Problem med punkter - Problem of points

Det problem punkter , også kaldet problemet med opdeling af indsatserne , er et klassisk problem i sandsynlighedsteori . Et af de berømte problemer, der motiverede starten på den moderne sandsynlighedsteori i det 17. århundrede, førte det til Blaise Pascal til den første eksplicitte begrundelse for, hvad der i dag er kendt som en forventet værdi .

Problemet vedrører et hasardspil med to spillere, der har lige store chancer for at vinde hver runde. Spillerne bidrager ligeligt til en præmiepot og er på forhånd enige om, at den første spiller, der har vundet et bestemt antal runder, vil samle hele præmien. Antag nu, at spillet afbrydes af eksterne omstændigheder, før en spiller har opnået sejr. Hvordan deler man potten retfærdigt? Det forstås stiltiende, at divisionen på en eller anden måde skal afhænge af antallet af runder, som hver spiller vinder, således at en spiller, der er tæt på at vinde, får en større del af puljen. Men problemet er ikke kun beregning; det indebærer også at beslutte, hvad en "fair" division faktisk er.

Tidlige løsninger

Luca Pacioli betragtede et sådant problem i sin 1494-lærebog Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalità . Hans metode var at dele indsatsen i forhold til antallet af runder, der blev vundet af hver spiller, og antallet af runder, der var nødvendige for at vinde, kom slet ikke ind i hans beregninger.

I midten af ​​det 16. århundrede bemærkede Niccolò Tartaglia, at Paciolis metode fører til kontraintuitive resultater, hvis spillet afbrydes, når der kun er spillet en runde. I så fald ville Paciolis regel tildele hele puljen til vinderen af ​​den enkelte runde, selvom en føring i en runde tidligt i et langt spil langt fra er afgørende. Tartaglia konstruerede en metode, der undgår det særlige problem ved at basere opdelingen på forholdet mellem blyets størrelse og længden af ​​spillet. Denne løsning er dog stadig ikke uden problemer; i et spil til 100 deler det indsatsen på samme måde for en 65-55 føring som for en føring på 99-89, selvom førstnævnte stadig er et relativt åbent spil, mens sejr for den førende spiller i sidstnævnte situation næsten er sikker . Tartaglia var selv usikker på, om problemet overhovedet var løst på en måde, der ville overbevise begge spillere om deres retfærdighed: "uanset hvilken opdeling der foretages, vil der være grund til retssager".

Pascal og Fermat

Problemet opstod igen omkring 1654, da Chevalier de Méré stillede det over for Blaise Pascal . Pascal diskuterede problemet i sin løbende korrespondance med Pierre de Fermat . Gennem denne diskussion tilvejebragte Pascal og Fermat ikke kun en overbevisende, selvkonsistent løsning på dette problem, men udviklede også koncepter, der stadig er grundlæggende for sandsynlighedsteorien.

Den indledende indsigt for Pascal og Fermat var, at divisionen ikke skulle afhænge så meget af historien om den del af det afbrudte spil, der faktisk fandt sted, som om de mulige måder, spillet måske havde fortsat, hvis det ikke blev afbrudt. Det er intuitivt klart, at en spiller med 7–5 føring i et spil til 10 har samme chance for til sidst at vinde som en spiller med en 17–15 føring i et spil til 20, og Pascal og Fermat mente derfor, at afbrydelse i begge af de to situationer burde føre til den samme opdeling af indsatsen. Med andre ord, hvad der er vigtigt, er ikke antallet af runder, hver spiller har vundet indtil videre, men antallet af runder, hver spiller stadig har brug for at vinde for at opnå samlet sejr.

Fermat begrundede nu således: Hvis en spiller har brug for r flere runder for at vinde, og den anden har brug for s , vil spillet helt sikkert være vundet af nogen efter yderligere runder. Forestil dig derfor, at spillerne skulle spille flere runder; i alt har disse runder forskellige mulige resultater. I nogle af disse mulige futures vil spillet faktisk være blevet besluttet på færre end runder, men det skader ikke at forestille sig, at spillerne fortsætter med at spille uden formål. At betragte kun lige lange futures har den fordel, at man let overbeviser sig selv om, at hver af mulighederne er lige sandsynlige. Fermat var således i stand til at beregne oddsene for hver spiller for at vinde ved blot at skrive en tabel over alle mulige fortsættelser og tælle, hvor mange af dem der ville føre til, at hver spiller vinder. Fermat anså det nu åbenbart for rimeligt at dele indsatsen i forhold til disse odds. ${\ displaystyle r + s-1}$${\ displaystyle r + s-1}$${\ displaystyle 2 ^ {r + s-1}}$${\ displaystyle r + s-1}$${\ displaystyle 2 ^ {r + s-1}}$${\ displaystyle 2 ^ {r + s-1}}$

