Geometri historie - History of geometry

En del af " Tab.Geometry. " (Table of Geometry) fra 1728 Cyclopaedia .

Geometri
Projicere en kugle til et fly
Omrids Historie
Grene Euklidisk Ikke-euklidisk Elliptisk Sfærisk Hyperbolisk Ikke-arkimedisk geometri Projektiv Affine Syntetisk Analytisk Algebraisk Aritmetik Diophantine Differentiale Riemannian Sympektisk Diskret differential Kompleks Begrænset Diskret/Kombinerende Digital Konveks Beregning Fraktal Forekomst
Begreber Funktioner Dimension Konstruktioner i lige og kompas Vinkel Kurve Diagonal Orthogonality ( vinkelret ) Parallel Vertex overensstemmelsen Lighed Symmetri
Nul-dimensionel Punkt
En-dimensionel Line segment stråle Længde
To-dimensionelle Fly Areal Polygon Trekant Højde Hypotenuse Pythagoras sætning Parallelogram Firkant Rektangel Rhombus Rhomboid Firkantet Trapez Glente Cirkel Diameter Omkreds Areal
Tredimensionel Bind Terning kubisk Cylinder Pyramide Kugle
Fire - / andre -dimensionelle Tesseract Hypersfære
Geometre
ved navn Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Arkimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euklid Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Liste over geometre
efter periode Fvt Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euklid Arkimedes Apollonius 1–1400 -tallet Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400-1700 -tallet Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700-1900’erne Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Nuværende dag Atiyah Gromov
v t e

Geometri (fra oldgræsk : γεωμετρία ; geo- "jord", -metron "måling") opstod som vidensfelt, der omhandler rumlige forhold. Geometri var et af de to områder inden for-moderne matematik , den anden var studiet af tal ( aritmetik ).

Klassisk geometri var fokuseret på kompas- og straightedge -konstruktioner . Geometri blev revolutioneret af Euclid , der introducerede matematisk stringens og den aksiomatiske metode, der stadig er i brug i dag. Hans bog, The Elements betragtes bredt som den mest indflydelsesrige lærebog nogensinde og var kendt for alle uddannede mennesker i Vesten indtil midten af ​​det 20. århundrede.

I moderne tid er geometriske begreber blevet generaliseret til et højt niveau af abstraktion og kompleksitet og har været underlagt metoderne beregning og abstrakt algebra, så mange moderne grene af feltet næppe kan genkendes som efterkommere af tidlig geometri. (Se Matematikområder og algebraisk geometri .)

Tidlig geometri

Si.427 forsiden. Det er et tidligt eksempel på anvendt geometri og blandt de ældste kendte matematiske artefakter .

Den tidligste registrerede begyndelse af geometri kan spores til tidlige mennesker, der opdagede stumpe trekanter i den gamle Indus -dal (se Harappan -matematik ) og det gamle Babylonia (se babylonske matematik ) fra omkring 3000 f.Kr. Tidlig geometri var en samling af empirisk opdagede principper vedrørende længder, vinkler, områder og mængder, som blev udviklet for at imødekomme nogle praktiske behov inden for opmåling , konstruktion , astronomi og forskellige håndværk. Blandt disse var nogle overraskende sofistikerede principper, og en moderne matematiker kan være svært at udlede nogle af dem uden brug af beregning og algebra. For eksempel var både egypterne og babylonierne klar over versioner af Pythagoras sætning omkring 1500 år før Pythagoras og den indiske Sulba Sutras omkring 800 f.Kr. indeholdt teoremets første udsagn; egypterne havde en korrekt formel for volumenet af et frustum af en firkantet pyramide.

Egyptisk geometri

De gamle egyptere vidste, at de kunne tilnærme arealet af en cirkel som følger:

Cirkelområde ≈ [(Diameter) x 8/9] ² .

Opgave 30 i Ahmes -papyrus bruger disse metoder til at beregne arealet af en cirkel ifølge en regel om, at arealet er lig med kvadratet på 8/9 af cirkelens diameter. Dette forudsætter, at π er 4 × (8/9) ² (eller 3.160493 ...), med en fejl på lidt over 0,63 procent. Denne værdi var lidt mindre præcis end babyloniernes beregninger (25/8 = 3,125, inden for 0,53 procent), men blev ellers ikke overgået, før Archimedes 'tilnærmelse af 211875/67441 = 3,14163, som havde en fejl på godt 1 ud af 10.000 .

Ahmes kendte til det moderne 22/7 som en tilnærmelse til π , og brugte det til at dele en hekat, hekat x 22/xx 7/22 = hekat; Ahmes fortsatte imidlertid med at bruge den traditionelle 256/81 værdi til π til beregning af hans hekat -volumen fundet i en cylinder.

Opgave 48 involverede at bruge en firkant med 9 enheder. Denne firkant blev skåret i et 3x3 gitter. Hjørnekvadraternes diagonale blev brugt til at lave en uregelmæssig ottekant med et areal på 63 enheder. Dette gav en anden værdi for π på 3.111 ...

De to problemer angiver tilsammen en række værdier for π mellem 3.11 og 3.16.

Opgave 14 i Moskvas matematiske papyrus giver det eneste gamle eksempel på at finde mængden af ​​en frustum af en pyramide, der beskriver den korrekte formel:

${\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} h (a^{2}+ab+b^{2})}$

hvor a og b er den afkortede pyramides bund- og oversidelængder og h er højden.

