Matematisk analyse - Mathematical analysis

En mærkelig tiltrækker, der stammer fra en differentialligning . Differentialligninger er et vigtigt område inden for matematisk analyse med mange anvendelser inden for videnskab og teknik .

Analyse er den gren af matematik, der beskæftiger sig med grænser og beslægtede teorier, såsom differentiering , integration , måling , uendelige serier og analytiske funktioner .

Disse teorier studeres normalt i forbindelse med reelle og komplekse tal og funktioner . Analyse udviklede sig fra beregning , som involverer de elementære begreber og teknikker til analyse. Analyse kan skelnes fra geometri ; den kan imidlertid anvendes på ethvert rum af matematiske objekter, der har en definition af nærhed (et topologisk rum ) eller specifikke afstande mellem objekter (et metrisk rum ).

Historie

Archimedes brugte udmattelsesmetoden til at beregne området inde i en cirkel ved at finde området med regelmæssige polygoner med flere og flere sider. Dette var et tidligt, men uformelt eksempel på en grænse , et af de mest grundlæggende begreber i matematisk analyse.

Gammel

Matematisk analyse formelt udviklet i det 17. århundrede under den videnskabelige revolution , men mange af dens ideer kan spores tilbage til tidligere matematikere. Tidlige resultater i analysen var implicit til stede i de tidlige dage af den antikke græske matematik . For eksempel er en uendelig geometrisk sum implicit i Zenos paradoks for dikotomien . Senere gjorde græske matematikere som Eudoxus og Archimedes mere eksplicit, men uformel, brug af begreberne grænser og konvergens, da de brugte udmattelsesmetoden til at beregne areal og volumen af regioner og faste stoffer. Den eksplicitte brug af uendelige tegn fremgår af Archimedes ' The Method of Mechanical Theorems , et værk genopdaget i det 20. århundrede. I Asien brugte den kinesiske matematiker Liu Hui udmattelsesmetoden i det 3. århundrede e.Kr. for at finde arealet af en cirkel. Fra Jain litteratur fremgår det, at hinduer var i besiddelse af de formler for summen af de aritmetiske og geometriske serier så tidligt som det 4. århundrede f.Kr. Acarya Bhadrabāhu bruger summen af en geometrisk serie i hans Kalpasūtra i 433 f.Kr. I indiske matematik , specielt forekomster af aritmetiske serier har vist sig implicit at forekomme i vedisk litteratur allerede i 2000 f.Kr.

Middelalder

Zu Chongzhi etablerede en metode, der senere ville blive kaldt Cavalieris princip for at finde volumen af en kugle i det 5. århundrede. I det 12. århundrede gav den indiske matematiker Bhāskara II eksempler på derivater og brugte det, der nu er kendt som Rolles sætning .

I 1300 -tallet udviklede Madhava fra Sangamagrama uendelige serieudvidelser, nu kaldet Taylor -serien , af funktioner som sinus , cosinus , tangent og arctangent . Ved siden af sin udvikling af Taylor -serien af trigonometriske funktioner , estimerede han også størrelsen af de fejlbetingelser, der følger af afkortning af disse serier, og gav en rationel tilnærmelse til nogle uendelige serier. Hans tilhængere på Kerala School of Astronomy and Mathematics udvidede yderligere hans værker op til 1500 -tallet.

Moderne

Fundamenter

De moderne grundlag for matematisk analyse blev etableret i Europa fra 1600 -tallet. Dette begyndte, da Fermat og Descartes udviklede analytisk geometri , som er forløberen til moderne beregning. Fermats metode til tilstrækkelighed gav ham mulighed for at bestemme maksima og minima for funktioner og tangenter af kurver. Descartes 'udgivelse af La Géométrie i 1637, der introducerede det kartesiske koordinatsystem , anses for at være etableringen af matematisk analyse. Det ville være et par årtier senere, at Newton og Leibniz uafhængigt udviklede infinitesimalregning , der voksede med stimulansen af anvendt arbejde, der fortsatte gennem 1700 -tallet, til analyseemner som beregning af variationer , almindelige og partielle differentialligninger , Fourier -analyse og generering af funktioner . I løbet af denne periode blev beregningsteknikker anvendt til at tilnærme diskrete problemer ved kontinuerlige.

