Partiel differentialligning - Partial differential equation

En visualisering af en løsning til den todimensionale varme ligning med temperatur repræsenteret af den lodrette retning og farve.

I matematik er en partiel differentialligning ( PDE ) en ligning, der pålægger relationer mellem de forskellige partielle derivater af en multivariabel funktion .

Funktionen betragtes ofte som en "ukendt", der skal løses for, på samme måde som $x$ betragtes som et ukendt tal, der skal løses for i en algebraisk ligning som $x 2 - 3 x + 2 = 0$ . Det er imidlertid normalt umuligt at nedskrive eksplicitte formler til løsninger af partielle differentialligninger. Der findes tilsvarende en enorm mængde moderne matematisk og videnskabelig forskning om metoder til numerisk at tilnærme løsninger til visse partielle differentialligninger ved hjælp af computere. Partielle differentialligninger indtager også en stor sektor af ren matematisk forskning , hvor de sædvanlige spørgsmål stort set handler om identifikation af generelle kvalitative træk ved løsninger af forskellige partielle differentialligninger. Blandt de mange åbne spørgsmål er eksistensen og problemfriheden af løsninger til Navier -Stokes ligninger , der blev kaldt et af Millennium Prize -problemerne i 2000.

Delvise differentialligninger er allestedsnærværende på matematisk orienterede videnskabelige områder, såsom fysik og teknik . For eksempel er de grundlæggende i den moderne videnskabelige forståelse af lyd, varme, diffusion , elektrostatik , elektrodynamik , termodynamik , væskedynamik , elasticitet , generel relativitet og kvantemekanik ( Schrodinger -ligning , Pauli -ligning osv.). De stammer også fra mange rent matematiske overvejelser, såsom differentialgeometri og beregning af variationer ; blandt andre bemærkelsesværdige applikationer er de det grundlæggende værktøj i beviset på Poincaré -formodningen fra geometrisk topologi .

Dels på grund af denne mangfoldighed af kilder er der et bredt spektrum af forskellige typer af partielle differentialligninger, og der er udviklet metoder til at håndtere mange af de individuelle ligninger, der opstår. Som sådan anerkendes det normalt, at der ikke er nogen "generel teori" om partielle differentialligninger, idet specialistviden er noget opdelt mellem flere i det væsentlige adskilte underfelter.

Almindelige differentialligninger danner en underklasse af partielle differentialligninger, der svarer til funktioner i en enkelt variabel. Stokastiske partielle differentialligninger og ikke -lokale ligninger er fra 2020 særligt bredt studerede udvidelser af "PDE" -begrebet. Mere klassiske emner, hvor der stadig er meget aktiv forskning, omfatter elliptiske og parabolske partielle differentialligninger, fluidmekanik , Boltzmann -ligninger og dispersive partielle differentialligninger.

Introduktion

Man siger, at en funktion $u (x, y, z)$ af tre variable er " harmonisk " eller "en opløsning af den Laplace-ligningen ", hvis det opfylder betingelsen

{\ displaystyle {\ frac {\ delvis ^{2} u} {\ delvis x ^{2}}}+{\ frac {\ delvis ^{2} u} {\ delvis y ^{2}}}+{ \ frac {\ delvis ^{2} u} {\ delvis z ^{2}}} = 0.}

Sådanne funktioner blev bredt undersøgt i det nittende århundrede på grund af deres relevans for klassisk mekanik . Hvis eksplicit givet en funktion, er det normalt et spørgsmål om ligetil beregning for at kontrollere, om den er harmonisk eller ej. For eksempel

{\ displaystyle u (x, y, z) = {\ frac {1} {\ sqrt {x^{2} -2x+y^{2}+z^{2} +1}}}}

og

{\ displaystyle u (x, y, z) = 2x^{2} -y^{2} -z^{2}}

er begge harmoniske mens

{\ displaystyle u (x, y, z) = \ sin (xy)+z}

er ikke. Det kan være overraskende, at de to givne eksempler på harmoniske funktioner har en så slående forskellig form fra hinanden. Dette er en afspejling af det faktum, at de ikke på nogen umiddelbar måde begge er særlige tilfælde af en "generel løsningsformel" i Laplace -ligningen. Dette er i slående kontrast til tilfældet med almindelige differentialligninger (ODE'er), der stort set ligner Laplace -ligningen, med det formål at mange indledende lærebøger er at finde algoritmer, der fører til generelle løsningsformler. For Laplace -ligningen, som for et stort antal partielle differentialligninger, eksisterer sådanne løsningsformler ikke.

Arten af denne fejl kan ses mere konkret i tilfælde af følgende PDE: for en funktion $v (x, y)$ af to variabler, overvej ligningen

{\ displaystyle {\ frac {\ delvis ^{2} v} {\ delvis x \ delvis y}} = 0.}

Det kan kontrolleres direkte, at enhver funktion

v

af formen

v (x, y) = f (x) + g (y)

for enhver enkeltvariabel funktion

f

og

g

overhovedet vil opfylde denne betingelse. Dette er langt ud over de valgmuligheder, der er tilgængelige i ODE -løsningsformler, som typisk tillader frit valg af nogle tal. I studiet af PDE har man generelt det frie valg af funktioner.