Babylonsk geometri

Babylonierne kendte muligvis de generelle regler for måling af områder og mængder. De målte omkredsen af ​​en cirkel som tre gange diameteren og arealet som en tolvtedel af omkredsen, hvilket ville være korrekt, hvis π anslås til 3. Volumenet af en cylinder blev taget som produktet af basen og højden, volumenet af frustum af en kegle eller en firkantet pyramide blev imidlertid forkert taget som et produkt af højden og halvdelen af ​​summen af ​​baserne. Den pythagoræiske læresætning var også kendt for at babylonierne. Der var også en nylig opdagelse, hvor en tablet brugte π som 3 og 1/8. Babylonierne er også kendt for den babylonske mil, som var et mål for afstand svarende til omkring syv miles i dag. Denne måling for afstande blev til sidst konverteret til en tidsmile, der blev brugt til måling af Solens rejse, hvilket derfor repræsenterer tid. Der har været nylige opdagelser, der viser, at gamle babylonere måske har opdaget astronomisk geometri næsten 1400 år før europæerne gjorde det.

Vedisk Indien geometri

Rigveda -manuskript i Devanagari .

Den indiske vediske periode havde en tradition for geometri, mest udtrykt i konstruktionen af ​​detaljerede alter. Tidlige indiske tekster (1. årtusinde f.Kr.) om dette emne omfatter Satapatha Brahmana og Śulba Sūtras .

Ifølge ( Hayashi 2005 , s. 363) indeholder Śulba Sūtras "det tidligste eksisterende verbale udtryk for Pythagoras sætning i verden, selv om det allerede havde været kendt af de gamle babylonere."

Det diagonale reb ( akṣṇayā-rajju ) i en aflang (rektangel) frembringer både som flanken ( pārśvamāni ) og den vandrette ( tiryaṇmānī ) < ropper > producerer hver for sig. "

De indeholder lister over pythagoranske trippler , som er særlige tilfælde af diofantiske ligninger . De indeholder også udsagn (om at vi i bakspejlet ved, at vi er omtrentlige) om kvadrering af cirklen og "cirkel rundt på firkanten".

Den Baudhayana Sulba Sutra , den bedst kendte og ældste af Sulba Sutraerne (dateret til det 8. eller 7. århundrede f.Kr.) indeholder eksempler på enkle pythagoræiske tal, såsom: , , , , og samt en opgørelse over den pythagoræiske læresætning for siderne af en firkant: "Rebet, der er strakt på tværs af en firkants diagonal, producerer et område, der er dobbelt så stort som det oprindelige kvadrat." Den indeholder også den generelle erklæring fra Pythagoras sætning (for siderne af et rektangel): "Rebet strakt langs længden af ​​diagonalen af ​​et rektangel laver et område, som de lodrette og vandrette sider danner sammen." ${\ displaystyle (3,4,5)}$${\ displaystyle (5,12,13)}$${\ displaystyle (8,15,17)}$${\ displaystyle (7,24,25)}$${\ displaystyle (12,35,37)}$

Ifølge matematiker SG Dani skrev den babylonske kiletavle Plimpton 322 ca. 1850 f.Kr. "indeholder femten pythagoranske tredobbelte med ganske store poster, herunder (13500, 12709, 18541), som er en primitiv tredobbelt, hvilket især angiver, at der var sofistikeret forståelse for emnet" i Mesopotamien i 1850 f.Kr. "Da disse tabletter går forud for Sulbasutras -perioden med flere århundreder under hensyntagen til kontekstuelle udseende af nogle af tredoblerne, er det rimeligt at forvente, at lignende forståelse ville have været der i Indien." Dani siger videre:

"Som hovedformålet med Sulvasutras var at beskrive alterkonstruktioner og de geometriske principper, der er involveret i dem, er emnet for pythagoranske tredobbelte, selvom det var blevet godt forstået, stadig ikke har været med i Sulvasutras . Forekomsten af ​​tredobbelt i Sulvasutras kan sammenlignes med matematik, som man kan støde på i en indledende bog om arkitektur eller et andet lignende anvendt område, og ville ikke svare direkte til den overordnede viden om emnet på det tidspunkt. Da der desværre ikke er fundet andre samtidige kilder, er der fundet det er muligvis aldrig muligt at løse dette problem tilfredsstillende. "

I alt blev tre Sulba Sutras komponeret. De resterende to, Manava Sulba Sutra komponeret af Manava ( fl. 750-650 f.Kr.) og Apastamba Sulba Sutra , komponeret af Apastamba (ca. 600 f.Kr.), indeholdt resultater svarende til Baudhayana Sulba Sutra .

Græsk geometri

Klassisk græsk geometri

For de gamle græske matematikere var geometri kronjuvelen i deres videnskaber og nåede en fuldstændighed og perfektion af metodologi, som ingen anden gren af ​​deres viden havde opnået. De udvidede geometriområdet til mange nye slags figurer, kurver, overflader og faste stoffer; de ændrede dets metode fra trial-and-error til logisk fradrag; de erkendte, at geometri studerer "evige former" eller abstraktioner, hvoraf fysiske objekter kun er tilnærmelser; og de udviklede ideen om den "aksiomatiske metode" , der stadig er i brug i dag.

