Aritmetisk geometri - Arithmetic geometry

Geometri
Projicere en kugle til et fly
Omrids Historie
Grene Euklidisk Ikke-euklidisk Elliptisk Sfærisk Hyperbolisk Ikke-arkimæisk geometri Projektiv Affine Syntetisk Analytisk Algebraisk Aritmetik Diophantine Differentiale Riemannian Symplectic Diskret differentiering Kompleks Begrænset Diskret / kombinatorisk Digital Konveks Computational Fraktal Forekomst
Begreber Funktioner Dimension Straightedge og kompas konstruktioner Vinkel Kurve Diagonal Orthogonalitet ( vinkelret ) Parallel Hvirvel overensstemmelsen Lighed Symmetri
Nul-dimensionel Punkt
En-dimensionel Linie segment stråle Længde
To-dimensionel Fly Areal Polygon Trekant Højde Hypotenus Pythagoras sætning Parallelogram Firkant Rektangel Rhombus Rhomboid Firkantet Trapesformet Glente Cirkel Diameter Omkreds Areal
Tredimensionelt Bind Terning cuboid Cylinder Pyramide Kugle
Fire - / andre-dimensionelle Tesseract Hypersfære
Geometre
ved navn Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Archimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclid Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Liste over geometre
efter periode BCE Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euclid Archimedes Apollonius 1–1400s Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400- 1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700- 1900-tallet Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Nutidens dag Atiyah Gromov
v t e

Den hyperelliptiske kurve defineret af har kun endeligt mange rationelle punkter (såsom punkterne og ) ved Faltings sætning .${\ displaystyle y ^ {2} = x (x + 1) (x-3) (x + 2) (x-2)}$${\ displaystyle (-2,0)}$${\ displaystyle (-1,0)}$

I matematik er aritmetisk geometri omtrent anvendelsen af ​​teknikker fra algebraisk geometri til problemer i talteori . Aritmetisk geometri er centreret omkring Diophantine geometri , studiet af rationelle punkter i algebraiske sorter .

I mere abstrakte termer kan aritmetisk geometri defineres som undersøgelse af ordninger af endelig type over spektret af ringen af ​​heltal .

Oversigt

De klassiske objekter af interesse for aritmetisk geometri er rationelle punkter: sæt af løsninger af et system med polynomiske ligninger over talfelter , endelige felter , p-adiske felter eller funktionsfelter , dvs. felter , der ikke er algebraisk lukket eksklusive de reelle tal . Rationelle punkter kan karakteriseres direkte af højdefunktioner, der måler deres aritmetiske kompleksitet.

Strukturen af ​​algebraiske sorter defineret over ikke-algebraisk lukkede felter er blevet et centralt område af interesse, der opstod med den moderne abstrakte udvikling af algebraisk geometri. Over endelige legemer, Etale cohomologi giver topologiske invarianter forbundet til algebraisk sorter. p-adic Hodge-teori giver værktøjer til at undersøge, hvornår de kohomologiske egenskaber af sorter over det komplekse antal strækker sig til dem over p-adic-felter.

Historie

19. århundrede: tidlig aritmetisk geometri

I det tidlige 19. århundrede observerede Carl Friedrich Gauss , at der findes ikke-nul- heltalsløsninger til homogene polynomligninger med rationelle koefficienter, hvis der findes rationelle løsninger, der ikke er nul.

I 1850'erne formulerede Leopold Kronecker Kronecker – Weber-sætningen , introducerede teorien om delere og lavede adskillige andre forbindelser mellem talteori og algebra . Derefter formodede han sin " liebster Jugendtraum " ("kæreste drøm for ungdom"), en generalisering, som senere blev fremsat af Hilbert i en modificeret form som hans tolvte problem , der skitserer et mål om, at talteori kun fungerer med ringe, der er kvotienter af polynomiske ringe over heltalene.

Tidligt til midten af ​​det 20. århundrede: algebraisk udvikling og Weil-formodningerne

I slutningen af ​​1920'erne demonstrerede André Weil dybe forbindelser mellem algebraisk geometri og talteori med sit doktorgradsarbejde, der førte til Mordell – Weil-sætningen, der viser, at sættet af rationelle punkter i en abelsk sort er en endeligt genereret abelsk gruppe .

Moderne fundamenter for algebraisk geometri blev udviklet baseret på nutidig kommutativ algebra , herunder værdiansættelsesteori og idealteori af Oscar Zariski og andre i 1930'erne og 1940'erne.

I 1949 udgjorde André Weil den milepæl Weil-formodninger om de algebraiske sorternes zeta-funktioner over endelige marker. Disse formodninger tilbød en ramme mellem algebraisk geometri og talteori, der drev Alexander Grothendieck til at omarbejde grundlaget ved hjælp af skantteori (sammen med Jean-Pierre Serre ) og senere skema teori i 1950'erne og 1960'erne. Bernard Dwork beviste en af ​​de fire Weil-formodninger (rationalitet i den lokale zeta-funktion) i 1960. Grothendieck udviklede en tale cohomology-teori for at bevise to af Weil-formodningerne (sammen med Michael Artin og Jean-Louis Verdier ) i 1965. Den sidste af Weil-formodninger (en analog til Riemann-hypotesen ) blev endelig bevist i 1974 af Pierre Deligne .

Midt til slutningen af ​​det 20. århundrede: udvikling i modularitet, p-adic-metoder og videre

Mellem 1956 og 1957 stillede Yutaka Taniyama og Goro Shimura formodningen Taniyama-Shimura (nu kendt som modularitetssætningen), der vedrører elliptiske kurver til modulære former . Denne forbindelse ville i sidste ende føre til det første bevis på Fermats sidste sætning i talteori gennem algebraiske geometri-teknikker til modularitetsløftning udviklet af Andrew Wiles i 1995.

I 1960'erne introducerede Goro Shimura Shimura-sorter som generaliseringer af modulkurver . Siden 1979 har Shimura-sorter spillet en afgørende rolle i Langlands-programmet som et naturligt eksempel på eksempler til testning af formodninger.

I papirer i 1977 og 1978 beviste Barry Mazur torsionsformodningen, der gav en komplet liste over de mulige torsionsundergrupper af elliptiske kurver over de rationelle tal. Mazurs første bevis på denne sætning var afhængig af en komplet analyse af de rationelle punkter på visse modulære kurver . I 1996 blev beviset for torsionsformodningen udvidet til alle nummerfelter af Loïc Merel .

I 1983 beviste Gerd Faltings Mordell- formodningen og demonstrerede, at en kurve af slægten større end 1 kun har endeligt mange rationelle punkter (hvor Mordell-Weil-sætningen kun viser en endelig generation af sættet af rationelle punkter i modsætning til finitet).

I 2001 var beviset for de lokale Langlands-formodninger for GL _n baseret på geometrien af ​​visse Shimura-sorter.

I 2010'erne udviklede Peter Scholze perfektoidrum og nye kohomologiteorier i aritmetisk geometri over p-adiske felter med anvendelse på Galois-repræsentationer og visse tilfælde af vægt-monodromi-formodningen .

Se også

• Aritmetisk dynamik
• Aritmetik af abelske sorter
• Birch og Swinnerton-Dyer formodninger
• Moduli af algebraiske kurver
• Siegel modulopbygget sort
• Siegel's sætning om integrerede punkter

Referencer