Parabel - Parabola

I matematik er en parabel en plan kurve, der er spejlsymmetrisk og er omtrent U- formet . Det passer til flere overfladisk forskellige matematiske beskrivelser, som alle kan bevises at definere nøjagtig de samme kurver.

En beskrivelse af en parabel indebærer et punkt ( fokus ) og en linje ( directrix ). Fokus ligger ikke på directrix. Parabolen er stedet for punkter i det plan, der er lige langt fra både directrix og fokus. En anden beskrivelse af en parabel er som en keglesnit , skabt fra skæringspunktet mellem en højre cirkulær konisk overflade og et plan parallelt med et andet plan, der er tangential til den koniske overflade.

Linjen vinkelret på directrix og passerer gennem fokus (det vil sige linjen, der deler parabolen gennem midten) kaldes "symmetriaksen". Det punkt, hvor parabolen skærer sin symmetriakse, kaldes " toppunktet " og er det punkt, hvor parabolen er mest skarpt buet. Afstanden mellem toppunktet og fokus, målt langs symmetriaksen, er "brændvidden". " Latus rectum " er akkorden i parabolen, der er parallel med directrixen og passerer gennem fokus. Paraboler kan åbne op, ned, venstre, højre eller i en anden vilkårlig retning. Enhver parabel kan omplaceres og ændres til at passe nøjagtigt til enhver anden parabel - det vil sige, at alle paroler er geometrisk ens .

Paraboler har den egenskab, at hvis de er lavet af materiale, der reflekterer lys , reflekteres lys , der bevæger sig parallelt med symmetriaksen for en parabel og rammer den konkave side til dets fokus, uanset hvor på parabolen refleksionen forekommer. Omvendt reflekteres lys, der stammer fra en punktkilde ved fokus, til en parallel (" kollimeret ") stråle, hvilket efterlader parabolen parallelt med symmetriaksen. De samme effekter forekommer med lyd og andre bølger. Denne reflekterende egenskab er grundlaget for mange praktiske anvendelser af paraboler.

Parabolen har mange vigtige anvendelser, lige fra en parabolsk antenne eller parabolsk mikrofon til billygtereflektorer og design af ballistiske missiler . Det bruges ofte inden for fysik , teknik og mange andre områder.

Historie

Det tidligste kendte værk om keglesnit var af Menaechmus i det 4. århundrede f.Kr. Han opdagede en måde at løse problemet med at fordoble terningen ved hjælp af paraboler. (Løsningen opfylder imidlertid ikke kravene til kompas-og-opretningskonstruktion .) Området omgivet af en parabel og et linjesegment, det såkaldte "parabel segment", blev beregnet af Archimedes ved udmattelsesmetoden i det 3. århundrede f.Kr., i hans The Quadrature of the Parabola . Navnet "parabel" skyldes Apollonius , der opdagede mange egenskaber ved keglesnit. Det betyder "anvendelse", der henviser til "anvendelse af områder" -begrebet, der har en forbindelse med denne kurve, som Apollonius havde bevist. Fokus -directrix -egenskaben ved parabolen og andre keglesnit skyldes Pappus .

Galileo viste, at et projektils vej følger en parabel, en konsekvens af ensartet acceleration på grund af tyngdekraften.

Ideen om, at en parabolsk reflektor kunne producere et billede, var allerede velkendt før opfindelsen af ​​det reflekterende teleskop . Design blev foreslået i begyndelsen til midten af ​​1600-tallet af mange matematikere , herunder René Descartes , Marin Mersenne og James Gregory . Da Isaac Newton byggede det første reflekterende teleskop i 1668, sprang han over med et parabolsk spejl på grund af fremstillingsbesværet og valgte et sfærisk spejl . Paraboliske spejle bruges i de fleste moderne reflekterende teleskoper og i parabolantenner og radarmodtagere .

Definition som et locus af punkter

En parabel kan defineres geometrisk som et sæt punkter ( locus af punkter ) i det euklidiske plan:

• En parabel er et sæt punkter, således at afstanden til et fast punkt , fokus , for ethvert punkt i sættet er lig med afstanden til en fast linje , directrix :${\ displaystyle P}$${\ displaystyle | PF |}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle | Pl |}$${\ displaystyle l}$

${\ displaystyle \ {P: | PF | = | Pl | \}.}$

Midtpunktet for det vinkelrette fra fokus til directrix kaldes vertex , og linjen er parabolens symmetriakse . ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle FV}$

I et kartesisk koordinatsystem

Symmetriakse parallelt med y -aksen

Hvis man introducerer kartesiske koordinater , sådan at og directrixen har ligningen , opnår man for et punkt fra ligningen . Løsning for udbytter ${\ displaystyle F = (0, f), \ f> 0,}$${\ displaystyle y = -f}$${\ displaystyle P = (x, y)}$${\ displaystyle | PF |^{2} = | Pl |^{2}}$${\ displaystyle x^{2}+(yf)^{2} = (y+f)^{2}}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle y = {\ frac {1} {4f}} x^{2}.}$

Denne parabel er U-formet ( åbning til toppen ).

Den vandrette akkord gennem fokus (se billede i åbningsafsnittet) kaldes latus rectum ; den ene halvdel er semi-latus rectum . Latus rectum er parallel med directrix. Semi-latus rectum er angivet med brevet . Fra billedet opnår man ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle p = 2f.}$

Latus rectum er defineret på samme måde for de to andre kegler - ellipsen og hyperbolen. Latus rectum er linjen trukket gennem et fokus i et keglesnit parallelt med directrixen og afsluttes begge veje af kurven. Under alle omstændigheder er radius af den osculerende cirkel ved toppunktet. For en parabel, semi-latus rectum,, er fokusens afstand fra directrix. Ved hjælp af parameteren kan parabelens ligning omskrives som ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle x^{2} = 2py.}$

Mere generelt, hvis toppunktet er , fokus og directrix , opnår man ligningen ${\ displaystyle V = (v_ {1}, v_ {2})}$${\ displaystyle F = (v_ {1}, v_ {2}+f)}$${\ displaystyle y = v_ {2} -f}$

${\ displaystyle y = {\ frac {1} {4f}} (x-v_ {1})^{2}+v_ {2} = {\ frac {1} {4f}} x^{2}-{ \ frac {v_ {1}} {2f}} x+{\ frac {v_ {1}^{2}} {4f}}+v_ {2}.}$

Bemærkninger

1. I tilfælde af parabel har en åbning nedad.${\ displaystyle f <0}$
2. Formodningen om at aksen er parallel med y -aksen gør det muligt at betragte en parabel som grafen for et polynom af grad 2, og omvendt: grafen for et vilkårligt polynom af grad 2 er en parabel (se næste afsnit).
3. Hvis man udveksler og , opnår man ligninger af formen . Disse paraboler åbner til venstre (hvis ) eller til højre (hvis ).${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y^{2} = 2px}$${\ displaystyle p <0}$${\ displaystyle p> 0}$

Generel holdning

Hvis fokus er , og directrix , så opnår man ligningen ${\ displaystyle F = (f_ {1}, f_ {2})}$${\ displaystyle ax+by+c = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {(ax+by+c)^{2}} {a^{2}+b^{2}}} = (x-f_ {1})^{2}+(y- f_ {2})^{2}}$

(venstre side af ligningen bruger Hesse normal form for en linje til at beregne afstanden ). ${\ displaystyle | Pl |}$

For en parametrisk ligning af en parabel i generel position se § Som affinitetsbilledet af enhedens parabel .

Den implicitte ligning af en parabel er defineret af et ureducerbart polynom af grad to:

${\ displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f = 0,}$

sådan eller tilsvarende, sådan at det er kvadratet af et lineært polynom . ${\ displaystyle b^{2} -4ac = 0,}$${\ displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

Som en graf over en funktion

Det foregående afsnit viser, at enhver parabel med oprindelsen som toppunkt og y -aksen som symmetriakse kan betragtes som grafen for en funktion

${\ displaystyle f (x) = ax^{2} {\ tekst {med}} a \ neq 0.}$

For parabolerne åbner til toppen, og for åbner til bunden (se billede). Fra afsnittet ovenfor opnår man: ${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle a <0}$

• Den fokus er ,${\ displaystyle \ venstre (0, {\ frac {1} {4a}} \ højre)}$
• den brændvidde , den semi-latus rectum er ,${\ displaystyle {\ frac {1} {4a}}}$${\ displaystyle p = {\ frac {1} {2a}}}$
• den toppunktet er ,${\ displaystyle (0,0)}$
• den ledelinjen har ligningen ,${\ displaystyle y =-{\ frac {1} {4a}}}$
• den tangent ved punkt har ligningen .${\ displaystyle (x_ {0}, ax_ {0}^{2})}$${\ displaystyle y = 2ax_ {0} x-ax_ {0}^{2}}$

For parabolen er enhedsparabolen med ligning . Dens fokus er semi-latus rectum , og directrix har ligningen . ${\ displaystyle a = 1}$${\ displaystyle y = x^{2}}$${\ displaystyle \ venstre (0, {\ tfrac {1} {4}} \ højre)}$${\ displaystyle p = {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle y =-{\ tfrac {1} {4}}}$

Den generelle funktion af grad 2 er

${\ displaystyle f (x) = ax^{2}+bx+c {\ tekst {med}} a, b, c \ i \ mathbb {R}, \ a \ neq 0}$.