Modernisering

I 1700 -tallet introducerede Euler forestillingen om matematisk funktion . Virkelig analyse begyndte at dukke op som et selvstændigt emne, da Bernard Bolzano introducerede den moderne definition af kontinuitet i 1816, men Bolzanos arbejde blev først kendt i 1870'erne. I 1821 begyndte Cauchy at lægge beregning på et fast logisk grundlag ved at afvise princippet om algebraens generelle udbredelse i tidligere arbejde, især af Euler. I stedet formulerede Cauchy beregning med hensyn til geometriske ideer og uendelige tal . Således krævede hans definition af kontinuitet en uendelig lille ændring i x for at svare til en uendelig lille ændring i y . Han introducerede også begrebet Cauchy -sekvensen og startede den formelle teori om kompleks analyse . Poisson , Liouville , Fourier og andre studerede delvise differentialligninger og harmonisk analyse . Bidragene fra disse matematikere og andre, såsom Weierstrass , udviklede (ε, δ) -definitionen af grænsemetoden og grundlagde dermed det moderne matematiske felt.

I midten af 1800 -tallet introducerede Riemann sin teori om integration . Den sidste tredjedel af århundredet oplevede arithmetization af analyse af Weierstrass , som mente, at geometrisk ræsonnement var i sagens natur vildledende, og introducerede "epsilon-delta" definition af grænsen . Derefter begyndte matematikere at bekymre sig om, at de antog eksistensen af et kontinuum af reelle tal uden bevis. Dedekind konstruerede derefter de reelle tal ved Dedekind -udskæringer , hvor irrationelle tal formelt defineres, som tjener til at udfylde "hullerne" mellem rationelle tal og derved skabe et komplet sæt: kontinuumet af reelle tal, som allerede var blevet udviklet af Simon Stevin hvad angår decimaludvidelser . Omkring den tid førte forsøgene på at forfine sætningerne i Riemann -integration til undersøgelsen af "størrelsen" af sættet med diskontinuiteter af reelle funktioner.

Også " monstre " ( ingen steder kontinuerlige funktioner , kontinuerlige men ingen steder differentierbare funktioner , rumfyldende kurver ) begyndte at blive undersøgt. I denne sammenhæng Jordan udviklede sin teori om foranstaltning , Cantor udviklede hvad der nu kaldes naiv mængdelære , og Baire bevist Baire kategori teorem . I begyndelsen af det 20. århundrede blev regning formaliseret ved hjælp af en aksiomatisk sætteori . Lebesgue løste måleproblemet , og Hilbert introducerede Hilbert -rum for at løse integrale ligninger . Ideen om normeret vektorrum var i luften, og i 1920'erne skabte Banach funktionel analyse .

Vigtige begreber

Metriske mellemrum

I matematik er et metrisk rum et sæt, hvor et begreb om afstand (kaldet en metrisk ) mellem elementerne i sættet er defineret.

Meget af analysen sker i et eller andet metrisk rum; den mest almindeligt anvendte er den reelle linje , det komplekse plan , det euklidiske rum , andre vektorrum og heltalene . Eksempler på analyse uden en metrisk omfatter målingsteori (som beskriver størrelse frem for afstand) og funktionel analyse (som studerer topologiske vektorrum, der ikke behøver at have nogen følelse af afstand).