Thales og Pythagoras

Pythagoras sætning : a ²  +  b ²  =  c ²

Thales (635-543 f.Kr.) fra Milet (nu i det sydvestlige Tyrkiet), var den første til hvem fradrag i matematik tilskrives. Der er fem geometriske forslag, som han skrev deduktive beviser for, selvom hans beviser ikke har overlevet. Pythagoras (582-496 f.Kr.) i Ionien, og senere, Italien, dengang koloniseret af grækerne, kan have været en elev af Thales og rejste til Babylon og Egypten . Sætningen, der bærer hans navn, var måske ikke hans opdagelse, men han var sandsynligvis en af ​​de første, der gav et deduktivt bevis på det. Han samlede en gruppe elever omkring sig for at studere matematik, musik og filosofi, og sammen opdagede de det meste af det, gymnasieelever lærer i dag i deres geometri -kurser. Derudover gjorde de en dybtgående opdagelse af uvurderlige længder og irrationelle tal .

Platon

Platon (427-347 f.Kr.) var en filosof, højt værdsat af grækerne. Der er en historie om, at han havde indskrevet over indgangen til sin berømte skole, "Lad ingen uvidende om geometri komme ind her." Historien anses dog for at være usand. Selvom han ikke selv var matematiker, havde hans syn på matematik stor indflydelse. Matematikere accepterede således hans overbevisning om, at geometri ikke skulle bruge værktøjer, men kompas og opretning - aldrig måleinstrumenter som en markeret lineal eller en vinkelmåler , fordi disse var en håndværksværktøj, der ikke var en lærd værdig. Denne diktum førte til en dyb undersøgelse af mulige kompas- og opretningskonstruktioner og tre klassiske konstruktionsproblemer: hvordan man bruger disse værktøjer til at snitte en vinkel , konstruere en terning, der er dobbelt så stor som en given terning og konstruere en firkant, der er lige stor i areal til en given cirkel. Beviserne for umuligheden af ​​disse konstruktioner, der endelig blev opnået i det 19. århundrede, førte til vigtige principper vedrørende den dybe struktur i det reelle talsystem. Aristoteles (384-322 f.Kr.), Platons største elev, skrev en afhandling om ræsonnementsmetoder, der blev brugt i deduktive beviser (se Logik ), som først blev forbedret væsentligt før i det 19. århundrede.

Hellenistisk geometri

Euklid

Statue af Euclid i Oxford University Museum of Natural History .

Kvinde underviser i geometri . Illustration i begyndelsen af ​​en middelalderlig oversættelse af Euclids elementer , (ca. 1310)

Euclid (ca. 325-265 f.Kr.), fra Alexandria , sandsynligvis en studerende ved Akademiet grundlagt af Platon, skrev en afhandling i 13 bøger (kapitler), med titlen The Elements of Geometry , hvor han præsenterede geometri i en ideel aksiomatisk form, som blev kendt som euklidisk geometri . Afhandlingen er ikke et kompendium af alt det, de hellenistiske matematikere dengang vidste om geometri; Euklid selv skrev otte mere avancerede bøger om geometri. Vi ved fra andre referencer, at Euclids ikke var den første elementære geometri -lærebog, men den var så meget overlegen, at de andre gik i ubrug og gik tabt. Han blev bragt til universitetet i Alexandria af Ptolemaios I , konge af Egypten.

Elementerne begyndte med definitioner af udtryk, grundlæggende geometriske principper (kaldet aksiomer eller postulater ) og generelle kvantitative principper (kaldet almindelige forestillinger ), hvorfra resten af ​​geometrien logisk kunne udledes. Følgende er hans fem aksiomer, noget omskrevet for at gøre englænderne lettere at læse.

1. Alle to punkter kan forbindes med en lige linje.
2. Enhver endelig linje kan forlænges i en lige linje.
3. En cirkel kan tegnes med ethvert center og enhver radius.
4. Alle rette vinkler er lig med hinanden.
5. Hvis to lige linjer i et plan krydses af en anden lige linje (kaldet det tværgående), og de indre vinkler mellem de to linjer og det tværgående, der ligger på den ene side af det tværgående, tilføjer op til mindre end to rette vinkler, så på den side af det tværgående krydser de to forlængede linjer (også kaldet det parallelle postulat ).

Begreber, der nu forstås som algebra , blev udtrykt geometrisk af Euklid, en metode kaldet græsk geometrisk algebra .

Arkimedes

Archimedes (287-212 f.Kr.), i Syracuse , Sicilien , da det var en græsk bystat , anses ofte for at være den største af de græske matematikere, og undertiden endda navngivet som en af ​​de tre største nogensinde (sammen med Isaac Newton og Carl Friedrich Gauss ). Havde han ikke været matematiker, ville han stadig blive husket som en stor fysiker, ingeniør og opfinder. I sin matematik udviklede han metoder, der ligner meget koordinatsystemerne for analytisk geometri og den begrænsende proces med integralregning. Det eneste element, der manglede til oprettelsen af ​​disse felter, var en effektiv algebraisk notation, hvori han kunne udtrykke sine begreber.

Efter Arkimedes

Geometri var forbundet med det guddommelige for de fleste middelalderlige forskere . Den kompas i denne 13. århundrede manuskript er et symbol på Guds handling af skabelsen .

