Zenos paradokser - Zeno's paradoxes

"Arrow paradox" omdirigerer her. For anden anvendelse, se Arrow paradox (disambiguation) .

Zenos paradokser er et sæt filosofiske problemer, der generelt menes at være udtænkt af den græske filosof Zeno fra Elea (ca. 490–430 f.Kr.) for at understøtte Parmenides ’lære om, at tro på pluralitet og forandring i modsætning til bevis for ens sanser tager fejl , og især er denne bevægelse ikke andet end en illusion . Det antages normalt, baseret på Platons Parmenides (128a – d), at Zeno påtog sig projektet med at skabe disse paradokser, fordi andre filosoffer havde skabt paradokser mod Parmenides syn. Således har Platon Zeno sagt, at formålet med paradokserne "er at vise, at deres hypotese om, at eksistenser er mange, hvis de følges ordentligt op, fører til endnu mere absurde resultater end hypotesen om, at de er ét." Platon har Sokrates hævdet, at Zeno og Parmenides i det væsentlige argumenterede for præcis det samme punkt. Nogle af Zenos ni overlevende paradokser (bevaret i Aristoteles fysik og Simplicius ' kommentar herom) svarer i det væsentlige til hinanden. Aristoteles tilbød at tilbagevise nogle af dem. Tre af de stærkeste og mest berømte - Achilles og skildpadden, Dichotomy -argumentet og en pil under flugt - præsenteres detaljeret nedenfor.

Zenos argumenter er måske de første eksempler på en bevismetode kaldet reductio ad absurdum , også kendt som bevis ved modsigelse . De krediteres også som en kilde til den dialektiske metode, Sokrates brugte. Nogle matematikere og historikere, såsom Carl Boyer , mener, at Zenos paradokser simpelthen er matematiske problemer, som moderne beregning giver en matematisk løsning. Nogle filosoffer siger imidlertid, at Zenos paradokser og deres variationer (se Thomsons lampe ) fortsat er relevante metafysiske problemer. Paradoksernes oprindelse er noget uklar. Diogenes Laërtius , en fjerde kilde til information om Zeno og hans lære, med henvisning til Favorinus , siger, at Zenos lærer Parmenides var den første til at introducere paradokset for Achilles og skildpadden. Men i en senere passage tilskriver Laërtius paradoksets oprindelse til Zeno og forklarer, at Favorinus er uenig.

Paradokser af bevægelse

Dikotomi paradoks

Det, der er i bevægelse, skal ankomme på halvvejsstadiet, før det når målet.

-  som fortalt af Aristoteles , Physics VI: 9, 239b10

Antag, at Atalanta ønsker at gå til enden af ​​en sti. Inden hun kan nå dertil, skal hun nå halvvejs. Inden hun kan nå halvvejs, skal hun komme et kvarter af vejen dertil. Inden hun rejser et kvarter, skal hun rejse en ottendedel; før en ottende, en sekstende; og så videre.

Dikotomien

Den resulterende sekvens kan repræsenteres som:

Denne beskrivelse kræver, at man udfører et uendeligt antal opgaver, hvilket Zeno fastholder er en umulighed.

Denne sekvens præsenterer også et andet problem, idet den ikke indeholder nogen første distance at løbe, for enhver mulig ( endelig ) første distance kunne deles i halvdelen, og ville derfor ikke være den første. Derfor kan turen ikke engang begynde. Den paradoksale konklusion ville så være, at rejser over enhver begrænset afstand hverken kan afsluttes eller påbegyndes, og derfor må al bevægelse være en illusion .

Dette argument kaldes " dikotomi ", fordi det indebærer gentagne gange at opdele en afstand i to dele. Et eksempel med den originale forstand kan findes i en asymptote . Det er også kendt som racerbane -paradokset.

Achilles og skildpadden

"Achilles og skildpadden" omdirigerer her. For anden anvendelse, se Achilles og skildpadden (disambiguation) .
Se også: Infinity § Zeno: Achilles og skildpadden
Achilles og skildpadden

I et løb kan den hurtigste løber aldrig overhale den langsomste, da forfølgeren først skal nå det punkt, hvorfra den forfulgte startede, så den langsommere altid skal have et forspring.

-  som fortalt af Aristoteles , Physics VI: 9, 239b15

I paradokset Achilles og skildpadden er Achilles i et fodspor med skildpadden. Akilles tillader for eksempel skildpadden et forspring på 100 meter. Antag, at hver racer begynder at køre med en konstant hastighed, den ene hurtigere end den anden. Efter en endelig tid vil Achilles have løbet 100 meter, hvilket bringer ham til skildpaddens udgangspunkt. I løbet af denne tid har skildpadden kørt en meget kortere afstand, siger 2 meter. Det vil derefter tage Achilles noget længere tid at løbe den afstand, på hvilket tidspunkt skildpadden vil være kommet længere; og derefter mere tid til at nå dette tredje punkt, mens skildpadden bevæger sig fremad. Således når Achilles ankommer et sted, skildpadden har været, har han stadig et stykke vej at gå, før han overhovedet kan nå skildpadden. Som Aristoteles bemærkede, ligner dette argument Dichotomy. Det mangler imidlertid den tilsyneladende konklusion af urørlighed.

