Forstyrrelsesteori - Perturbation theory

Differentialligninger
Navier – Stokes differentialligninger, der bruges til at simulere luftstrømmen omkring en forhindring
Anvendelsesområde Naturvidenskab ingeniørarbejde Astronomi Fysik Kemi Biologi Geologi Anvendt matematik Kontinuummekanik Kaos teori Dynamiske systemer Samfundsvidenskab Økonomi Befolkningsdynamik
Klassifikation
Typer Almindelig Delvis Differential-algebraisk Integro-differential Brøk Lineær Ikke-lineær Efter variabel type Afhængige og uafhængige variabler Autonom Kompleks Koblet / afkoblet Eksakt Homogen  / ikke -homogen Funktioner Bestille Operatør Notation
Forhold til processer Forskel (diskret analog) Stokastisk Stokastisk delvis Forsinke
Løsning
Eksistens og unikhed Picard – Lindelöf sætning Peano eksistens sætning Carathéodoris eksistens sætning Cauchy – Kowalevski sætning
Generelle emner Wronskian Faseportræt Faseplads Lyapunov  / asymptotisk  / eksponentiel stabilitet Konvergenshastighed Serie  / integrerede løsninger Numerisk integration Dirac delta funktion
Løsningsmetoder Inspektion Metode til kendetegn Euler Eksponentiel responsformel Endelig forskel  ( Crank – Nicolson ) Endeligt element Uendeligt element Endeligt volumen Galerkin Petrov – Galerkin Integrerende faktor Integrale transformationer Forstyrrelsesteori Runge – Kutta Adskillelse af variabler Ubestemte koefficienter Variation af parametre
Mennesker Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

I matematik og anvendt matematik omfatter forstyrrelsesteori metoder til at finde en omtrentlig løsning på et problem ved at tage udgangspunkt i den nøjagtige løsning af et beslægtet, enklere problem. Et kritisk træk ved teknikken er et midterste trin, der opdeler problemet i "opløselige" og "forstyrrende" dele. I forstyrrelsesteori udtrykkes løsningen som en kraftserie i en lille parameter . Det første udtryk er den kendte løsning på det problem, der kan løses. Efterfølgende vilkår i serien ved højere kræfter bliver normalt mindre. En omtrentlig 'forstyrrelsesløsning' opnås ved at trunke serien, normalt ved kun at beholde de to første udtryk, løsningen på det kendte problem og 'første ordens' forstyrrelseskorrektion. ${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

Forstyrrelsesteori bruges på en lang række områder og når sine mest sofistikerede og avancerede former inden for kvantefeltteori . Perturbationsteori (kvantemekanik) beskriver brugen af ​​denne metode i kvantemekanik . Feltet forbliver generelt aktivt og stærkt undersøgt på tværs af flere discipliner.

Beskrivelse

Perturbationsteori udvikler et udtryk for den ønskede løsning i form af en formel power -serie kendt som en perturbation -serie i en eller anden "lille" parameter, der kvantificerer afvigelsen fra det nøjagtigt løselige problem. Det ledende udtryk i denne power -serie er løsningen på det nøjagtigt opløselige problem, mens yderligere termer beskriver afvigelsen i løsningen på grund af afvigelsen fra det oprindelige problem. Formelt har vi til tilnærmelse til den fulde løsning A , en serie i den lille parameter (her kaldet ε ), som følgende:

${\ displaystyle A = A_ {0}+\ varepsilon ^{1} A_ {1}+\ varepsilon ^{2} A_ {2}+\ cdots}$

I dette eksempel ville A ₀ være den kendte løsning på det nøjagtigt opløselige indledende problem, og A ₁ , A ₂ , ... repræsenterer førsteordens , andenordens og højere ordensbetingelser , som kan findes iterativt af en mekaniker procedure. For små ε bliver disse højere ordensbetingelser i serien generelt (men ikke altid) successivt mindre. En omtrentlig "perturbativ løsning" opnås ved at trunke serien, ofte ved kun at beholde de to første udtryk, udtrykke den endelige løsning som en sum af den indledende (nøjagtige) løsning og den "første ordens" perturbative korrektion