Efter Arkimedes begyndte den hellenistiske matematik at falde. Der var et par mindre stjerner endnu, men geometriens guldalder var forbi. Proclus (410-485), forfatter til Kommentar til Euklides første bog , var en af ​​de sidste vigtige spillere inden for hellenistisk geometri. Han var en kompetent geometer, men endnu vigtigere var han en fremragende kommentator på de værker, der gik forud for ham. Meget af dette arbejde overlevede ikke til moderne tid, og er kun kendt for os gennem hans kommentar. Den romerske republik og imperium, der lykkedes og absorberede de græske bystater, frembragte fremragende ingeniører, men ingen matematikere bemærkede.

Det store bibliotek i Alexandria blev senere brændt. Der er en voksende konsensus blandt historikere om, at biblioteket i Alexandria sandsynligvis led af flere ødelæggende begivenheder, men at ødelæggelsen af ​​Alexandrias hedenske templer i slutningen af ​​4. århundrede sandsynligvis var den alvorligste og sidste. Beviset for denne ødelæggelse er det mest endelige og sikre. Cæsars invasion kan meget vel have ført til tabet af omkring 40.000-70.000 ruller på et lager ved siden af ​​havnen (som Luciano Canfora hævder, de var sandsynligvis kopier produceret af biblioteket beregnet til eksport), men det er usandsynligt at have påvirket biblioteket eller Museum, da der er rigeligt bevis på, at begge eksisterede senere.

Borgerkrige, faldende investeringer i vedligeholdelse og erhvervelse af nye ruller og generelt faldende interesse for ikke-religiøse sysler bidrog sandsynligvis til en reduktion af mængden af ​​materiale, der var tilgængeligt på biblioteket, især i det 4. århundrede. Serapeum blev bestemt ødelagt af Theophilus i 391, og museet og biblioteket er muligvis blevet offer for den samme kampagne.

Klassisk indisk geometri

I Bakhshali -manuskriptet er der en håndfuld geometriske problemer (herunder problemer med mængder af uregelmæssige faste stoffer). Bakhshali -manuskriptet "anvender også et decimalværdisystem med en prik for nul." Aryabhata 's Aryabhatiya (499) omfatter beregning af områder og mængder.

Brahmagupta skrev sit astronomiske værk Brāhma Sphuṭa Siddhānta i 628. Kapitel 12, indeholdende 66 sanskritvers , blev opdelt i to sektioner: "grundlæggende operationer" (herunder terningerødder, brøker, forhold og andel og byttehandel) og "praktisk matematik" (herunder blanding, matematiske serier, planfigurer, stabling af mursten, savning af tømmer og bunke af korn). I sidstnævnte afsnit udtalte han sin berømte sætning om diagonalerne i en cyklisk firkant :

Brahmaguptas sætning: Hvis en cyklisk firkant har diagonaler, der er vinkelret på hinanden, halverer den vinkelrette linje trukket fra skæringspunktet mellem diagonaler til enhver side af firkanten altid den modsatte side.

Kapitel 12 indeholdt også en formel for arealet af en cyklisk firkant (en generalisering af Herons formel ) samt en komplet beskrivelse af rationelle trekanter ( dvs. trekanter med rationelle sider og rationelle områder).

Brahmaguptas formel: Arealet, A , af en cyklisk firkant med sider af henholdsvis længderne a , b , c , d er givet ved

${\ displaystyle A = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)}}}$

hvor s , semiperimeteret , givet af:${\ displaystyle s = {\ frac {a+b+c+d} {2}}.}$

Brahmaguptas sætning om rationelle trekanter: En trekant med rationelle sider og rationelt område har formen: ${\ displaystyle a, b, c}$

${\ displaystyle a = {\ frac {u^{2}} {v}}+v, \ \ b = {\ frac {u^{2}} {w}}+w, \ \ c = {\ frac {u^{2}} {v}}+{\ frac {u^{2}} {w}}-(v+w)}$

for nogle rationelle tal og . ${\ displaystyle u, v,}$${\ displaystyle w}$

Kinesisk geometri

De ni kapitler om matematisk kunst , først udarbejdet i 179 e.Kr., med tilføjet kommentar i det 3. århundrede af Liu Hui .

Haidao Suanjing , Liu Hui, 3. århundrede.

Den første endelige arbejde (eller i det mindste ældste eksisterende) på geometri i Kina var den Mo Jing , den Mohist kanon af den tidlige filosof Mozi (470-390 f.Kr.). Det blev samlet år efter hans død af hans tilhængere omkring år 330 f.Kr. Selvom Mo Jing er den ældste eksisterende bog om geometri i Kina, er der mulighed for, at der endnu eksisterede ældre skriftligt materiale. Men på grund af den berygtede afbrænding af bøgerne i en politisk manøvre af Qin-dynastiets hersker Qin Shihuang (r. 221-210 f.Kr.) blev en mængde skriftlig litteratur skabt før hans tid renset. Derudover præsenterer Mo Jing geometriske begreber i matematik, der måske er for avancerede til ikke at have haft en tidligere geometrisk base eller matematisk baggrund at arbejde videre med.