Formelt set er et metrisk rum et ordnet par, hvor et sæt er en metrik på , dvs. en funktion ${\ displaystyle (M, d)}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle M}$

{\ displaystyle d \ colon M \ times M \ rightarrow \ mathbb {R}}

således at følgende gælder for enhver : ${\ displaystyle x, y, z \ i M}$

${\ displaystyle d (x, y) = 0}$ hvis og kun hvis ( identitet på umiskendelige ), ${\ displaystyle x = y}$
${\ displaystyle d (x, y) = d (y, x)}$ ( symmetri ) og
${\ displaystyle d (x, z) \ leq d (x, y)+d (y, z)}$ ( trekant ulighed ).

Ved at tage den tredje ejendom og udleje , kan det påvises, at ( ikke-negativ ). ${\ displaystyle z = x}$ ${\ displaystyle d (x, y) \ geq 0}$

Sekvenser og grænser

En sekvens er en ordnet liste. Ligesom et sæt indeholder det medlemmer (også kaldet elementer eller udtryk ). I modsætning til et sæt betyder rækkefølgen, og nøjagtig de samme elementer kan vises flere gange på forskellige positioner i sekvensen. Mere præcist kan en sekvens defineres som en funktion, hvis domæne er et talbart totalt ordnet sæt, såsom de naturlige tal .

En af de vigtigste egenskaber ved en sekvens er konvergens . Uformelt konvergerer en sekvens, hvis den har en grænse . Ved at fortsætte uformelt har en ( enkelt-uendelig ) sekvens en grænse, hvis den nærmer sig et punkt x , kaldet grænsen, da n bliver meget stor. Det er, for en abstrakt sekvens ( en _n ) (med n fra den 1. til uendelig forstået) afstanden mellem et _n og x nærmer sig 0 som n → ∞, betegnet

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = x.}

Hovedgrene

Virkelig analyse

Real analyse (traditionelt teorien om funktioner i en reel variabel ) er en gren af matematisk analyse, der beskæftiger sig med de reelle tal og værdiansatte funktioner i en reel variabel. Især omhandler det de analytiske egenskaber ved reelle funktioner og sekvenser , herunder konvergens og grænser for sekvenser af reelle tal, beregningen af de reelle tal og kontinuitet , glathed og relaterede egenskaber ved reelt værdsatte funktioner.

Kompleks analyse

Kompleks analyse , traditionelt kendt som teorien om funktioner i en kompleks variabel , er den gren af matematisk analyse, der undersøger funktioner af komplekse tal . Det er nyttigt i mange grene af matematik, herunder algebraisk geometri , talteori , anvendt matematik ; såvel som i fysik , herunder hydrodynamik , termodynamik , maskinteknik , elektroteknik og især kvantefeltteori .

Kompleks analyse vedrører især de analytiske funktioner i komplekse variabler (eller mere generelt meromorfe funktioner ). Fordi de separate virkelige og imaginære dele af enhver analytisk funktion skal tilfredsstille Laplaces ligning , er kompleks analyse bredt anvendelig til todimensionelle problemer i fysik .

Funktionel analyse

Funktionel analyse er en gren af matematisk analyse, hvis kerne dannes ved undersøgelse af vektorrum udstyret med en eller anden grænse-relateret struktur (f.eks. Indre produkt , norm , topologi osv.) Og de lineære operatorer, der virker på disse rum og respekt for disse strukturer i passende forstand. De historiske rødder i funktionel analyse ligger i studiet af funktionsrum og formuleringen af egenskaber ved transformationer af funktioner, såsom Fourier -transformen som transformationer, der definerer kontinuerlige , unitære osv. Operatører mellem funktionsrum. Dette synspunkt viste sig at være særlig nyttigt til undersøgelse af differentielle og integrerede ligninger .

Differentialligninger

En differentialligning er en matematisk ligning for en ukendt funktion af en eller flere variabler, der relaterer værdierne for selve funktionen og dens derivater af forskellige ordrer . Differentialligninger spiller en fremtrædende rolle inden for teknik , fysik , økonomi , biologi og andre discipliner.