Dette valgs art varierer fra PDE til PDE. For at forstå det for en given ligning er eksistens- og entydighedssætninger normalt vigtige organisatoriske principper. I mange indledende lærebøger kan eksistensens rolle og unikke sætninger for ODE være noget uigennemsigtig; eksistenshalvdelen er normalt unødvendig, da man direkte kan kontrollere enhver foreslået løsningsformel, mens den unikke halvdel ofte kun er til stede i baggrunden for at sikre, at en foreslået løsningsformel er så generel som muligt. I modsætning hertil er eksistens- og entydighedssætninger for PDE ofte det eneste middel til at navigere gennem overflod af forskellige løsninger. Af denne grund er de også grundlæggende, når der udføres en rent numerisk simulering, da man skal have en forståelse af, hvilke data der skal ordineres af brugeren, og hvad der skal overlades til computeren for at beregne.

For at diskutere en sådan eksistens og unikke sætninger er det nødvendigt at være præcis om domænet for den "ukendte funktion". Ellers er det umuligt at formulere resultaterne på en meningsfuld måde som f.eks. "En funktion af to variabler". Det vil sige, at domænet for den ukendte funktion skal betragtes som en del af selve PDE -strukturen.

Det følgende giver to klassiske eksempler på en sådan eksistens og unikke sætninger. Selvom de to PDE, der er tale om, er så ens, er der en slående forskel i adfærd: For den første PDE har man gratis recept på en enkelt funktion, mens for den anden PDE har man gratis recept på to funktioner.

Lad $B$ betegne enhedsradius-disken omkring oprindelsen i flyet. For enhver kontinuerlig funktion $U$ på enhedscirklen er der præcis en funktion $u$ på $B,$ sådan at ${\ displaystyle {\ frac {\ delvis ^{2} u} {\ delvis x ^{2}}}+{\ frac {\ delvis ^{2} u} {\ delvis y ^{2}}} = 0 }$ og hvis begrænsning til enhedscirklen er givet ved $U$ .
For alle funktioner $f$ og $g$ på den reelle linje $R$ er der præcis en funktion $u$ på $R \times (-1, 1),$ således at ${\ displaystyle {\ frac {\ delvis ^{2} u} {\ delvis x ^{2}}}-{\ frac {\ delvis ^{2} u} {\ delvis y ^{2}}} = 0 }$ og med $u (x, 0) = f (x)$ og $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} ∂ u/∂ y( x , 0) = g ( x )$ for alle værdier af $x$ .

Endnu flere fænomener er mulige. For eksempel illustrerer følgende PDE , der opstår naturligt inden for differentialgeometri , et eksempel, hvor der er en enkel og fuldstændig eksplicit løsningsformel, men med frit valg af kun tre tal og ikke engang en funktion.

Hvis $u$ er en funktion på $R 2$ med ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ delvis x}} {\ frac {\ frac {\ delvis u} {\ delvis x}} {\ sqrt {1+ \ venstre ({\ frac {\ delvis u} {\ delvis x}} \ højre)^{2}+\ venstre ({\ frac {\ delvis u} {\ delvis y}} \ højre)^{2}}}}+{\ frac {\ delvis} { \ delvis y}} {\ frac {\ frac {\ delvis u} {\ delvis y}} {\ sqrt {1+ \ venstre ({\ frac {\ delvis u} {\ delvis x}} \ højre)^{ 2}+\ venstre ({\ frac {\ delvis u} {\ delvis y}} \ højre)^{2}}}} = 0,}$ så er der tal $a$ , $b$ og $c$ med $u (x, y) = ax + med + c$ .

I modsætning til de tidligere eksempler er denne PDE ikke -lineær på grund af kvadratrødderne og firkanterne. En lineær PDE er en sådan, at hvis den er homogen, er summen af to løsninger også en løsning, og alle konstante multipler af enhver løsning er også en løsning.

Godt stillet

Godt stillet refererer til en fælles skematisk pakke med information om en PDE. For at sige, at en PDE er godt stillet, skal man have:

en eksistens- og entydighedssætning, der hævder, at man ved foreskrivelse af nogle frit valgte funktioner kan udpege en specifik løsning af PDE
ved løbende at ændre de frie valg ændrer man løbende den tilsvarende løsning

Dette er af nødvendigheden af at være gældende for flere forskellige PDE noget uklart. Kravet om "kontinuitet" er især tvetydigt, da der normalt er mange ækvivalente midler, hvormed det kan defineres nøje. Det er imidlertid noget usædvanligt at studere en PDE uden at angive en måde, hvorpå den er godt poseret.