Den Mo Jing beskrevet forskellige aspekter af mange områder, der er forbundet med fysiske videnskab, og forudsat en lille væld af oplysninger om matematik så godt. Det gav en 'atomær' definition af det geometriske punkt, hvori det stod, at en linje er adskilt i dele, og den del, der ikke har resterende dele (dvs. ikke kan opdeles i mindre dele) og dermed danner den yderste ende af en linje, er et punkt . Ligesom Euclids første og tredje definition og Platons 'begyndelsen på en linje', udtalte Mo Jing , at "et punkt kan stå for enden (af en linje) eller i begyndelsen som et hovedpræsentation i fødslen. (Med hensyn til dens usynlighed) er der ikke noget, der ligner det. " Svarende til atomists af Demokrit , at Mo Jing udtalt, at et punkt er den mindste enhed, og kan ikke være skåret i halve, da 'ingenting' ikke kan halveres. Den erklærede, at to linjer med lige længde altid vil ende på det samme sted, samtidig med at der blev givet definitioner til sammenligning af længder og paralleller sammen med principper for rum og afgrænset rum. Den beskrev også det faktum, at fly uden tykkelsens kvalitet ikke kan stables, da de ikke kan røre hinanden. Bogen gav definitioner for omkreds, diameter og radius sammen med definitionen af ​​volumen.

Den Han-dynastiet (202 f.Kr.-220 e.Kr.) periode i Kina vidne til en ny opblomstring af matematik. En af de ældste kinesiske matematiske tekster til at præsentere geometriske fremskridt var Suàn shù shū fra 186 f.Kr., under den vestlige Han -æra . Matematikeren, opfinderen og astronomen Zhang Heng (78-139 e.Kr.) brugte geometriske formler til at løse matematiske problemer. Selvom der blev givet grove skøn for pi ( π ) i Zhou Li (samlet i det 2. århundrede f.Kr.), var det Zhang Heng, der var den første til at gøre en fælles indsats for at skabe en mere præcis formel for pi. Zhang Heng tilnærmede pi til 730/232 (eller cirka 3.1466), selvom han brugte en anden formel for pi til at finde et sfærisk volumen ved at bruge kvadratroden på 10 (eller cirka 3.162) i stedet. Zu Chongzhi (429-500 e.Kr.) forbedrede nøjagtigheden af ​​tilnærmelsen af ​​pi til mellem 3.1415926 og 3.1415927, hvor ³⁵⁵ ⁄ ₁₁₃ (密 率, Milü, detaljeret tilnærmelse) og ²² ⁄ ₇ (约 率, Yuelü, grov tilnærmelse) er anden bemærkelsesværdig tilnærmelse. I sammenligning med senere værker faldt formlen for pi givet af den franske matematiker Franciscus Vieta (1540-1603) halvvejs mellem Zu's tilnærmelser.

De ni kapitler om den matematiske kunst

De ni kapitler om matematisk kunst , hvis titel først optrådte i 179 e.Kr. på en bronzeindskrift, blev redigeret og kommenteret af matematikeren Liu Hui fra3. århundredefra Kongeriget Cao Wei . Denne bog omfattede mange problemer, hvor geometri blev anvendt, såsom at finde overfladearealer til firkanter og cirkler, mængderne af faste stoffer i forskellige tredimensionelle former og inkluderede brugen af Pythagoras sætning . Bogen leverede illustreret bevis for Pythagoras sætning, indeholdt en skriftlig dialog mellem den tidligere hertug af Zhou og Shang Gao om egenskaberne ved den retvinklede trekant og Pythagoras sætning, mens den også henviste til den astronomiske gnomon , cirklen og firkanten, samt målinger af højder og afstande. Redaktøren Liu Hui angav pi som 3.141014 ved hjælp af en 192 -sidet polygon og beregnede derefter pi som 3.14159 ved hjælp af en 3072 -sidet polygon. Dette var mere præcist end Liu Huis nutidige Wang Fan , en matematiker og astronom fra det østlige Wu , ville gengive pi som 3.1555 ved at bruge ¹⁴² ⁄ ₄₅ . Liu Hui skrev også om matematisk opmåling for at beregne afstandsmålinger af dybde, højde, bredde og overfladeareal. Med hensyn til solid geometri fandt han ud af, at en kile med rektangulær bund og begge sider skrånende kunne brydes ned i en pyramide og en tetrahedral kile. Han fandt også ud af, at en kile med trapezformet bund og begge sider skrånende kunne laves for at give to tetraedriske kiler adskilt af en pyramide. Desuden beskrev Liu Hui Cavalieris princip om volumen, samt gaussisk eliminering . Fra de ni kapitler angav den følgende geometriske formler, der var kendt på det tidlige Han -dynasti (202 f.Kr. – 9 e.Kr.).

Områder til

Bind til

I forlængelse af det geometriske arv fra det antikke Kina var der mange senere figurer, herunder den berømte astronom og matematiker Shen Kuo (1031-1095 CE), Yang Hui (1238-1298), der opdagede Pascals Trekant , Xu Guangqi (1562-1633) , og mange andre.

Islamisk guldalder

Side fra Al-Jabr wa-al-Muqabilah

I begyndelsen af ​​det 9. århundrede blomstrede den " islamiske guldalder ", etableringen af visdomshuset i Bagdad markerede en separat videnskabstradition i den middelalderlige islamiske verden , der ikke kun bygger på hellenistisk, men også på indiske kilder.

Selvom de islamiske matematikere er mest berømte for deres arbejde med algebra , talteori og nummersystemer , leverede de også betydelige bidrag til geometri, trigonometri og matematisk astronomi og var ansvarlige for udviklingen af algebraisk geometri .

Al-Mahani (født 820) opfattede ideen om at reducere geometriske problemer, såsom at kopiere terningen til problemer i algebra. Al-Karaji (født 953) befriede algebra helt fra geometriske operationer og erstattede dem med den aritmetiske type operationer, der er kernen i algebra i dag.