Afslutning af firkantede udbytter

${\ displaystyle f (x) = a \ venstre (x+{\ frac {b} {2a}} \ højre)^{2}+{\ frac {4ac-b^{2}} {4a}},}$

som er ligningen af ​​en parabel med

• aksen (parallelt med y -aksen),${\ displaystyle x =-{\ frac {b} {2a}}}$
• den brændvidde , den semi-latus rectum ,${\ displaystyle {\ frac {1} {4a}}}$ ${\ displaystyle p = {\ frac {1} {2a}}}$
• den toppunkt ,${\ displaystyle V = \ venstre (-{\ frac {b} {2a}}, {\ frac {4ac-b^{2}} {4a}} \ højre)}$
• den fokus ,${\ displaystyle F = \ left (-{\ frac {b} {2a}}, {\ frac {4ac-b^{2} +1} {4a}} \ right)}$
• den directrix ,${\ displaystyle y = {\ frac {4ac-b^{2} -1} {4a}}}$
• punktet på parabolen, der skærer y -aksen, har koordinater ,${\ displaystyle (0, c)}$
• den tangent ved et punkt på y -aksen har ligningen .${\ displaystyle y = bx+c}$

Lighed med enhedens parabel

To objekter i det euklidiske plan er ens, hvis den ene kan transformeres til den anden ved en lighed , det vil sige en vilkårlig sammensætning af stive bevægelser ( oversættelser og rotationer ) og ensartede skaleringer .

En parabel med toppunkt kan transformeres ved oversættelsen til en med oprindelsen som toppunkt. En passende rotation omkring oprindelsen kan derefter transformere parabolen til en, der har y -aksen som symmetriakse. Derfor kan parabolen transformeres ved en stiv bevægelse til en parabel med en ligning . En sådan parabel kan derefter transformeres ved ensartet skalering til enhedsparabolen med ligning . Enhver parabel kan således kortlægges til enhedens parabel ved en lighed. ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle V = (v_ {1}, v_ {2})}$${\ displaystyle (x, y) \ to (x-v_ {1}, y-v_ {2})}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle y = ax^{2}, \ a \ neq 0}$ ${\ displaystyle (x, y) \ to (ax, ay)}$${\ displaystyle y = x^{2}}$

En syntetisk tilgang, der bruger lignende trekanter, kan også bruges til at fastslå dette resultat.

Det generelle resultat er, at to keglesnit (nødvendigvis af samme type) er ens, hvis og kun hvis de har samme excentricitet. Derfor er det kun cirkler (der alle har excentricitet 0), der deler denne ejendom med paraboler (alle med excentricitet 1), mens generelle ellipser og hyperboler ikke gør det.

Der er andre enkle affinetransformationer, der kortlægger parabolen på enhedens parabel, som f.eks . Men denne kortlægning er ikke en lighed, og viser kun, at alle paraboler er affinielt ækvivalente (se § Som det affine billede af enhedsparabolen ). ${\ displaystyle y = ax^{2}}$${\ displaystyle (x, y) \ til \ venstre (x, {\ tfrac {y} {a}} \ højre)}$

Som en særlig keglesnit

Den blyant af keglesnit med x kernepunkt som symmetriakse, en vinkelspids på oprindelsen (0, 0) og den samme semi-latus rectum kan repræsenteres ved ligningen ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle y^{2} = 2px+(e^{2} -1) x^{2}, \ quad e \ geq 0,}$

med den excentricitet . ${\ displaystyle e}$

• For keglen er en cirkel (blyantens osculerende cirkel),${\ displaystyle e = 0}$
• for en ellipse ,${\ displaystyle 0 <e <1}$
• for den parabel med ligningen${\ displaystyle e = 1}$${\ displaystyle y^{2} = 2px,}$
• for en hyperbola (se billede).${\ displaystyle e> 1}$

I polære koordinater

Hvis p > 0 , har parabolen med ligning (åbning til højre) den polære repræsentation ${\ displaystyle y^{2} = 2px}$

${\ displaystyle r = 2p {\ frac {\ cos \ varphi} {\ sin ^{2} \ varphi}}, \ quad \ varphi \ in \ left [-{\ tfrac {\ pi} {2}}, { \ tfrac {\ pi} {2}} \ right] \ setminus \ {0 \}}$

( ).${\ displaystyle r^{2} = x^{2}+y^{2}, \ x = r \ cos \ varphi}$

Dens toppunkt er , og dens fokus er . ${\ displaystyle V = (0,0)}$${\ displaystyle F = \ venstre ({\ tfrac {p} {2}}, 0 \ højre)}$

Hvis man flytter oprindelsen til fokus, det vil sige , man opnår ligningen ${\ displaystyle F = (0,0)}$

${\ displaystyle r = {\ frac {p} {1- \ cos \ varphi}}, \ quad \ varphi \ neq 2 \ pi k.}$

Bemærkning 1: Invertering af denne polære form viser, at en parabel er invers af et kardioid .

Bemærkning 2: Den anden polarform er et specielt tilfælde af en keglepen med fokus (se billede): ${\ displaystyle F = (0,0)}$

${\ displaystyle r = {\ frac {p} {1-e \ cos \ varphi}}}$( er excentriciteten).${\ displaystyle e}$

Keglesnit og kvadratisk form

Diagram, beskrivelse og definitioner

Diagrammet repræsenterer en kegle med sin akse AV . Punkt A er dets spids . Et skråt tværsnit af keglen, vist med pink, skråner fra aksen med den samme vinkel θ , som siden af ​​keglen. Ifølge definitionen af ​​en parabel som en keglesnit er grænsen for dette lyserøde tværsnit EPD en parabel.

Et tværsnit vinkelret på keglens akse passerer gennem parabelens toppunkt P. Dette tværsnit er cirkulært, men ser elliptisk ud, når det ses skråt, som det er vist i diagrammet. Dens centrum er V, og PK er en diameter. Vi vil kalde dens radius  r .

En anden vinkelret på aksens, cirkulære tværsnit af keglen er længere fra spidsen A end den netop beskrevne. Den har en akkord DE , som forbinder de punkter, hvor parabolen skærer cirklen. En anden akkord BC er den midtnormal af DE og er følgelig en diameter af cirklen. Disse to akkorder og parabelens symmetriakse PM skærer alle i punktet M.

Alle de mærkede punkter, undtagen D og E, er koplanære . De er i symmetriplanet for hele figuren. Dette inkluderer punkt F, som ikke er nævnt ovenfor. Det defineres og diskuteres nedenfor i § Fokusposition .

Lad os kalde længden af DM og EM x og længden af PM  y .

Afledning af kvadratisk ligning

BM og CM 's længder er:

${\ displaystyle {\ overline {\ mathrm {BM}}} = 2y \ sin \ theta}$ (trekant BPM er ensartet , fordi ),${\ displaystyle {\ overline {PM}} \ parallel {\ overline {AC}} \ indebærer \ vinkel PMB = \ vinkel ACB = \ vinkel ABC}$

${\ displaystyle {\ overline {\ mathrm {CM}}} = 2r}$ (PMCK er et parallelogram ).

Ved hjælp af krydsende akkordsætning på akkorderne BC og DE får vi

${\ displaystyle {\ overline {\ mathrm {BM}}} \ cdot {\ overline {\ mathrm {CM}}} = {\ overline {\ mathrm {DM}}} \ cdot {\ overline {\ mathrm {EM} }}.}$

Erstatter:

${\ displaystyle 4ry \ sin \ theta = x^{2}.}$

Omarrangering:

${\ displaystyle y = {\ frac {x^{2}} {4r \ sin \ theta}}.}$

For en given kegle og parabel er r og θ konstanter, men x og y er variabler, der afhænger af den vilkårlige højde, ved hvilken det vandrette tværsnit BECD laves. Denne sidste ligning viser forholdet mellem disse variabler. De kan tolkes som kartesiske koordinater for punkterne D og E, i et system i det lyserøde plan med P som oprindelse. Da x er kvadreret i ligningen, er det vigtigt , at D og E er på hver sin side af y -aksen. Hvis det vandrette tværsnit bevæger sig op eller ned, mod eller væk fra spidsen af ​​keglen, bevæger D og E sig langs parabolen og bevarer altid forholdet mellem x og y vist i ligningen. Den parabolske kurve er derfor stedet for punkter, hvor ligningen er opfyldt, hvilket gør den til en kartesisk graf over den kvadratiske funktion i ligningen.

Brændvidde

Det er bevist i et foregående afsnit, at hvis en parabel har sit toppunkt ved oprindelsen, og hvis den åbner i den positive y -retning, så er ligningen y = x ²/4 f, hvor f er dens brændvidde. At sammenligne dette med den sidste ligning ovenfor viser, at brændvidden for parabolen i keglen er r sin θ .