Differentielle ligninger opstår på mange områder af videnskab og teknologi, især når et deterministisk forhold, der involverer nogle kontinuerligt varierende størrelser (modelleret efter funktioner) og deres ændringer i rum eller tid (udtrykt som derivater) er kendt eller postuleret. Dette er illustreret i klassisk mekanik , hvor bevægelsen af et legeme beskrives ved dets position og hastighed, da tidsværdien varierer. Newtons love tillader en (givet position, hastighed, acceleration og forskellige kræfter, der virker på kroppen) at udtrykke disse variabler dynamisk som en differentialligning for kroppens ukendte position som funktion af tiden. I nogle tilfælde kan denne differentialligning (kaldet en bevægelsesligning ) løses eksplicit.

Målteori

Et mål på et sæt er en systematisk måde at tildele et nummer til hver passende delmængde af det sæt, intuitivt fortolket som dets størrelse. I denne forstand er et mål en generalisering af begreberne længde, areal og volumen. Et særligt vigtigt eksempel er Lebesgue -målingen på et euklidisk rum , der tildeler den konventionelle længde , areal og volumen af den euklidiske geometri til passende undergrupper af det dimensionelle euklidiske rum . For eksempel er Lebesgue -målet for intervallet i de reelle tal dets længde i ordets daglig forstand - specifikt 1. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ displaystyle \ venstre [0,1 \ højre]}$

Teknisk set er et mål en funktion, der tildeler et ikke-negativt reelt tal eller +∞ til (visse) undersæt af et sæt . Det skal tildele 0 til det tomme sæt og være ( tælleligt ) additivt: målingen af et 'stort' undersæt, der kan dekomponeres til et begrænset (eller tælleligt) antal 'mindre' uafhængige delmængder, er summen af målene for "mindre" delmængder. Generelt, hvis man ønsker at knytte en ensartet størrelse til hver delmængde af et givet sæt, mens man opfylder de andre aksiomer for et mål, finder man kun trivielle eksempler som tællemålet . Dette problem blev løst ved kun at definere foranstaltning på en undersamling af alle undersæt; de såkaldte målbare delmængder, som er nødvendige for at danne et -algebra . Det betyder, at talbare fagforeninger , tællbare kryds og komplementer til målbare undersæt er målbare. Ikke-målbare sæt i et euklidisk rum, hvor Lebesgue-målingen ikke kan defineres konsekvent, er nødvendigvis komplicerede i den forstand, at de er dårligt blandet med deres komplement. Faktisk er deres eksistens en ikke-triviel konsekvens af valgets aksiom . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

Numerisk analyse

Numerisk analyse er undersøgelsen af algoritmer, der anvender numerisk tilnærmelse (i modsætning til generelle symbolske manipulationer ) til problemerne med matematisk analyse (adskilt fra diskret matematik ).

Moderne numerisk analyse søger ikke præcise svar, fordi præcise svar ofte er umulige at opnå i praksis. I stedet handler meget om numerisk analyse om at opnå omtrentlige løsninger og samtidig opretholde rimelige grænser for fejl.

Numerisk analyse finder naturligvis anvendelser inden for alle ingeniørområder og fysiske videnskaber, men i det 21. århundrede har biovidenskaben og endda kunsten vedtaget elementer af videnskabelige beregninger. Almindelige differentialligninger forekommer i himmelsk mekanik (planeter, stjerner og galakser); numerisk lineær algebra er vigtig for dataanalyse; stokastiske differentialligninger og Markov -kæder er afgørende for at simulere levende celler til medicin og biologi.

