Hvis og kun hvis - If and only if
↔⇔≡⟺
Logiske symboler, der repræsenterer if
I logik og beslægtede områder som matematik og filosofi er " hvis og kun hvis " (forkortet som " if ") en bibetinget logisk forbindelse mellem udsagn, hvor enten begge udsagn er sande eller begge er falske.
Konnektiviteten er bibetinget (en erklæring om materiel ækvivalens ), og kan sammenlignes med standardmaterialet betinget ("kun hvis", lig med "hvis ... da") kombineret med dets omvendte ("hvis"); deraf navnet. Resultatet er, at sandheden af det ene af de forbundne udsagn kræver sandheden af det andet (dvs. enten er begge udsagn sande, eller begge er falske), selvom det er kontroversielt, om det således definerede bindeled er korrekt gengivet af det engelske "if og kun hvis" - med dens allerede eksisterende betydning. For eksempel betyder P, hvis og kun hvis Q , at P er sandt, når Q er sandt, og det eneste tilfælde, hvor P er sandt, er, hvis Q også er sandt, mens der i tilfældet med P, hvis Q , kan være andre scenarier, hvor P er sand og Q er falsk.
På skrift omfatter sætninger, der almindeligvis bruges som alternativer til P "hvis og kun hvis" Q: Q er nødvendigt og tilstrækkeligt for P , P er ækvivalent (eller materielt ækvivalent) med Q (sammenlign med materiel implikation ), P netop hvis Q , P præcist (eller nøjagtigt), når Q , P nøjagtigt i tilfælde af Q , og P bare i tilfælde af Q . Nogle forfattere betragter "iff" som uegnet i formel skrivning; andre betragter det som et "grænsetilfælde" og tolererer dets brug.
I logiske formler bruges logiske symboler, såsom og , i stedet for disse sætninger; se § Notation nedenfor.
Definition
Den sandhedstabellen af P Q er som følger:
| P | Q | P Q | P Q | P Q |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F |
| F | T | T | F | F |
| F | F | T | T | T |
Det svarer til det, der produceres af XNOR-porten , og modsat det, der produceres af XOR-porten .
Brug
Notation
De tilsvarende logiske symboler er "↔", " " og " ≡ ", og nogle gange "iff". Disse behandles normalt som ækvivalente. Nogle tekster inden for matematisk logik (især dem om førsteordenslogik snarere end propositionel logik ) skelner mellem disse, hvor den første, ↔, bruges som symbol i logiske formler, mens ⇔ bruges i ræsonnement om disse logiske formler (f.eks. i metalogic ). I Łukasiewicz 's polske notation , det er præfikset symbolet 'E'.
En anden betegnelse for denne logiske forbindelse er eksklusiv eller .
I TeX vises "hvis og kun hvis" som en lang dobbeltpil: via kommando \iff.
Beviser
I de fleste logiske systemer , man viser en opgørelse af formen "P IFF Q" ved at bevise enten "hvis P, er Q" og "hvis Q, så er P" eller "hvis P, er Q" og "hvis ikke-P , så ikke-Q". At bevise disse par udsagn fører nogle gange til et mere naturligt bevis, da der ikke er indlysende forhold, hvor man direkte kan udlede en bibetingelse. Et alternativ er at bevise disjunktionen "(P og Q) eller (ikke-P og ikke-Q)", som i sig selv kan udledes direkte fra en af dens disjunkter - det vil sige, fordi "iff" er sandhedsfunktionel , " P iff Q" følger, hvis P og Q har vist sig at være begge sande eller begge falske.
Oprindelse af iff og udtale
Brug af forkortelsen "iff" optrådte første gang på tryk i John L. Kelleys bog fra 1955 General Topology . Dens opfindelse er ofte krediteret til Paul Halmos , som skrev "Jeg opfandt 'iff' for 'hvis og kun hvis' - men jeg kunne aldrig tro, at jeg virkelig var dens første opfinder."
Det er noget uklart, hvordan "iff" skulle udtales. I den nuværende praksis læses det enkelte 'ord' "iff" næsten altid som de fire ord "hvis og kun hvis". Men i forordet til General Topology foreslår Kelley, at det skal læses anderledes: "I nogle tilfælde, hvor matematisk indhold kræver 'hvis og kun hvis', og euphony kræver noget mindre, bruger jeg Halmos' 'iff'". Forfatterne til en diskret matematiklærebog foreslår: "Skal du have brug for at udtale iff, så hold dig virkelig til 'ff'et', så folk hører forskellen fra 'if'", hvilket antyder, at "iff" kunne udtales som [ɪfː] .
Anvendelse i definitioner
Teknisk set er definitioner altid "hvis og kun hvis"-udsagn; nogle tekster - såsom Kelleys generelle topologi - følger logikkens strenge krav og bruger "hvis og kun hvis" eller iff i definitioner af nye termer. Denne logisk korrekte brug af "hvis og kun hvis" er imidlertid relativt ualmindelig, da størstedelen af lærebøger, forskningsartikler og artikler (inklusive engelske Wikipedia-artikler) følger den særlige konvention om at fortolke "hvis" som "hvis og kun hvis", når en matematisk definition er involveret (som i "et topologisk rum er kompakt, hvis hvert åbent låg har et endeligt underdæksel").