Thābit ibn Qurra (kendt som Thebit på latin ) (født 836) bidrog til en række områder inden for matematik, hvor han spillede en vigtig rolle i at forberede vejen til så vigtige matematiske opdagelser som udvidelsen af ​​begrebet tal til ( positiv ) reelle tal , integralregning , sætninger i sfærisk trigonometri , analytisk geometri og ikke-euklidisk geometri . I astronomi var Thabit en af ​​de første reformatorer af det ptolemaiske system , og i mekanikken var han en af ​​grundlæggerne af statik . Et vigtigt geometrisk aspekt af Thabits arbejde var hans bog om sammensætningen af ​​nøgletal. I denne bog omhandler Thabit aritmetiske operationer, der anvendes på forhold mellem geometriske størrelser. Grækerne havde behandlet geometriske størrelser, men havde ikke tænkt på dem på samme måde som tal, som de sædvanlige regneregler kunne anvendes på. Ved at indføre aritmetiske operationer på mængder, der tidligere blev betragtet som geometriske og ikke-numeriske, startede Thabit en tendens, der til sidst førte til generalisering af talbegrebet.

I nogle henseender er Thabit kritisk over for Platons og Aristoteles 'ideer, især hvad angår bevægelse. Det ser ud til, at hans ideer her er baseret på en accept af at bruge argumenter vedrørende bevægelse i hans geometriske argumenter. Et andet vigtigt bidrag, Thabit gav til geometri, var hans generalisering af Pythagoras sætning , som han udvidede fra særlige rigtige trekanter til alle trekanter generelt sammen med et generelt bevis .

Ibrahim ibn Sinan ibn Thabit (født 908), der indførte en integrationsmetode mere generel end Archimedes , og al-Quhi (født 940) var ledende skikkelser i en genoplivning og fortsættelse af græsk højere geometri i den islamiske verden. Disse matematikere, og især Ibn al-Haytham , studerede optik og undersøgte de optiske egenskaber ved spejle fremstillet af keglesnit .

Astronomi, tidsholdning og geografi gav andre motiver til geometrisk og trigonometrisk forskning. For eksempel studerede Ibrahim ibn Sinan og hans bedstefar Thabit ibn Qurra begge kurver, der kræves ved konstruktion af solur. Abu'l-Wafa og Abu Nasr Mansur anvendte begge sfærisk geometri til astronomi.

Et papir fra 2007 i tidsskriftet Science foreslog, at girih-fliser havde egenskaber, der var i overensstemmelse med selvlignende fraktale kvasikrystallinske fliser, såsom Penrose-fliserne .

Renæssance

Et gravering af Albrecht Dürer med Mashallah , fra titelbladet til De scientia motus orbis (latinsk version med gravering, 1504). Som i mange middelalderlige illustrationer er kompasset her et ikon for religion såvel som videnskab med henvisning til Gud som skabelsens arkitekt

Den transmissionen af den græske klassikere til middelalderens Europa via arabiske litteratur af det 9. til 10. århundrede " islams guldalder " begyndte i det 10. århundrede og kulminerede i de latinske oversættelser af det 12. århundrede . En kopi af Ptolemaios ' Almagest blev bragt tilbage til Sicilien af Henry Aristippus (d. 1162), som en gave fra kejseren til kong William I (r. 1154–1166). En anonym studerende på Salerno rejste til Sicilien og oversatte Almagest samt flere værker af Euclid fra græsk til latin. Selvom sicilianerne generelt oversatte direkte fra græsk, når græske tekster ikke var tilgængelige, ville de oversætte fra arabisk. Eugenius fra Palermo (d. 1202) oversatte Ptolemaios ' optik til latin og trak på sin viden om alle tre sprog i opgaven. De strenge deduktive metoder til geometri, der findes i Euklids elementer af geometri, blev genlært, og videreudvikling af geometri i stilarterne for både Euklid ( euklidisk geometri ) og Khayyam ( algebraisk geometri ) fortsatte, hvilket resulterede i en overflod af nye sætninger og begreber, mange af dem meget dybe og elegante.

Der er sket fremskridt i behandlingen af perspektiv i renæssancekunsten i det 14. til 15. århundrede, som gik ud over, hvad der var opnået i antikken. I renæssancearkitekturen i Quattrocento blev begreber om arkitektonisk orden undersøgt, og regler blev formuleret. Et godt eksempel på er Basilica di San Lorenzo i Firenze af Filippo Brunelleschi (1377–1446).

I c. 1413 Filippo Brunelleschi demonstrerede den geometriske perspektivmetode, der i dag bruges af kunstnere, ved at male konturerne af forskellige florentinske bygninger på et spejl. Kort efter brugte næsten alle kunstnere i Firenze og i Italien geometrisk perspektiv i deres malerier, især Masolino da Panicale og Donatello . Melozzo da Forlì brugte først teknikken til opadgående forkortelse (i Rom, Loreto , Forlì og andre), og blev fejret for det. Ikke kun var perspektiv en måde at vise dybde på, det var også en ny metode til at komponere et maleri. Malerier begyndte at vise en enkelt, samlet scene, snarere end en kombination af flere.