Vektor analyse

Tensor analyse

Andre emner

Beregning af variationer omhandler ekstremiserende funktionaliteter , i modsætning til almindelig beregning, der omhandler funktioner .
Harmonisk analyse omhandler repræsentation af funktioner eller signaler som superposition af grundbølger .
Geometrisk analyse involverer brug af geometriske metoder til undersøgelse af partielle differentialligninger og anvendelsen af teorien om partielle differentialligninger på geometri.
Clifford-analyse , undersøgelsen af Clifford-værdsatte funktioner, der udslettes af Dirac eller Dirac-lignende operatører, generelt betegnet som monogene eller Clifford-analytiske funktioner.
p -adisk analyse , undersøgelse af analyse inden for rammerne af p -adiske tal , som på nogle interessante og overraskende måder adskiller sig fra sine reelle og komplekse modstykker.
Ikke-standardiseret analyse , der undersøger de hyperreale tal og deres funktioner og giver en streng behandling af uendelige tal og uendeligt store tal.
Beregningsanalyse , undersøgelsen af hvilke dele af analysen der kan udføres på en beregningsbar måde.
Stokastisk beregning - analytiske forestillinger udviklet til stokastiske processer .
Værdiansat analyse -anvender ideer fra analyse og topologi til værdiansatte funktioner.
Konveks analyse , undersøgelse af konvekse sæt og funktioner.
Idempotent analyse - analyse i forbindelse med en idempotent semiring , hvor manglen på en additiv invers kompenseres noget af idempotent -reglen A + A = A.
- Tropisk analyse -analyse af den idempotente semiring kaldet den tropiske semiring (eller max-plus algebra / min-plus algebra ).

Ansøgninger

Teknikker fra analyse findes også på andre områder, såsom:

Fysiske videnskaber

Langt størstedelen af klassisk mekanik , relativitet og kvantemekanik er baseret på anvendt analyse og især differentialligninger . Eksempler på vigtige differentialligninger omfatter Newtons anden lov , Schrödinger -ligningen og Einstein -feltligningerne .

Funktionel analyse er også en vigtig faktor i kvantemekanikken .

Signalbehandling

Ved behandling af signaler, såsom lyd , radiobølger , lysbølger, seismiske bølger og endda billeder, kan Fourier -analyse isolere individuelle komponenter i en sammensat bølgeform og koncentrere dem for lettere påvisning eller fjernelse. En stor familie af signalbehandlingsteknikker består i at Fourier-transformerer et signal, manipulerer de Fourier-transformerede data på en enkel måde og vender transformationen.

Andre matematikområder

Teknikker fra analyse bruges på mange områder af matematik, herunder:

Analytisk talteori
Analytisk kombinatorik
Kontinuerlig sandsynlighed
Differentiel entropi i informationsteori
Differentialespil
Differentialgeometri , anvendelse af beregning til bestemte matematiske rum kendt som manifolder, der besidder en kompliceret intern struktur, men opfører sig på en enkel måde lokalt.
Differentierbare manifolder
Differentialtopologi
Partielle differentialligninger