Forskellen mellem "hvis" og "kun hvis"
-
"Madison vil spise frugten, hvis det er et æble." (svarende til " Kun hvis Madison vil spise frugten, kan det være et æble " eller " Madison vil spise frugten ← frugten er et æble " )
- Dette siger, at Madison vil spise frugter, der er æbler. Det udelukker dog ikke muligheden for, at Madison også kan spise bananer eller andre typer frugt. Alt, hvad der med sikkerhed vides, er, at hun vil spise alle æbler, hun kommer på. At frugten er et æble er en tilstrækkelig betingelse for, at Madison kan spise frugten.
-
"Madison vil kun spise frugten , hvis det er et æble." (svarende til " Hvis Madison vil spise frugten, så er det et æble" eller "Madison vil spise frugten → frugten er et æble" )
- Dette siger, at den eneste frugt Madison vil spise er et æble. Det udelukker dog ikke muligheden for, at Madison vil afvise et æble, hvis det gøres tilgængeligt, i modsætning til (1), som kræver, at Madison spiser ethvert tilgængeligt æble. I dette tilfælde er, at en given frugt er et æble en nødvendig betingelse for, at Madison kan spise det. Det er ikke en tilstrækkelig betingelse, da Madison måske ikke spiser alle de æbler, hun får.
-
"Madison vil spise frugten, hvis og kun hvis det er et æble." (svarende til "Madison vil spise frugten ↔ frugten er et æble" )
- Denne erklæring gør det klart, at Madison vil spise alle og kun de frugter, der er æbler. Hun vil ikke efterlade et æble uspist, og hun vil ikke spise nogen anden type frugt. At en given frugt er et æble er både en nødvendig og en tilstrækkelig betingelse for, at Madison kan spise frugten.
Tilstrækkelighed er det modsatte af nødvendighed. Det vil sige, givet P → Q (dvs. hvis P så Q ), ville P være en tilstrækkelig betingelse for Q , og Q ville være en nødvendig betingelse for P . Givet P → Q er det også rigtigt, at ¬Q → ¬P (hvor ¬ er negationsoperatoren, dvs. "ikke"). Dette betyder, at forholdet mellem P og Q , etableret af P → Q , kan udtrykkes på følgende, alle ækvivalente, måder:
- P er tilstrækkeligt til Q
- Q er nødvendigt for P
- ¬Q er tilstrækkeligt til ¬P
- ¬P er nødvendigt for ¬Q
Som et eksempel, tag det første eksempel ovenfor, som angiver P → Q , hvor P er "den pågældende frugt er et æble" og Q er "Madison vil spise den pågældende frugt". Følgende er fire ækvivalente måder at udtrykke netop dette forhold på:
- Hvis den pågældende frugt er et æble, vil Madison spise det.
- Kun hvis Madison vil spise den pågældende frugt, er det et æble.
- Hvis Madison ikke vil spise den pågældende frugt, så er det ikke et æble.
- Kun hvis den pågældende frugt ikke er et æble, vil Madison ikke spise det.
Her kan det andet eksempel gentages i form af hvis...så som "Hvis Madison vil spise den pågældende frugt, så er det et æble"; tager dette i sammenhæng med det første eksempel, finder vi, at det tredje eksempel kan angives som "Hvis den pågældende frugt er et æble, så vil Madison spise det; og hvis Madison vil spise frugten, så er det et æble".
Med hensyn til Euler-diagrammer
A er en egentlig delmængde af B . Et tal er kun i A , hvis det er i B ; et tal er i B, hvis det er i A .
C er en delmængde, men ikke en egentlig delmængde af B . Et antal er i B hvis og kun hvis det er i C , og en række er i C , hvis og kun hvis det er i B .
Euler-diagrammer viser logiske sammenhænge mellem begivenheder, egenskaber og så videre. "Kun P hvis Q", "hvis P så Q" og "P→Q" betyder alle, at P er en delmængde , enten korrekt eller forkert, af Q. "P hvis Q", "hvis Q så P", og Q→P betyder alle, at Q er en korrekt eller ukorrekt delmængde af P. "P hvis og kun hvis Q" og "Q hvis og kun hvis P" betyder begge, at mængderne P og Q er identiske med hinanden.
Mere generel brug
Iff bruges også uden for logikken. Uanset hvor logik anvendes, især i matematiske diskussioner, har det samme betydning som ovenfor: det er en forkortelse for if and only if , hvilket indikerer, at det ene udsagn er både nødvendigt og tilstrækkeligt for det andet. Dette er et eksempel på matematisk jargon (selvom, som nævnt ovenfor, hvis bruges oftere end iff i definitionsudsagn).
Elementerne i X er alle, og kun elementerne i Y betyder: "For enhver z i diskursens domæne er z i X, hvis og kun hvis z er i Y. "