Placering af fokus

I diagrammet ovenfor er punktet V fodens vinkelret fra parabelens toppunkt til keglens akse. Punktet F er foden af ​​vinkelret fra punktet V til parabelens plan. Ved symmetri er F på parabelens symmetriakse. Vinkel VPF er komplementær til θ , og vinkel PVF er komplementær til vinkel VPF, derfor er vinkel PVF θ . Da længden af PV er r , er afstanden af ​​F fra toppunktet på parabolen r sin θ . Det er vist ovenfor, at denne afstand svarer til parabolens brændvidde, som er afstanden fra toppunktet til fokus. Fokus og punktet F er derfor lige langt fra toppunktet langs den samme linje, hvilket indebærer, at de er det samme punkt. Derfor er punktet F, defineret ovenfor, parabolens fokus .

Denne diskussion startede fra definitionen af ​​en parabel som en keglesnit, men den har nu ført til en beskrivelse som en graf over en kvadratisk funktion. Dette viser, at disse to beskrivelser er ækvivalente. De definerer begge kurver med nøjagtig samme form.

Alternativt bevis med Dandelin -kugler

Et alternativt bevis kan udføres ved hjælp af Dandelin -kugler . Det fungerer uden beregning og bruger kun elementære geometriske overvejelser (se afledningen nedenfor).

Skæringspunktet mellem en opretstående kegle af et plan , hvis hældning fra lodret er det samme som en generatrix (alias generatorlinje, en linje, der indeholder spidsen og et punkt på kegleoverfladen) af keglen, er en parabel (rød kurve i diagram). ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle m_ {0}}$

Denne generatrix er den eneste generatrix af keglen, der er parallel med planet . Hvis der ellers er to generatricer parallelt med det skærende plan, vil skæringskurven være en hyperbola (eller degenereret hyperbola , hvis de to generatorer er i skæringsplanet). Hvis der ikke er nogen generatrix parallelt med det skærende plan, vil skæringskurven være en ellipse eller en cirkel (eller et punkt ). ${\ displaystyle m_ {0}}$${\ displaystyle \ pi}$

Lad planet være det plan, der indeholder keglens og linjens lodrette akse . Hældningen af flyet fra lodret er den samme som linje betyder, at, set fra siden (dvs. planet er vinkelret på planet ), . ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle m_ {0}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle m_ {0}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle m_ {0} \ parallel \ pi}$

For at bevise en parabols Directrix -egenskab (se § Definition som et punkt af punkter ovenfor) bruger man en Dandelin -kugle , som er en kugle, der rører keglen langs en cirkel og et plan ved punktet . Flyet, der indeholder cirklen, skærer med planet ved linjen . Der er en spejlsymmetri i systemet, der består af plan , Dandelin -kugle og keglen ( symmetriplanet er ). ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ sigma}$

Da planet, der indeholder cirklen, er vinkelret på planet , og skal deres skæringslinje også være vinkelret på planet . Da linje er i plan , . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ pi \ perp \ sigma}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle m_ {0}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle l \ perp m_ {0}}$

Det viser sig, at det er fokus for parabolen, og det er parabolens directrix . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle l}$

1. Lad være et vilkårligt punkt i skæringskurven.${\ displaystyle P}$
2. Den frembringer af keglen indeholder skærer cirkel på punkt .${\ displaystyle P}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle A}$
3. Linjesegmenterne og er tangentielle til kuglen og er derfor lige lange.${\ displaystyle {\ overline {PF}}}$${\ displaystyle {\ overline {PA}}}$${\ displaystyle d}$
4. Generatrix skærer cirklen på et punkt . Linjesegmenterne og er tangentielle til kuglen og er derfor lige lange.${\ displaystyle m_ {0}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle {\ overline {ZD}}}$${\ displaystyle {\ overline {ZA}}}$${\ displaystyle d}$
5. Lad linjen være linjen parallel til og passerer gennem punkt . Da , og punkt er i plan , skal linjen være i plan . Siden ved vi det også.${\ displaystyle q}$${\ displaystyle m_ {0}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle m_ {0} \ parallel \ pi}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle m_ {0} \ perp l}$${\ displaystyle q \ perp l}$
6. Lad punkt være foden af ​​den vinkelrette fra punkt til linje , det vil sige et segment af linje , og derfor .${\ displaystyle B}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle {\ overline {PB}}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle {\ overline {PB}} \ parallel {\ overline {ZD}}}$
7. Fra aflytningssætningen, og det ved vi . Siden ved vi det , hvilket betyder, at afstanden fra til fokus er lig med afstanden fra til directrix .${\ displaystyle {\ overline {ZD}} = {\ overline {ZA}}}$${\ displaystyle {\ overline {PA}} = {\ overline {PB}}}$${\ displaystyle {\ overline {PA}} = {\ overline {PF}}}$${\ displaystyle {\ overline {PF}} = {\ overline {PB}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle l}$

Bevis for den reflekterende egenskab

Den reflekterende egenskab angiver, at hvis en parabel kan reflektere lys, reflekteres lys, der kommer ind i det, der bevæger sig parallelt med symmetriaksen, mod fokus. Dette er afledt af geometrisk optik , baseret på den antagelse, at lys bevæger sig i stråler.

Overvej parablen y = x ² . Da alle paraboler er ens, repræsenterer denne simple sag alle andre.

Konstruktion og definitioner

Punktet E er et vilkårligt punkt på parabolen. Fokus er F, toppunktet er A (oprindelsen), og linjen FA er symmetriaksen. Linjen EC er parallel med symmetriaksen og skærer x -aksen ved D. Punkt B er midtpunktet for linjesegmentet FC .

Fradrag

Toppunktet A er lige langt fra fokus F og fra directrix. Da C er på directrix, er y -koordinaterne for F og C ens i absolut værdi og modsat i tegn. B er midtpunktet for FC . Dens x -koordinat er halvdelen af ​​D, det vil sige x /2 . Hældningen af ​​linjen BE er kvotienten af ​​længderne af ED og BD , hvilket erx ²/x /2= 2 x . Men 2 x er også parabolens hældning (første derivat) ved E. Derfor er linjen BE tangenten til parabolen ved E.

Afstandene EF og EC er ens, fordi E er på parabolen, F er fokus og C er på directrix. Da B derfor er midtpunktet for FC , er trekanter △ FEB og △ CEB kongruente (tre sider), hvilket indebærer, at vinklerne markeret α er kongruente. (Vinklen over E er lodret modsat vinkel ∠BEC.) Det betyder, at en lysstråle, der kommer ind i parabolen og ankommer til E, der bevæger sig parallelt med symmetriaksen, vil blive reflekteret af linjen BE, så den bevæger sig langs linjen EF , som vist med rødt i diagrammet (forudsat at linjerne på en eller anden måde kan reflektere lys). Da BE er tangenten til parabolen ved E, vil den samme refleksion blive udført ved en uendelig bue af parabolen ved E. Derfor reflekteres lys, der kommer ind i parabolen og ankommer til E, der bevæger sig parallelt med parabelens symmetriakse. ved parabolen mod dens fokus.

Denne konklusion om reflekteret lys gælder for alle punkter på parabolen, som det er vist i diagrammets venstre side. Dette er den reflekterende egenskab.

Andre konsekvenser

Der er andre sætninger, der simpelthen kan udledes af ovenstående argument.

Tangent halveringsejendom

Ovenstående bevis og det medfølgende diagram viser, at tangenten BE skærer vinklen ∠FEC. Med andre ord skærer tangenten til parabolen på et hvilket som helst tidspunkt vinklen mellem linjerne, der forbinder punktet med fokus og vinkelret på directrixen.

Skæringspunktet mellem en tangent og vinkelret på fokus

Da trekanter △ FBE og △ CBE er kongruente, er FB vinkelret på tangenten BE . Da B er på x -aksen, som er tangenten til parabolen ved dens toppunkt, følger det, at skæringspunktet mellem enhver tangent til en parabel og vinkelret fra fokus til den tangent ligger på den linje, der er tangential til parabel ved dets toppunkt. Se animeret diagram og pedalkurve .

Refleksion af lys, der rammer den konvekse side

Hvis lyset bevæger sig langs linjen CE , bevæger det sig parallelt med symmetriaksen og rammer parabolens konvekse side ved E. Det fremgår af ovenstående diagram, at dette lys vil blive reflekteret direkte væk fra fokus langs en forlængelse af segmentet FE .

Alternative beviser

Ovenstående beviser for de reflekterende og tangente halveringsegenskaber anvender en beregningslinje. Her præsenteres et geometrisk bevis.

I dette diagram er F i fokus for parabolen, og T og U ligger på dens directrix. P er et vilkårligt punkt på parabolen. PT er vinkelret på directrix, og linjen MP skærer vinklen ∠FPT. Q er et andet punkt på parabolen, med QU vinkelret på directrix. Vi ved, at FP  =  PT og FQ  =  QU . Det er klart, at QT  >  QU , så QT  >  FQ . Alle punkter på bisektor MP er lige langt fra F og T, men Q er tættere på F end på T. Det betyder, at Q er til venstre for MP , det vil sige på samme side af det som fokus. Det samme ville være tilfældet, hvis Q var placeret andre steder på parabolen (undtagen ved punktet P), så hele parabolen, undtagen punktet P, er på fokussiden af MP . Derfor er MP tangenten til parabolen ved P. Da den skærer vinklen ∠FPT, beviser dette tangent -halveringsegenskaben.