Fermats løsning, bestemt "korrekt" efter nutidens standarder, blev forbedret af Pascal på to måder. For det første frembragte Pascal et mere detaljeret argument for, at den resulterende opdeling skulle betragtes som retfærdig. For det andet viste han, hvordan man beregner den korrekte opdeling mere effektivt end Fermats tabelform, som bliver helt upraktisk (uden moderne computere), hvis den er mere end ca. 10. ${\ displaystyle r + s-1}$

I stedet for blot at overveje sandsynligheden for at vinde hele det resterende spil, udtænkte Pascal et princip med mindre trin: Antag at spillerne havde været i stand til at spille kun en runde mere før de blev afbrudt, og at vi allerede havde besluttet, hvordan vi skulle dele indsatsen retfærdigt efter den ene runde mere (muligvis fordi den runde lader en af ​​spillerne vinde). Den forestillede ekstra runde kan føre til en af ​​to mulige futures med forskellige retfærdige opdelinger af indsatsen, men da de to spillere har lige chancer for at vinde den næste runde, bør de opdele forskellen mellem de to fremtidige divisioner jævnt. På denne måde kan viden om de retfærdige løsninger i spil med færre runder tilbage bruges til at beregne retfærdige løsninger til spil med flere runder tilbage.

Det er lettere at overbevise sig selv om, at dette princip er retfærdigt, end det er for Fermats tabel over mulige futures, som er dobbelt hypotetiske, fordi man skal forestille sig, at spillet undertiden fortsætter efter at være vundet. Pascals analyse her er et af de tidligste eksempler på brug af forventede værdier i stedet for odds, når man begrunder sandsynligheden. Kort efter ville denne idé blive grundlaget for den første systematiske afhandling om sandsynlighed af Christiaan Huygens . Senere voksede det moderne begreb sandsynlighed ud af Pascal og Huygens brug af forventningsværdier.

Den direkte anvendelse af Pascals trinvise regel er betydeligt hurtigere end Fermats metode, når mange runder er tilbage. Imidlertid var Pascal i stand til at bruge det som udgangspunkt for at udvikle mere avancerede beregningsmetoder. Gennem smart manipulation af identiteter, der involverer det, der i dag er kendt som Pascals trekant (inklusive flere af de første eksplicitte bevis ved induktion ) viste Pascal endelig, at i et spil, hvor en spiller har brug for r point for at vinde og den anden har brug for s point for at vinde, er den korrekte delingen af ​​indsatsen er i forholdet mellem (ved hjælp af moderne notation)

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {s-1} {\ binom {r + s-1} {k}} {\ mbox {to}} \ sum _ {k = s} ^ {r + s-1} {\ binom {r + s-1} {k}}}$ hvor udtrykket repræsenterer kombinationsoperatøren . ${\ displaystyle {\ binom {r + s-1} {k}}}$

Problemet med at dele indsatsen blev et vigtigt motiverende eksempel for Pascal i sin afhandling om den aritmetiske trekant .

Selvom Pascals afledning af dette resultat var uafhængig af Fermats tabelform, er det klart, at det også beskriver nøjagtigt tællingen af ​​forskellige resultater af yderligere runder, som Fermat foreslog. ${\ displaystyle r + s-1}$

Bemærkninger

Referencer

• Anders Hald: En historie med sandsynlighed og statistik og deres anvendelser inden 1750 . Wiley 2003, ISBN   978-0-471-47129-5 , s. 35, 54
• Keith Devlin: The Unfinished Game: Pascal, Fermat, and the Seventeenth-Century Letter that Made the World Modern . Grundlæggende bøger 2010, ISBN   978-0465018963

eksterne links

• Weisstein, Eric W. "Pascals trekant" . MathWorld .
• Den tidlige udvikling af matematisk sandsynlighed
• Problem med point hos MathForum
• En meget tilgængelig forklaring på problemet med point fra en blog om sandsynlighed og statistik .