Polynomium -Polynomial

I matematik er et polynomium et udtryk, der består af ubestemte (også kaldet variable ) og koefficienter , der kun involverer operationerne addition , subtraktion , multiplikation og ikke-negativ heltalseksponentiering af variable . Et eksempel på et polynomium af et enkelt ubestemt x er x ² − 4 x + 7 . Et eksempel i tre variable er x ³ + 2 xyz ² − yz+ 1 .

Polynomier optræder i mange områder af matematik og naturvidenskab. For eksempel bruges de til at danne polynomieligninger , som koder for en lang række problemer, fra elementære ordproblemer til komplicerede videnskabelige problemer; de bruges til at definere polynomielle funktioner , som optræder i omgivelser lige fra grundlæggende kemi og fysik til økonomi og samfundsvidenskab ; de bruges i calculus og numerisk analyse til at tilnærme andre funktioner. I avanceret matematik bruges polynomier til at konstruere polynomiumringe og algebraiske varianter , som er centrale begreber i algebra og algebraisk geometri .

Etymologi

Ordet polynomium forbinder to forskellige rødder : det græske poly , der betyder "mange", og det latinske nomen eller "navn". Det blev afledt af udtrykket binomial ved at erstatte den latinske rod bi- med den græske poly- . Det vil sige, det betyder en sum af mange udtryk (mange monomialer ). Ordet polynomium blev første gang brugt i det 17. århundrede.

Notation og terminologi

Det x , der forekommer i et polynomium, kaldes almindeligvis en variabel eller en ubestemt . Når polynomiet betragtes som et udtryk, er x et fast symbol, som ikke har nogen værdi (dets værdi er "ubestemt"). Men når man betragter funktionen defineret af polynomiet, så repræsenterer x funktionens argument og kaldes derfor en "variabel". Mange forfattere bruger disse to ord i flæng.

Et polynomium P i det ubestemte x betegnes almindeligvis enten som P eller som P ( x ). Formelt er navnet på polynomiet P , ikke P ( x ), men brugen af ​​den funktionelle notation P ( x ) stammer fra en tid, hvor skelnen mellem et polynomium og den tilhørende funktion var uklar. Desuden er den funktionelle notation ofte nyttig til at specificere, i en enkelt sætning, et polynomium og dets ubestemte. For eksempel er "lad P ( x ) være et polynomium" en forkortelse for "lad P være et polynomium i det ubestemte x ". På den anden side, når det ikke er nødvendigt at understrege navnet på det ubestemte, er mange formler meget enklere og lettere at læse, hvis navnet/navnene på de ubestemte(r) ikke optræder ved hver forekomst af polynomiet.

Tvetydigheden ved at have to notationer for et enkelt matematisk objekt kan formelt løses ved at overveje den generelle betydning af den funktionelle notation for polynomier. Hvis a angiver et tal, en variabel, et andet polynomium eller mere generelt et hvilket som helst udtryk, så betegner P ( a ) efter konvention resultatet af at erstatte x i P . Således definerer polynomiet P funktionen

${\displaystyle a\mapsto P(a),}$

som er den polynomielle funktion forbundet med P . Når man bruger denne notation, antager man ofte, at a er et tal. Man kan dog bruge det over ethvert domæne, hvor addition og multiplikation er defineret (det vil sige enhver ring ). Især hvis a er et polynomium, så er P ( a ) også et polynomium.

Mere specifikt, når a er det ubestemte x , så er billedet af x ved denne funktion selve polynomiet P (at erstatte x med x ændrer ikke noget). Med andre ord,

${\displaystyle P(x)=P,}$

hvilket formelt retfærdiggør eksistensen af ​​to notationer for det samme polynomium.

Definition

Et polynomielt udtryk er et udtryk , der kan bygges ud fra konstanter og symboler kaldet variable eller ubestemte ved hjælp af addition , multiplikation og eksponentiering til en ikke-negativ heltalspotens . Konstanterne er generelt tal , men kan være ethvert udtryk, der ikke involverer de ubestemte, og repræsenterer matematiske objekter , der kan adderes og ganges. To polynomielle udtryk anses for at definere det samme polynomium , hvis de kan transformeres, den ene til den anden, ved at anvende de sædvanlige egenskaber for kommutativitet , associativitet og fordelingsevne ved addition og multiplikation. For eksempel og er to polynomieudtryk, der repræsenterer det samme polynomium; så, skriver man${\displaystyle (x-1)(x-2)}$${\displaystyle x^{2}-3x+2}$${\displaystyle (x-1)(x-2)=x^{2}-3x+2.}$

Et polynomium i et enkelt ubestemt x kan altid skrives (eller omskrives) i formen

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} ,}$

hvor er konstanter, der kaldes polynomiets koefficienter , og er den ubestemte. Ordet "ubestemt" betyder, at det ikke repræsenterer nogen bestemt værdi, selvom enhver værdi kan erstatte det. Den afbildning, der knytter resultatet af denne substitution til den substituerede værdi, er en funktion , kaldet en polynomiel funktion . ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Dette kan udtrykkes mere kortfattet ved at bruge summeringsnotation :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}$

Det vil sige, at et polynomium enten kan være nul eller kan skrives som summen af ​​et endeligt antal led , der ikke er nul . Hvert led består af produktet af et tal – kaldet termens koefficient – ​​og et endeligt antal ubestemte tal, hævet til ikke-negative heltalspotenser.