Logikken i det sidste afsnit kan anvendes til at ændre ovenstående bevis for den reflekterende egenskab. Det beviser effektivt, at linjen BE er tangenten til parabolen ved E, hvis vinklerne α er ens. Den reflekterende egenskab følger som vist tidligere.

Pin og snor konstruktion

Definitionen af ​​en parabel ved dens fokus og directrix kan bruges til at tegne den ved hjælp af pins og strenge:

1. Vælg fokus og parabolens directrix .${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle l}$
2. Tag en trekant af et sæt firkant og forbered en snor med længde (se diagram).${\ displaystyle | AB |}$
3. Pin den ene ende af strengen ved punktet i trekanten og den anden til fokus .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle F}$
4. Placer trekanten sådan, at den anden kant af den rigtige vinkel frit kan glide langs directrixen.
5. Tag en pen og hold snoren tæt til trekanten.
6. Mens trekanten flyttes langs directrixen, tegner pennen en bue af en parabel, på grund af (se definition af en parabel).${\ displaystyle | PF | = | PB |}$

Egenskaber relateret til Pascals sætning

En parabel kan betragtes som den affine del af en ikke-degenereret projektionskegle med et punkt på uendelig linje , som er tangenten ved . 5-, 4- og 3- punkts degenerationerne i Pascals sætning er egenskaber ved en kegle, der omhandler mindst en tangent. Hvis man betragter denne tangent som linjen i det uendelige og dets kontaktpunkt som y -aksens uendelighed , opnår man tre udsagn for en parabel. ${\ displaystyle Y _ {\ infty}}$${\ displaystyle g _ {\ infty}}$${\ displaystyle Y _ {\ infty}}$

De følgende egenskaber ved en parabel handler kun om termer, der forbinder , skærer , parallel , som er invarianter af ligheder . Så det er tilstrækkeligt at bevise enhver ejendom for enhedens parabel med ligning . ${\ displaystyle y = x^{2}}$

4-punkts ejendom

Enhver parabel kan beskrives i et passende koordinatsystem ved en ligning . ${\ displaystyle y = ax^{2}}$

• Lad være fire punkter i parabolen , og skæringspunktet mellem sekantlinjen med linjen og lad være skæringspunktet mellem sekantlinjen med linjen (se billede). Så er sekantlinjen parallel med linjen .${\ displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}), \ P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2}), \ P_ {3} = (x_ {3}, y_ {3}), \ P_ {4} = (x_ {4}, y_ {4})}$${\ displaystyle y = ax^{2}}$${\ displaystyle Q_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1} P_ {4}}$${\ displaystyle x = x_ {2},}$${\ displaystyle Q_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2} P_ {3}}$${\ displaystyle x = x_ {1}}$${\ displaystyle P_ {3} P_ {4}}$${\ displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$

(Linjerne og er parallelle med parabelens akse.)${\ displaystyle x = x_ {1}}$${\ displaystyle x = x_ {2}}$

Bevis: ligetil beregning for enhedsparabolen . ${\ displaystyle y = x^{2}}$

Anvendelse: 4-punkts ejendommen til en parabel kan bruges til konstruktion af punkt , mens og er givet. ${\ displaystyle P_ {4}}$${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}}$${\ displaystyle Q_ {2}}$

Bemærk: en parabols 4-punkts egenskab er en affin version af 5-punkts degeneration af Pascals sætning.

3-punkter – 1-tangent ejendom

Lad være tre punkter i parabolen med ligning og skæringspunktet mellem sekantlinjen med linjen og skæringspunktet mellem sekantlinjen med linjen (se billede). Derefter er tangenten i punktet parallel med linjen . (Linjerne og er parallelle med parabelens akse.) ${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}), P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}), P_ {2} = (x_ {2}, y_ { 2})}$${\ displaystyle y = ax^{2}}$${\ displaystyle Q_ {2}}$${\ displaystyle P_ {0} P_ {1}}$${\ displaystyle x = x_ {2}}$${\ displaystyle Q_ {1}}$${\ displaystyle P_ {0} P_ {2}}$${\ displaystyle x = x_ {1}}$${\ displaystyle P_ {0}}$${\ displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$${\ displaystyle x = x_ {1}}$${\ displaystyle x = x_ {2}}$

Bevis: kan udføres for enhedens parabel . En kort beregning viser: linjen har en hældning, som er tangensens hældning i punktet . ${\ displaystyle y = x^{2}}$${\ displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$${\ displaystyle 2x_ {0}}$${\ displaystyle P_ {0}}$

Anvendelse: 3-point-1-tangent-egenskaben for en parabel kan bruges til konstruktion af tangenten på punkt , mens de er angivet. ${\ displaystyle P_ {0}}$${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {0}}$

Bemærkning: 3-point-1-tangent-egenskaben for en parabel er en affin version af 4-punkts degeneration af Pascals sætning.

2-point – 2-tangents ejendom

Lad være to punkter i parabolen med ligning , og skæringspunktet mellem tangenten ved punkt med linjen , og skæringspunktet mellem tangenten ved punkt med linjen (se billede). Så er sekanten parallel med linjen . (Linjerne og er parallelle med parabelens akse.) ${\ displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}), \ P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2})}$${\ displaystyle y = ax^{2}}$${\ displaystyle Q_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle x = x_ {2}}$${\ displaystyle Q_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle x = x_ {1}}$${\ displaystyle P_ {1} P_ {2}}$${\ displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$${\ displaystyle x = x_ {1}}$${\ displaystyle x = x_ {2}}$

Bevis: ligefrem beregning for enhedsparabolen . ${\ displaystyle y = x^{2}}$

Anvendelse: Egenskaben 2-point – 2-tangents kan bruges til konstruktion af tangenten af ​​en parabel ved punkt , hvis og tangenten at er givet. ${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1}}$

Bemærkning 1: Egenskaben 2-point – 2-tangents for en parabel er en affin version af 3-punkts degeneration af Pascals sætning.

Bemærkning 2: Egenskaben 2-punkter – 2-tangenter skal ikke forveksles med følgende egenskab ved en parabel, som også omhandler 2 punkter og 2 tangenter, men ikke er relateret til Pascals sætning.

Akse retning

Ovenstående udsagn forudsætter kendskab til parabelens akseretning for at konstruere punkterne . Den følgende egenskab bestemmer punkterne kun med to givne punkter og deres tangenter, og resultatet er, at linjen er parallel med parabelens akse. ${\ displaystyle Q_ {1}, Q_ {2}}$${\ displaystyle Q_ {1}, Q_ {2}}$${\ displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$

Lade

1. ${\ displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}), \ P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2})}$være to punkter i parabolen , og være deres tangenter;${\ displaystyle y = ax^{2}}$${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}}$
2. ${\ displaystyle Q_ {1}}$være skæringspunktet mellem tangenterne ,${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}}$
3. ${\ displaystyle Q_ {2}}$være skæringspunktet mellem den parallelle linje til igennem med den parallelle linje til gennem (se billede).${\ displaystyle t_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle t_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1}}$

Så er linjen parallel med parabelens akse og har ligningen${\ displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$${\ displaystyle x = (x_ {1}+x_ {2})/2.}$

Bevis: kan gøres (som egenskaberne ovenfor) til enhedens parabel . ${\ displaystyle y = x^{2}}$

Anvendelse: Denne egenskab kan bruges til at bestemme retningen af ​​en parabols akse, hvis to punkter og deres tangenter er angivet. En alternativ måde er at bestemme midtpunkterne for to parallelle akkorder, se afsnittet om parallelle akkorder .

Bemærkning: Denne egenskab er en affin version af sætningen om to perspektiv trekanter af en ikke-degenereret kegle.

Steiner generation

Parabel

Steiner etablerede følgende procedure til konstruktion af en ikke-degenereret kegle (se Steiner kegle ):

• I betragtning af to blyanter af linjer på to punkter (alle linjer indeholdende og hhv.) Og en projektiv, men ikke perspektivisk kortlægning af på , danner skæringspunkterne for de tilsvarende linjer et ikke-degenereret projektivt keglesnit.${\ displaystyle B (U), B (V)}$${\ displaystyle U, V}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle B (U)}$${\ displaystyle B (V)}$

Denne procedure kan bruges til en simpel konstruktion af punkter på parabolen : ${\ displaystyle y = ax^{2}}$

• Overvej blyanten ved toppunktet og det sæt linjer, der er parallelle med y -aksen.${\ displaystyle S (0,0)}$${\ displaystyle \ Pi _ {y}}$

1. Lad være et punkt på parablen, og , .${\ displaystyle P = (x_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle A = (0, y_ {0})}$${\ displaystyle B = (x_ {0}, 0)}$
2. Linjesegmentet er opdelt i n lige store segmenter, og denne division projiceres (i retningen ) på linjesegmentet (se figur). Denne projektion giver anledning til en projektiv kortlægning fra blyant til blyanten .${\ displaystyle {\ overline {BP}}}$${\ displaystyle BA}$${\ displaystyle {\ overline {AP}}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ Pi _ {y}}$
3. Skæringspunktet mellem linjen og i -parallellen til y -aksen er et punkt på parabolen.${\ displaystyle SB_ {i}}$

Bevis: ligetil beregning.

Bemærkning: Steiners generation er også tilgængelig for ellipser og hyperboler .