Eksistens af lokale løsninger

I en lidt svag form siger Cauchy - Kowalevski -sætningen i det væsentlige, at hvis udtrykkene i en delvis differentialligning alle består af analytiske funktioner , så findes der nødvendigvis på visse områder løsninger af PDE, som også er analytiske funktioner. Selvom dette er et grundlæggende resultat, er det i mange situationer ikke nyttigt, da man ikke let kan kontrollere domænet for de producerede løsninger. Desuden er der kendte eksempler på lineære partielle differentialligninger, hvis koefficienter har derivater af alle ordrer (som dog ikke er analytiske), men som slet ikke har nogen løsninger: dette overraskende eksempel blev opdaget af Hans Lewy i 1957. Så Cauchy-Kowalevski-sætningen er nødvendigvis begrænset i sit omfang til analytiske funktioner. Denne kontekst udelukker mange fænomener af både fysisk og matematisk interesse.

Klassifikation

Notation

Når man skriver PDE'er, er det almindeligt at betegne partielle derivater ved hjælp af abonnementer. For eksempel:

{\ displaystyle u_ {x} = {\ frac {\ delvis u} {\ delvis x}}, \ quad u_ {xx} = {\ frac {\ delvis ^{2} u} {\ delvis x ^{2} }}, \ quad u_ {xy} = {\ frac {\ delvis ^{2} u} {\ delvis y \, \ delvis x}} = {\ frac {\ delvis} {\ delvis y}} \ venstre ( {\ frac {\ delvis u} {\ delvis x}} \ højre).}

I den generelle situation, at

u

er en funktion af

n

variabler, betegner

u i

det første partielle derivat i forhold til

i

-input,

u ij

angiver det andet partielle derivat i forhold til

i

-th og

j

-th input, og så på.

Det græske bogstav $Δ$ betegner Laplace -operatøren ; hvis $u$ er en funktion af $n$ variabler, så

{\ displaystyle \ Delta u = u_ {11}+u_ {22}+\ cdots+u_ {nn}.}

I fysiklitteraturen betegnes Laplace -operatøren ofte med

\nabla 2

; i matematiklitteraturen kan

\nabla 2 u

også betegne den hessiske matrix af

u

.

Ligninger af første orden

Lineære og ikke -lineære ligninger

En PDE kaldes lineær, hvis den er lineær i det ukendte og dets derivater. For eksempel for en funktion $u$ af $x$ og $y$ er en andenordens lineær PDE af formen

{\ displaystyle a_ {1} (x, y) u_ {xx}+a_ {2} (x, y) u_ {xy}+a_ {3} (x, y) u_ {yx}+a_ {4} ( x, y) u_ {yy}+a_ {5} (x, y) u_ {x}+a_ {6} (x, y) u_ {y}+a_ {7} (x, y) u = f ( x, y)}

hvor

et jeg

og

f

er funktioner af kun de uafhængige variable. (Ofte vil de blandede-partielle derivater

u xy

og

u yx

blive ligestillet, men dette er ikke påkrævet for diskussionen om linearitet.) Hvis

a i

er konstanter (uafhængigt af

x

og

y

) kaldes PDE lineær med konstante koefficienter . Hvis

f

er nul overalt, så er den lineære PDE homogen , ellers er den inhomogen . (Dette er adskilt fra asymptotisk homogenisering , som studerer virkningerne af højfrekvente svingninger i koefficienterne på løsninger til PDE'er.)

Nærmest lineære PDE'er er semilinear PDE'er, hvor derivater i højeste række kun vises som lineære termer, med koefficienter, der kun er funktioner for de uafhængige variabler. De lavere ordens derivater og den ukendte funktion kan forekomme vilkårligt på anden måde. For eksempel er en generel andenordens semilinear PDE i to variabler

{\ displaystyle a_ {1} (x, y) u_ {xx}+a_ {2} (x, y) u_ {xy}+a_ {3} (x, y) u_ {yx}+a_ {4} ( x, y) u_ {yy}+f (u_ {x}, u_ {y}, u, x, y) = 0}

I en quasilinær PDE vises derivater af højeste orden ligeledes kun som lineære termer, men med koefficienter muligvis funktioner af de ukendte og lavere ordensderivater :

{\ displaystyle a_ {1} (u_ {x}, u_ {y}, u, x, y) u_ {xx}+a_ {2} (u_ {x}, u_ {y}, u, x, y) u_ {xy}+a_ {3} (u_ {x}, u_ {y}, u, x, y) u_ {yx}+a_ {4} (u_ {x}, u_ {y}, u, x, y) u_ {yy}+f (u_ {x}, u_ {y}, u, x, y) = 0}

Mange af de grundlæggende PDE'er i fysik er quasilinære, såsom Einstein -ligningerne for generel relativitet og Navier -Stokes -ligningerne, der beskriver væskens bevægelse.

En PDE uden nogen linearitetsegenskaber kaldes fuldstændig ikke-lineær og besidder ikke-lineariteter på et eller flere af de højeste ordenderivater. Et eksempel er Monge -Ampère -ligningen , der opstår i differentialgeometri .

