Autokovarians - Autocovariance

En del af en serie om statistik
Korrelation og kovarians
Korrelation og kovarians af tilfældige vektorer Autokorrelationsmatrix Kryds-korrelationsmatrix Autokovariansmatrix Tværkovariansmatrix
Korrelation og kovarians af stokastiske processer Autokorrelationsfunktion Tværkorrelationsfunktion Autokovarians-funktion Tværkovariansfunktion
Korrelation og kovarians af deterministiske signaler Autokorrelationsfunktion Tværkorrelationsfunktion Autokovarians-funktion Tværkovariansfunktion
v t e

I sandsynlighedsteori og statistik , givet en stokastisk proces , er autokovariansen en funktion, der giver processens kovarians med sig selv ved par tidspunkter. Autokovarians er tæt forbundet med autokorrelationen af den pågældende proces.

Autokovarians af stokastiske processer

Definition

Med den sædvanlige notation for forventning operatør, hvis den stokastiske proces har den gennemsnitlige funktion , så autocovariance er givet ved ${\ displaystyle \ operatorname {E}}$${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$${\ displaystyle \ mu _ {t} = \ operatornavn {E} [X_ {t}]}$

hvor og er to øjeblikke i tiden. ${\ displaystyle t_ {1}}$${\ displaystyle t_ {2}}$

Definition for svagt stationær proces

Hvis er en svagt stationær (WSS) proces , så er følgende sandt: ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$

${\ displaystyle \ mu _ {t_ {1}} = \ mu _ {t_ {2}} \ triangleq \ mu}$ for alle ${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}}$

og

${\ displaystyle \ operatorname {E} [| X_ {t} | ^ {2}] <\ infty}$ for alle ${\ displaystyle t}$

og

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = \ operatorname {K} _ {XX} (t_ {2} -t_ {1}, 0) \ triangleq \ operatorname {K} _ {XX} (t_ {2} -t_ {1}) = \ operatornavn {K} _ {XX} (\ tau),}$

hvor er forsinkelsestiden, eller hvor lang tid signalet er blevet forskudt. ${\ displaystyle \ tau = t_ {2} -t_ {1}}$

Autokovariansfunktionen i en WSS-proces gives derfor af:

hvilket svarer til

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (\ tau) = \ operatorname {E} [(X_ {t + \ tau} - \ mu _ {t + \ tau}) (X_ {t} - \ mu _ { t})] = \ operatornavn {E} [X_ {t + \ tau} X_ {t}] - \ mu ^ {2}}$.

Normalisering

Det er almindelig praksis i nogle discipliner (f.eks. Statistik og tidsserie-analyse ) at normalisere autokovariansfunktionen for at få en tidsafhængig Pearson-korrelationskoefficient . Imidlertid falder normaliseringen normalt i andre discipliner (f.eks. Ingeniørfag), og udtrykkene "autokorrelation" og "autokovarians" bruges om hverandre.

Definitionen af ​​den normaliserede auto-korrelation af en stokastisk proces er

${\ displaystyle \ rho _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = {\ frac {\ operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2})} {\ sigma _ {t_ {1}} \ sigma _ {t_ {2}}}} = {\ frac {\ operatorname {E} [(X_ {t_ {1}} - \ mu _ {t_ {1}}) (X_ { t_ {2}} - \ mu _ {t_ {2}})]} {\ sigma _ {t_ {1}} \ sigma _ {t_ {2}}}}}$.

Hvis funktionen er veldefineret, skal dens værdi ligge i området , hvor 1 angiver perfekt korrelation og -1 indikerer perfekt anti-korrelation . ${\ displaystyle \ rho _ {XX}}$${\ displaystyle [-1,1]}$

For en WSS-proces er definitionen

${\ displaystyle \ rho _ {XX} (\ tau) = {\ frac {\ operatorname {K} _ {XX} (\ tau)} {\ sigma ^ {2}}} = {\ frac {\ operatorname {E } [(X_ {t} - \ mu) (X_ {t + \ tau} - \ mu)]} {\ sigma ^ {2}}}}$.

hvor

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (0) = \ sigma ^ {2}}$.

Ejendomme

Symmetri egenskab

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = {\ overline {\ operatorname {K} _ {XX} (t_ {2}, t_ {1})}} }$

henholdsvis til en WSS-proces:

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (\ tau) = {\ overline {\ operatorname {K} _ {XX} (- \ tau)}}}$

Lineær filtrering

Autokovariansen af ​​en lineært filtreret proces ${\ displaystyle \ left \ {Y_ {t} \ right \}}$

${\ displaystyle Y_ {t} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {k} X_ {t + k} \,}$

er

${\ displaystyle K_ {YY} (\ tau) = \ sum _ {k, l = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {k} a_ {l} K_ {XX} (\ tau + kl). \, }$

Beregning af turbulent diffusivitet

Autokovarians kan bruges til at beregne turbulent diffusivitet. Turbulens i en strømning kan forårsage udsving i hastighed i rum og tid. Således er vi i stand til at identificere turbulens gennem statistikkerne over disse udsving.

Reynolds nedbrydning bruges til at definere hastighedsudsving (antag, at vi nu arbejder med 1D-problem og er hastigheden langs retning): ${\ displaystyle u '(x, t)}$${\ displaystyle U (x, t)}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle U (x, t) = \ langle U (x, t) \ rangle + u '(x, t),}$

hvor er den sande hastighed, og er den forventede hastighedsværdi . Hvis vi vælger en korrekt , vil alle de stokastiske komponenter i den turbulente hastighed blive inkluderet i . For at bestemme kræves et sæt hastighedsmålinger, der samles fra punkter i rummet, øjeblikke eller gentagne eksperimenter. ${\ displaystyle U (x, t)}$${\ displaystyle \ langle U (x, t) \ rangle}$${\ displaystyle \ langle U (x, t) \ rangle}$${\ displaystyle u '(x, t)}$${\ displaystyle \ langle U (x, t) \ rangle}$

Hvis vi antager, at den turbulente strømning ( , og c er koncentrationsudtrykket) kan skyldes en tilfældig gang, kan vi bruge Ficks diffusionslove til at udtrykke det turbulente strømningsudtryk: ${\ displaystyle \ langle u'c '\ rangle}$${\ displaystyle c '= c- \ langle c \ rangle}$

${\ displaystyle J _ {{\ text {turbulence}} _ {x}} = \ langle u'c '\ rangle \ approx D_ {T_ {x}} {\ frac {\ partial \ langle c \ rangle} {\ partial x}}.}$

Hastighedens autokovarians er defineret som

${\ displaystyle K_ {XX} \ equiv \ langle u '(t_ {0}) u' (t_ {0} + \ tau) \ rangle}$ eller ${\ displaystyle K_ {XX} \ equiv \ langle u '(x_ {0}) u' (x_ {0} + r) \ rangle,}$

hvor er forsinkelsestiden og er forsinkelsesafstanden. ${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle r}$

Den turbulente diffusivitet kan beregnes ved hjælp af følgende 3 metoder: ${\ displaystyle D_ {T_ {x}}}$

Autokovarians af tilfældige vektorer

Se også

• Autoregressiv proces
• Korrelation
• Tværkovarians
• Krydskorrelation
• Estimering af støjkovarians (som et applikationseksempel)

Referencer

• Hoel, PG (1984). Matematiske statistikker (femte udgave). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-89045-4.
• Forelæsningsnotater om autokovarians fra WHOI