Floquet teori - Floquet theory

Floquet-teori er en gren af ​​teorien om almindelige differentialligninger, der vedrører klassen af ​​løsninger til periodiske lineære differentialligninger af formen

${\ displaystyle {\ dot {x}} = A (t) x,}$

med en stykkevis kontinuerlig periodisk funktion med punktum og definerer tilstanden af ​​løsningernes stabilitet. ${\ displaystyle \ displaystyle A (t)}$${\ displaystyle T}$

Floquet-teoriens vigtigste sætning, Floquet's sætning på grund af Gaston Floquet  ( 1883 ), giver en kanonisk form for hver grundlæggende matrixløsning i dette fælles lineære system . Det giver en koordinat forandring med , der forvandler det periodiske system til et traditionelt lineært system med konstante, reelle koefficienter . ${\ displaystyle \ displaystyle y = Q ^ {- 1} (t) x}$${\ displaystyle \ displaystyle Q (t + 2T) = Q (t)}$

Når det anvendes til fysiske systemer med periodiske potentialer, såsom krystaller i kondenseret fysik , er resultatet kendt som Blochs sætning .

Bemærk, at løsningerne på den lineære differentialligning danner et vektorrum. En matrix kaldes en grundlæggende matrixløsning, hvis alle kolonner er lineært uafhængige løsninger. En matrix kaldes en grundlæggende grundlæggende matrixløsning, hvis alle kolonner er lineært uafhængige løsninger, og der findes sådanne, der er identiteten. En grundlæggende grundlæggende matrix kan konstrueres ud fra en grundlæggende matrix ved hjælp af . Løsningen af ​​den lineære differentialligning med den oprindelige tilstand er, hvor der er en grundlæggende matrixløsning. ${\ displaystyle \ phi \, (t)}$${\ displaystyle \ Phi (t)}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle \ Phi (t_ {0})}$${\ displaystyle \ Phi (t) = \ phi \, (t) {\ phi \,} ^ {- 1} (t_ {0})}$${\ displaystyle x (0) = x_ {0}}$${\ displaystyle x (t) = \ phi \, (t) {\ phi \,} ^ {- 1} (0) x_ {0}}$${\ displaystyle \ phi \, (t)}$

Floquet's sætning

Lad være en lineær førsteordens differentialligning, hvor er en søjlevektor med længde og en periodisk matrix med punktum (det vil sige for alle reelle værdier af ). Lad være en grundlæggende matrixløsning af denne differentialligning. Så for alle , ${\ displaystyle {\ dot {x}} = A (t) x}$${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A (t)}$${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A (t + T) = A (t)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ phi \, (t)}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ phi (t + T) = \ phi (t) \ phi ^ {- 1} (0) \ phi (T).}$

Her

${\ displaystyle \ phi ^ {- 1} (0) \ phi (T)}$

er kendt som monodromymatrixen . Derudover for hver matrix (muligvis kompleks) sådan, at ${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle e ^ {TB} = \ phi ^ {- 1} (0) \ phi (T),}$

der er en periodisk (periode ) matrixfunktion sådan, at ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle t \ mapsto P (t)}$

${\ displaystyle \ phi (t) = P (t) e ^ {tB} {\ text {for alle}} t \ i \ mathbb {R}.}$

Der er også en reel matrix og en reel periodisk (period- ) matrixfunktion sådan, at ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle 2T}$${\ displaystyle t \ mapsto Q (t)}$

${\ displaystyle \ phi (t) = Q (t) e ^ {tR} {\ text {for alle}} t \ i \ mathbb {R}.}$

I den ovennævnte , , og er matricer. ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle n \ times n}$

Konsekvenser og applikationer

Denne kortlægning giver anledning til en tidsafhængig ændring af koordinaterne ( ), hvorunder vores oprindelige system bliver et lineært system med reelle konstante koefficienter . Da det er kontinuerligt og periodisk, skal det være afgrænset. Stabiliteten af ​​nulopløsningen til og bestemmes således af egenværdierne for . ${\ displaystyle \ phi \, (t) = Q (t) e ^ {tR}}$${\ displaystyle y = Q ^ {- 1} (t) x}$${\ displaystyle {\ dot {y}} = Ry}$${\ displaystyle Q (t)}$${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle R}$

Repræsentationen kaldes en Floquet normal form for den grundlæggende matrix . ${\ displaystyle \ phi \, (t) = P (t) e ^ {tB}}$${\ displaystyle \ phi \, (t)}$

De egenværdierne for kaldes karakteristiske multiplikatorer i systemet. De er også egenværdierne på de (lineære) Poincaré-kort . En Floquet-eksponent (undertiden kaldet en karakteristisk eksponent) er et sådant kompleks , som er en karakteristisk multiplikator for systemet. Bemærk, at Floquet-eksponenter ikke er unikke, da hvor er et heltal. De virkelige dele af Floquet-eksponenterne kaldes Lyapunov-eksponenter . Nulopløsningen er asymptotisk stabil, hvis alle Lyapunov-eksponenter er negative, Lyapunov-stabile, hvis Lyapunov-eksponenterne ikke er positive og ustabile ellers. ${\ displaystyle e ^ {TB}}$ ${\ displaystyle x (t) \ til x (t + T)}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle e ^ {\ mu T}}$${\ displaystyle e ^ {(\ mu + {\ frac {2 \ pi ik} {T}}) T} = e ^ {\ mu T}}$${\ displaystyle k}$

• Floquet-teori er meget vigtig for studiet af dynamiske systemer .
• Floquet-teori viser stabilitet i Hill-differentialligning (introduceret af George William Hill ), der tilnærmer sig månens bevægelse som en harmonisk oscillator i et periodisk tyngdefelt .
• Bond-blødgøring og bindingshærdning i intense laserfelter kan beskrives i form af løsninger opnået fra Floquet-sætningen.

Referencer

• C. Chicone. Almindelige differentialligninger med applikationer. Springer-Verlag, New York 1999.
• Ekeland, Ivar (1990). "En". Konveksitetsmetoder i Hamilton-mekanik . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultater i matematik og relaterede områder (3)]. 19 . Berlin: Springer-Verlag. s. x + 247. ISBN   3-540-50613-6 . MR   1051888 . CS1 maint: modløs parameter ( link )
• Floquet, Gaston (1883), "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 12 : 47–88, doi : 10.24033 / asens.220
• Krasnosel'skii, MA (1968), operatøren af ​​oversættelse langs banerne for differentialligninger , forsyn : American Mathematical Society CS1 maint: modløs parameter ( link ) , Oversættelse af matematiske monografier, 19, 294p.
• W. Magnus, S. Winkler. Hill's Equation , Dover-Phoenix Editions, ISBN   0-486-49565-5 .
• NW McLachlan, Teori og anvendelse af Mathieu-funktioner , New York: Dover, 1964.
• Teschl, Gerald (2012). Almindelige differentialligninger og dynamiske systemer . Providence : American Mathematical Society . ISBN   978-0-8218-8328-0 . CS1 maint: modløs parameter ( link )
• MSP Eastham, "The Spectral Theory of Periodic Differential Equations", Tekster i matematik, Scottish Academic Press, Edinburgh, 1973. ISBN   978-0-7011-1936-2 .

eksterne links

• "Floquet theory" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]