Klassifikation

Eksponenten på en ubestemt i et led kaldes graden af ​​den ubestemte i det led; graden af ​​led er summen af ​​graderne af de ubestemte i det led, og graden af ​​et polynomium er den største grad af ethvert led med en koefficient, der ikke er nul. Fordi x = x ¹ , er graden af ​​en ubestemt uden en skriftlig eksponent én.

Et led uden indeterminates og et polynomium uden indeterminates kaldes henholdsvis et konstantled og et konstant polynomium . Graden af ​​et konstant led og et konstant polynomium, der ikke er nul, er 0. Graden af ​​nulpolynomiet 0 (som slet ikke har nogen led) behandles generelt som ikke defineret (men se nedenfor).

For eksempel:

${\displaystyle -5x^{2}y}$

er et udtryk. Koefficienten er −5 , de ubestemte er x og y , graden af ​​x er to, mens graden af ​​y er en. Graden af ​​hele led er summen af ​​graderne af hver ubestemt i den, så i dette eksempel er graden 2 + 1 = 3 .

At danne en sum af flere led giver et polynomium. For eksempel er følgende et polynomium:

${\displaystyle \underbrace {_{\,}3x^{2}} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {1} \end{smallmatrix}}\underbrace {-_{\, }5x} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {2} \end{smallmatrix}}\underbrace {+_{\,}4} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term } \\\mathrm {3} \end{lillematrix}}.}$

Det består af tre led: det første er grad to, det andet er grad et, og det tredje er grad nul.

Polynomier af lille grad har fået specifikke navne. Et polynomium af grad nul er et konstant polynomium eller blot en konstant . Polynomier af grad et, to eller tre er henholdsvis lineære polynomier, kvadratiske polynomier og kubiske polynomier . For højere grader er de specifikke navne ikke almindeligt anvendte, selvom kvartpolynomium (for grad fire) og kvintisk polynomium (for grad fem) nogle gange bruges. Navnene på graderne kan anvendes på polynomiet eller dets termer. For eksempel er udtrykket 2 x i x ² + 2 x + 1 et lineært led i et kvadratisk polynomium.

Polynomiet 0, som kan anses for at have ingen vilkår overhovedet, kaldes nulpolynomiet . I modsætning til andre konstante polynomier er dens grad ikke nul. Graden af ​​nulpolynomiet efterlades snarere enten eksplicit udefineret eller defineret som negativ (enten −1 eller −∞). Nulpolynomiet er også unikt ved, at det er det eneste polynomium i et ubestemt polynomium, der har et uendeligt antal rødder . Grafen for nulpolynomiet, f ( x ) = 0 , er x -aksen.

I tilfælde af polynomier i mere end én ubestemt kaldes et polynomium homogent af grad n , hvis alle dets ikke-nul-led har grad n . Nulpolynomiet er homogent, og som et homogent polynomium er dets grad udefineret. For eksempel er x ³ y ² + 7 x ² y ³ − 3 x ⁵ homogen af ​​grad 5. For flere detaljer, se Homogent polynomium .

Den kommutative lov om addition kan bruges til at omarrangere termer i en hvilken som helst foretrukket rækkefølge. I polynomier med én ubestemt rækkefølge er termerne sædvanligvis ordnet efter grad, enten i "faldende potenser af x ", med termen af ​​største grad først, eller i "stigende potenser af x ". Polynomiet 3 x ² - 5 x + 4 skrives i faldende potenser af x . Det første led har koefficient 3 , ubestemt x og eksponent 2 . I andet led er koefficienten −5 . Det tredje led er en konstant. Fordi graden af ​​et polynomium, der ikke er nul, er den største grad af et hvilket som helst led, har dette polynomium grad to.

To led med de samme ubestemte termer ophøjet til de samme magter kaldes "lignende udtryk" eller "lignende udtryk", og de kan kombineres ved hjælp af fordelingsloven til et enkelt led, hvis koefficient er summen af ​​koefficienterne af termerne, der blev kombineret. Det kan ske, at dette gør koefficienten 0. Polynomier kan klassificeres efter antallet af led med koefficienter, der ikke er nul, således at et enledspolynomium kaldes et monomial , et toledspolynomium kaldes et binomium , og et treledspolynomium polynomium kaldes et trinomium . Udtrykket "quadrinomial" bruges lejlighedsvis til et fire-term polynomium.

Et reelt polynomium er et polynomium med reelle koefficienter. Når det bruges til at definere en funktion , er domænet ikke så begrænset. En reel polynomiefunktion er imidlertid en funktion fra realerne til realerne, der er defineret af et reelt polynomium. På samme måde er et heltalspolynomium et polynomium med heltalskoefficienter , og et komplekst polynomium er et polynomium med komplekse koefficienter.

