Konveks geometri - Convex geometry

I matematik er konveks geometri den gren af geometri, der studerer konvekse sæt , hovedsageligt i det euklidiske rum . Konvekse sæt forekommer naturligt i mange områder: beregningsgeometri , konveks analyse , diskret geometri , funktionel analyse , talgeometri , integreret geometri , lineær programmering , sandsynlighedsteori , spilteori osv.

Klassifikation

Ifølge matematikfagsklassificeringen MSC2010 inkluderer den matematiske disciplin Konveks og diskret geometri tre hovedgrene:

  • generel konveksitet
  • polytoper og polyeder
  • diskret geometri

(selvom kun dele af de to sidstnævnte er inkluderet i konveks geometri).

Generel konveksitet er yderligere opdelt som følger:

  • aksiomatisk og generaliseret konveksitet
  • konvekse sæt uden dimensionbegrænsninger
  • konvekse sæt i topologiske vektorrum
  • konvekse sæt i 2 dimensioner (inklusive konvekse kurver)
  • konvekse sæt i 3 dimensioner (inklusive konvekse overflader)
  • konvekse sæt i n dimensioner (inklusive konvekse overflader)
  • endelige dimensionelle Banach-rum
  • tilfældige konvekse sæt og integreret geometri
  • asymptotisk teori om konvekse kroppe
  • tilnærmelse med konvekse sæt
  • varianter af konvekse sæt (stjerneformet, ( m, n ) -konveks osv.)
  • Helly-type sætninger og geometrisk tværgående teori
  • andre problemer med kombinatorisk konveksitet
  • længde, areal, volumen
  • blandede bind og relaterede emner
  • værdiansættelser på konvekse kroppe
  • uligheder og ekstremumproblemer
  • konvekse funktioner og konvekse programmer
  • sfærisk og hyperbolsk konveksitet

Udtrykket konveks geometri bruges også i kombinatorik som et alternativt navn på en antimatroid , som er en af ​​de abstrakte modeller af konvekse sæt.

Historisk note

Konveks geometri er en relativt ung matematisk disciplin. Selvom de første kendte bidrag til konveks geometri dateres tilbage til antikken og kan spores i værkerne fra Euclid og Archimedes , blev det en uafhængig gren af ​​matematik ved begyndelsen af ​​det 20. århundrede, hovedsagelig på grund af værkerne fra Hermann Brunn og Hermann Minkowski i dimension to og tre. En stor del af deres resultater blev hurtigt generaliseres til rum af højere dimensioner, og i 1934 T. Bonnesen og W. Fenchel gav en omfattende undersøgelse af konvekse geometri i euklidisk rum R n . Yderligere udvikling af konveks geometri i det 20. århundrede og dens forhold til adskillige matematiske discipliner er opsummeret i håndbogen om konveks geometri redigeret af premierminister Gruber og JM Wills.

Se også

Bemærkninger

Referencer

Eksponerende artikler om konveks geometri

  • K. Ball, en grundlæggende introduktion til moderne konveks geometri, i: Flavours of Geometry, s. 1–58, Math. Sci. Res. Inst. Publ. Vol. 31, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, tilgængelig online .
  • M. Berger, konveksitet, Amer. Matematik. Månedligt, bind 97 (1990), 650—678. DOI: 10.2307 / 2324573
  • PM Gruber, Aspekter af konveksitet og dens anvendelser, Udstilling. Math., Bind. 2 (1984), 47—83.
  • V. Klee, hvad er et konveks sæt? Amer. Matematik. Månedligt, bind 78 (1971), 616—631, DOI: 10.2307 / 2316569

Bøger om konveks geometri

  • T. Bonnesen, W. Fenchel, Theorie der konvexen Körper, Julius Springer, Berlin, 1934. Engelsk oversættelse: Teori om konvekse kroppe, BCS Associates, Moskva, ID, 1987.
  • RJ Gardner, geometrisk tomografi, Cambridge University Press, New York, 1995. Anden udgave: 2006.
  • PM Gruber , konveks og diskret geometri, Springer-Verlag, New York, 2007.
  • PM Gruber, JM Wills (redaktører), Håndbog om konveks geometri. Vol. A. B, Nordholland, Amsterdam, 1993.
  • G. Pisier, volumen af ​​konvekse kroppe og Banach-rumgeometri, Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
  • R. Schneider, konvekse organer: Brunn-Minkowski-teorien, Cambridge University Press, Cambridge, 1993; Anden udgave: 2014.
  • AC Thompson, Minkowski geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
  • A. Koldobsky, V. Yaskin, grænsefladen mellem konveks geometri og harmonisk analyse, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2008.

Artikler om konveks geometri historie

  • W. Fenchel, konveksitet gennem tiderne, (dansk) dansk matematisk samfund (1929—1973), s. 103–116, dansk. Måtte. Forening, København, 1973. Engelsk oversættelse: Konveksitet gennem tiderne, i: PM Gruber, JM Wills (redaktører), Convexity and its Applications, s. 120–130, Birkhauser Verlag, Basel, 1983.
  • PM Gruber, Zur Geschichte der Konvexgeometrie und der Geometrie der Zahlen, i: G. Fischer, et al. (redaktører), Ein Jahrhundert Mathematik 1890—1990, s. 421–455, Dokumente Gesch. Math., Bind. 6, F. Wieweg og Sohn, Braunschweig; Deutsche Mathematiker Vereinigung, Freiburg, 1990.
  • PM Gruber, History of konvexity, i: PM Gruber, JM Wills (redaktører), Håndbog om konveks geometri. Vol. A, s. 1–15, Nordholland, Amsterdam, 1993.

eksterne links