Lineære ligninger af anden orden

Elliptiske , parabolske og hyperboliske partielle differentialligninger af rækkefølge to er blevet bredt undersøgt siden begyndelsen af det tyvende århundrede. Der er imidlertid mange andre vigtige typer PDE, herunder Korteweg – de Vries -ligningen . Der er også hybrider såsom Euler -Tricomi -ligningen , som varierer fra elliptisk til hyperbolsk for forskellige områder af domænet. Der er også vigtige udvidelser af disse grundlæggende typer til højere ordens PDE, men sådan viden er mere specialiseret.

Den elliptiske/parabolske/hyperbolske klassificering giver en vejledning til passende indledende og grænsebetingelser og til løsningernes glathed. Forudsat at $u xy = u yx$ har den generelle lineære andenordens PDE i to uafhængige variabler formen

{\ displaystyle Au_ {xx}+2Bu_ {xy}+Cu_ {yy}+\ cdots {\ mbox {(lavere ordre)}} = 0,}

hvor koefficienterne

A

,

B

,

C

... kan afhænge af

x

og

y

. Hvis

A 2 + B 2 + C 2 > 0

over et område af

xy

-flyet, er PDE anden orden i dette område. Denne form er analog med ligningen for et keglesnit:

{\ displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\ cdots = 0.}

Mere præcist, ved at erstatte $\partial x$ med $X$ og på samme måde for andre variabler (formelt gøres dette ved en Fouriertransform ), konverterer en konstant-koefficient PDE til et polynom af samme grad med vilkårene i højeste grad (et homogent polynom , her en kvadratisk form ) er mest signifikant for klassificeringen.

Ligesom en klassificerer keglesnit og kvadratiske former i parabolsk, hyperbolsk og elliptisk baseret på den diskriminant $B 2 - 4 AC$ , kan det samme ske for en anden ordens PDE ved et givet punkt. Imidlertid diskriminant er i en PDE afgivet $B 2 - AC$ grund konventionen af $xy$ sigt er $2 B$ snarere end $B$ ; formelt er diskriminanten (af den tilhørende kvadratiske form) $(2 B) 2 - 4 AC = 4 (B 2 - AC)$ , med faktoren 4 faldet for enkelhedens skyld.

$B 2 - AC <0$ ( elliptisk partiel differentialligning ): Opløsninger af elliptiske PDE'er er lige så glatte som koefficienterne tillader inden for det indre af det område, hvor ligningen og løsningerne er defineret. For eksempel er løsninger til Laplaces ligning analytiske inden for det domæne, hvor de er defineret, men løsninger kan antage grænseværdier, der ikke er glatte. Bevægelsen af en væske ved subsoniske hastigheder kan tilnærmes med elliptiske PDE'er, og Euler -Tricomi -ligningen er elliptisk, hvor $x <0$ .
$B 2 - AC = 0$ ( parabolisk partiel differentialligning ): Ligninger, der er parabolske på hvert punkt, kan omdannes til en form, der er analog med varmelegningen ved en ændring af uafhængige variabler. Løsninger udjævnes, når den transformerede tidsvariabel stiger. Euler -Tricomi -ligningen har parabolsk type på linjen, hvor $x = 0$ .
$B 2 - AC > 0$ ( hyperbolsk partiel differentialligning ): hyperboliske ligninger bevarer eventuelle diskontinuiteter af funktioner eller derivater i de indledende data. Et eksempel er bølgelegningen . Bevægelsen af en væske ved supersonisk hastighed kan tilnærmes med hyperboliske PDE'er, og Euler -Tricomi -ligningen er hyperbolisk, hvor $x > 0$ .

Hvis der er $n$ uafhængige variabler $x 1, x 2,\dots, x n$ , har en generel lineær partiel differentialligning af anden orden formen

{\ displaystyle Lu = \ sum _ {i = 1}^{n} \ sum _ {j = 1}^{n} a_ {i, j} {\ frac {\ partial^{2} u} {\ partial x_ {i} \ delvis x_ {j}}} \ quad {\ text {plus lavere ordens vilkår}} = 0.}

Klassificeringen afhænger af signaturen af egenværdierne i koefficientmatrixen $a i, j$ .

Elliptisk: egenværdierne er alle positive eller alle negative.
Parabolsk: egenværdierne er alle positive eller alle negative, undtagen en der er nul.
Hyperbolisk: der er kun en negativ egenværdi, og resten er positiv, eller der er kun en positiv egenværdi, og resten er negativ.
Ultrahyperbolisk: der er mere end én positiv egenværdi og mere end én negativ egenværdi, og der er ingen nul -egenværdier. Der er kun en begrænset teori for ultrahyperboliske ligninger (Courant og Hilbert, 1962).

