Calabi formodning - Calabi conjecture

I matematik var Calabi-formodningen en formodning om eksistensen af ​​visse "pæne" Riemanniske metrics på visse komplekse manifolder , fremstillet af Eugenio Calabi  ( 1954 , 1957 ) og bevist af Shing-Tung Yau  ( 1977 , 1978 ). Yau modtog Fields -medaljen i 1982 delvist for dette bevis.

Calabi-formodningen siger, at en kompakt Kähler-manifold har en unik Kähler-metrik i samme klasse, hvis Ricci-form er en given 2-form, der repræsenterer den første Chern-klasse . Især hvis den første Chern -klasse forsvinder, er der en unik Kähler -metrik i samme klasse med forsvindende Ricci -krumning ; disse kaldes Calabi - Yau manifolder .

Mere formelt siger Calabi -formodningen:

Hvis M er en kompakt Kähler manifold med Kähler metrisk og Kähler formular , og R er en hvilken som helst (1,1) -formen repræsenterer manifolden første Chern klasse , så der findes en unik Kähler metrisk på M med Kähler formular , således at og repræsenterer den samme klasse i cohomology og Ricci formen af er R .${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle {\ tilde {g}}}$${\ displaystyle {\ tilde {\ omega}}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle {\ tilde {\ omega}}}$ ${\ displaystyle H^{2} (M, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle {\ tilde {\ omega}}}$

Calabi -formodningen er tæt forbundet med spørgsmålet om, hvilke Kähler -manifolder der har Kähler – Einstein -metrik .

Kähler – Einstein metrics

En formodning, der er nært beslægtet med Calabi -formodningen, siger, at hvis en kompakt Kähler -sort har en negativ, nul eller positiv første Chern -klasse, så har den en Kähler – Einstein -metrik i samme klasse som dens Kähler -metric, unik op til skalering. Dette blev bevist for negative første Chern-klasser uafhængigt af Thierry Aubin og Shing-Tung Yau i 1976. Når Chern-klassen er nul, blev Yau bevist som en let konsekvens af Calabi-formodningen. Disse resultater blev aldrig eksplicit formodet af Calabi, men ville have fulgt af resultater, som han annoncerede i sin tale fra 1954 på Den Internationale Matematikerkongres .

Når den første Chern -klasse er positiv, er ovenstående formodning faktisk falsk som en konsekvens af et resultat af Yozo Matsushima , som viser, at den komplekse automorfisegruppe i en Kähler -Einstein -manifold med positiv skalarkurvatur nødvendigvis er reduktiv. For eksempel har det komplekse projektive plan sprængt ved 2 punkter ingen Kähler – Einstein -metrisk, og det er et modeksempel. Et andet problem, der skyldes komplekse automorfismer, er, at de kan føre til mangel på entydighed for meteren Kähler – Einstein, selv når den eksisterer. Imidlertid er komplekse automorfismer ikke den eneste vanskelighed, der opstår i det positive tilfælde. Det blev faktisk formodet af Yau et al, at når den første Chern-klasse er positiv, indrømmer en Kähler-manifold en Kähler-Einstein-metric, hvis og kun hvis den er K-stabil. Et bevis på denne formodning blev offentliggjort af Xiuxiong Chen , Simon Donaldson og Song Sun i januar 2015, og Tian afgav et bevis elektronisk offentliggjort den 16. september 2015.

På den anden side, i det særlige tilfælde af kompleks dimension to, indrømmer en kompakt kompleks overflade med positiv første Chern -klasse en Kähler -Einstein -metrisk, hvis og kun hvis dens automorfisme -gruppe er reduktiv. Dette vigtige resultat tilskrives ofte Gang Tian . Siden Tians bevis har der været nogle forenklinger og forfininger af argumenter involveret; jfr. papiret af Odaka, Spotti og Sun citeret nedenfor. De komplekse overflader, der indrømmer sådanne Kähler -Einstein -metrik, er derfor nøjagtigt det komplekse projektive plan, produktet af to kopier af en projektiv linje og opblæsning af det projektive plan i 3 til 8 punkter i generel position.

Oversigt over beviset for Calabi -formodningen

Calabi transformerede Calabi-formodningen til en ikke-lineær partiel differentialligning af kompleks Monge-Ampère- type og viste, at denne ligning højst har en løsning og dermed fastslog det unikke ved den krævede Kähler-metrik.