Et polynomium i et ubestemmeligt kaldes et univariat polynomium , et polynomium i mere end et ubestemt kaldes et multivariat polynomium . Et polynomium med to ubestemte tal kaldes et bivariat polynomium . Disse begreber refererer mere til den slags polynomier, man generelt arbejder med, end til individuelle polynomier; for eksempel, når man arbejder med univariate polynomier, udelukker man ikke konstante polynomier (hvilket kan skyldes subtraktion af ikke-konstante polynomier), selvom strengt taget konstante polynomier slet ikke indeholder nogen ubestemte. Det er muligt yderligere at klassificere multivariate polynomier som bivariate , trivariate , og så videre, i henhold til det maksimalt tilladte antal ubestemte. Igen, så det sæt af objekter, der overvejes, lukkes under subtraktion, tillader en undersøgelse af trivariate polynomier normalt bivariate polynomier og så videre. Det er også almindeligt at sige "polynomier i x , y og z ", der angiver de tilladte ubestemte tal.

Evalueringen af ​​et polynomium består i at substituere en numerisk værdi til hver ubestemt værdi og udføre de angivne multiplikationer og additioner. For polynomier i en ubestemmelig, er evalueringen normalt mere effektiv (lavere antal aritmetiske operationer at udføre) ved brug af Horners metode :

${\displaystyle (((((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dotsb +a_{3})x+a_{2})x+a_{ 1})x+a_{0}.}$

Aritmetik

Addition og subtraktion

Polynomier kan tilføjes ved hjælp af den associative lov om addition (gruppering af alle deres termer sammen til en enkelt sum), eventuelt efterfulgt af omarrangering (ved hjælp af den kommutative lov ) og kombination af lignende udtryk. For eksempel hvis

${\displaystyle P=3x^{2}-2x+5xy-2}$og${\displaystyle Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$

derefter summen

${\displaystyle P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$

kan omarrangeres og omgrupperes som

${\displaystyle P+Q=(3x^{2}-3x^{2})+(-2x+3x)+5xy+4y^{2}+(8-2)}$

og derefter forenklet til

${\displaystyle P+Q=x+5xy+4y^{2}+6.}$

Når polynomier lægges sammen, er resultatet et andet polynomium.

Subtraktion af polynomier er ens.

Multiplikation

Polynomier kan også ganges. For at udvide produktet af to polynomier til en sum af led, anvendes den distributive lov gentagne gange, hvilket resulterer i, at hvert led i det ene polynomium ganges med hvert led i det andet. For eksempel hvis

${\displaystyle {\begin{aligned}\color {Red}P&\color {Red}{=2x+3y+5}\\\color {Blue}Q&\color {Blue}{=2x+5y+xy+1 }\end{aligned}}}$

derefter

${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {Rød}{P}}{\color {Blå}{Q}}&{=}&&({\color {Rød}{2x}}\cdot {\color {Blå}{2x}})&+&({\color {Rød}{2x}}\cdot {\color {Blå}{5y}})&+&({\color {Rød}{2x }}\cdot {\color {Blå}{xy}})&+&({\color {Rød}{2x}}\cdot {\color {Blå}{1}})\\&&+&({\ farve {Rød}{3y}}\cdot {\color {Blå}{2x}})&+&({\color {Rød}{3y}}\cdot {\color {Blå}{5y}})&+ &({\color {Rød}{3y}}\cdot {\color {Blå}{xy}})&+&({\color {Rød}{3y}}\cdot {\color {Blå}{1} })\\&&+&({\color {Rød}{5}}\cdot {\color {Blå}{2x}})&+&({\color {Rød}{5}}\cdot {\color {Blå}{5y}})&+&({\color {Rød}{5}}\cdot {\color {Blå}{xy}})&+&({\color {Rød}{5}}\ cdot {\color {Blå}{1}})\end{array}}}$

Udførelse af multiplikationen i hvert led giver

${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&10xy&+&2x^{2}y&+&2x\\&&+&6xy&+&15y^{2}&+&3xy^{2}& +&3y\\&&+&10x&+&25y&+&5xy&+&5.\end{array}}}$

Ved at kombinere lignende vilkår giver det

${\displaystyle {\begin{array}{rcccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&(10xy+6xy+5xy)&+&2x^{2}y&+&(2x+10x)\\&&+&15y^ {2}&+&3xy^{2}&+&(3y+25y)&+&5\end{array}}}$

som kan forenkles til

${\displaystyle PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5.}$

Som i eksemplet er produktet af polynomier altid et polynomium.

Sammensætning

Givet et polynomium af en enkelt variabel og et andet polynomium g af et hvilket som helst antal variable, opnås sammensætningen ved at erstatte hver kopi af variablen i det første polynomium med det andet polynomium. For eksempel hvis og derefter ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x}$${\displaystyle g(x)=3x+2}$

En sammensætning kan udvides til en sum af led ved hjælp af reglerne for multiplikation og division af polynomier. Sammensætningen af ​​to polynomier er et andet polynomium.