Systemer af første ordens ligninger og karakteristiske overflader

Klassifikationen af partielle differentialligninger kan udvides til systemer med førsteordensligninger, hvor det ukendte $u$ nu er en vektor med $m-$ komponenter, og koefficientmatricerne $A ν$ er $m$ ved $m$ matricer for $ν = 1, 2,\dots, n$ . Den delvise differentialligning har form

{\ displaystyle Lu = \ sum _ {\ nu = 1}^{n} A _ {\ nu} {\ frac {\ delvis u} {\ delvis x _ {\ nu}}}+B = 0,}

hvor koefficienten matricer

A ν

og vektoren

B

kan afhænge af

x

og

u

. Hvis en hypersurface

S

er givet i den implicitte form

{\ displaystyle \ varphi (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = 0,}

hvor

φ

har en ikke-nul gradient, så er

S

en karakteristisk overflade for operatoren

L

på et givet punkt, hvis den karakteristiske form forsvinder:

{\ displaystyle Q \ venstre ({\ frac {\ partiel \ varphi} {\ delvis x_ {1}}}, \ ldots, {\ frac {\ delvis \ varphi} {\ delvis x_ {n}}} \ højre) = \ det \ venstre [\ sum _ {\ nu = 1}^{n} A _ {\ nu} {\ frac {\ delvis \ varphi} {\ delvis x _ {\ nu}}} \ højre] = 0.}

Den geometriske fortolkning af denne betingelse er som følger: Hvis data for $u$ er foreskrevet på overfladen $S$ , kan det være muligt at bestemme det normale derivat af $u$ på $S ud$ fra differentialligningen. Hvis dataene om $S$ og differentialligningen bestemmer det normale derivat af $u$ på $S$ , er $S$ ikke-karakteristisk. Hvis dataene på $S$ og differentialligningen ikke fastsætte den normale derivat af $u$ på $S$ , så er overfladen karakteristisk , og differentialligningen begrænser dataene på $S$ : differentialligningen er internt til $S$ .

En første-ordens system $Lu = 0$ er elliptisk hvis ingen overflade er karakteristisk for $L$ : værdierne af $u$ på $S$ og differentialligningen altid bestemme den normale derivat af $u$ på $S$ .
Et førsteordens system er hyperbolsk på et tidspunkt, hvis der er en rumlignende overflade $S$ med normal $ξ$ på det tidspunkt. Dette betyder , at ligningen $Q$ $($ $λξ$ $+$ $η$ $) = 0$ givet $m$ reelle rødder $λ$ $1$ $,$ $λ$ $2$ $,\dots,$ $λ$ $m$ givet enhver ikke-triviel vektor $η$ ortogonal til $ξ$ og en skalarmultiplikator $λ$ . Systemet er strengt hyperbolsk, hvis disse rødder altid er forskellige. Den geometriske fortolkning af denne tilstand er som følger: Den karakteristiske form $Q$ $($ $ζ$ $) = 0$ definerer en kegle (den normale kegle) med homogene koordinater ζ. I det hyperboliske tilfælde har denne kegle $m$ -ark, og aksen $ζ$ $=$ $λξ$ løber inde i disse ark: den skærer ikke nogen af dem. Men når den forskydes fra oprindelsen med η, skærer denne akse hvert ark. I det elliptiske tilfælde har den normale kegle ingen rigtige plader.

Analytiske løsninger

Adskillelse af variabler

Lineære PDE'er kan reduceres til systemer med almindelige differentialligninger ved hjælp af den vigtige teknik til adskillelse af variabler. Denne teknik hviler på en egenskab ved løsninger til differentialligninger: hvis man kan finde en løsning, der løser ligningen og opfylder randbetingelserne, så er det løsningen (dette gælder også for ODE'er). Vi antager som en ansatz, at en løsnings afhængighed af parametrene rum og tid kan skrives som et produkt af termer, der hver afhænger af en enkelt parameter, og derefter se om dette kan gøres for at løse problemet.

I metoden til adskillelse af variabler reducerer man en PDE til en PDE i færre variabler, hvilket er en almindelig differentialligning, hvis den er i en variabel - disse er til gengæld lettere at løse.

Dette er muligt for simple PDE'er, som kaldes separable partielle differentialligninger , og domænet er generelt et rektangel (et produkt af intervaller). Adskilbare PDE'er svarer til diagonale matricer - tænker på "værdien for fast $x$ " som en koordinat, kan hver koordinat forstås separat.

Dette generaliserer til karakteristikmetoden og bruges også i integrerede transformationer .

Metode til kendetegn

I særlige tilfælde kan man finde karakteristiske kurver, hvorpå ligningen reduceres til en ODE -ændrende koordinater i domænet for at rette disse kurver, tillader adskillelse af variabler, og kaldes metoden for karakteristika .

Mere generelt kan man finde karakteristiske overflader.

Integreret transformation

En integreret transformation kan transformere PDE'en til en enklere, især en adskillelig PDE. Dette svarer til diagonalisering af en operatør.

Et vigtigt eksempel på dette er Fourier -analyse , som diagonaliserer varmeligningen ved hjælp af sinbase af sinusformede bølger.

