Andronov – Pontryagin-kriterium - Andronov–Pontryagin criterion

Den Andronov-Pontryagin kriterium er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for stabilitet dynamiske systemer i planet. Det blev afledt af Aleksandr Andronov og Lev Pontryagin i 1937.

Udmelding

Et dynamisk system

${\ displaystyle {\ dot {x}} = v (x),}$

hvor er en - vektorfelt på flyet , er orbitalt topologisk stabil hvis og kun hvis følgende to betingelser hold: ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle C ^ {1}}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$

1. Alle ligevægtspunkter og periodiske baner er hyperbolske .
2. Der er ingen sadelforbindelser .

Den samme sætning gælder, hvis vektorfeltet er defineret på enhedsdisken og er på tværs af grænsen. ${\ displaystyle v}$

Præciseringer

Orbital topologisk stabilitet af et dynamisk system betyder, at for enhver tilstrækkeligt lille perturbation (i C ¹ -metric), der består et homeomorfi tæt på identiteten kort som omdanner banerne for det oprindelige dynamiske system til banerne for den perturberede systemet (cf strukturel stabilitet ).

Teoremets første betingelse er kendt som global hyperbolicitet . Et nul på et vektorfelt v , dvs. et punkt x _0, hvor v ( x ₀ ) = 0, siges at være hyperbolsk, hvis ingen af egenværdierne for lineariseringen af v ved x ₀ er rent imaginære. En periodisk bane af en strøm siges at være hyperbolsk, hvis ingen af egenværdierne på Poincaré-returkortet på et punkt på banen har absolut værdi en.

Endelig henviser sadelforbindelse til en situation, hvor en bane fra et sadelpunkt kommer ind i det samme eller et andet sadelpunkt , dvs. at de ustabile og stabile separatorer er forbundet (jf. Homoklinisk bane og heteroklinisk bane ).

Referencer

• Andronov, Aleksandr A .; Lev S. Pontryagin (1937). "Грубые системы" [Grove systemer]. Doklady Akademii Nauk SSSR . 14 (5): 247-250. Citeret i Kuznetsov (2004) .
• Kuznetsov, Yuri A. (2004). Elementer i anvendt bifurcationsteori . Springer. ISBN   978-0-387-21906-6 . . Se sætning 2.5.