Pil paradoks

Pilen
For ikke at forveksle med andre paradokser med samme navn .

Hvis alt, når det indtager et lige stort rum, er i ro på det pågældende tidspunkt, og hvis det, der er i bevægelse, altid indtager et sådant rum til enhver tid, er den flyvende pil derfor ubevægelig på det øjeblik og i det næste øjeblik af tid, men hvis begge tidspunkter betragtes som det samme øjeblikkelige eller kontinuerlige øjeblikkelige tidspunkt, er det i bevægelse.

-  som fortalt af Aristoteles , Physics VI: 9, 239b5

I pilparadokset siger Zeno, at et objekt skal ændre den position, det indtager, for at bevægelse skal forekomme. Han giver et eksempel på en pil under flyvning. Han udtaler, at pilen hverken bevæger sig til det sted, hvor den er, eller til den, hvor den ikke er. Det kan ikke bevæge sig dertil, hvor det ikke er, fordi der ikke går nogen tid, før det kan bevæge sig dertil; den kan ikke bevæge sig derhen, for den er der allerede. Med andre ord, der sker ingen bevægelse på hvert øjeblik. Hvis alt er ubevægeligt i hvert øjeblik, og tiden er fuldstændig sammensat af øjeblikkelige, så er bevægelse umulig.

Mens de to første paradokser deler rummet, starter dette paradoks med at opdele tiden - og ikke i segmenter, men i punkter.

Tre andre paradokser som givet af Aristoteles

Paradoks af sted

Fra Aristoteles:

Hvis alt, hvad der eksisterer, har et sted, vil stedet også have et sted og så videre ad infinitum .

Paradoks af hirsen

Beskrivelse af paradokset fra Routledge Dictionary of Philosophy :

Argumentet er, at et enkelt hirsekorn ikke giver lyd ved fald, men tusind korn giver en lyd. Derfor bliver tusind intet til noget, en absurd konklusion.

Aristoteles 'modbevisning:

Zeno tager fejl ved at sige, at der ikke er nogen del af hirsen, der ikke afgiver en lyd: for der er ingen grund til, at en sådan del på ingen tid skulle undlade at flytte den luft, som hele skæben bevæger sig i faldende. Faktisk bevæger den ikke i sig selv en sådan mængde luft, som den ville bevæge sig, hvis denne del var i sig selv: for ingen del eksisterer endda på anden måde end potentielt.

Beskrivelse fra Nick Huggett:

Dette er et parmenidisk argument om, at man ikke kan stole på ens hørselssans. Aristoteles svar ser ud til at være, at selv uhørlige lyde kan føje til en hørbar lyd.

De bevægelige rækker (eller stadion)

De bevægelige rækker

Fra Aristoteles:

... angående de to rækker af kroppe, hver række består af et lige antal legemer af samme størrelse, der passerer hinanden på en racerbane, når de fortsætter med samme hastighed i modsatte retninger, den ene række indtager oprindeligt mellemrummet mellem målet og banens midterpunkt og det andet mellem midten og startposten. Dette ... involverer den konklusion, at en halv given tid er lig med det dobbelte af den tid.

For en udvidet redegørelse for Zenos argumenter som fremført af Aristoteles, se Simplicius ' kommentar til Aristoteles fysik .

Forslag til løsninger

Diogenes den kyniske

Ifølge Simplicius , Diogenes Kynikeren sagde ikke noget efter at have hørt Zeno argumenter, men stod op og gik, for at demonstrere falskheden i Zeno konklusioner (se solvitur ambulando ). For fuldt ud at løse et af paradokser skal man imidlertid vise, hvad der er galt med argumentet, ikke kun konklusionerne. Gennem historien er flere forslag blevet foreslået, blandt de tidligste registrerede var dem fra Aristoteles og Archimedes.

Aristoteles

Aristoteles (384 f.Kr. - 322 f.Kr.) bemærkede, at efterhånden som afstanden falder, falder også den tid, der er nødvendig for at tilbagelægge disse afstande, så den nødvendige tid også bliver stadig mindre. Aristoteles adskilte også "uendelige ting med hensyn til delbarhed" (såsom en rumenhed, der mentalt kan opdeles i stadig mindre enheder, mens den forbliver rumligt den samme) fra ting (eller afstande), der er uendelige i forlængelse ("med hensyn til deres ekstremiteter "). Aristoteles 'indsigelse mod pilparadokset var, at "Tiden ikke er sammensat af udelelige nu mere end nogen anden størrelse består af udelelige."

