Konveks geometri - Convex geometry
I matematik er konveks geometri den gren af geometri, der studerer konvekse sæt , hovedsageligt i det euklidiske rum . Konvekse sæt forekommer naturligt i mange områder: beregningsgeometri , konveks analyse , diskret geometri , funktionel analyse , talgeometri , integreret geometri , lineær programmering , sandsynlighedsteori , spilteori osv.
Klassifikation
Ifølge matematikfagsklassificeringen MSC2010 inkluderer den matematiske disciplin Konveks og diskret geometri tre hovedgrene:
- generel konveksitet
- polytoper og polyeder
- diskret geometri
(selvom kun dele af de to sidstnævnte er inkluderet i konveks geometri).
Generel konveksitet er yderligere opdelt som følger:
- aksiomatisk og generaliseret konveksitet
- konvekse sæt uden dimensionbegrænsninger
- konvekse sæt i topologiske vektorrum
- konvekse sæt i 2 dimensioner (inklusive konvekse kurver)
- konvekse sæt i 3 dimensioner (inklusive konvekse overflader)
- konvekse sæt i n dimensioner (inklusive konvekse overflader)
- endelige dimensionelle Banach-rum
- tilfældige konvekse sæt og integreret geometri
- asymptotisk teori om konvekse kroppe
- tilnærmelse med konvekse sæt
- varianter af konvekse sæt (stjerneformet, ( m, n ) -konveks osv.)
- Helly-type sætninger og geometrisk tværgående teori
- andre problemer med kombinatorisk konveksitet
- længde, areal, volumen
- blandede bind og relaterede emner
- værdiansættelser på konvekse kroppe
- uligheder og ekstremumproblemer
- konvekse funktioner og konvekse programmer
- sfærisk og hyperbolsk konveksitet
Udtrykket konveks geometri bruges også i kombinatorik som et alternativt navn på en antimatroid , som er en af de abstrakte modeller af konvekse sæt.
Historisk note
Konveks geometri er en relativt ung matematisk disciplin. Selvom de første kendte bidrag til konveks geometri dateres tilbage til antikken og kan spores i værkerne fra Euclid og Archimedes , blev det en uafhængig gren af matematik ved begyndelsen af det 20. århundrede, hovedsagelig på grund af værkerne fra Hermann Brunn og Hermann Minkowski i dimension to og tre. En stor del af deres resultater blev hurtigt generaliseres til rum af højere dimensioner, og i 1934 T. Bonnesen og W. Fenchel gav en omfattende undersøgelse af konvekse geometri i euklidisk rum R n . Yderligere udvikling af konveks geometri i det 20. århundrede og dens forhold til adskillige matematiske discipliner er opsummeret i håndbogen om konveks geometri redigeret af premierminister Gruber og JM Wills.
Se også
Bemærkninger
Referencer
Eksponerende artikler om konveks geometri
- K. Ball, en grundlæggende introduktion til moderne konveks geometri, i: Flavours of Geometry, s. 1–58, Math. Sci. Res. Inst. Publ. Vol. 31, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, tilgængelig online .
- M. Berger, konveksitet, Amer. Matematik. Månedligt, bind 97 (1990), 650—678. DOI: 10.2307 / 2324573
- PM Gruber, Aspekter af konveksitet og dens anvendelser, Udstilling. Math., Bind. 2 (1984), 47—83.
- V. Klee, hvad er et konveks sæt? Amer. Matematik. Månedligt, bind 78 (1971), 616—631, DOI: 10.2307 / 2316569
Bøger om konveks geometri
- T. Bonnesen, W. Fenchel, Theorie der konvexen Körper, Julius Springer, Berlin, 1934. Engelsk oversættelse: Teori om konvekse kroppe, BCS Associates, Moskva, ID, 1987.
- RJ Gardner, geometrisk tomografi, Cambridge University Press, New York, 1995. Anden udgave: 2006.
- PM Gruber , konveks og diskret geometri, Springer-Verlag, New York, 2007.
- PM Gruber, JM Wills (redaktører), Håndbog om konveks geometri. Vol. A. B, Nordholland, Amsterdam, 1993.
- G. Pisier, volumen af konvekse kroppe og Banach-rumgeometri, Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
- R. Schneider, konvekse organer: Brunn-Minkowski-teorien, Cambridge University Press, Cambridge, 1993; Anden udgave: 2014.
- AC Thompson, Minkowski geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
- A. Koldobsky, V. Yaskin, grænsefladen mellem konveks geometri og harmonisk analyse, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2008.
Artikler om konveks geometri historie
- W. Fenchel, konveksitet gennem tiderne, (dansk) dansk matematisk samfund (1929—1973), s. 103–116, dansk. Måtte. Forening, København, 1973. Engelsk oversættelse: Konveksitet gennem tiderne, i: PM Gruber, JM Wills (redaktører), Convexity and its Applications, s. 120–130, Birkhauser Verlag, Basel, 1983.
- PM Gruber, Zur Geschichte der Konvexgeometrie und der Geometrie der Zahlen, i: G. Fischer, et al. (redaktører), Ein Jahrhundert Mathematik 1890—1990, s. 421–455, Dokumente Gesch. Math., Bind. 6, F. Wieweg og Sohn, Braunschweig; Deutsche Mathematiker Vereinigung, Freiburg, 1990.
- PM Gruber, History of konvexity, i: PM Gruber, JM Wills (redaktører), Håndbog om konveks geometri. Vol. A, s. 1–15, Nordholland, Amsterdam, 1993.
eksterne links
- Medier relateret til konveks geometri på Wikimedia Commons