Hvis domænet er begrænset eller periodisk, er en uendelig sum af løsninger, såsom en Fourier -serie , passende, men et integral af løsninger, såsom en Fourier -integral, er generelt påkrævet for uendelige domæner. Løsningen for en punktkilde til varmeudligningen ovenfor er et eksempel på brugen af et Fourier -integral.

Ændring af variabler

Ofte kan en PDE reduceres til en enklere form med en kendt løsning ved en passende ændring af variabler . For eksempel Black -Scholes -ligningen

{\ displaystyle {\ frac {\ delvis V} {\ delvis t}}+{\ tfrac {1} {2}} \ sigma ^{2} S ^{2} {\ frac {\ delvis ^{2} V } {\ delvis S^{2}}}+rS {\ frac {\ delvis V} {\ delvis S}}-rV = 0}

kan reduceres til varmeligningen

{\ displaystyle {\ frac {\ delvis u} {\ delvis \ tau}} = {\ frac {\ delvis ^{2} u} {\ delvis x ^{2}}}}

ved ændring af variabler

{\ displaystyle {\ begin {justeret} V (S, t) & = Kv (x, \ tau), \\ [5px] x & = \ ln \ venstre ({\ tfrac {S} {K}} \ højre) , \\ [5px] \ tau & = {\ tfrac {1} {2}} \ sigma ^{2} (Tt), \\ [5px] v (x, \ tau) & = e ^{-\ alpha x- \ beta \ tau} u (x, \ tau). \ end {justeret}}}

Grundlæggende løsning

Inhomogene ligninger kan ofte løses (for konstant koefficient PDE'er skal altid løses) ved at finde den grundlæggende løsning (løsningen for en punktkilde) og derefter tage konvolutionen med randbetingelserne for at få løsningen.

Dette er analogt i signalbehandling til at forstå et filter ved dets impulsrespons .

Superposition princip

Superpositionsprincippet gælder for ethvert lineært system, herunder lineære systemer af PDE'er. En almindelig visualisering af dette koncept er interaktionen mellem to bølger i fase, der kombineres for at resultere i en større amplitude, for eksempel $sin x + sin x = 2 sin x$ . Det samme princip kan observeres i PDE'er, hvor løsningerne kan være reelle eller komplekse og additive. Hvis $u 1$ og $u 2$ er løsninger af lineær PDE i et funktionsrum $R$ , så er $u = c 1 u 1 + c 2 u 2$ med alle konstanter $c 1$ og $c 2$ også en løsning af denne PDE i det samme funktionsrum.

Metoder til ikke-lineære ligninger

Der er ingen generelt anvendelige metoder til at løse ikke -lineære PDE'er. Alligevel er eksistens og unikke resultater (såsom Cauchy - Kowalevski -sætningen ) ofte mulige, ligesom beviser for vigtige kvalitative og kvantitative egenskaber ved løsninger (at få disse resultater er en vigtig del af analysen ). Beregningsløsning til de ikke-lineære PDE'er, split-step metoden , findes for specifikke ligninger som ikke-lineær Schrödinger ligning .

Ikke desto mindre kan nogle teknikker bruges til flere typer ligninger. Den $h$ -princippet er den mest effektive metode til at løse underbestemte ligninger. Den Riquier-Janet teorien er en effektiv metode til at opnå information om mange analytiske overbestemte systemer.

Den fremgangsmåde egenskaber kan anvendes i nogle meget specielle tilfælde at løse lineære partielle differentialligninger.

I nogle tilfælde kan en PDE løses via forstyrrelsesanalyse, hvor løsningen anses for at være en korrektion til en ligning med en kendt løsning. Alternativer er numeriske analyseteknikker fra simple begrænsede forskelsordninger til de mere modne multigrid- og endelige elementmetoder . Mange interessante problemer inden for videnskab og teknik løses på denne måde ved hjælp af computere , undertiden højtydende supercomputere .

Lie group -metode

Fra 1870 satte Sophus Lies arbejde teorien om differentialligninger på et mere tilfredsstillende grundlag. Han viste, at integrationsteorierne fra de ældre matematikere ved indførelsen af det, der nu kaldes Lie -grupper , kan henvises til en fælles kilde; og at almindelige differentialligninger, der indrømmer de samme uendelige transformationer, frembyder sammenlignelige vanskeligheder med integration. Han lagde også vægt på emnet transformationer af kontakt .

En generel tilgang til løsning af PDE'er bruger symmetriegenskaben ved differentialligninger, de kontinuerlige infinitesimale transformationer af løsninger til løsninger ( Lie -teori ). Kontinuerlig gruppeteori , Lie -algebraer og differentialgeometri bruges til at forstå strukturen af lineære og ikke -lineære partielle differentialligninger til generering af integrerbare ligninger, for at finde dens Lax -par , rekursionsoperatorer, Bäcklund -transformationer og endelig finde præcise analytiske løsninger til PDE.

