Hyperboloid model - Hyperboloid model

Rød cirkelbue er geodesisk i Poincaré -diskmodellen ; den projekterer til den brune geodesik på den grønne hyperboloid.

Afspil medier

Animation af delvis {7,3} hyperbolsk flisebelægning af hyperboloidet roteret ind i Poincare -perspektivet.

I geometri er hyperboloidmodellen , også kendt som Minkowski -modellen efter Hermann Minkowski , en model for n -dimensionel hyperbolisk geometri , hvor punkter er repræsenteret af punkterne på det forreste ark S ⁺ af et to -arket hyperboloid i ( n + 1) -dimensionalt Minkowski-rum og m -planer repræsenteres ved skæringspunkterne mellem ( m +1) -planerne i Minkowski-rummet med S ⁺ . Den hyperbolske afstandsfunktion indrømmer et enkelt udtryk i denne model. Hyperboloidmodellen for det n -dimensionale hyperbolske rum er tæt forbundet med Beltrami -Klein -modellen og til Poincaré -diskmodellen, da de er projektive modeller i den forstand, at isometri -gruppen er en undergruppe af den projektive gruppe .

Minkowski kvadratisk form

If ( x ₀ , x ₁ , ..., x _n ) er en vektor i ( n + 1) dimensionale koordinatrum R ^{n +1} , den Minkowski kvadratisk form defineres som

${\ displaystyle Q (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {0}^{2} -x_ {1}^{2}-\ ldots -x_ {n}^ {2}.}$

Vektorerne v ∈ R ^{n +1} således at Q ( v ) = 1 danner en n -dimensionel hyperboloid S bestående af to forbundne komponenter eller ark : det fremadrettede eller fremtidige ark S ⁺ , hvor x ₀ > 0 og bagud eller tidligere, ark S ^- , hvor x ₀ <0. Punkterne i den n -dimensionale hyperboloidmodel er punkterne på det forreste ark S ⁺ .

Den Minkowski bilinære form B er polarisationen af den Minkowski kvadratiske form Q ,

${\ displaystyle B (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = (Q (\ mathbf {u} +\ mathbf {v}) -Q (\ mathbf {u}) -Q (\ mathbf {v} ))/2.}$

Eksplicit,

${\ displaystyle B ((x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), (y_ {0}, y_ {1}, \ ldots, y_ {n})) = x_ {0} y_ {0} -x_ {1} y_ {1}-\ ldots -x_ {n} y_ {n}.}$

Den hyperbolske afstand mellem to punkter u og v af S ⁺ er givet ved formlen

${\ displaystyle d (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = \ operatorname {arcosh} (B (\ mathbf {u}, \ mathbf {v})),}$

hvor arcosh er den omvendte funktion af hyperbolsk cosinus .

Lige linjer

En lige linje i hyperbolsk n -rum er modelleret af en geodesik på hyperboloiden. En geodesisk på hyperboloiden er (ikke-tomt) skæringspunkt mellem hyperboloidet med et todimensionalt lineært underrum (inklusive oprindelsen) af det n +1-dimensionelle Minkowski-rum. Hvis vi tager u og v til at være basisvektorer for det lineære underrum med

${\ displaystyle B (\ mathbf {u}, \ mathbf {u}) = 1}$

${\ displaystyle B (\ mathbf {v}, \ mathbf {v}) =-1}$

${\ displaystyle B (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = B (\ mathbf {v}, \ mathbf {u}) = 0}$

og brug w som en reel parameter for punkter på den geodesiske, derefter

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ cosh w+\ mathbf {v} \ sinh w}$

vil være et punkt på den geodesiske.

Mere generelt vil en k -dimensionel "flad" i det hyperbolske n -rum blive modelleret af hyperboloidens (ikke -tomme) skæringspunkt med et k +1 -dimensionelt lineært underrum (inklusive oprindelsen) af Minkowski -rummet.