Arkimedes

Før 212 f.Kr. havde Archimedes udviklet en metode til at udlede et endelig svar på summen af ​​uendeligt mange udtryk, der gradvist bliver mindre. (Se: Geometriske serier , 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · , Parabolens kvadratur .) Hans argument, der anvendte udmattelsesmetoden for at bevise, at den pågældende uendelige sum er svarende til arealet af en bestemt firkant, er stort set geometrisk, men ganske stringent. Dagens analyse opnår det samme resultat ved hjælp af grænser (se konvergente serier ). Disse metoder tillader konstruktion af løsninger baseret på de betingelser, der er fastsat af Zeno, dvs. den tid, det tager ved hvert trin, er geometrisk faldende.

Thomas Aquinas

Thomas Aquinas kommenterede Aristoteles 'indsigelse og skrev: "Øjeblikkelige er ikke dele af tiden, for tiden består ikke af øjeblikkelig mere end en størrelse består af punkter, som vi allerede har bevist. Derfor følger det ikke, at en ting er ikke i bevægelse på et givet tidspunkt, bare fordi det ikke er i bevægelse på noget tidspunkt af den tid. "

Bertrand Russell

Bertrand Russell tilbød det, der er kendt som "at-at-bevægelsesteorien". Den er enig i, at der ikke kan være bevægelse "i løbet af" et varigt øjeblik, og hævder, at alt, hvad der kræves til bevægelse, er, at pilen er på et tidspunkt ad gangen, på et andet tidspunkt et andet tidspunkt og på passende punkter mellem disse to punkter for mellemliggende tider. I denne opfattelse er bevægelse bare ændring i position over tid.

Hermann Weyl

En anden foreslået løsning er at stille spørgsmålstegn ved en af ​​de antagelser, Zeno brugte i sine paradokser (især Dikotomien), hvilket er, at mellem to forskellige punkter i rummet (eller tiden) er der altid et andet punkt. Uden denne antagelse er der kun et begrænset antal afstande mellem to punkter, derfor er der ingen uendelig rækkefølge af bevægelser, og paradokset løses. Ifølge Hermann Weyl er antagelsen om, at rummet er lavet af begrænsede og diskrete enheder, genstand for et yderligere problem, givet af " fliseargumentet " eller "afstandsfunktionsproblemet". Ifølge dette er længden af ​​hypotenusen i en retvinklet trekant i diskretiseret rum altid lig med længden af ​​en af ​​de to sider, i modstrid med geometri. Jean Paul Van Bendegem har argumenteret for, at Tile Argumentet kan løses, og at diskretisering derfor kan fjerne paradokset.

Henri Bergson

En alternativ konklusion, foreslået af Henri Bergson i sin bog fra 1896 Matter og hukommelse , er, at mens stien er delelig, er bevægelsen ikke. I dette argument eksisterer øjeblikkelig tid og øjeblikkelige størrelser ikke fysisk. Et objekt i relativ bevægelse kan ikke have en øjeblikkelig eller bestemt relativ position og kan derfor ikke få sin bevægelse dissekeret fraktionelt.

Peter Lynds

I 2003 fremsatte Peter Lynds et meget lignende argument: Alle Zenos bevægelsesparadokser løses med den konklusion, at øjeblikkelige tidspunkter og øjeblikkelige størrelser ikke fysisk eksisterer. Lynds hævder, at et objekt i relativ bevægelse ikke kan have en øjeblikkelig eller bestemt relativ position (for hvis det gjorde det, kunne det ikke være i bevægelse), og det kan derfor ikke få sin bevægelse fraktionelt dissekeret, som om det gør, som det antages af paradokser. For mere om manglende evne til at kende både hastighed og placering, se Heisenberg usikkerhedsprincip .

Nick Huggett

Nick Huggett argumenterer for, at Zeno antager konklusionen, når han siger, at genstande, der optager det samme rum, som de gør i hvile, skal være i ro.

Paradokser i moderne tid

Uendelige processer forblev teoretisk besværlige i matematik indtil slutningen af ​​det 19. århundrede. Med epsilon-delta definition af grænsen , Weierstrass og Cauchy udviklet en streng formulering af logik og calculus involveret. Disse værker løste matematikken, der involverer uendelige processer.

Mens matematik kan beregne, hvor og hvornår den bevægende Achilles vil overhale Zenos skildpadder, paradoks, hævder filosoffer som Kevin Brown og Moorcroft , at matematik ikke tager fat på det centrale punkt i Zenos argument, og at løsning af de matematiske spørgsmål ikke løser alle spørgsmål, paradokser rejser sig.