Symmetri metoder er blevet anerkendt til at studere differentialligninger, der opstår i matematik, fysik, teknik og mange andre discipliner.

Semianalytiske metoder

Den Adomian nedbrydning metode , den Lyapunov kunstige lille parameter metode, og hans homotopi forstyrrelse metode er alle specialtilfælde af den mere generelle Homotopiteori analysemetode . Disse er serieudvidelsesmetoder, og bortset fra Lyapunov -metoden er de uafhængige af små fysiske parametre i forhold til den velkendte forstyrrelsesteori , hvilket giver disse metoder større fleksibilitet og løsningsgeneralitet.

Numeriske løsninger

De tre mest anvendte numeriske metoder til at løse PDE'er er metoden med finite element (FEM), finite volume metoder (FVM) og finite difference metoder (FDM) samt andre former for metoder kaldet Meshfree -metoder , som blev lavet til at løse problemer, hvor de førnævnte metoder er begrænsede. FEM har en fremtrædende position blandt disse metoder og især den usædvanligt effektive version af højere ordre hp-FEM . Andre hybridversioner af FEM- og Meshfree-metoder inkluderer den generaliserede endelige elementmetode (GFEM), metoden med forlænget endelig element (XFEM), metoden med spektralfinite element (SFEM), meshfree finite element metode , diskontinuerlig Galerkin finite element metode (DGFEM), Element- Free Galerkin Method (EFGM), Interpolating Element-Free Galerkin Method (IEFGM) osv.

Endelig element metode

Den endelige element metode (FEM) (dens praktiske anvendelse ofte kendt som finite element analyse (FEA)) er en numerisk teknik til at finde omtrentlige løsninger af partielle differentialligninger (PDE) samt integrale ligninger. Løsningsmetoden er enten baseret på at eliminere differentialligningen fuldstændigt (steady state -problemer) eller gøre PDE til et tilnærmelsesværdigt system af almindelige differentialligninger, som derefter numerisk integreres ved hjælp af standardteknikker såsom Eulers metode, Runge – Kutta osv.

Endelig forskel metode

Finite-difference metoder er numeriske metoder til at tilnærme løsningerne til differentialligninger ved hjælp af endelige differensligninger til omtrentlige derivater.

Endelig volumenmetode

I lighed med metoden med begrænset forskel eller endelig elementmetode beregnes værdier på diskrete steder på en masket geometri. "Endelig volumen" refererer til den lille volumen, der omgiver hvert knudepunkt på et net. I metoden med begrænset volumen konverteres overfladeintegraler i en partiel differentialligning, der indeholder et divergensudtryk, til volumenintegraler ved hjælp af divergenssætningen . Disse udtryk vurderes derefter som flux på overfladerne af hvert begrænset volumen. Fordi fluxen, der kommer ind i et givet volumen, er identisk med den, der forlader det tilstødende volumen, bevarer disse metoder masse ved design.

Energimetoden

Energimetoden er en matematisk procedure, der kan bruges til at verificere, at de oprindelige grænseværdi-problemer er velstillede. I det følgende eksempel bruges energimetoden til at bestemme, hvor og hvilke randbetingelser der skal pålægges, således at den resulterende IBVP er veloplagt. Overvej den endimensionelle hyperbolske PDE givet af

{\ displaystyle {\ frac {\ delvis u} {\ delvis t}}+\ alfa {\ frac {\ delvis u} {\ delvis x}} = 0, \ quad x \ i [a, b], t> 0,}

hvor er en konstant og er en ukendt funktion med starttilstand . Multiplikation med og integration over domænet giver ${\ displaystyle \ alpha \ neq 0}$ ${\ displaystyle u (x, t)}$ ${\ displaystyle u (x, 0) = f (x)}$ ${\ displaystyle u}$

{\ displaystyle \ int _ {a}^{b} u {\ frac {\ partiel u} {\ delvis t}} \ mathrm {d} x+\ alpha \ int _ {a}^{b} u {\ frac {\ delvis u} {\ delvis x}} \ mathrm {d} x = 0.}

Brug det

{\ displaystyle \ int _ {a}^{b} u {\ frac {\ partiel u} {\ delvis t}} \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ delvis} {\ delvis t}} \ | u \ |^{2} \ quad {\ tekst {og}} \ quad \ int _ {a}^{b} u {\ frac {\ delvis u} {\ delvis x}} \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} u (b, t)^{2}-{\ frac {1} {2}} u (a, t)^{2 },}

hvor integration af dele er blevet brugt til det andet forhold, får vi

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ delvis t}} \ | u \ |^{2}+\ alpha u (b, t)^{2}-\ alpha u (a, t)^{2 } = 0.}