Division

Delingen af ​​et polynomium med et andet er typisk ikke et polynomium. I stedet er sådanne forhold en mere generel familie af objekter, kaldet rationelle brøker , rationelle udtryk eller rationelle funktioner , afhængigt af kontekst. Dette er analogt med det faktum, at forholdet mellem to heltal er et rationelt tal , ikke nødvendigvis et heltal. For eksempel er brøken 1/( x ² + 1) ikke et polynomium, og den kan ikke skrives som en endelig sum af potenser af variablen x .

For polynomier i en variabel er der en forestilling om euklidisk division af polynomier , der generaliserer den euklidiske division af heltal. Denne forestilling om divisionen a ( x )/ b ( x ) resulterer i to polynomier, en kvotient q ( x ) og en rest r ( x ) , således at a = b q + r og grad( r ) < grad( b ) ) . Kvotienten og resten kan beregnes af en hvilken som helst af flere algoritmer, herunder polynomiel lang division og syntetisk division .

Når nævneren b ( x ) er monisk og lineær, det vil sige b ( x ) = x − c for en eller anden konstant c , så hævder polynomisk restsætning , at resten af ​​divisionen af ​​a ( x ) med b ( x ) er evalueringen a ( c ) . I dette tilfælde kan kvotienten beregnes af Ruffinis regel , et særligt tilfælde af syntetisk division.

Factoring

Alle polynomier med koefficienter i et unikt faktoriseringsdomæne (for eksempel heltal eller et felt ) har også en faktoriseret form, hvor polynomiet er skrevet som et produkt af irreducerbare polynomier og en konstant. Denne faktorerede form er unik op til rækkefølgen af ​​faktorerne og deres multiplikation med en invertibel konstant. I tilfælde af feltet med komplekse tal er de irreducerbare faktorer lineære. Over de reelle tal har de graden enten en eller to. Over de heltal og de rationelle tal kan de irreducerbare faktorer have en hvilken som helst grad. For eksempel den faktoriserede form af

${\displaystyle 5x^{3}-5}$

er

${\displaystyle 5(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)}$

over heltal og reals, og

${\displaystyle 5(x-1)\left(x+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1-i{\sqrt { 3}}}{2}}\right)}$

over de komplekse tal.

Beregningen af ​​den faktoriserede form, kaldet faktorisering , er generelt for vanskelig til at udføres ved håndskrevet beregning. Imidlertid er effektive polynomielle faktoriseringsalgoritmer tilgængelige i de fleste computeralgebrasystemer .

Regning

Beregning af afledte og integraler af polynomier er særlig enkel sammenlignet med andre slags funktioner. Den afledte af polynomiet

med hensyn til x er polynomiet Tilsvarende er det generelle antiderivat (eller ubestemt integral) af er ${\displaystyle P}$ hvor c er en vilkårlig konstant. For eksempel har antiderivater af x ² + 1 formen 1/3x ³ + x + c .

For polynomier, hvis koefficienter kommer fra mere abstrakte indstillinger (hvis for eksempel koefficienterne er heltal modulo et eller andet primtal p , eller elementer i en vilkårlig ring), kan formlen for den afledede stadig fortolkes formelt, med koefficienten ka _k forstået som betyder summen af ​​k kopier af en _k . For eksempel, over hele tallene modulo p , er den afledte af polynomiet x ^p + x polynomiet 1 .

Polynomiske funktioner

En polynomiefunktion er en funktion, der kan defineres ved at evaluere et polynomium. Mere præcist er en funktion f af et argument fra et givet domæne en polynomiel funktion, hvis der findes et polynomium

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} }$

der evalueres til for alle x i domænet af f (her er n et ikke-negativt heltal og a ₀ , a ₁ , a ₂ , ..., a _n er konstante koefficienter). Generelt, medmindre andet er angivet, har polynomielle funktioner komplekse koefficienter, argumenter og værdier. Især et polynomium, begrænset til at have reelle koefficienter, definerer en funktion fra de komplekse tal til de komplekse tal. Hvis denne funktions domæne også er begrænset til reelle værdier, er den resulterende funktion en reel funktion , der kortlægger realer til realer. ${\displaystyle f(x)}$

For eksempel funktionen f , defineret af

${\displaystyle f(x)=x^{3}-x,}$

er en polynomisk funktion af en variabel. Polynomialfunktioner af flere variable er defineret på samme måde ved at bruge polynomier i mere end én ubestemt, som i

${\displaystyle f(x,y)=2x^{3}+4x^{2}y+xy^{5}+y^{2}-7.}$

Ifølge definitionen af ​​polynomielle funktioner kan der være udtryk, der åbenlyst ikke er polynomier, men som alligevel definerer polynomielle funktioner. Et eksempel er udtrykket , som tager de samme værdier som polynomiet på intervallet , og begge udtryk definerer således den samme polynomiefunktion på dette interval. ${\displaystyle \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{2},}$${\displaystyle 1-x^{2}}$${\displaystyle [-1,1]}$

Hver polynomiefunktion er kontinuerlig , glat og hel .