Populær litteratur forkert gengiver Zenos argumenter forkert. For eksempel siges det ofte, at Zeno har argumenteret for, at summen af ​​et uendeligt antal udtryk i sig selv må være uendelig - med det resultat, at ikke kun tiden, men også afstanden, der skal tilbagelægges, bliver uendelig. Imidlertid har ingen af ​​de oprindelige gamle kilder Zeno diskuteret summen af ​​uendelige serier. Simplicius har Zeno til at sige "det er umuligt at krydse et uendeligt antal ting på en endelig tid". Dette præsenterer Zenos problem ikke med at finde summen , men derimod med at afslutte en opgave med et uendeligt antal trin: hvordan kan man nogensinde komme fra A til B, hvis der kan identificeres et uendeligt antal (ikke-øjeblikkelige) begivenheder, der skal forud for ankomsten til B, og man kan ikke nå selv begyndelsen på en "sidste begivenhed"?

Tom Stoppard tilbyder et humoristisk udspil i sit stykke Jumpers (1972), hvor hovedpersonen, filosofiprofessoren George Moore, antyder, at ifølge Zenos paradoks, Saint Sebastian , en kristen helgen fra det 3. århundrede martyret ved at blive skudt med pile, døde af forskrækkelse.

Debatten fortsætter om spørgsmålet om, hvorvidt Zenos paradokser er blevet løst. I The History of Mathematics: An Introduction (2010) skriver Burton: "Selvom Zenos argument forvirrede hans samtidige, indeholder en tilfredsstillende forklaring en nu velkendt idé, forestillingen om en 'konvergent uendelig serie.'".

Bertrand Russell tilbød en "løsning" på paradokser baseret på Georg Cantors arbejde , men Brown konkluderer "I betragtning af historien om 'endelige resolutioner' fra Aristoteles og fremefter er det nok dumdristigt at tro, at vi er nået til enden. Det kan være at Zenos argumenter på bevægelse på grund af deres enkelhed og universalitet altid vil tjene som en slags 'Rorschach -billede', som folk kan projektere deres mest fundamentale fænomenologiske bekymringer på (hvis de har nogen). "

En lignende gammel kinesisk filosofisk betragtning

Gamle kinesiske filosoffer fra Mohist School of Names i perioden med stridende stater i Kina (479-221 f.Kr.) udviklede ækvivalenter til nogle af Zenos paradokser. Videnskabsmanden og historikeren Sir Joseph Needham beskriver i sit videnskab og civilisation i Kina et gammelt kinesisk paradoks fra den overlevende logistikbog Mohist School of Names , der i den arkaiske gamle kinesiske skrift siger "en fod på hver dag" tag halvdelen af ​​det, i et utal af tider vil det ikke være opbrugt. " Flere andre paradokser fra denne filosofiske skole (mere præcist bevægelse) kendes, men deres moderne fortolkning er mere spekulativ.

Quantum Zeno effekt

Hovedartikel: Quantum Zeno -effekt

I 1977 opdagede fysikerne EC George Sudarshan og B. Misra, at den dynamiske udvikling (bevægelse) af et kvantesystem kan hindres (eller endda hæmmes) ved observation af systemet. Denne effekt kaldes normalt "kvante -Zeno -effekten", da den stærkt minder om Zenos pilparadoks. Denne effekt blev først teoretiseret i 1958.

Zeno adfærd

Inden for verifikation og design af timede og hybride systemer kaldes systemadfærden Zeno, hvis den indeholder et uendeligt antal diskrete trin på en begrænset tid. Nogle formelle verifikationsteknikker udelukker denne adfærd fra analyse, hvis de ikke svarer til adfærd uden for Zeno. I systemdesign vil denne adfærd også ofte blive udelukket fra systemmodeller, da de ikke kan implementeres med en digital controller.

Lewis Carroll og Douglas Hofstadter

Hvad skildpadden sagde til Achilles , skrevet i 1895 af Lewis Carroll , var et forsøg på at afsløre et analogt paradoks inden for ren logik. Hvis Carrolls argument er gyldigt, er implikationen, at Zenos bevægelsesparadokser ikke i det væsentlige er rum- og tidsproblemer, men går lige til kernen i selve ræsonnementet. Douglas Hofstadter gjorde Carrolls artikel til et midtpunkt i hans bog Gödel, Escher, Bach: En evig gylden fletning og skrev mange flere dialoger mellem Achilles og skildpadden for at belyse hans argumenter. Hofstadter forbinder Zenos paradokser med Gödels ufuldstændighedssætning i et forsøg på at demonstrere, at de problemer, Zeno rejser, er gennemgående og manifesterer i formel systemteori, computing og tankegang.

Se også

Noter

Referencer

eksterne links