Dobbelt parabel

En dobbelt parabel består af sættet med tangenter af en almindelig parabel.

Steiner -generationen af ​​en kegle kan anvendes på genereringen af ​​en dobbelt kegle ved at ændre betydningen af ​​punkter og linjer:

• Lad os få to punktsæt på to linjer og en projektiv, men ikke perspektivisk kortlægning mellem disse punktsæt, så danner forbindelseslinjerne for de tilsvarende punkter en ikke -degenereret dobbeltkegle.${\ displaystyle u, v}$${\ displaystyle \ pi}$

For at generere elementer i en dobbelt parabel starter man med

1. tre punkter ikke på en linje,${\ displaystyle P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$
2. deler liniesektionerne og hver i liniesegmenter med lige store mellemrum og tilføjer tal som vist på billedet.${\ displaystyle {\ overline {P_ {0} P_ {1}}}}$${\ displaystyle {\ overline {P_ {1} P_ {2}}}}$${\ displaystyle n}$
3. Så er linjerne tangenter af en parabel, deraf elementer af en dobbelt parabel.${\ displaystyle P_ {0} P_ {1}, P_ {1} P_ {2}, (1,1), (2,2), \ dotsc}$
4. Parablen er en Bezier -kurve af grad 2 med kontrolpunkterne .${\ displaystyle P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$

Det bevis er en konsekvens af den de Casteljau algoritme til en Bezier kurve grad 2.

Indskrevne vinkler og 3-punktsformen

En parabel med ligning bestemmes entydigt af tre punkter med forskellige x -koordinater. Den sædvanlige procedure for at bestemme koefficienterne er at indsætte punktkoordinaterne i ligningen. Resultatet er et lineært system med tre ligninger, som f.eks. Kan løses ved gaussisk eliminering eller Cramers regel . En alternativ måde bruger den indskrevne vinkelsætning til paraboler. ${\ displaystyle y = ax^{2}+bx+c, \ a \ neq 0}$${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}), (x_ {3}, y_ {3})}}$${\ displaystyle a, b, c}$

I det følgende måles vinklen på to linjer ved forskellen mellem linjens skråninger i forhold til parabolens directrix. Det vil sige for en parabel af ligning måles vinklen mellem to ligninger${\ displaystyle y = ax^{2}+bx+c,}$${\ displaystyle y = m_ {1} x+d_ {1}, \ y = m_ {2} x+d_ {2}}$${\ displaystyle m_ {1} -m_ {2}.}$

Analogt med den indskrevne vinkelsætning for cirkler har man den indskrevne vinkelsætning for paraboler :

Fire punkter med forskellige x -koordinater (se billede) er på en parabel med ligning, hvis og kun hvis vinklerne ved og har samme mål, som defineret ovenfor. Det er,${\ displaystyle P_ {i} = (x_ {i}, y_ {i}), \ i = 1, \ ldots, 4,}$${\ displaystyle y = ax^{2}+bx+c}$${\ displaystyle P_ {3}}$${\ displaystyle P_ {4}}$

${\ displaystyle {\ frac {y_ {4} -y_ {1}} {x_ {4} -x_ {1}}}-{\ frac {y_ {4} -y_ {2}} {x_ {4}- x_ {2}}} = {\ frac {y_ {3} -y_ {1}} {x_ {3} -x_ {1}}}-{\ frac {y_ {3} -y_ {2}} {x_ {3} -x_ {2}}}.}$

(Bevis: ligetil beregning: Hvis punkterne er på en parabel, kan man oversætte koordinaterne for at have ligningen , så har man, hvis punkterne er på parabolen.) ${\ displaystyle y = ax^{2}}$${\ displaystyle {\ frac {y_ {i} -y_ {j}} {x_ {i} -x_ {j}}} = x_ {i}+x_ {j}}$

En konsekvens er, at parabelens ligning (in ) bestemt af 3 punkter med forskellige x -koordinater er (hvis to x -koordinater er ens, er der ingen parabel med directrix parallelt med x -aksen, som passerer gennem punkterne) ${\ displaystyle {\ color {green} x}, {\ color {red} y}}$${\ displaystyle P_ {i} = (x_ {i}, y_ {i}), \ i = 1,2,3,}$

${\ displaystyle {\ frac {{\ color {red} y} -y_ {1}} {{\ color {green} x} -x_ {1}}}-{\ frac {{\ color {red} y} -y_ {2}} {{\ color {green} x} -x_ {2}}} = {\ frac {y_ {3} -y_ {1}} {x_ {3} -x_ {1}}}- {\ frac {y_ {3} -y_ {2}} {x_ {3} -x_ {2}}}.}$

Multiplikation med de nævnere, der er afhængige af en, opnår den mere standardform ${\ displaystyle {\ color {green} x},}$

${\ displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) {\ color {red} y} = ({\ color {green} x} -x_ {1}) ({\ color {green} x} -x_ { 2}) \ venstre ({\ frac {y_ {3} -y_ {1}} {x_ {3} -x_ {1}}}-{\ frac {y_ {3} -y_ {2}} {x_ { 3} -x_ {2}}} \ right)+(y_ {1} -y_ {2}) {\ color {green} x}+x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1} .}$

Pol -polær relation

I et passende koordinatsystem kan enhver parabel beskrives ved en ligning . Tangentens ligning på et punkt er ${\ displaystyle y = ax^{2}}$${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}), \ y_ {0} = ax_ {0}^{2}}$

${\ displaystyle y = 2ax_ {0} (x-x_ {0})+y_ {0} = 2ax_ {0} x-ax_ {0}^{2} = 2ax_ {0} x-y_ {0}.}$

Man opnår funktionen

${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ til y = 2ax_ {0} x-y_ {0}}$

på parabolsættets punkter på tangentsættet.

Denne funktion kan naturligvis udvides til sættet af alle punkter til en bijektion mellem punkterne på og linjerne med ligninger . Den omvendte kortlægning er ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$${\ displaystyle y = mx+d, \ m, d \ in \ mathbb {R}}$

linje → punkt .${\ displaystyle y = mx+d}$${\ displaystyle ({\ tfrac {m} {2a}},-d)}$

Denne relation kaldes pol-polære forhold af parablen , hvor punkt er pol , og den tilsvarende linje dets polære .

Ved beregning kontrollerer man følgende egenskaber ved parabelens pol -polære forhold:

• For et punkt (pol) på parabolen er polaren tangenten på dette punkt (se billede :).${\ displaystyle P_ {1}, \ p_ {1}}$
• For en pol uden for parabolen er skæringspunkterne for dens polar med parabolen berøringspunkterne for de to tangenter, der passerer (se billede :).${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P_ {2}, \ p_ {2}}$
• For et punkt inden for parabolen har polar ikke noget med parabolen til fælles (se billede: og ).${\ displaystyle P_ {3}, \ p_ {3}}$${\ displaystyle P_ {4}, \ p_ {4}}$
• Skæringspunktet mellem to polære linjer (for eksempel ) er polen på forbindelseslinjen for deres poler (i eksempel :).${\ displaystyle p_ {3}, p_ {4}}$${\ displaystyle P_ {3}, P_ {4}}$
• Fokus og directrix af parabolen er et pol -polært par.

Bemærkning: Pol -polære forhold findes også for ellipser og hyperboler.

Tangente egenskaber

To tangentegenskaber relateret til latus rectum

Lad symmetrilinjen krydse parabolen ved punkt Q, og betegn fokus som punkt F og dets afstand fra punkt Q som f . Lad det vinkelrette på symmetrilinjen gennem fokus krydse parabolen på et punkt T. Derefter (1) er afstanden fra F til T 2 f , og (2) en tangent til parabolen ved punkt T skærer linjen symmetri i en vinkel på 45 °.

Ortoptisk ejendom

Hvis to tangenter til en parabel er vinkelret på hinanden, skærer de sig på directrix. Omvendt er to tangenter, der skærer hinanden på directrix, vinkelret.

Lamberts sætning

Lad tre tangenter til en parabel danne en trekant. Derefter hedder Lamberts sætning , at parabelens fokus ligger på trekantenes cirkel .

Tsukermans modsætning til Lamberts sætning siger, at i betragtning af tre linjer, der binder en trekant, hvis to af linjerne er tangent til en parabel, hvis fokus ligger på cirkelens cirkel, er den tredje linje også tangent til parabolen.

Fakta relateret til akkorder og buer

Brændvidde beregnet ud fra parametre for en akkord

Antag, at en akkord krydser en parabel vinkelret på sin symmetriakse. Lad akkordens længde mellem de punkter, hvor den skærer parablen være c, og afstanden fra parabelens toppunkt til akkorden, målt langs symmetriaksen, være d . Brændvidden, f , for parabolen er givet ved

${\ displaystyle f = {\ frac {c^{2}} {16d}}.}$

Bevis

Antag, at der bruges et system med kartesiske koordinater, så parabelens toppunkt er ved oprindelsen, og symmetriaksen er y -aksen. Parabolen åbner opad. Det er vist andre steder i denne artikel, at parabelens ligning er 4 fy = x ² , hvor f er brændvidden. I den positive x ende af akkorden er x =c/2og y = d . Da dette punkt er på parabolen, skal disse koordinater tilfredsstille ligningen ovenfor. Derfor, ved substitution, . Fra dette ,. ${\ displaystyle 4fd = \ venstre ({\ tfrac {c} {2}} \ højre)^{2}}$${\ displaystyle f = {\ tfrac {c^{2}} {16d}}}$

Område lukket mellem en parabel og en akkord

Området indesluttet mellem en parabel og en akkord (se diagram) er to tredjedele af arealet af et parallelogram, der omgiver det. Den ene side af parallelogrammet er akkorden, og den modsatte side er en tangent til parabolen. Hældningen af ​​de andre parallelle sider er irrelevant for området. Ofte, som her, tegnes de parallelt med parabelens symmetriakse, men dette er vilkårligt.