Yau beviste Calabi -formodningen ved at konstruere en løsning af denne ligning ved hjælp af kontinuitetsmetoden . Dette indebærer først at løse en lettere ligning og derefter vise, at en løsning til den lette ligning løbende kan deformeres til en løsning af den hårde ligning. Den sværeste del af Yaus løsning er at bevise visse forudgående estimater for derivaterne af løsninger.

Transformation af Calabi -formodningen til en differentialligning

Antag, at det er en kompleks kompakt manifold med en Kähler -form . Enhver anden Kähler -form i samme klasse er af formen ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ omega +dd '\ varphi}$

for en smidig funktion på , unik op til tilføjelse af en konstant. Calabi -formodningen svarer derfor til følgende problem: ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle M}$

Lad være en positiv glat funktion med middelværdi 1. Så er der en glat reel funktion ; med ${\ displaystyle F = e^{f}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle (\ omega +dd '\ varphi)^{m} = e^{f} \ omega^{m}}$

og ; er unik op til tilføjelse af en konstant.${\ displaystyle \ varphi}$

Dette er en ligning af kompleks Monge – Ampère -type for en enkelt funktion . Det er en særlig hård partiel differentialligning at løse, da den er ikke-lineær i form af højeste orden. Det er let at løse det, når det er en løsning. Ideen med kontinuitetsmetoden er at vise, at det kan løses for alle ved at vise, at det sæt, som det kan løses for, er både åbent og lukket. Da sættet for hvilket det kan løses ikke er tomt, og sættet af alt er forbundet, viser dette, at det kan løses for alle . ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle f = 0}$${\ displaystyle \ varphi = 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Kortet fra glatte funktioner til glatte funktioner, der tager til defineret af ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle F = (\ omega +dd '\ varphi) ^{m}/\ omega ^{m}}$

er hverken injektiv eller surjektiv. Det er ikke injektivt, fordi tilføjelse af en konstant til ikke ændres , og det er ikke surjektivt, fordi det skal være positivt og have gennemsnitsværdi 1. Så vi betragter kortet som begrænset til funktioner, der er normaliseret til at have gennemsnitsværdi 0, og spørger, om dette kort er en isomorfisme på det positive sæt med middelværdi 1. Calabi og Yau beviste, at det virkelig er en isomorfisme. Dette gøres i flere trin, beskrevet nedenfor. ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle F = e^{f}}$

Løsningens entydighed

At bevise, at løsningen er unik, indebærer at vise, at hvis

${\ displaystyle (\ omega +dd '\ varphi _ {1})^{m} = (\ omega +dd' \ varphi _ {2})^{m}}$

derefter differ ₁ og φ ₂ adskiller sig med en konstant (det skal være det samme, hvis de begge er normaliseret til at have gennemsnitsværdi 0). Calabi beviste dette ved at vise, at gennemsnitsværdien af

${\ displaystyle | d (\ varphi _ {1}-\ varphi _ {2}) |^{2}}$

er givet ved et udtryk, der højst er 0. Da det naturligvis er mindst 0, skal det være 0, så

${\ displaystyle d (\ varphi _ {1}-\ varphi _ {2}) = 0}$

hvilket igen tvinger φ ₁ og φ ₂ til at variere med en konstant.

Sættet med F er åbent

Beviser, at sættet af mulige F er åben (i sættet af glatte funktioner med gennemsnitsværdien 1) involverer viser, at hvis det er muligt at løse ligningen for nogle F , så er det muligt at løse det for alle tilstrækkelig tæt F . Calabi beviste dette ved at bruge den implicitte funktionsteorem for Banach -mellemrum : for at anvende dette er hovedtrinet at vise, at lineariseringen af differentialoperatoren ovenfor er inverterbar.

