Syntetisk geometri - Synthetic geometry

Geometri
Stereografisk projektion i 3D.svg
Projicere en kugle til et fly
Grene
  • Begreber
  • Funktioner
Dimension
Nul-dimensionel
En-dimensionel
To-dimensionelle
Trekant
Parallelogram
Firkantet
Cirkel
Tredimensionel
Fire - / andre -dimensionelle
Geometre
ved navn
efter periode
Fvt
1–1400 -tallet
1400-1700 -tallet
1700-1900’erne
Nuværende dag

Syntetisk geometri (undertiden omtalt som aksiomatisk geometri eller endda ren geometri ) er studiet af geometri uden brug af koordinater eller formler . Den er afhængig af den aksiomatiske metode og de værktøjer, der er direkte relateret til dem, det vil sige kompas og straightedge , for at drage konklusioner og løse problemer.

Først efter indførelsen af koordinatmetoder var der en grund til at introducere udtrykket "syntetisk geometri" for at skelne denne tilgang til geometri fra andre tilgange. Andre metoder til geometri er legemliggjort i analytiske og algebraiske geometrier, hvor man ville bruge analyse og algebraiske teknikker til at opnå geometriske resultater.

Ifølge Felix Klein

Syntetisk geometri er den, der studerer figurer som sådan uden brug af formler, hvorimod analytisk geometri konsekvent anvender sådanne formler, som kan nedskrives efter vedtagelsen af ​​et passende koordinatsystem.

Geometri som præsenteret af Euclid i den Elements er indbegrebet eksempel på anvendelsen af den syntetiske fremgangsmåde. Det var Isaac Newtons foretrukne metode til løsning af geometriske problemer.

Syntetiske metoder var mest fremtrædende i løbet af 1800-tallet, da geometre afviste koordinatmetoder til etablering af grundlaget for projektiv geometri og ikke-euklidiske geometrier . For eksempel hadede geometret Jakob Steiner (1796 - 1863) analytisk geometri og gav altid præference for syntetiske metoder.

Logisk syntese

Processen med logisk syntese begynder med et vilkårligt, men bestemt udgangspunkt. Dette udgangspunkt er introduktionen af ​​primitive forestillinger eller primitiver og aksiomer om disse primitiver:

  • Primitiver er de mest grundlæggende ideer. Typisk inkluderer de både objekter og relationer. I geometri er objekterne ting som punkter , linjer og planer , mens et grundlæggende forhold er forekomsten - et objekt mødes eller slutter sig til et andet. Selve udtrykkene er udefinerede. Hilbert bemærkede engang, at man i stedet for punkter, linjer og fly lige så godt kunne tale om borde, stole og ølkrus, pointen er, at de primitive udtryk bare er tomme pladsholdere og ikke har iboende egenskaber.
  • Aksiomer er udsagn om disse primitiver; for eksempel er alle to punkter sammen sammenfaldende med kun en linje (dvs. at for to punkter er der kun en linje, der passerer gennem dem begge). Aksiomer antages at være sande og ikke bevist. De er byggestenene i geometriske begreber, da de angiver de egenskaber, som primitiverne har.

Fra et givet sæt aksiomer fortsætter syntesen som et omhyggeligt konstrueret logisk argument. Når et betydeligt resultat bevises grundigt, bliver det til en sætning .

Egenskaber for aksiomasæt

Der er ikke noget fast aksiomasæt til geometri, da der kan vælges mere end et ensartet sæt . Hvert sådant sæt kan føre til en anden geometri, mens der også er eksempler på, at forskellige sæt giver den samme geometri. Med denne overflod af muligheder er det ikke længere hensigtsmæssigt at tale om "geometri" i ental.

Historisk set har Euklides parallelle postulat vist sig at være uafhængig af de andre aksiomer. Bare at kaste den giver absolut geometri , mens den negerer giver hyperbolsk geometri . Andre konsistente aksiomasæt kan give andre geometrier, såsom projektiv , elliptisk , sfærisk eller affin geometri.

Aksiomer for kontinuitet og "mellemhed" er også valgfri, for eksempel kan diskrete geometrier oprettes ved at kassere eller ændre dem.

Efter Erlangen -programmet fra Klein kan karakteren af ​​enhver given geometri ses som forbindelsen mellem symmetri og forslagets indhold, snarere end udviklingsstilen.

Historie

Euclids oprindelige behandling forblev uanfægtet i over to tusinde år, indtil samtidige opdagelser af de ikke-euklidiske geometrier af Gauss , Bolyai , Lobachevsky og Riemann i 1800-tallet fik matematikere til at stille spørgsmålstegn ved Euclids underliggende antagelser.

En af de tidlige franske analytikere opsummerede syntetisk geometri på denne måde:

Elementerne i Euclid behandles ved den syntetiske metode. Efter at have opstillet aksiomerne og dannet de nødvendige forudsætninger, opstillede denne forfatter de forslag, som han beviser successivt at blive understøttet af det forudgående, og gik altid fra det simple til det sammensatte , hvilket er syntesens væsentlige karakter.