Grafer

En polynomisk funktion i en reel variabel kan repræsenteres af en graf .

• Grafen for nulpolynomiet
  f ( x ) = 0
  er x -aksen.
• Grafen for et grad 0 polynomium
  f ( x ) = a ₀ , hvor a ₀ ≠ 0 ,
  er en vandret linje med y -afskæring a ₀
• Grafen for et grad 1 polynomium (eller lineær funktion)
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x , hvor a ₁ ≠ 0 ,
  er en skrå linje med y -skæring a ₀ og hældning a ₁ .
• Grafen for et grad 2 polynomium
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² , hvor a ₂ ≠ 0
  er en parabel .
• Grafen for et grad 3 polynomium
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + a ₃ x ³ , hvor a ₃ ≠ 0
  er en kubisk kurve .
• Grafen for et hvilket som helst polynomium med grad 2 eller højere
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + ⋯ + a _n x ⁿ , hvor a _n ≠ 0 og n ≥ 2
  er en kontinuerlig ikke-lineær kurve.

En ikke-konstant polynomiefunktion har en tendens til uendelig , når variablen stiger uendeligt (i absolut værdi ). Hvis graden er højere end én, har grafen ingen asymptote . Den har to parabolske grene med lodret retning (en gren for positiv x og en for negativ x ).

Polynomiale grafer analyseres i calculus ved hjælp af skæringer, hældninger, konkavitet og endeadfærd.

Ligninger

En polynomeligning , også kaldet en algebraisk ligning , er en ligning på formen

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} =0.}$

For eksempel,

${\displaystyle 3x^{2}+4x-5=0}$

er en polynomialligning.

Når man betragter ligninger, kaldes de ubestemte (variabler) af polynomier også ukendte , og løsningerne er de mulige værdier af de ukendte, for hvilke ligheden er sand (generelt kan der eksistere mere end én løsning). En polynomielligning står i modsætning til en polynomieidentitet som ( x + y ) ( x − y ) = x ² − y ² , hvor begge udtryk repræsenterer det samme polynomium i forskellige former, og som følge heraf giver enhver evaluering af begge medlemmer en gyldig ligestilling.

I elementær algebra læres metoder som den kvadratiske formel til at løse alle førstegrads- og andengradspolynomieligninger i en variabel. Der er også formler for kubik- og kvartsligningerne . For højere grader hævder Abel-Ruffini-sætningen , at der ikke kan eksistere en generel formel i radikaler. Dog kan rodfindende algoritmer bruges til at finde numeriske tilnærmelser af rødderne af et polynomielt udtryk af enhver grad.

Antallet af løsninger af en polynomialligning med reelle koefficienter må ikke overstige graden, og er lig med graden, når de komplekse løsninger tælles med deres multiplicitet . Dette faktum kaldes algebras grundlæggende sætning .

Løsning af ligninger

En rod af et ikke-nul univariat polynomium P er en værdi a af x , således at P ( a ) = 0 . Med andre ord er en rod af P en løsning af polynomialligningen P ( x ) = 0 eller et nul af polynomiefunktionen defineret af P . I tilfældet med nulpolynomiet er hvert tal blandt andet nul for den tilsvarende funktion, og begrebet rod bliver sjældent overvejet.

Et tal a er en rod af et polynomium P , hvis og kun hvis det lineære polynomium x − a deler P , det vil sige, hvis der er et andet polynomium Q , således at P = ( x − a ) Q . Det kan ske, at en potens (større end 1 ) af x − a deler P ; i dette tilfælde er a en multipelrod af P , og ellers er a simpel rod af P . Hvis P er et polynomium, der ikke er nul, er der en højeste potens m , således at ( x − a ) ^m deler P , hvilket kaldes multipliciteten af ​​a som en rod af P . Antallet af rødder af et polynomium P , der ikke er nul, tællet med deres respektive multipliciteter, kan ikke overstige graden af ​​P , og er lig med denne grad, hvis alle komplekse rødder tages i betragtning (dette er en konsekvens af algebras grundlæggende sætning . Koefficienterne for et polynomium og dets rødder er forbundet med Vietas formler .

Nogle polynomier, såsom x ² + 1 , har ingen rødder blandt de reelle tal . Hvis mængden af ​​accepterede løsninger dog udvides til de komplekse tal , har hvert ikke-konstant polynomium mindst én rod; dette er algebras grundlæggende sætning . Ved successivt at uddele faktorer x − a , ser man, at ethvert polynomium med komplekse koefficienter kan skrives som en konstant (dens ledende koefficient) gange et produkt af sådanne polynomielle faktorer af grad 1; som en konsekvens heraf er antallet af (komplekse) rødder talt med deres multiplicitet nøjagtigt lig med graden af ​​polynomiet.