Se også

Referencer

Yderligere læsning

Aleksandrov [Алекса́ндров], Aleksandr Danilovich [Алекса́ндр Дани́лович] ; Lavrent'ev [Лавре́нтьев], Mikhail Alexseevich [Михаи́л Алексе́евич] ; Nikol'skiĭ [Нико́льский], Sergey Mikhailovich [Серге́й Миха́йлович] ; Delone [Делоне́], Boris Nikolaevich [Бори́с Никола́евич] ; Petrovskiĭ [Петро́вский], Ivan Georgievich [Ива́н Гео́ргиевич] ; Sobolev [Со́болев], Sergei Lvovich [Серге́й Льво́вич] ; Ladyženskaja [Лады́женская], Olga Aleksandrovna [Óльга Алекса́ндровна] ; Krylov [Крылоў], Vladimir Ivanovich [Уладзімір Іванавіч] ; Keldyš [Ке́лдыш], Mstislav Vsevolodovich [Мстисла́в Все́володович] ; Mardzanisvili [Марджанишвили], Konstantin Konstantinovich [Константин Константинович] ; Postnikov [Постников], Aleksei Georgievich [Алексей Георгиевич] ; Kolmogorov [Колмого́ров], Andrey Nikolaevich [Андре́й Никола́евич] ; Lebedev [Ле́бедев], Sergey Alexeyevich [Серге́й Алексе́евич] ; Kantorovič [Канторо́вич], Leonid Vitaliyevich [Леони́д Вита́льевич] ; Stečkin [Сте́чкин], Sergey Borisovich [Серге́й Бори́сович] ; Faddeev [Фадде́ев], Dmitry Konstantinovich [Дми́трий Константи́нович] ; Aleksandrov [Алекса́ндров], Pavel Sergeyevich [Па́вел Серге́евич] ; Gel'fand [Гельфа́нд], Israïl Moyseyovich [Изра́иль Моисе́евич] ; Mal'cev [Ма́льцев], Anatoly Ivanovich [Анато́лий Ива́нович] (marts 1969). Aleksandrov [Алекса́ндров], Aleksandr Danilovich [Алекса́ндр Дани́лович] ; Kolmogorov [Колмого́ров], Andrey Nikolaevich [Андре́й Никола́евич] ; Lavrent'ev [Лавре́нтьев], Mikhail Alexseevich [Михаи́л Алексе́евич] (red.). Matematik: dens indhold, metoder og betydning . 1–3 . Oversat af Gould, Sydney Henry ; Hirsch, Kurt August ; Bartha, Tamas. Oversættelse redigeret af Gould (2. udgave). Cambridge, Massachusetts, USA: MIT Press / American Mathematical Society . LCCN 64-7547 . MIT 106, 107, 108. ark:/13960/t4sj8550w. [1] (NB. 3 bind i softcover. Original russisk titel i marts 1956: Математика, ее содержание, методы и значение [2] [3] [4] . Første engelske udgave i 6 bind af AMS i 1962/1963, revideret engelsk udgave i 3 bind af MIT Press i august 1964: [5] , 2. tryk af MIT Press i april 1965. Første MIT pocketudgave i marts 1969. Genoptrykt i et bind af Dover.)
Apostol, Tom M. (1974). Matematisk analyse (2. udgave). Addison - Wesley . ISBN 978-0-201-00288-1.
Binmore, Kenneth George (1981) [1981]. Analysens grundlag: en ligetil introduktion . Cambridge University Press .
Johnsonbaugh, Richard ; Pfaffenberger, William Elmer (1981). Grundlaget for matematisk analyse . New York: M. Dekker .
Nikol'skiĭ [Нико́льский], Sergey Mikhailovich [Серге́й Миха́йлович] (2002). "Matematisk analyse" . I Hazewinkel, Michiel (red.). Matematikens encyklopædi . Springer-Verlag . ISBN 978-1-4020-0609-8.
Fusco, Nicola ; Marcellini, Paolo ; Sbordone, Carlo (1996). Analisi Matematica Due (på italiensk). Liguori Editore [ it ] . ISBN 978-88-207-2675-1.
Rombaldi, Jean-Étienne (2004). Éléments d'analyse réelle: CAPES et agrégation interne de mathématiques (på fransk). EDP Sciences . ISBN 978-2-86883-681-6.
Rudin, Walter (1976). Principper for matematisk analyse (3. udgave). New York, USA: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-054235-8.
Rudin, Walter (1987). Real og kompleks analyse (3. udgave). New York, USA: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-054234-1.
Whittaker, Edmund Taylor ; Watson, George Neville (1927-01-02). Et kursus i moderne analyse: En introduktion til den generelle teori om uendelige processer og analytiske funktioner; med en redegørelse for de vigtigste transcendentale funktioner (4. udgave). Cambridge, Storbritannien: ved University Press . ISBN 0-521-06794-4. (vi+608 sider) (genoptrykt: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
"Virkelig analyse - kursusnotater" (PDF) .

Languages

In other projects