Storhedstiden for syntetisk geometri kan anses for at have været det 19. århundrede, hvor analytiske metoder baseret på koordinater og beregning blev ignoreret af nogle geometre som Jakob Steiner til fordel for en rent syntetisk udvikling af projektiv geometri . For eksempel er behandlingen af ​​det projektive plan ud fra forekomstaksiomer faktisk en bredere teori (med flere modeller ), end man finder ved at starte med et vektorrum af dimension tre. Projektiv geometri har faktisk det enkleste og mest elegante syntetiske udtryk for enhver geometri.

I sin Erlangen programmet , Felix Klein spillet ned spændingen mellem syntetiske og analytiske metoder:

Om modsætningen mellem den syntetiske og den analytiske metode i moderne geometri:
Sondringen mellem moderne syntese og moderne analytisk geometri må ikke længere betragtes som væsentlig, for både emne og ræsonnementsmetoder har gradvist antaget en lignende form i begge. Vi vælger derfor i teksten som fælles betegnelse for dem begge udtrykket projektiv geometri. Selvom den syntetiske metode mere har at gøre med rumopfattelse og derved tilfører en sjælden charme til dens første simple udviklinger, er rumopfattelsesområdet alligevel ikke lukket for den analytiske metode, og formlerne for analytisk geometri kan betragtes som en præcis og iøjnefaldende erklæring om geometriske relationer. På den anden side skal fordelen ved original forskning ved en velformuleret analyse ikke undervurderes - en fordel på grund af dens bevægelse, så at sige, forud for tanken. Men det bør altid insisteres på, at et matematisk emne ikke skal betragtes som udtømt, før det er blevet intuitivt tydeligt, og de fremskridt, der er gjort ved hjælp af analyse, er kun et første, om end et meget vigtigt, trin.

Den tætte aksiomatiske undersøgelse af euklidisk geometri førte til konstruktionen af Lambert firkant og Saccheri firkant . Disse strukturer introducerede feltet for ikke-euklidisk geometri, hvor Euclids parallelle aksiom nægtes. Gauss , Bolyai og Lobachevski konstruerede uafhængigt af hinanden hyperbolsk geometri , hvor parallelle linjer har en vinkel på parallelisme, der afhænger af deres adskillelse. Denne undersøgelse blev bredt tilgængelig gennem Poincaré -diskmodellen , hvor bevægelser gives af Möbius -transformationer . På samme måde konstruerede Riemann , en elev af Gauss, Riemannian geometri , hvoraf elliptisk geometri er et særligt tilfælde.

Et andet eksempel vedrører inversiv geometri som fremført af Ludwig Immanuel Magnus , som kan betragtes som syntetisk i ånden. Den nært beslægtede drift af gengældelse udtrykker analyse af flyet.

Karl von Staudt viste, at algebraiske aksiomer, såsom kommutativitet og associativitet af addition og multiplikation, faktisk var konsekvenser af forekomsten af linjer i geometriske konfigurationer . David Hilbert viste, at Desargues -konfigurationen spillede en særlig rolle. Yderligere arbejde blev udført af Ruth Moufang og hendes elever. Begreberne har været en af ​​motivatorerne for forekomstgeometri .

Når parallelle linjer tages som primære, producerer syntese affin geometri . Selvom euklidisk geometri både er en affin og metrisk geometri , mangler affinere generelt generelt en metrik. Den således ekstra fleksibilitet gør affingeometri passende til studiet af rumtid , som diskuteret i affingeometriens historie .

I 1955 lød Herbert Busemann og Paul J. Kelley en nostalgisk note for syntetisk geometri:

Selvom modstridende må geometre indrømme, at skønheden ved syntetisk geometri har mistet sin appel for den nye generation. Årsagerne er klare: for ikke så længe siden var syntetisk geometri det eneste område, hvor ræsonnementet straks udgik fra aksiomer, hvorimod denne appel - så grundlæggende for mange matematisk interesserede mennesker - nu foretages af mange andre felter.

At analytisk geometrisk ikke kan erstatte uden større tab syntetisk geometri er blevet argumenteret i.

For eksempel inkluderer universitetsstudier nu lineær algebra , topologi og grafteori, hvor emnet er udviklet ud fra de første principper, og propositioner udledes af elementære beviser .

Dagens geometristuder har andre aksiomer end Euklids tilgængelige: se Hilberts aksiomer og Tarskis aksiomer .

Ernst Kötter udgav en (tysk) rapport i 1901 om "Udviklingen af ​​syntetisk geometri fra Monge til Staudt (1847)" ;

Beviser ved hjælp af syntetisk geometri

Syntetiske beviser for geometriske sætninger gør brug af hjælpekonstruktioner (såsom hjælpelinjer ) og begreber som lighed mellem sider eller vinkler og lighed og kongruens af trekanter. Eksempler på sådanne beviser kan findes i artiklerne Butterfly -sætning , Angle bisector -sætning , Apollonius -sætning , britisk flag -sætning , Cevas sætning , Lige incircles -sætning , Geometrisk middelværdighedssætning , Herons formel , Ensartet trekantsætning , cosinuslov og andre, der er knyttet til her .

Computational syntetisk geometri

I forbindelse med beregningsgeometri er en beregningsmæssig syntetisk geometri blevet grundlagt med tæt forbindelse, for eksempel med matroidteori . Syntetisk differential geometri er en anvendelse af topos teori til grundlaget for differentierbar mangfoldig teori.

Se også

Noter

Referencer