Isotrop kvadratisk form - Isotropic quadratic form

I matematik siges en kvadratisk form over et felt F at være isotrop, hvis der er en ikke-nul-vektor, hvorpå formen evalueres til nul. Ellers er den kvadratiske form anisotrop . Mere præcist, hvis q er en kvadratisk form på et vektorrum V over F , så siges en ikke-nul vektor v i V at være isotrop, hvis q ( v ) = 0 . En kvadratisk form er isotrop, hvis og kun hvis der findes en ikke-nul isotrop vektor (eller nulvektor ) for den kvadratiske form.

Antag at ( V , q ) er kvadratisk rum og W er et underrum . Derefter kaldes W et isotropisk underrum af V, hvis en eller anden vektor i det er isotrop, et totalt isotropisk underrum, hvis alle vektorer i det er isotrope, og et anisotropisk underrum, hvis det ikke indeholder nogen (ikke-nul) isotropiske vektorer. Det isotropiindeks for et kvadratisk rum er det maksimale af dimensionerne for de totalt isotrope underrum.

En kvadratisk form q på et endeligt dimensionelt reelt vektorrum V er anisotropisk, hvis og kun hvis q er en bestemt form :

  • enten q er positiv bestemt , dvs. q ( v )> 0 for alle ikke-nul v i V  ;
  • eller q er negativ konkret , dvs. q ( v ) <0 for alle ikke-nul v i V .

Mere generelt, hvis den kvadratiske form er ikke-degenereret og har signaturen ( a , b ) , er dens isotropiindeks minimumet af a og b . Et vigtigt eksempel på en isotrop form over realerne forekommer i det pseudo-euklidiske rum .

Hyperbolisk plan

Ikke at forveksle med planet i hyperbolsk geometri .

Lad F være et felt med karakteristik ikke 2 og V = F 2 . Hvis vi betragter den generelle element ( x , y ) af V , så de kvadratiske former q = xy og r = x 2 - y 2 er ækvivalente, eftersom der er en lineær transformation på V , der gør q ligne r , og vice versa. ( V , q ) og ( V , r ) er åbenbart isotrope. Dette eksempel kaldes det hyperbolske plan i teorien om kvadratiske former . En almindelig forekomst har F = reelle tal, i hvilket tilfælde { x ∈ V  : q ( x ) = ikke nul konstant} og { x ∈ V  : r ( x ) = ikke nul konstant} er hyperboler . Især { x ∈ V  : r ( x ) = 1} er enheden hyperbel . Notationen ⟨1⟩ ⊕ − − 1⟩ er blevet brugt af Milnor og Husemoller til det hyperbolske plan, da tegnene på termerne for den bivariate polynom r vises.

Den affine hyperbolske plan blev beskrevet af Emil Artin som en kvadratisk rum med basis { M , N } opfylder M 2 = N 2 = 0, NM = 1 , hvor produkterne repræsenterer kvadratisk form.

Gennem polarisationsidentiteten er den kvadratiske form relateret til en symmetrisk bilinær form B ( u , v ) = 1/4( q ( u + v ) - q ( u - v )) .

To vektorer u og v er ortogonale, når B ( u , v ) = 0 . I tilfældet med den hyperbolske plan, sådan u og v er hyperbolsk-ortogonale .

Opdel kvadratisk rum

Et rum med kvadratisk form er opdelt (eller metabolisk ), hvis der er et underrum, der er lig med dets eget ortogonale komplement ; ækvivalent er indekset for isotropi lig med halvdelen af ​​dimensionen. Det hyperbolske plan er et eksempel, og over et felt med karakteristika, der ikke er lig med 2, er hvert splitrum en direkte sum af hyperbolske plan.

Forhold til klassificering af kvadratiske former

Fra klassificeringen af ​​kvadratiske former er anisotropiske rum de grundlæggende byggesten til kvadratiske rum med vilkårlige dimensioner. For et generelt felt F er klassificering af anisotrope kvadratiske former et ikke-problematisk problem. I modsætning hertil er de isotropiske former normalt meget lettere at håndtere. Ved Witt's nedbrydningsteorem er hvert indre produktrum over et felt en retvinklet direkte sum af et delt rum og et anisotropisk rum.

Feltteori

  • Hvis F er et algebraisk lukket felt, for eksempel feltet med komplekse tal , og ( V , q ) er et kvadratisk dimension med mindst to dimensioner, er det isotropisk.
  • Hvis F er et endeligt felt, og ( V , q ) er et kvadratisk dimension med mindst tre, er det isotropisk (dette er en konsekvens af Chevalley-advarselssætningen ).
  • Hvis F er feltet Q p for p -adic numre og ( V , q ) er en kvadratisk rum af dimension mindst fem, så er det isotrop.

Se også

Referencer