Isometrier

Den ubestemte ortogonale gruppe O (1, n ), også kaldet den ( n +1) -dimensionelle Lorentz-gruppe , er Lie-gruppen af reelle ( n +1) × ( n +1) matricer, som bevarer den Minkowski bilinære form. På et andet sprog er det gruppen af ​​lineære isometrier i Minkowski -rummet . Især denne gruppe bevarer hyperboloid S . Husk på, at ubestemte ortogonale grupper har fire forbundne komponenter, svarende til at vende eller bevare orienteringen på hvert underrum (her 1-dimensionelle og n- dimensionelle), og danne en Klein-fire-gruppe . Undergruppen af ​​O (1, n ), der bevarer tegnet på den første koordinat, er den ortokrone Lorentz -gruppe , betegnet O ⁺ (1, n ), og har to komponenter, der svarer til at bevare eller vende orienteringen af ​​det rumlige underrum. Dens undergruppe SO ⁺ (1, n ) bestående af matricer med determinant en er en forbundet Lie -gruppe af dimension n ( n +1)/2, der virker på S ⁺ ved lineære automorfier og bevarer den hyperboliske afstand. Denne handling er transitiv, og stabilisatoren af ​​vektoren (1,0, ..., 0) består af matricerne i formen

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 &&& \\\ vdots && A & \\ 0 &&& \\\ end {pmatrix}}}$

Hvor tilhører den kompakte særlige ortogonale gruppe SO ( n ) (generaliserer rotationsgruppen SO (3) for n = 3 ). Det følger heraf, at det n -dimensionelle hyperbolske rum kan udstilles som det homogene rum og et Riemannisk symmetrisk rum af rang 1, ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ mathbb {H} ^{n} = \ mathrm {SO} ^{+} (1, n)/\ mathrm {SO} (n).}$

Gruppen SO ⁺ (1, n ) er den fulde gruppe af orienteringsbevarende isometrier i det n -dimensionelle hyperbolske rum.

Mere konkret kan SO ⁺ (1, n ) opdeles i n ( n -1)/2 rotationer (dannet med en regelmæssig euklidisk rotationsmatrix i blokken nederst til højre) og n hyperboliske oversættelser, som har form

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cosh \ alpha & \ sinh \ alpha & 0 & \ ldots \\\ sinh \ alpha & \ cosh \ alpha & 0 & \ ldots \\ 0 & 0 & 1 & \\\ vdots & \ vdots && \ ddots \\ \ end {pmatrix}}}$

hvor er afstanden oversat (langs x -aksen i dette tilfælde), og 2. række/kolonne kan udveksles med et andet par for at skifte til en translation langs en anden akse. Den generelle form for en oversættelse i 3 dimensioner langs vektoren er: ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle (w, x, y, z)}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} w & x & y & z \\ x & {\ frac {x^{2}} {w+1}}+1 & {\ frac {yx} {w+1}} & {\ frac {zx} {w+1}} \\ y & {\ frac {xy} {w+1}} & {\ frac {y^{2}} {w+1}}+1 & {\ frac {zy} {w+1 }} \\ z & {\ frac {xz} {w+1}} & {\ frac {yz} {w+1}} & {\ frac {z^{2}} {w+1}}+1 \ \\ slut {pmatrix}}}$hvor .${\ displaystyle w = {\ sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2} +1}}}$

Dette strækker sig naturligt til flere dimensioner og er også den forenklede version af et Lorentz-boost, når du fjerner relativitetsspecifikke udtryk.

Eksempler på grupper af isometrier

Gruppen af ​​alle isometrier i hyperboloidmodellen er O ⁺ (1, n ). Enhver gruppe af isometrier er en undergruppe af den.

Refleksioner

For to punkter er der en unik refleksion, der udveksler dem. ${\ displaystyle \ mathbf {p}, \ mathbf {q} \ in \ mathbb {H} ^{n}, \ mathbf {p} \ neq \ mathbf {q}}$

Lad . Bemærk det , og derfor . ${\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ frac {\ mathbf {p} -\ mathbf {q}} {\ sqrt {-Q (\ mathbf {p} -\ mathbf {q})}}}}}}}$${\ displaystyle Q (\ mathbf {u}) =-1}$${\ displaystyle u \ notin \ mathbb {H} ^{n}}$

Derefter

${\ displaystyle \ mathbf {x} \ mapsto \ mathbf {x} +2B (\ mathbf {x}, \ mathbf {u}) \ mathbf {u}}$

er en refleksion, der udveksler og . Dette svarer til følgende matrix: ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$

${\ displaystyle R = I+2 \ mathbf {u} \ mathbf {u} ^{\ operatorname {T}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -I \\\ end {pmatrix}}}$

(bemærk brugen af blok matrix notation).