Der kan være flere betydninger af "at løse en ligning". Man vil måske udtrykke løsningerne som eksplicitte tal; for eksempel er den unikke løsning af 2 x − 1 = 0 1/2 . Desværre er dette generelt umuligt for ligninger af grad større end én, og siden oldtiden har matematikere søgt at udtrykke løsningerne som algebraisk udtryk ; for eksempel er det gyldne snit den unikke positive løsning af I oldtiden lykkedes det kun for grad et og to. For andengradsligninger giver andengradsformlen sådanne udtryk for løsningerne. Siden 1500-tallet kendes lignende formler (der bruger terningrødder ud over kvadratrødder), men meget mere komplicerede, for ligninger af grad tre og fire (se kubikligning og kvartsligning ). Men formler for grad 5 og højere undgik forskere i flere århundreder. I 1824 beviste Niels Henrik Abel det slående resultat, at der findes ligninger af grad 5, hvis løsninger ikke kan udtrykkes med en (endelig) formel, der kun involverer aritmetiske operationer og radikaler (se Abel-Ruffini-sætningen ). I 1830 beviste Évariste Galois , at de fleste ligninger med grader højere end fire ikke kan løses af radikaler, og viste, at man for hver ligning kan beslutte, om den kan løses af radikaler, og, hvis den er, løse den. Dette resultat markerede starten på Galois teori og gruppeteori , to vigtige grene af moderne algebra . Galois bemærkede selv, at de beregninger, som hans metode indebar, var upraktiske. Ikke desto mindre er formler for løsbare ligninger af grad 5 og 6 blevet publiceret (se kvintisk funktion og sextisk ligning ). ${\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}$${\displaystyle x^{2}-x-1=0.}$

Når der ikke er noget algebraisk udtryk for rødderne, og når et sådant algebraisk udtryk eksisterer, men er for kompliceret til at være nyttigt, er den unikke måde at løse på at beregne numeriske tilnærmelser af løsningerne. Det er der mange metoder til; nogle er begrænset til polynomier og andre kan gælde for enhver kontinuerlig funktion . De mest effektive algoritmer tillader let (på en computer ) at løse polynomialligninger med grader højere end 1.000 (se Rodfindingsalgoritme ).

For polynomier i mere end én ubestemmelig, kaldes kombinationerne af værdier for de variable, for hvilke polynomiefunktionen tager værdien nul, generelt nuller i stedet for "rødder". Studiet af sæt af nuller af polynomier er genstand for algebraisk geometri . For et sæt polynomiumligninger i flere ukendte er der algoritmer til at afgøre, om de har et endeligt antal komplekse løsninger, og, hvis dette tal er endeligt, til at beregne løsningerne. Se System af polynomialligninger .

Det specielle tilfælde, hvor alle polynomier er af grad et, kaldes et system af lineære ligninger , for hvilke der findes en anden række forskellige løsningsmetoder , herunder den klassiske Gauss-eliminering .

En polynomielligning, som man kun er interesseret i løsningerne, som er heltal , kaldes en diophantisk ligning . At løse diophantiske ligninger er generelt en meget svær opgave. Det er blevet bevist, at der ikke kan være nogen generel algoritme til at løse dem, og endda til at afgøre, om mængden af ​​løsninger er tom (se Hilberts tiende problem ). Nogle af de mest berømte problemer, der er blevet løst i løbet af de sidste halvtreds år, er relateret til diofantiske ligninger, såsom Fermats sidste sætning .

Generaliseringer

Der er flere generaliseringer af begrebet polynomier.

Trigonometriske polynomier

Et trigonometrisk polynomium er en endelig lineær kombination af funktionerne sin( nx ) og cos( nx ), hvor n antager værdierne af et eller flere naturlige tal . Koefficienterne kan tages som reelle tal for funktioner med reel værdi.

Hvis sin( nx ) og cos( nx ) udvides i form af sin( x ) og cos( x ), bliver et trigonometrisk polynomium et polynomium i de to variable sin( x ) og cos( x ) (ved hjælp af Liste over trigonometriske identiteter ) #Formler med flere vinkler ). Omvendt kan hvert polynomium i sin( x ) og cos( x ) konverteres med produkt-til-sum identiteter til en lineær kombination af funktionerne sin( nx ) og cos( nx ). Denne ækvivalens forklarer, hvorfor lineære kombinationer kaldes polynomier.

For komplekse koefficienter er der ingen forskel mellem en sådan funktion og en endelig Fourierrække .

Trigonometriske polynomier er meget udbredt, for eksempel i trigonometrisk interpolation anvendt til interpolation af periodiske funktioner . De bruges også i den diskrete Fourier-transformation .

Matrix polynomier

Et matrixpolynomium er et polynomium med kvadratiske matricer som variable. Givet et almindeligt, skalarvurderet polynomium

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{ 2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$

dette polynomium vurderet ved en matrix A er

${\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^ {2}+\cdots +a_{n}A^{n},}$

hvor I er identitetsmatrixen .

En matrixpolynomialligning er en lighed mellem to matrixpolynomier, som gælder for de pågældende specifikke matricer. En matrixpolynomiel identitet er en matrixpolynomielligning, som gælder for alle matricer A i en specificeret matrixring Mn ₍ R ) .

Laurents polynomier

Laurent-polynomier er ligesom polynomier, men tillader negative potenser af variablen/variablerne at forekomme.