Her betegner standarden L2-norm. For at være godt stillet kræver vi, at energien i løsningen er ikke-stigende, dvs. den , som opnås ved at specificere på if og at if . Dette svarer til kun at pålægge randbetingelser ved indstrømningen. Bemærk, at velstilling giver mulighed for vækst med hensyn til data (indledende og grænse), og det er derfor tilstrækkeligt at vise, at det holder, når alle data er sat til nul. ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ ${\ textstyle {\ frac {\ partial} {\ delvis t}} \ | u \ |^{2} \ leq 0}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle x = a}$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$ ${\ displaystyle x = b}$ ${\ displaystyle \ alpha <0}$ ${\ textstyle {\ frac {\ partial} {\ delvis t}} \ | u \ |^{2} \ leq 0}$

Se også

Nogle almindelige PDE'er

Typer af randbetingelser

Forskellige emner

Noter

Referencer

Courant, R. & Hilbert, D. (1962), Methods of Mathematical Physics , II , New York: Wiley-Interscience, ISBN 9783527617241.
Evans, LC (1998), Partial Differential Equations , Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2.
Drábek, Pavel; Holubová, Gabriela (2007). Elementer af partielle differentialligninger (Online red.). Berlin: de Gruyter. ISBN 9783110191240.
Ibragimov, Nail H. (1993), CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3 , Providence: CRC-Press, ISBN 0-8493-4488-3.
John, F. (1982), Partial Differential Equations (4. udgave), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6.
Jost, J. (2002), Partial Differential Equations , New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-95428-7.
Olver, PJ (1995), Equivalence, Invariants and Symmetry , Cambridge Press.
Petrovskii, IG (1967), Partial Differential Equations , Philadelphia: WB Saunders Co..
Pinchover, Y. & Rubinstein, J. (2005), An Introduction to Partial Differential Equations , New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-84886-5.
Polyanin, AD (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9.
Polyanin, AD & Zaitsev, VF (2004), Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations , Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-355-3.
Polyanin, AD ; Zaitsev, VF & Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations , London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X.
Roubíček, T. (2013), Nonlinear Partial Differential Equations with Applications (PDF) , International Series of Numerical Mathematics, 153 (2. udgave), Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-3-0348-0513 -1 , ISBN 978-3-0348-0512-4, MR 3014456
Stephani, H. (1989), MacCallum, M. (red.), Differential Equations: Their Solution Using Symmetries , Cambridge University Press.
Wazwaz, Abdul-Majid (2009). Partielle differentialligninger og ensomme bølger teori . Higher Education Press. ISBN 978-3-642-00251-9.
Wazwaz, Abdul-Majid (2002). Delvise differentialligninger Metoder og applikationer . AA Balkema. ISBN 90-5809-369-7.
Zwillinger, D. (1997), Handbook of Differential Equations (3. udgave), Boston: Academic Press, ISBN 0-12-784395-7.
Gershenfeld, N. (1999), The Nature of Mathematical Modeling (1. udgave), New York: Cambridge University Press, New York, NY, USA, ISBN 0-521-57095-6.
Krasil'shchik, IS & Vinogradov, AM, red. (1999), Symmetries and Conserwation Laws for Differential Equations of Mathematical Physics , American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, USA, ISBN 0-8218-0958-X.
Krasil'shchik, IS; Lychagin, VV & Vinogradov, AM (1986), Geometry of Jet Spaces and Nonlinear Partial Differential Equations , Gordon and Breach Science Publishers, New York, London, Paris, Montreux, Tokyo, ISBN 2-88124-051-8.
Vinogradov, AM (2001), Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus , American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, USA, ISBN 0-8218-2922-X.
Gustafsson, Bertil (2008). Metoder til høj ordensforskel til tidsafhængig PDE . Springer -serien i computermatematik. 38 . Springer. doi : 10.1007/978-3-540-74993-6 . ISBN 978-3-540-74992-9.

Yderligere læsning

Cajori, Florian (1928). "Den tidlige historie om delvise differentialligninger og om delvis differentiering og integration" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 35 (9): 459–467. doi : 10.2307/2298771 . JSTOR 2298771 . Arkiveret fra originalen (PDF) den 2018-11-23 . Hentet 2016-05-15 .
Nirenberg, Louis (1994). "Partielle differentialligninger i første halvdel af århundredet." Matematikudvikling 1900–1950 (Luxembourg, 1992), 479–515, Birkhäuser, Basel.
Brezis, H. , & Browder, F. (1998). "Partielle differentialligninger i det 20. århundrede." Fremskridt i matematik , 135 (1), 76–144. doi: 10.1006/aima.1997.1713

eksterne links

"Differential ligning, delvis" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Partielle differentialligninger: Nøjagtige løsninger på EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Partielle differentialligninger: Indeks på EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Partielle differentialligninger: Metoder på EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Eksempelproblemer med løsninger på exampleproblems.com
Partielle differentialligninger på mathworld.wolfram.com
Delvise differentialligninger med Mathematica
Partielle differentialligninger i Cleve Moler: Numerisk computing med MATLAB
Partielle differentialligninger på nag.com
Sanderson, Grant (21. april 2019). "Men hvad er en delvis differentialligning?" . 3Blue1Brown - via YouTube .

Languages

In other projects