Så er en gruppe af isometrier. Alle sådanne undergrupper er konjugerede . ${\ displaystyle \ {I, R \}}$

Rotationer og refleksioner

${\ displaystyle S = \ left \ {{\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A \\\ end {pmatrix}}: A \ in O (n) \ right \}}$

er gruppen af ​​rotationer og refleksioner, der bevarer . Funktionen er en isomorfisme fra O ( n ) til denne gruppe. For ethvert punkt , hvis er en isometri, der kortlægger til , så er gruppen af ​​rotationer og refleksioner, der bevarer . ${\ displaystyle (1,0, \ dots, 0)}$${\ displaystyle A \ mapsto {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A \\\ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (1,0, \ dots, 0)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle XSX^{-1}}$${\ displaystyle p}$

Oversættelser

For ethvert reelt tal er der en oversættelse ${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle L_ {t} = {\ begin {pmatrix} \ cosh t & \ sinh t & 0 \\\ sinh t & \ cosh t & 0 \\ 0 & 0 & I \\\ end {pmatrix}}}$

Dette er en oversættelse af afstand i den positive x -retning, hvis eller af afstanden i den negative x -retning, hvis . Enhver oversættelse af afstand er konjugeret til og . Sættet er gruppen af ​​oversættelser gennem x-aksen, og en gruppe isometrier er konjugeret til det, hvis og kun hvis det er en gruppe af isometrier gennem en linje. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t \ geq 0}$${\ displaystyle -t}$${\ displaystyle t \ leq 0}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle L_ {t}}$${\ displaystyle L _ {-t}}$${\ displaystyle \ left \ {L_ {t}: t \ in \ mathbb {R} \ right \}}$

Lad os f.eks. Sige, at vi vil finde gruppen af ​​oversættelser gennem en linje . Lad være en isometri, der kortlægger til og lad være en isometri, der retter og kortlægger til . Et eksempel på en sådan er en refleksionsudveksling og (forudsat at de er forskellige), fordi de begge er den samme afstand fra . Så er en isometri-kortlægning til og et punkt på den positive x-akse til . er en oversættelse gennem afstandslinjen . Hvis det er i retning. Hvis det er i retning. er gruppen af ​​oversættelser igennem . ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {p} \ mathbf {q}}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (1,0, \ dots, 0)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle XL_ {d (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})} [1,0, \ dots, 0]^{\ operatorname {T}}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle XL_ {d (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})} [1,0, \ dots, 0]^{\ operatorname {T}}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle YX}$${\ displaystyle (1,0, \ dots, 0)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle (YX) L_ {t} (YX)^{-1}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {p} \ mathbf {q}}}}$${\ displaystyle | t |}$${\ displaystyle t \ geq 0}$${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathbf {p} \ mathbf {q}}}}$${\ displaystyle t \ leq 0}$${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathbf {q} \ mathbf {p}}}}$${\ displaystyle \ left \ {(YX) L_ {t} (YX)^{-1}: t \ in \ mathbb {R} \ right \}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {p} \ mathbf {q}}}}$

Symmetrier af horosfærer

Lad H være en eller anden horosfære, så formens punkter er inde i den for vilkårligt store x . For enhver vektor b in${\ displaystyle (w, x, 0, \ dots, 0)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n-1}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1+{\ frac {\ | \ mathbf {b} \ |^{2}} {2}} &-{\ frac {\ | \ mathbf {b} \ |^{ 2}} {2}} & \ mathbf {b} ^{\ operatorname {T}} \\ {\ frac {\ | \ mathbf {b} \ | ^{2}} {2}} & 1-{\ frac {\ | \ mathbf {b} \ | ^{2}} {2}} & \ mathbf {b} ^{\ operatorname {T}} \\\ mathbf {b} &-\ mathbf {b} & I \\ \ end {pmatrix}}}$

er en hororotation, der kortlægger H til sig selv. Sættet af sådanne hororotations er gruppen med hororotations bevare H . Alle hororotationer er bøjet til hinanden.

For alle i O ( n -1) ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & A \\\ slut {pmatrix}}}$

er en rotation eller refleksion, der bevarer H og x-aksen. Disse hororotations, rotationer og refleksioner generere gruppen af symmetrier H . Symmetri -gruppen i enhver horosfære er konjugeret til den. De er isomorfe for den euklidiske gruppe E ( n -1).