Rationelle funktioner

En rationel brøk er kvotienten ( algebraisk brøk ) af to polynomier. Ethvert algebraisk udtryk , der kan omskrives som en rationel brøk, er en rationel funktion .

Mens polynomiefunktioner er defineret for alle værdier af variablerne, er en rationel funktion kun defineret for værdierne af de variable, for hvilke nævneren ikke er nul.

De rationelle brøker inkluderer Laurent-polynomier, men begrænser ikke nævnere til potenser af en ubestemt.

Power serie

Formelle potensrækker er som polynomier, men tillader uendeligt mange ikke-nul-led at forekomme, så de ikke har en endelig grad. I modsætning til polynomier kan de generelt ikke skrives eksplicit og fuldstændigt ned (ligesom irrationelle tal ikke kan), men reglerne for at manipulere deres termer er de samme som for polynomier. Ikke-formelle potensrækker generaliserer også polynomier, men multiplikationen af ​​to potensrækker konvergerer muligvis ikke.

Andre eksempler

Et bivariat polynomium, hvor den anden variabel er substitueret med en eksponentiel funktion anvendt på den første variabel, for eksempel P ( x , e ^x ) , kan kaldes et eksponentielt polynomium .

Polynomial ring

Et polynomium f over en kommutativ ring R er et polynomium, hvis koefficienter hører til R . Det er ligetil at verificere, at polynomierne i et givet sæt af indeterminates over R danner en kommutativ ring, kaldet polynomialringen i disse indeterminates, angivet i det univariate tilfælde og i det multivariate tilfælde. ${\displaystyle R[x]}$${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

Man har

${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]=\left(R[x_{1},\ldots,x_{n-1}]\right)[x_{n}].}$

Så det meste af teorien om det multivariate tilfælde kan reduceres til et itereret univariat tilfælde.

Kortet fra R til R [ x ] , der sender r til sig selv betragtet som et konstant polynomium , er en injektiv ringhomomorfi , hvor R ses som en underring af R [ x ] . Især R [ x ] er en algebra over R.

Man kan tænke på ringen R [ x ] som opstået af R ved at tilføje et nyt element x til R , og på en minimal måde udvides til en ring, hvor x ikke opfylder andre relationer end de obligatoriske, plus kommutering med alle elementer af R (det vil sige xr = rx ). For at gøre dette skal man tilføje alle potenser af x og deres lineære kombinationer også.

Dannelse af polynomialringen, sammen med dannelse af faktorringe ved at faktorisere idealer , er vigtige værktøjer til at konstruere nye ringe ud af kendte. For eksempel ringen (faktisk felt) af komplekse tal, som kan konstrueres ud fra polynomiets ring R [ x ] over de reelle tal ved at faktorisere idealet af multipla af polynomiet x ² + 1 . Et andet eksempel er konstruktionen af ​​endelige felter , som forløber på samme måde, idet man starter med feltet af heltal modulo et eller andet primtal som koefficientringen R (se modulær aritmetik ).

Hvis R er kommutativ, så kan man til hvert polynomium P i R [ x ] associere en polynomiefunktion f med domæne og område lig med R . (Mere generelt kan man tage domæne og område for at være en hvilken som helst samme unital associativ algebra over R .) Man opnår værdien f ( r ) ved at erstatte værdien r med symbolet x i P . En grund til at skelne mellem polynomier og polynomiefunktioner er, at forskellige polynomier over nogle ringe kan give anledning til den samme polynomiefunktion (se Fermats lille sætning for et eksempel, hvor R er de heltal modulo p ). Dette er ikke tilfældet, når R er de reelle eller komplekse tal, hvorfra de to begreber ikke altid skelnes i analysen . En endnu vigtigere grund til at skelne mellem polynomier og polynomier er, at mange operationer på polynomier (som euklidisk division ) kræver, at man ser på, hvad et polynomium er sammensat af som et udtryk i stedet for at vurdere det til en eller anden konstant værdi for x .

Delbarhed

Hvis R er et integraldomæne, og f og g er polynomier i R [ x ] , siges det, at f deler g , eller f er en divisor af g , hvis der findes et polynomium q i R [ x ] , således at f q = g . Hvis så er a en rod af f hvis og deler kun f . I dette tilfælde kan kvotienten beregnes ved hjælp af polynomiets lange division . ${\displaystyle a\in R,}$${\displaystyle xa}$

Hvis F er et felt, og f og g er polynomier i F [ x ] med g ≠ 0 , så eksisterer der unikke polynomier q og r i F [ x ] med

${\displaystyle f=q\,g+r}$

og sådan, at graden af ​​r er mindre end graden af ​​g (ved at bruge konventionen om, at polynomiet 0 har en negativ grad). Polynomierne q og r er entydigt bestemt af f og g . Dette kaldes euklidisk division , division med rest eller polynomiel lang division og viser, at ringen F [ x ] er et euklidisk domæne .