En sætning svarende til denne, men forskellig i detaljer, blev udledt af Archimedes i det 3. århundrede fvt. Han brugte områderne med trekanter frem for parallelogrammet. Se Kvadraturen i parabolen .

Hvis akkorden har længde b og er vinkelret på parabelens symmetriakse, og hvis den vinkelrette afstand fra parabelens toppunkt til akkorden er h , er parallelogrammet et rektangel, med sider af b og h . Arealet A af det parabolsegment, der er omsluttet af parabolen og akkorden, er derfor

${\ displaystyle A = {\ frac {2} {3}} bh.}$

Denne formel kan sammenlignes med arealet af en trekant: 1/2bh .

Generelt kan det vedlagte areal beregnes som følger. Find først det punkt på parabolen, hvor dens hældning svarer til akkordets. Dette kan gøres med beregning eller ved at bruge en linje, der er parallel med parabelens symmetriakse og passerer gennem akkordens midtpunkt. Det nødvendige punkt er, hvor denne linje skærer parabolen. Bereg derefter den formel, der er givet i Afstand fra et punkt til en linje , den vinkelrette afstand fra dette punkt til akkorden. Multiplicer dette med akkordens længde for at få parallelogrammets areal, derefter med 2/3 for at få det nødvendige lukkede område.

Tilsvarende angående midterpunkter og slutpunkter for akkorder

En følge af ovenstående diskussion er, at hvis en parabel har flere parallelle akkorder, ligger deres midtpunkter alle på en linje parallelt med symmetriaksen. Hvis tangenter til parabolen trækkes gennem endepunkterne for nogen af ​​disse akkorder, skærer de to tangenter sig på samme linje parallelt med symmetriaksen (se akse-retning af en parabel ).

Lysbueslængde

Hvis et punkt X er placeret på en parabel med brændvidde f , og hvis p er den vinkelrette afstand fra X til parabolens symmetriakse, kan længden af buer i parabolen, der ender ved X, beregnes ud fra f og p som følger, forudsat at de alle er udtrykt i de samme enheder.

${\ displaystyle {\ begin {align} h & = {\ frac {p} {2}}, \\ q & = {\ sqrt {f^{2}+h^{2}}}, \\ s & = {\ frac {hq} {f}}+f \ ln {\ frac {h+q} {f}}. \ end {align}}}$

Denne mængde s er længden af ​​buen mellem X og toppunktet på parabolen.

Buens længde mellem X og det symmetrisk modsatte punkt på den anden side af parabolen er 2 s .

Den vinkelrette afstand p kan gives et positivt eller negativt tegn for at angive på hvilken side af symmetriaksen X er placeret. At vende tegnet på p vender tegnene på h og s uden at ændre deres absolutte værdier. Hvis der underskrevet disse mængder, længden af buen mellem nogen er to punkter på parablen altid vist ved forskellen mellem deres værdier af s . Beregningen kan forenkles ved hjælp af egenskaberne af logaritmer:

${\ displaystyle s_ {1} -s_ {2} = {\ frac {h_ {1} q_ {1} -h_ {2} q_ {2}} {f}}+f \ ln {\ frac {h_ {1 }+q_ {1}} {h_ {2}+q_ {2}}}.}$

Dette kan f.eks. Være nyttigt ved beregning af størrelsen af ​​det materiale, der er nødvendigt for at lave en parabolsk reflektor eller et parabolsk trug .

Denne beregning kan bruges til en parabel i enhver retning. Det er ikke begrænset til den situation, hvor symmetriaksen er parallel med y -aksen.

En geometrisk konstruktion til at finde et sektorområde

S er fokus, og V er hovedpunktet på parabolen VG. Tegn VX vinkelret på SV.

Tag et hvilket som helst punkt B på VG, og slip en vinkelret BQ fra B til VX. Tegn vinkelret ST, der skærer BQ, forlænges om nødvendigt ved T. Ved B tegner den vinkelrette BJ, skærer VX ved J.

For parabolen er segmentet VBV, området omgivet af akkorden VB og buen VB, ligeledes ∆VBQ / 3 . ${\ displaystyle BQ = {\ frac {VQ^{2}} {4SV}}}$

Området for den parabolske sektor SVB = ∆SVB + ∆VBQ / 3 . ${\ displaystyle {} = {\ frac {SV \ cdot VQ} {2}}+{\ frac {VQ \ cdot BQ} {6}}}$

Da trekanter TSB og QBJ ligner hinanden,

${\ displaystyle VJ = VQ-JQ = VQ-{\ frac {BQ \ cdot TB} {ST}} = VQ-{\ frac {BQ \ cdot (SV-BQ)} {VQ}} = {\ frac {3VQ } {4}}+{\ frac {VQ \ cdot BQ} {4SV}}.}$

Derfor er området for den parabolske sektor og kan findes fra længden af ​​VJ, som fundet ovenfor. ${\ displaystyle SVB = {\ frac {2SV \ cdot VJ} {3}}}$

En cirkel gennem S, V og B passerer også gennem J.

Omvendt, hvis et punkt, B på parabolen VG skal findes, så området for sektoren SVB er lig med en specificeret værdi, skal du bestemme punktet J på VX og konstruere en cirkel gennem S, V og J. Da SJ er diameteren, midten af ​​cirklen er i midten, og den ligger på SV's vinkelrette bisektor, en afstand på den ene halvdel VJ fra SV. Det nødvendige punkt B er, hvor denne cirkel skærer parabolen.

Hvis et legeme sporer parabelens vej på grund af en invers kvadratisk kraft rettet mod S, stiger området SVB med en konstant hastighed, når punkt B bevæger sig fremad. Det følger heraf, at J bevæger sig med konstant hastighed langs VX, mens B bevæger sig langs parabolen.

Hvis kroppens hastighed ved toppunktet, hvor den bevæger sig vinkelret på SV, er v , så er hastigheden på J lig med 3 v /4.

Konstruktionen kan simpelthen udvides til at omfatte det tilfælde, hvor hverken radius falder sammen med aksen SV som følger. Lad A være et fast punkt på VG mellem V og B, og punkt H være skæringspunktet på VX med vinkelret på SA ved A. Fra ovenstående område af den parabolske sektor . ${\ displaystyle SAB = {\ frac {2SV \ cdot (VJ-VH)} {3}} = {\ frac {2SV \ cdot HJ} {3}}}$

Omvendt, hvis det er påkrævet at finde punkt B for et bestemt SAB -område, skal du finde punkt J fra HJ og punkt B som før. Ved bog 1, forslag 16, følge 6 af Newtons Principia er hastigheden af ​​et legeme, der bevæger sig langs en parabel med en kraft rettet mod fokus, omvendt proportional med radiusens kvadratrod. Hvis hastigheden ved A er v , så er den ved toppunktet V , og punkt J bevæger sig med en konstant hastighed på . ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {SA} {SV}}} v}$${\ displaystyle {\ frac {3v} {4}} {\ sqrt {\ frac {SA} {SV}}}}$

Ovenstående konstruktion blev udtænkt af Isaac Newton og kan findes i bog 1 af Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica som forslag 30.

Brændvidde og krumningsradius ved toppunktet

Brændvidden for en parabel er halvdelen af ​​dens krumningsradius ved dens toppunkt.

Bevis

• 

  Billedet er omvendt. AB er x -aksen. C er oprindelse. O er centrum. A er ( x , y ) . OA = OC = R . PA = x . CP = y . OP = ( R - y ) . Andre punkter og linjer er irrelevante til dette formål.

• 

  Krumningsradius ved toppunktet er to gange brændvidden. Målingerne vist på ovenstående diagram er i enheder af latus rectum, som er fire gange brændvidden.

• 

Betragt et punkt ( x , y ) på en cirkel med radius R og med centrum ved punktet (0, R ) . Cirklen passerer gennem oprindelsen. Hvis punktet er nær oprindelsen, viser Pythagoras sætning det

${\ displaystyle {\ begin {justeret} x^{2}+(Ry)^{2} & = R^{2}, \\ x^{2}+R^{2} -2Ry+y^{2 } & = R^{2}, \\ x^{2}+y^{2} & = 2Ry. \ End {align}}}$

Men hvis ( x , y ) er ekstremt tæt på oprindelsen, da x -aksen er en tangent til cirklen, er y meget lille sammenlignet med x , så y ² er ubetydelig sammenlignet med de andre udtryk. Derfor ekstremt tæt på oprindelsen

${\ displaystyle x^{2} = 2Ry.}$ (1)

Sammenlign dette med parabolen

${\ displaystyle x^{2} = 4fy,}$ (2)

som har sit toppunkt ved oprindelsen, åbner opad og har brændvidde f (se foregående afsnit af denne artikel).