Som det fremgår af den hurtige spredning af nøjagtige perspektivmalerier i Firenze, forstod Brunelleschi sandsynligvis (med hjælp fra sin ven matematikeren Toscanelli ), men offentliggjorde ikke matematikken bag perspektivet. Årtier senere skrev hans ven Leon Battista Alberti De pictura (1435/1436), en afhandling om korrekte metoder til at vise afstand i maleri baseret på euklidisk geometri. Alberti blev også uddannet i videnskaben om optik gennem Padua -skolen og under indflydelse af Biagio Pelacani da Parma, der studerede Alhazen's Optics '.

Piero della Francesca uddybede Della Pittura i sin De Prospectiva Pingendi i 1470'erne. Alberti havde begrænset sig til figurer på grundplanet og gav et overordnet perspektivgrundlag. Della Francesca gennemførte det og udtrykkeligt dækkede faste stoffer i ethvert område af billedplanet. Della Francesca startede også den nu almindelige praksis med at bruge illustrerede figurer til at forklare de matematiske begreber, hvilket gør hans afhandling lettere at forstå end Albertis. Della Francesca var også den første til nøjagtigt at tegne de platoniske faste stoffer, som de ville se ud i perspektiv.

Perspektiv forblev et stykke tid domænet i Firenze. Blandt andre var Jan van Eyck ikke i stand til at skabe en konsistent struktur for de konvergerende linjer i malerier, som i Londons The Arnolfini Portrait , fordi han ikke var klar over det teoretiske gennembrud, der netop fandt sted i Italien. Imidlertid opnåede han meget subtile effekter ved at manipulere med skala i sit interiør. Efterhånden og delvist gennem bevægelsen af ​​kunstakademierne blev de italienske teknikker en del af uddannelsen af ​​kunstnere i hele Europa og senere andre dele af verden. Kulminationen på disse renæssancetraditioner finder sin ultimative syntese i forskningen af ​​arkitekten, geometeret og optikeren Girard Desargues om perspektiv, optik og projektiv geometri.

Den vitruvianske mand af Leonardo da Vinci (ca. 1490) skildrer en mand i to overlejrede positioner med arme og ben adskilt og indskrevet i en cirkel og firkant. Tegningen er baseret på korrelationer mellem ideelle menneskelige proportioner og geometri beskrevet af den gamle romerske arkitekt Vitruvius i bog III i hans afhandling De Architectura .

Moderne geometri

Det 17. århundrede

Diskurs om metode af René Descartes

I begyndelsen af ​​1600 -tallet var der to vigtige udviklinger inden for geometri. Den første og vigtigste var oprettelsen af analytisk geometri , eller geometri med koordinater og ligninger , af René Descartes (1596–1650) og Pierre de Fermat (1601–1665). Dette var en nødvendig forløber for udviklingen af beregning og en præcis kvantitativ fysikvidenskab . Den anden geometriske udvikling i denne periode var den systematiske undersøgelse af projektiv geometri af Girard Desargues (1591–1661). Projektiv geometri er studiet af geometri uden måling, bare undersøgelsen af, hvordan punkter flugter med hinanden. Der havde været noget tidligt arbejde på dette område med hellenistiske geometre, især Pappus (ca. 340). Markens største blomstring fandt sted med Jean-Victor Poncelet (1788-1867).

I slutningen af ​​1600 -tallet blev beregning udviklet uafhængigt og næsten samtidigt af Isaac Newton (1642-1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Dette var begyndelsen på et nyt matematikfelt, der nu kaldes analyse . Selvom det ikke i sig selv er en gren af ​​geometri, kan det anvendes på geometri, og det løste to familier af problemer, der længe havde været næsten umulige: at finde tangentlinjer til ulige kurver og finde områder, der er lukket af disse kurver. Beregningsmetoderne reducerede disse problemer mest til ligefremme beregningsanliggender.

Det 18. og 19. århundrede

Ikke-euklidisk geometri

Det meget gamle problem med at bevise Euclids femte postulat, " Parallel Postulatet ", fra hans fire første postulater var aldrig blevet glemt. Begyndende ikke længe efter Euklid blev der givet mange forsøg på demonstrationer, men alle viste sig senere at være fejlbehæftede ved at tillade et princip, som ikke var blevet bevist ud fra de fire første postulater. Selvom Omar Khayyám også var uden held med at bevise det parallelle postulat, bidrog hans kritik af Euklides teorier om paralleller og hans bevis for egenskaber for figurer i ikke-euklidiske geometrier til den endelige udvikling af ikke-euklidisk geometri . I 1700 var der blevet opdaget meget om, hvad der kan bevises fra de fire første, og hvad faldgruberne var i forsøget på at bevise det femte. Saccheri , Lambert og Legendre udførte hver især fremragende arbejde med problemet i det 18. århundrede, men manglede stadig succes. I begyndelsen af ​​1800 -tallet tog Gauss , Johann Bolyai og Lobatchewsky , hver for sig, en anden tilgang. Begyndende at mistanke om, at det var umuligt at bevise det parallelle postulat, satte de sig for at udvikle en selvkonsistent geometri, hvor postulatet var falsk. I dette var de vellykkede og skabte dermed den første ikke-euklidiske geometri. I 1854 havde Bernhard Riemann , en elev af Gauss, anvendt beregningsmetoder i en banebrydende undersøgelse af den iboende (selvstændige) geometri af alle glatte overflader og derved fundet en anden ikke-euklidisk geometri. Dette arbejde af Riemann senere blev grundlæggende for Einstein 's relativitetsteori .