Analogt kan prime polynomier (mere korrekt, irreducible polynomier ) defineres som polynomier, der ikke er nul, og som ikke kan faktoriseres til produktet af to ikke-konstante polynomier . I tilfælde af koefficienter i en ring skal "ikke-konstant" erstattes af "ikke-konstant eller ikke- enhed " (begge definitioner stemmer overens i tilfælde af koefficienter i et felt). Ethvert polynomium kan dekomponeres til produktet af en inverterbar konstant af et produkt af irreducerbare polynomier. Hvis koefficienterne tilhører et felt eller et unikt faktoriseringsdomæne, er denne dekomponering unik op til rækkefølgen af ​​faktorerne og multiplikationen af ​​enhver ikke-enhedsfaktor med en enhed (og division af enhedsfaktoren med den samme enhed). Når koefficienterne tilhører heltal, rationale tal eller et endeligt felt, er der algoritmer til at teste irreducerbarhed og til at beregne faktoriseringen til irreducerbare polynomier (se Faktorisering af polynomier ). Disse algoritmer er ikke praktisk anvendelige til håndskrevne beregninger, men er tilgængelige i ethvert computeralgebrasystem . Eisensteins kriterium kan også bruges i nogle tilfælde til at bestemme irreducerbarhed.

Ansøgninger

Positionsnotation

I moderne positionstalsystemer, såsom decimalsystemet , er cifrene og deres positioner i repræsentationen af ​​et heltal, for eksempel 45, en stenografi for et polynomium i radixen eller grundtallet, i dette tilfælde 4 × 10 ¹ + 5 × 10 ⁰ . Som et andet eksempel, i radix 5, angiver en række af cifre såsom 132 (decimal)tallet 1 × 5 ² + 3 × 5 ¹ + 2 × 5 ⁰ = 42. Denne repræsentation er unik. Lad b være et positivt heltal større end 1. Så kan hvert positivt heltal a udtrykkes entydigt i formen

${\displaystyle a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},}$

hvor m er et ikke-negativt heltal, og r'erne er heltal, således at

0 < r _m < b og 0 ≤ ri < _b for i = 0, 1, . . . , m − 1 .

Interpolation og tilnærmelse

Den simple struktur af polynomielle funktioner gør dem ret nyttige til at analysere generelle funktioner ved hjælp af polynomielle tilnærmelser. Et vigtigt eksempel i calculus er Taylors sætning , som groft sagt siger, at hver differentierbar funktion lokalt ligner en polynomiefunktion, og Stone-Weierstrass-sætningen , som siger, at enhver kontinuert funktion defineret på et kompakt interval af den reelle akse kan tilnærmes på hele interval så tæt som ønsket af en polynomiel funktion. Praktiske metoder til tilnærmelse omfatter polynomiel interpolation og brugen af ​​splines .

Andre applikationer

Polynomier bruges ofte til at kode information om et andet objekt. Det karakteristiske polynomium for en matrix eller lineær operator indeholder information om operatorens egenværdier . Det minimale polynomium af et algebraisk element registrerer den enkleste algebraiske relation, som dette element opfylder. Det kromatiske polynomium i en graf tæller antallet af korrekte farver på denne graf.

Udtrykket "polynomium", som et adjektiv, kan også bruges om mængder eller funktioner, der kan skrives i polynomium. For eksempel betyder udtrykket polynomiel tid i beregningsmæssig kompleksitetsteori , at den tid, det tager at færdiggøre en algoritme , er afgrænset af en polynomiel funktion af en eller anden variabel, såsom størrelsen af ​​input.

Historie

Bestemmelse af rødderne af polynomier, eller "løsning af algebraiske ligninger", er blandt de ældste problemer i matematik. Den elegante og praktiske notation, vi bruger i dag, udviklede sig dog først i det 15. århundrede. Før det blev ligninger skrevet ud i ord. For eksempel begynder et algebraproblem fra den kinesiske aritmetik i ni sektioner , omkring 200 fvt. "Tre bunker med god afgrøde, to bunker med middelmådig afgrøde og en bunke dårlig afgrøde sælges for 29 dou." Vi ville skrive 3 x + 2 y + z = 29 .

Notationens historie

Den tidligst kendte brug af lighedstegnet er i Robert Recordes The Whetstone of Witte , 1557. Tegnene + for addition, − til subtraktion, og brugen af ​​et bogstav for en ukendt optræder i Michael Stifels Arithemetica integra , 1544 René Descartes , i La géometrie , 1637, introducerede begrebet grafen for en polynomialligning. Han populariserede brugen af ​​bogstaver fra begyndelsen af ​​alfabetet til at betegne konstanter og bogstaver fra slutningen af ​​alfabetet for at betegne variable, som det kan ses ovenfor, i den generelle formel for et polynomium i én variabel, hvor a'erne angiver konstanter og x angiver en variabel. Descartes introducerede brugen af ​​superscripts til at betegne eksponenter også.

Se også

• Liste over polynomiske emner

Noter

Referencer

eksterne links

• "Polynomial" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• "Eulers undersøgelser af ligningernes rødder" . Arkiveret fra originalen den 24. september 2012.