Volumen integreret - Volume integral

En del af en serie artikler om
Calculus
Grundlæggende sætning Leibniz integreret regel Funktionsgrænser Kontinuitet Gennemsnitlig værdi sætning Rolle's sætning
Differentiale Definitioner Afledte  ( generaliseringer ) Differentiale uendelig minimal af en funktion Total Begreber Differentieringsnotation Andet afledt Implicit differentiering Logaritmisk differentiering Relaterede priser Taylors sætning Regler og identiteter Sum Produkt Kæde Strøm Kvotient L'Hôpitals regel Omvendt General Leibniz Faà di Brunos formel
Integreret Lister over integraler Integreret transformation Definitioner Antiderivativ Integreret  ( forkert ) Riemann integreret Lebesgue integration Konturintegration Integreret af inverse funktioner Integration af Dele Skiver Cylindriske skaller Substitution  ( trigonometrisk , Weierstrass , Euler ) Eulers formel Delvise fraktioner Ændrer rækkefølge Reduktionsformler Differentiering under det integrerede tegn Risch algoritme
Serie Geometrisk  ( aritmetisk-geometrisk ) Harmonisk Skiftende Strøm Binomial Taylor Konvergens test Summand limit (term test) Forhold Rod Integreret Direkte sammenligning Begræns sammenligning Skiftende serier Cauchy kondens Dirichlet Abel
Vektor Gradient Divergens Krølle Laplacian Retningsafledt Identiteter Sætninger Gradient Green's Stokes ' Divergens generaliserede Stokes
Multivariabel Formalismer Matrix Tensor Ydre Geometrisk Definitioner Delvist afledt Flere integrerede Linje integreret Overflade integreret Volumen integreret Jacobian Hessian
Specialiseret Brøk Malliavin Stokastisk Variationer
Diverse Precalculus Historie Ordliste Liste over emner Integrationsbi Analyse
v t e

I matematik (især multivariabel beregning ) refererer en volumenintegral til et integral over et 3-dimensionelt domæne; det vil sige, det er et specielt tilfælde af flere integraler . Volumenintegraler er især vigtige i fysik til mange applikationer, for eksempel til beregning af fluxdensiteter .

I koordinater

Det kan også betyde en tredobbelt integral inden for et funktionsområde og er normalt skrevet som: ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle f (x, y, z),}$

${\ displaystyle \ iiint _ {D} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz.}$

Et volumen integreret i cylindriske koordinater er

${\ displaystyle \ iiint _ {D} f (\ rho, \ varphi, z) \ rho \, d \ rho \, d \ varphi \, dz,}$

og et volumen integreret i sfæriske koordinater (ved hjælp af ISO-konventionen for vinkler med som azimut og målt fra polaksen (se mere om konventioner )) har formen ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ iiint _ {D} f (r, \ theta, \ varphi) r ^ {2} \ sin \ theta \, dr \, d \ theta \, d \ varphi.}$

Eksempel

Integrering af ligningen over en enhedsterning giver følgende resultat: ${\ displaystyle f (x, y, z) = 1}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} 1 \, dx \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} (1-0) \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} \ left (1-0 \ right) dz = 1-0 = 1}$

Så lydstyrken på enhedens terning er 1 som forventet. Dette er dog ret trivielt, og et volumenintegral er langt mere kraftfuldt. For eksempel, hvis vi har en skalartæthedsfunktion på enhedens terning, giver volumenintegralet terningens samlede masse. For eksempel til densitetsfunktion:

${\ displaystyle {\ begin {cases} f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} \\ f: (x, y, z) \ mapsto x + y + z \ end {cases} }}$

den samlede masse af terningen er:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} (x + y + z) \, dx \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {1} {2}} + y + z \ right) dy \, dz = \ int _ {0 } ^ {1} (1 + z) \, dz = {\ frac {3} {2}}}$

Se også

• Divergens sætning
• Overflade integreret
• Volumenelement

eksterne links

• "Multiple integral" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Volumenintegral" . MathWorld .