Ligninger (1) og (2) er ækvivalente, hvis R = 2 f . Derfor er dette betingelsen for, at cirklen og parabolen falder sammen ved og ekstremt tæt på oprindelsen. Krumningsradius ved oprindelsen, som er parabelens toppunkt, er to gange brændvidden.

Følgelig

Et konkavt spejl, der er et lille segment af en kugle, opfører sig omtrent som et parabolsk spejl, der fokuserer parallelt lys til et punkt midt mellem midten og kuglens overflade.

Som det affine billede af enhedens parabel

En anden definition af en parabel bruger affine transformationer :

• Enhver parabel er det affine billede af enhedens parabel med ligning .${\ displaystyle y = x^{2}}$

parametrisk repræsentation

En affin transformation af det euklidiske plan har formen , hvor er en regelmæssig matrix ( determinant er ikke 0), og er en vilkårlig vektor. Hvis er matrixens søjlevektorer , kortlægges enhedsparablen på parabolen ${\ displaystyle {\ vec {x}} \ til {\ vec {f}} _ {0}+A {\ vec {x}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (t, t^{2}), \ t \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {p}} (t) = {\ vec {f}} _ {0}+{\ vec {f}} _ {1} t+{\ vec { f}} _ {2} t^{2},}$

hvor

${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0}}$er et punkt i parabolen,

${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1}}$er en tangentvektor på et punkt ,${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0}}$

${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {2}}$er parallel med parabelens akse (symmetriakse gennem toppunktet).

toppunkt

Generelt er de to vektorer ikke vinkelret og er ikke toppunktet, medmindre affin transformation er en lighed . ${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0}}$

Tangentvektoren på punktet er . Ved toppunktet er tangensvektoren ortogonal til . Derfor er toppunktets parameter løsningen af ​​ligningen ${\ displaystyle {\ vec {p}} (t)}$${\ displaystyle {\ vec {p}} '(t) = {\ vec {f}} _ {1}+2t {\ vec {f}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {2}}$${\ displaystyle t_ {0}}$

${\ displaystyle {\ vec {p}} '(t) \ cdot {\ vec {f}} _ {2} = {\ vec {f}} _ {1} \ cdot {\ vec {f}} _ { 2}+2tf_ {2}^{2} = 0,}$

som er

${\ displaystyle t_ {0} =-{\ frac {{\ vec {f}} _ {1} \ cdot {\ vec {f}} _ {2}} {2f_ {2}^{2}}}, }$

og toppunktet er

${\ displaystyle {\ vec {p}} (t_ {0}) = {\ vec {f}} _ {0}-{\ frac {{\ vec {f}} _ {1} \ cdot {\ vec { f}} _ {2}} {2f_ {2}^{2}}} {\ vec {f}} _ {1}+{\ frac {({\ vec {f}} _ {1} \ cdot { \ vec {f}} _ {2})^{2}} {4 (f_ {2}^{2})^{2}}} {\ vec {f}} _ {2}.}$

brændvidde og fokus

Den brændvidde kan bestemmes ved en egnet parameter transformation (som ikke ændrer den geometriske form af parabolen). Brændvidden er

${\ displaystyle f = {\ frac {f_ {1}^{2} \, f_ {2}^{2}-({\ vec {f}} _ {1} \ cdot {\ vec {f}} _ {2})^{2}} {4 | f_ {2} |^{3}}}.}$

Derfor er parabolens fokus

${\ displaystyle F: \ {\ vec {f}} _ {0}-{\ frac {{\ vec {f}} _ {1} \ cdot {\ vec {f}} _ {2}} {2f_ { 2}^{2}}} {\ vec {f}} _ {1}+{\ frac {f_ {1}^{2} \, f_ {2}^{2}} {4 (f_ {2} ^{2})^{2}}} {\ vec {f}} _ {2}.}$

implicit repræsentation

Når man løser den parametriske repræsentation efter Cramers regel og bruger , får man den implicitte repræsentation ${\ displaystyle \; t, t^{2} \;}$${\ displaystyle \; t \ cdot tt^{2} = 0 \;}$

${\ displaystyle \ det ({\ vec {x}} \!-\! {\ vec {f}} \! _ {0}, {\ vec {f}} \! _ {2})^{2} -\ det ({\ vec {f}} \! _ {1}, {\ vec {x}} \!-\! {\ vec {f}} \! _ {0}) \ det ({\ vec {f}} \! _ {1}, {\ vec {f}} \! _ {2}) = 0}$.

parabel i rummet

Definitionen af ​​en parabel i dette afsnit giver en parametrisk fremstilling af en vilkårlig parabel, selv i rummet, hvis man tillader at være vektorer i rummet. ${\ displaystyle {\ vec {f}} \! _ {0}, {\ vec {f}} \! _ {1}, {\ vec {f}} \! _ {2}}$

Som kvadratisk Bézier -kurve

En kvadratisk Bézier kurve er en kurve defineret af tre punkter , og , kaldet sine kontrolpunkter : ${\ displaystyle {\ vec {c}} (t)}$${\ displaystyle P_ {0}: {\ vec {p}} _ {0}}$${\ displaystyle P_ {1}: {\ vec {p}} _ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}: {\ vec {p}} _ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {c}} (t) & = \ sum _ {i = 0}^{2} {\ binom {2} {i}} t^{i} (1 -t)^{2-i} {\ vec {p}} _ {i} \\ & = (1-t)^{2} {\ vec {p}} _ {0}+2t (1-t ) {\ vec {p}} _ {1}+t^{2} {\ vec {p}} _ {2} \\ & = ({\ vec {p}} _ {0} -2 {\ vec {p}} _ {1}+{\ vec {p}} _ {2}) t^{2}+(-2 {\ vec {p}} _ {0} +2 {\ vec {p}} _ {1}) t+{\ vec {p}} _ {0}, \ quad t \ in [0,1]. \ End {align}}}$

Denne kurve er en bue af en parabel (se § Som det affine billede af enhedens parabel ).

Numerisk integration

I en metode til numerisk integration erstatter man grafen for en funktion med buer af paraboler og integrerer parabelbuerne. En parabel bestemmes af tre punkter. Formlen for en bue er

${\ displaystyle \ int _ {a}^{b} f (x) \, dx \ approx {\ frac {ba} {6}} \ cdot \ left (f (a)+4f \ left ({\ frac { a+b} {2}} \ højre)+f (b) \ højre).}$

Metoden kaldes Simpsons regel .

Som plansnit af kvadrisk

Følgende quadrics indeholder paraboler som plane sektioner:

• elliptisk kegle ,
• parabolsk cylinder ,
• elliptisk paraboloid ,
• hyperbolsk paraboloid,
• hyperboloid af et ark,
• hyperboloid af to ark.

• 

  Elliptisk kegle

• 

  Parabolsk cylinder

• 

  Elliptisk paraboloid

• 

  Hyperbolisk paraboloid

• 

  Hyperboloid af et ark

• 

  Hyperboloid af to ark

Som trisectrix

En parabel kan bruges som en trisektrix , det vil sige , at den muliggør den nøjagtige trisektion af en vilkårlig vinkel med straightedge og kompas. Dette er ikke i modstrid med umuligheden af ​​en vinkeltrisektion med kompas-og-strækningskonstruktioner alene, da brug af paraboler ikke er tilladt i de klassiske regler for kompas-og-strækningskonstruktioner.

For at trisektere skal du placere benet på x -aksen, så toppunktet er i koordinatsystemets oprindelse. Koordinatsystemet indeholder også parabolen . Enhedscirklen med radius 1 omkring oprindelsen skærer vinkelens andet ben , og tegner fra dette skæringspunkt vinkelret på y -aksen. Parallellen med y -aksen gennem midtpunktet af den vinkelrette og tangenten på enhedscirklen skærer sig ind . Cirklen rundt med radius skærer parabolen kl . Det vinkelrette fra på x -aksen skærer enhedscirklen ved og er præcis en tredjedel af . ${\ displaystyle \ vinkel AOB}$${\ displaystyle OB}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle y = 2x^{2}}$${\ displaystyle OA}$${\ displaystyle (0,1)}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle OC}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle \ vinkel P_ {2} OB}$${\ displaystyle \ vinkel AOB}$

Korrektheden af ​​denne konstruktion kan ses ved at vise, at x -koordinaten for er . At løse ligningssystemet givet af cirklen rundt og parabolen fører til den kubiske ligning . Den triple-vinkel formel derefter viser, at rent faktisk er en opløsning af det kubiske ligning. ${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle \ cos (\ alpha)}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle 4x^{3} -3x- \ cos (3 \ alpha) = 0}$ ${\ displaystyle \ cos (3 \ alpha) = 4 \ cos (\ alpha)^{3} -3 \ cos (\ alpha)}$${\ displaystyle \ cos (\ alpha)}$

Denne tredeling går tilbage til René Descartes , der beskrev det i sin bog La Géométrie (1637).