Sættet med F er lukket

Dette er den sværeste del af beviset, og var den del udført af Yau. Antag, at F er i lukningen af ​​billedet af mulige funktioner φ. Det betyder, at der er en sekvens af funktioner φ ₁ , φ ₂ , ... sådan at de tilsvarende funktioner F ₁ , F ₂ , ... konvergerer til F , og problemet er at vise, at en eller anden undersekvens af φ'erne konvergerer til en løsning φ. For at gøre dette finder Yau nogle a priori grænser for funktionerne φ _i og deres højere derivater med hensyn til de højere derivater af log ( f _i ). At finde disse grænser kræver en lang række hårde skøn, der hver forbedres lidt i forhold til det tidligere estimat. De grænser Yau får, er nok til at vise, at funktionerne φ _i alle ligger i en kompakt delmængde af et passende Banach -funktionsrum, så det er muligt at finde en konvergent undersekvens. Denne undersekvens konvergerer til en funktion φ med billede F , som viser, at sættet af mulige billeder F er lukket.

Referencer

• Thierry Aubin , ikke- lineær analyse af manifolds, Monge – Ampère-ligninger ISBN  0-387-90704-1 Dette giver et bevis på Calabi-formodningen og på Aubins resultater om Kähler – Einstein-metrics.
• Bourguignon, Jean-Pierre (1979), "Premières formes de Chern des variétés kählériennes compactes [d'après E. Calabi, T. Aubin et ST Yau]", Séminaire Bourbaki, 30e année (1977/78) , Forelæsningsnotater i matematik ., 710 , Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 1–21, doi : 10.1007/BFb0069970 , ISBN 978-3-540-09243-8, MR  0554212 Dette giver en oversigt over arbejdet i Aubin og Yau.
• Calabi, Eugenio (1954), "The space of Kähler metrics" , Proc. Internat. Congress Math. Amsterdam , 2 , s. 206–207, arkiveret fra originalen (PDF) 2011-07-17 , hentet 2011-01-30
• Eugenio Calabi, The Space of Kähler Metrics , Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1954, bind II, s. 206-7, EP Noordhoff, Groningen, 1956.
• Calabi, Eugenio (1957), "On Kähler manifolds with försvindende kanonisk klasse", i Fox, Ralph H .; Spencer, DC; Tucker, AW (red.), Algebraisk geometri og topologi. Et symposium til ære for S. Lefschetz , Princeton Mathematical Series, 12 , Princeton University Press , s. 78–89, MR  0085583
• Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon ; Sun, Song (2013). "Kähler – Einstein Metrics and Stability". Internationale matematikforskningsmeddelelser . 2014 (8): 2119–2125. arXiv : 1210.7494 . doi : 10.1093/imrn/rns279 . MR  3194014 .
• Dominic D. Joyce Compact Manifolds with Special Holonomy (Oxford Mathematical Monographs) ISBN  0-19-850601-5 Dette giver et forenklet bevis på Calabi-formodningen.
• Matsushima, Yozô (1957). "Sur la structure du groupe d'homéomorphismes analytiques d'une suree variété kählérienne" . Nagoya Mathematical Journal . 11 : 145–150. doi : 10.1017/s0027763000002026 . MR  0094478 .
• Y. Odaka, C. Spotti og S. Sun, Compact moduli spaces af del Pezzo overflader og Kähler-Einstein metrics. J. Differential Geom. 102 (2016), nr. 1, 127–172.
• Tian, ​​Gang (1990). "På Calabis formodning om komplekse overflader med positiv første Chern -klasse". Opfinder Mathematicae . 101 (1): 101–172. Bibcode : 1990InMat.101..101T . doi : 10.1007/bf01231499 . MR  1055713 . S2CID  59419559 .
• Yau, Shing Tung (1977), "Calabis formodning og nogle nye resultater i algebraisk geometri", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 74 (5): 1798–1799, Bibcode : 1977PNAS ... 74.1798 Y , doi : 10.1073/pnas.74.5.1798 , ISSN  0027-8424 , MR  0451180 , PMC  431004 , PMID  16592394
• Yau, Shing Tung (1978), "Om Ricci -krumningen af ​​et kompakt Kähler -manifold og den komplekse Monge – Ampère -ligning. I", Communications on Pure and Applied Mathematics , 31 (3): 339–411, doi : 10.1002/cpa .3160310304 , MR  0480350

eksterne links

• Yau, Shing Tung (2009), "Calabi-Yau manifold", Scholarpedia , 4 (8): 6524, Bibcode : 2009SchpJ ... 4.6524Y , doi : 10.4249/scholarpedia.6524