William Blakes "Newton" er en demonstration af hans modstand mod "single-vision" af videnskabelig materialisme ; her vises Isaac Newton som 'guddommelig geometer' (1795)

Det var matematisk nødvendigt at bevise, at den ikke-euklidiske geometri var lige så selvkonsistent som den euklidiske geometri, og dette blev først udført af Beltrami i 1868. Hermed blev ikke-euklidisk geometri etableret på lige fod med matematisk fod med euklidisk geometri.

Selvom det nu var kendt, at forskellige geometriske teorier var matematisk mulige, forblev spørgsmålet: "Hvilken af ​​disse teorier er korrekt for vores fysiske rum?" Det matematiske arbejde afslørede, at dette spørgsmål skal besvares ved fysisk eksperimentering, ikke matematisk ræsonnement, og afdækkede årsagen til, at eksperimentet skal indeholde enorme (interstellare, ikke jordbundne) afstande. Med udviklingen af ​​relativitetsteorien i fysik blev dette spørgsmål langt mere kompliceret.

Introduktion til matematisk stringens

Alt arbejde relateret til Parallel Postulatet afslørede, at det var ret svært for et geometer at adskille hans logiske ræsonnement fra hans intuitive forståelse af det fysiske rum, og afslørede desuden den kritiske betydning af at gøre det. Omhyggelig undersøgelse havde afdækket nogle logiske utilstrækkeligheder i Euclids begrundelse og nogle usaglige geometriske principper, som Euclid undertiden appellerede til. Denne kritik sideløbende med krisen i calculus og analyse vedrørende betydningen af ​​uendelige processer som konvergens og kontinuitet. I geometri var der et klart behov for et nyt sæt aksiomer, som ville være komplette, og som på ingen måde var afhængige af billeder, vi tegner eller på vores intuition af rummet. Sådanne aksiomer, nu kendt som Hilberts aksiomer , blev givet af David Hilbert i 1894 i sin afhandling Grundlagen der Geometrie ( Foundations of Geometry ). Nogle andre komplette sæt aksiomer var blevet givet et par år tidligere, men matchede ikke Hilberts økonomi, elegance og lighed med Euclids aksiomer.

Analyse situs eller topologi

I midten af ​​1700-tallet blev det tydeligt, at visse fremskridt inden for matematisk begrundelse gentog sig, når lignende ideer blev undersøgt på tallinjen, i to dimensioner og i tre dimensioner. Således blev det generelle koncept for et metrisk rum skabt, så ræsonnementet kunne gøres mere generelt og derefter anvendes i særlige tilfælde. Denne metode til at studere beregnings- og analyserelaterede begreber blev kendt som analyse-situs og senere som topologi . De vigtige emner på dette område var egenskaber ved mere generelle figurer, såsom sammenhæng og grænser, frem for egenskaber som ligehed og præcis lighed mellem længde- og vinkelmålinger, som havde været i fokus for den euklidiske og ikke-euklidiske geometri. Topologi blev hurtigt et særskilt område af stor betydning, snarere end et underfelt inden for geometri eller analyse.

Det 20. århundrede

Udviklingen inden for algebraisk geometri omfattede undersøgelse af kurver og overflader over begrænsede felter, som det fremgår af værker af blandt andre André Weil , Alexander Grothendieck og Jean-Pierre Serre samt over de reelle eller komplekse tal. Endelig geometri i sig selv, studiet af rum med kun uendeligt mange punkter, fandt anvendelser inden for kodningsteori og kryptografi . Med computerens fremkomst beskæftiger nye discipliner som beregningsgeometri eller digital geometri sig med geometriske algoritmer, diskrete repræsentationer af geometriske data og så videre.

Tidslinje

Se også

• Flatland , en bog af "A. Square" om to- og tredimensionelt rum , for at forstå begrebet fire dimensioner
• Matematikens historie
• Målehistorie
• Vigtige publikationer inden for geometri
• Interaktiv geometri software
• Liste over emner i geometri

Noter

Referencer

• Cooke, Roger (2005), The History of Mathematics , New York: Wiley-Interscience, 632 sider, ISBN 978-0-471-44459-6
• Dani, SG (25. juli 2003), "On the Pythagorean triples in the Śulvasūtras" (PDF) , Current Science , 85 (2): 219–224
• Hayashi, Takao (2003), "Indian Mathematics", i Grattan-Guinness, Ivor (red.), Companion Encyclopedia of the Mathematical Sciences's History and Philosophy , 1 , Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press , 976 sider, s. 118–130, ISBN 978-0-8018-7396-6
• Hayashi, Takao (2005), "Indian Mathematics", i Flood, Gavin (red.), The Blackwell Companion to Hinduism , Oxford: Basil Blackwell , 616 sider, s. 360–375, ISBN 978-1-4051-3251-0
• Joseph, GG (2000), The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics , Princeton, NJ: Princeton University Press, 416 sider, ISBN 978-0-691-00659-8

• Needham, Joseph (1986), Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heaven and the Earth , Taipei : Caves Books Ltd
• Staal, Frits (1999), "Greek and Vedic Geometry", Journal of Indian Philosophy , 27 (1–2): 105–127, doi : 10.1023/A: 1004364417713 , S2CID  170894641
• Stillwell, John (2004), Berlin og New York: Mathematics and its History (2 red.), Springer, 568 sider, ISBN 978-0-387-95336-6

eksterne links

• Islamisk geometri
• Geometri i det 19. århundrede ved Stanford Encyclopedia of Philosophy
• Arabisk matematik: glemt glans?