Generaliseringer

Hvis man erstatter de reelle tal med et vilkårligt felt , er mange geometriske egenskaber ved parabolen stadig gyldige: ${\ displaystyle y = x^{2}}$

1. En linje skærer i højst to punkter.
2. På ethvert tidspunkt er linjen tangenten.${\ displaystyle (x_ {0}, x_ {0}^{2})}$${\ displaystyle y = 2x_ {0} x-x_ {0}^{2}}$

I det væsentlige opstår der nye fænomener, hvis feltet har karakteristisk 2 (det vil sige ): tangenterne er alle parallelle. ${\ displaystyle 1+1 = 0}$

I algebraisk geometri generaliseres parabolen af ​​de rationelle normale kurver , som har koordinater ( x , x ² , x ³ ,…, x ⁿ ) ; standardparabolen er sagen n = 2 , og sagen n = 3 er kendt som den snoede kubik . En yderligere generalisering gives af Veronese -sorten , når der er mere end én inputvariabel.

I teorien om kvadratiske former er parabolen grafen for den kvadratiske form x ² (eller andre skaleringer), mens den elliptiske paraboloid er grafen for den positivt bestemte kvadratiske form x ² + y ² (eller skaleringer) og hyperbolsk paraboloid er grafen for den ubestemte kvadratiske form x ² - y ² . Generaliseringer til flere variabler giver yderligere sådanne objekter.

Kurverne y = x ^p for andre værdier af p omtales traditionelt som de højere paraboler og blev oprindeligt behandlet implicit i formen x ^p = ky ^q for p og q begge positive heltal, i hvilken form de ses at være algebraiske kurver. Disse svarer til den eksplicitte formel y = x ^{p / q} for en positiv fraktionseffekt på x . Negative fraktionskræfter svarer til den implicitte ligning x ^p y ^q = k og kaldes traditionelt højere hyperboler . Analytisk kan x også hæves til en irrationel magt (for positive værdier af x ); de analytiske egenskaber er analoge med når x hæves til rationelle kræfter, men den resulterende kurve er ikke længere algebraisk og kan ikke analyseres ved algebraisk geometri.

I den fysiske verden

I naturen findes tilnærmelser til paraboler og paraboloider i mange forskellige situationer. Den mest kendte forekomst af parabolen i fysikkens historie er banen for en partikel eller et legeme i bevægelse under indflydelse af et ensartet tyngdefelt uden luftmodstand (for eksempel en bold, der flyver gennem luften, forsømmer luftfriktion ).

Projektilernes parabolske bane blev opdaget eksperimentelt i begyndelsen af ​​1600 -tallet af Galileo , der udførte forsøg med bolde, der rullede på skråplan. Han beviste også senere dette matematisk i sin bog Dialog vedrørende to nye videnskaber . For objekter, der er udvidet i rummet, såsom en dykker, der hopper fra et dykkerbræt, følger selve objektet en kompleks bevægelse, mens den roterer, men objektets massemidtpunkt bevæger sig alligevel langs en parabel. Som i alle tilfælde i den fysiske verden er banen altid en tilnærmelse til en parabel. Tilstedeværelsen af ​​luftmodstand, for eksempel, forvrænger altid formen, selvom formen ved lave hastigheder er en god tilnærmelse til en parabel. Ved højere hastigheder, f.eks. Inden for ballistik, er formen stærkt forvrænget og ligner ikke en parabel.

En anden hypotetisk situation, hvor paraboler kan opstå, ifølge teorierne om fysik beskrevet i det 17. og 18. århundrede af Sir Isaac Newton , er i to-kropsbaner , for eksempel vejen til et lille planetoid eller andet objekt under indflydelse af solens tyngdekraft . Paraboliske kredsløb forekommer ikke i naturen; simple baner ligner oftest hyperboler eller ellipser . Den parabolske bane er det degenererede mellemliggende tilfælde mellem disse to typer af ideel bane. Et objekt, der følger en parabolsk bane, ville rejse med den nøjagtige flugthastighed for det objekt, det kredser om; objekter i elliptiske eller hyperbolske kredsløb bevæger sig med henholdsvis mindre eller større end flugthastighed. Lang periode kometer rejse tæt på Solens undvigelseshastigheden mens de bevæger sig gennem det indre solsystem, så deres veje er næsten parabolsk.

Tilnærmelser til paraboler findes også i form af hovedkablerne på en simpel hængebro . Kurven for hængebroernes kæder er altid en mellemkurve mellem en parabel og en kontaktledning , men i praksis er kurven generelt tættere på en parabel på grund af belastningens vægt (dvs. vejen) er meget større end kablerne sig selv, og i beregninger bruges andengrads polynomformel for en parabel. Under indflydelse af en ensartet belastning (f.eks. Et vandret ophængt dæk) deformeres det ellers kontaktformede kabel mod en parabel (se Catenary#Suspension bridge curve ). I modsætning til en uelastisk kæde tager en frit hængende fjeder med nul ubelastet længde form af en parabel. Hængebrokabler er ideelt set rent i spænding uden at skulle bære andre kræfter, f.eks. Bøjning. Tilsvarende er strukturerne i de parabolske buer rent komprimeret.

Paraboloider opstår også i flere fysiske situationer. Den mest kendte forekomst er den parabolske reflektor , som er et spejl eller lignende reflekterende anordning, der koncentrerer lys eller andre former for elektromagnetisk stråling til et fælles fokuspunkt , eller omvendt kollimerer lys fra en punktkilde i fokus til en parallel stråle. Princippet om den parabolske reflektor kan være blevet opdaget i det 3. århundrede f.Kr. af geometret Archimedes , der ifølge en tvivlsom legende konstruerede parabolske spejle for at forsvare Syracuse mod den romerske flåde ved at koncentrere solens stråler for at sætte ild til dækkene af de romerske skibe. Princippet blev anvendt på teleskoper i det 17. århundrede. I dag kan paraboloide reflektorer almindeligvis observeres i store dele af verden i mikrobølge- og parabolantenner, der modtager og sender antenner.

I parabolske mikrofoner bruges en parabolsk reflektor til at fokusere lyd på en mikrofon, hvilket giver den meget retningsbestemt ydeevne.

Paraboloider observeres også i overfladen af ​​en væske, der er begrænset til en beholder og roteres omkring midteraksen. I dette tilfælde får centrifugalkraften væsken til at bestige beholderens vægge og danne en parabolsk overflade. Dette er princippet bag væskespejlteleskopet .

Luftfartøjer, der bruges til at skabe en vægtløs tilstand til forsøg, f.eks. NASAs " Vomit Comet ", følger en lodret parabolsk bane i korte perioder for at spore et objekts forløb i frit fald , hvilket giver samme effekt som nul tyngdekraften til de fleste formål.

Galleri

• 

  En hoppende bold fanget med en stroboskopisk blitz med 25 billeder i sekundet. Bolden bliver betydeligt ikke-sfærisk efter hvert bounce, især efter den første. Det sammen med spin- og luftmodstand får kurven fejet til at afvige lidt fra den forventede perfekte parabel.

• 

  Parabolske baner af vand i et springvand.

• 

  Kometen Kohouteks sti (i rødt), da den passerede gennem det indre solsystem og viste dens næsten parabolske form. Den blå bane er Jordens.

• 

  Støttekablerne til hængebroer følger en kurve, der er mellemliggende mellem en parabel og en kontaktledning .

• 

  Den Regnbuebroen over Niagara-floden , der forbinder Canada (til venstre) til USA (til højre). Den parabolske bue er i kompression og bærer vejens vægt.

• 

  Parabolske buer brugt i arkitektur

• 

  Parabolisk form dannet af en flydende overflade under rotation. To væsker med forskellige densiteter fylder fuldstændigt et smalt mellemrum mellem to ark gennemsigtig plast. Spalten mellem arkene er lukket i bunden, siderne og toppen. Hele samlingen roterer omkring en lodret akse, der passerer gennem midten. (Se Roterende ovn )

• 

  Solkomfur med parabol reflektor

• 

  Parabolisk antenne

• 

  Parabolisk mikrofon med optisk gennemsigtig plastreflektor brugt til en amerikansk college -fodboldkamp.

• 

  Opstilling af parabolske trug til opsamling af solenergi

• 

  Edisons søgelys, monteret på en vogn. Lyset havde en parabolsk reflektor.

• 

  Fysikeren Stephen Hawking i et fly, der flyver en parabolsk bane for at simulere nul tyngdekraft

Se også

• Degenererer kegle
• Parabolsk kuppel
• Parabolisk delvis differentialligning
• Kvadratisk ligning
• Kvadratisk funktion
• Universal parabolsk konstant

Fodnoter

Referencer

Yderligere læsning

• Lockwood, EH (1961). En bog med kurver . Cambridge University Press.

eksterne links

• "Parabola" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Parabola" . MathWorld .
• Interaktivt parabol-trækfokus, se symmetriakse, directrix, standard- og toppunktsformer
• Arkimedes trekant og firkantning af parabel ved cut-the-knot
• To tangenter til parabel ved cut-the-knot
• Parabel som konvolut af lige linjer ved cut-the-knot
• Parabolsk spejl ved cut-the-knot
• Tre parabelstænger på cut-the-knot
• Fokale egenskaber ved Parabel ved cut-the-knot
• Parabel som konvolut II ved knivskarp
• Parabolens lighed ved Dynamic Geometry Sketches , interaktiv dynamisk geometri skitse.
• Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen , 1659