {\ text {relative til}} B} = {\ boldsymbol {v}} - {\ boldsymbol {w}}}$

Tilsvarende er den relative hastighed af objekt B, der bevæger sig med hastighed w , i forhold til objekt A, der bevæger sig med hastighed v :

${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} _ {B {\ text {i forhold til}} A} = {\ boldsymbol {w}} - {\ boldsymbol {v}}}$

Normalt er den valgte træghedsramme den, hvori sidstnævnte af de to nævnte genstande er i hvile.

Skalarhastigheder

I det endimensionelle tilfælde er hastighederne skalarer, og ligningen er enten:

${\ displaystyle \, v_ {rel} = v - (- w)}$ , hvis de to objekter bevæger sig i modsatte retninger, eller:

${\ displaystyle \, v_ {rel} = v - (+ w)}$ , hvis de to objekter bevæger sig i samme retning.

Polære koordinater

Repræsentation af radiale og tangentielle hastighedskomponenter ved forskellige øjeblikke af lineær bevægelse med konstant hastighed af objektet omkring en observatør O (det svarer for eksempel til passage af en bil på en lige gade omkring en fodgænger, der står på fortovet). Den radiale komponent kan observeres på grund af Doppler-effekten , den tangentielle komponent forårsager synlige ændringer af objektets position.

I polære koordinater beskrives en todimensional hastighed ved hjælp af en radial hastighed , defineret som komponenten af ​​hastighed væk fra eller mod oprindelsen (også kendt som hastighed gjort god ) og en vinkelhastighed , som er rotationshastigheden omkring oprindelse (med positive størrelser, der repræsenterer rotation mod uret og negative størrelser, der repræsenterer urets rotation, i et højrehåndet koordinatsystem).

De radiale og vinkelhastigheder kan afledes fra de kartesiske hastigheds- og forskydningsvektorer ved at nedbryde hastighedsvektoren i radiale og tværgående komponenter. Den tværgående hastighed er komponenten af ​​hastigheden langs en cirkel centreret ved oprindelsen.

${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} = {\ boldsymbol {v}} _ {T} + {\ boldsymbol {v}} _ {R}}$

hvor

${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} _ {T}}$ er den tværgående hastighed

${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} _ {R}}$ er den radiale hastighed.

Den Størrelsen af den radiale hastighed er prikproduktet af hastighedsvektoren og enheden vektor i retningen af forskydningen.

${\ displaystyle v_ {R} = {\ frac {{\ boldsymbol {v}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {\ left | {\ boldsymbol {r}} \ right |}}}$

hvor

${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}}}$ er forskydning.

Den Størrelsen af den tværgående hastighed er, at det indlæg produkt af enheden vektor i retningen af forskydningen og hastighedsvektoren. Det er også et produkt af vinkelhastigheden og forskydningens størrelse. ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle v_ {T} = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} \ times {\ boldsymbol {v}} |} {| {\ boldsymbol {r}} |}} = \ omega | {\ boldsymbol {r}} |}$

sådan at

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} \ times {\ boldsymbol {v}} |} {| {\ boldsymbol {r}} | ^ {2}}}.}$

Vinkelmoment i skalær form er massen gange afstanden til oprindelsen gange den tværgående hastighed, eller ækvivalent, massen gange afstanden i kvadrat gange vinkelhastigheden. Tegnkonventionen for vinkelmoment er den samme som for vinkelhastighed.

${\ displaystyle L = mrv_ {T} = mr ^ {2} \ omega \,}$

hvor

${\ displaystyle m \,}$ er masse

${\ displaystyle r = \ | {\ boldsymbol {r}} \ |.}$

Udtrykket er kendt som inertimoment . Hvis kræfter er i radial retning kun med en invers firkantet afhængighed, som i tilfælde af et tyngdefelt kredsløb , impulsmoment er konstant, og tværgående hastighed er omvendt proportional med afstanden, vinkelhastighed er omvendt proportional med afstanden kvadreret, og hastighed, med hvilket område fejes ud, er konstant. Disse forbindelser er kendt som Keplers love om planetbevægelse . ${\ displaystyle mr ^ {2}}$

Se også

Bemærkninger

Referencer

• Robert Resnick og Jearl Walker, Fundamentals of Physics , Wiley; 7 Underudgave (16. juni 2004). ISBN   0-471-23231-9 .

eksterne links

• physicsabout.com , Hastighed og hastighed
• Hastighed og acceleration
• Introduktion til mekanismer ( Carnegie Mellon University )