Historie

I flere papirer mellem 1878-1885 brugte Wilhelm Killing den repræsentation, han tilskrev Karl Weierstrass for Lobachevskian geometri . Især diskuterede han kvadratiske former som eller i vilkårlige dimensioner , hvor er den gensidige måling af krumning, betegner euklidisk geometri , elliptisk geometri og hyperbolsk geometri. ${\ displaystyle k^{2} t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2} = k^{2}}$${\ displaystyle k^{2} x_ {0}^{2}+x_ {1}^{2}+\ dots+x_ {n}^{2} = k^{2}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k^{2} = \ infty}$${\ displaystyle k^{2}> 0}$ ${\ displaystyle k^{2} <0}$

Ifølge Jeremy Gray (1986) brugte Poincaré hyperboloidmodellen i sine personlige noter i 1880. Poincaré offentliggjorde sine resultater i 1881, hvor han diskuterede invadrationen af ​​den kvadratiske form . Grå viser, hvor hyperboloidmodellen er implicit i senere skrivning af Poincaré. ${\ displaystyle \ xi ^{2}+\ eta ^{2}-\ zeta ^{2} =-1}$

Også Homersham Cox i 1882 brugte Weierstrass -koordinater (uden at bruge dette navn) tilfredsstillende forholdet såvel som . ${\ displaystyle z^{2} -x^{2} -y^{2} = 1}$${\ displaystyle w^{2} -x^{2} -y^{2} -z^{2} = 1}$

Yderligere eksponering af modellen blev givet af Alfred Clebsch og Ferdinand Lindemann i 1891, hvor de diskuterede forholdet og . ${\ displaystyle x_ {1}^{2}+x_ {2}^{2} -4k^{2} x_ {3}^{2} =-4k^{2}}$${\ displaystyle x_ {1}^{2}+x_ {2}^{2}+x_ {3}^{2} -4k^{2} x_ {4}^{2} =-4k^{2} }$

Weierstrass -koordinater blev også brugt af Gérard (1892), Felix Hausdorff (1899), Frederick S. Woods (1903)], Heinrich Liebmann (1905).

Hyperboloiden blev udforsket som et metrisk rum af Alexander Macfarlane i hans Papers in Space Analysis (1894). Han bemærkede, at punkter på hyperboloiden kunne skrives som

${\ displaystyle \ cosh A+\ alpha \ sinh A,}$

hvor α er en basisvektor ortogonal til hyperboloidaksen. For eksempel opnåede han den hyperboliske cosinuslov ved hjælp af sin fysiske algebra .

H. Jansen gjorde hyperboloidmodellen til det eksplicitte fokus i sit papir fra 1909 "Representation of hyperbolic geometry on a two -sheet hyperboloid". I 1993 berettede WF Reynolds noget om modellens tidlige historie i sin artikel i American Mathematical Monthly .

Da den var en almindelig model i det tyvende århundrede, blev den identificeret med Geschwindigkeitsvectoren (hastighedsvektorer) af Hermann Minkowski i hans Göttingen -foredrag fra 1907 'The Relativity Principle'. Scott Walter minder i sit papir fra 1999 "The Non-Euclidean Style of Minkowskian Relativity" om Minkowskis bevidsthed, men sporer modellens slægt til Hermann Helmholtz frem for Weierstrass og Killing.

I de første relativitetsår blev hyperboloidmodellen brugt af Vladimir Varićak til at forklare hastighedens fysik. I sin tale til den tyske matematiske fagforening i 1912 henviste han til Weierstrass -koordinater.

Se også

• Poincaré disk model
• Hyperboliske kvaternioner

Noter og referencer

• Alekseevskij, DV; Vinberg, EB ; Solodovnikov, AS (1993), Geometry of Spaces of Constant Curvature , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52000-9
• Anderson, James (2005), Hyperbolic Geometry , Springer Undergraduate Mathematics Series (2. udgave), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-85233-934-0
• Ratcliffe, John G. (1994), Foundations of hyperbolic manifolds , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94348-0, Kapitel 3
• Miles Reid & Balázs Szendröi (2005) Geometri og topologi , figur 3.10, s 45, Cambridge University Press , ISBN  0-521-61325-6 , MR 2194744 .
• Ryan, Patrick J. (1986), Euklidisk og ikke-euklidisk geometri: En analytisk tilgang , Cambridge, London, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-25654-4
• Parkkonen, Jouni. "HYPERBOLISK GEOMETRI" (PDF) . Hentet 5. september 2020 .