${\ displaystyle A \ approx A_ {0}+\ varepsilon A_ {1} \ quad \ left (\ varepsilon \ to 0 \ right)}$

Nogle forfattere bruger store O-notation til at indikere rækkefølgen af fejl i den omtrentlige løsning: . ${\ displaystyle A = A_ {0}+\ varepsilon A_ {1}+O \ venstre (\ varepsilon ^{2} \ højre)}$

Hvis effektserien i ε konvergerer med en ikke -nul konvergensradius, kaldes forstyrrelsesproblemet et almindeligt forstyrrelsesproblem. Ved regelmæssige forstyrrelsesproblemer nærmer den asymptotiske løsning sig problemfrit den nøjagtige løsning. Forstyrrelserierne kan imidlertid også afvige, og den afkortede serie kan stadig være en god tilnærmelse til den sande løsning, hvis den afkortes på et punkt, hvor dens elementer er minimale. Dette kaldes en asymptotisk serie . Hvis forstyrrelsesserien er divergerende eller ikke en magtserie (f.eks. Den asymptotiske ekspansion har ikke-heltalskræfter eller negative kræfter ), kaldes forstyrrelsesproblemet et enkelt forstyrrelsesproblem . Mange særlige teknikker i forstyrrelsesteori er blevet udviklet til at analysere entydige forstyrrelsesproblemer. ${\ displaystyle \ varepsilon ^{1/2}}$${\ displaystyle \ varepsilon ^{-2}}$

Prototypisk eksempel

Den tidligste brug af det, der nu ville blive kaldt forstyrrelsesteori, var at håndtere de ellers uløselige matematiske problemer ved den himmelske mekanik : for eksempel månens bane , der bevæger sig mærkbart anderledes end en simpel kepleriansk ellipse på grund af Jordens konkurrerende gravitation og den Sun .

Forstyrrelsesmetoder starter med en forenklet form for det oprindelige problem, som er enkel nok til at kunne løses nøjagtigt. I himmelsk mekanik er dette normalt en kepleriansk ellipse . Under Newtonsk tyngdekraft er en ellipse nøjagtig korrekt, når der kun er to tyngdekroppe (f.eks. Jorden og Månen ), men ikke helt korrekt, når der er tre eller flere objekter (f.eks. Jorden, Månen , Solen og resten af den solsystemet ) og ikke helt korrekt, når den gravitationelle vekselvirkning er angivet under anvendelse af formuleringer fra almen relativitet .

Forstyrrende ekspansion

Når man holder ovenstående eksempel i tankerne, følger man en generel opskrift for at opnå forstyrrelser. Den perturbative ekspansion skabes ved at tilføje successive korrektioner til det forenklede problem. Korrektionerne opnås ved at tvinge konsistens mellem den uforstyrrede løsning og ligningerne, der beskriver systemet fuldt ud. Skriv til denne samling af ligninger; det vil sige lad symbolet stå ind for, at problemet kan løses. Ganske ofte er der tale om differentialligninger, altså bogstavet "D". ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D}$

Processen er generelt mekanisk, hvis den er besværlig. Man begynder med at skrive ligningerne, så de deler sig i to dele: en samling ligninger, der kan løses nøjagtigt, og nogle yderligere resterende dele for nogle små . Løsningen (til ) er kendt, og man søger den generelle løsning til . ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D_ {0}}$${\ displaystyle \ varepsilon D_ {1}}$${\ displaystyle \ varepsilon \ ll 1}$${\ displaystyle A_ {0}}$${\ displaystyle D_ {0}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle D = D_ {0}+\ varepsilon D_ {1}}$

Dernæst indsættes tilnærmelsen til . Dette resulterer i en ligning for , som i almindelighed kan skrives i lukket form som en sum over integraler over . Således har man opnået den første ordens korrektion og er dermed en god tilnærmelse til . Det er en god tilnærmelse, netop fordi de dele, der blev ignoreret, var af størrelse . Processen kan derefter gentages for at opnå korrektioner og så videre. ${\ displaystyle A \ approx A_ {0}+\ varepsilon A_ {1}}$${\ displaystyle \ varepsilon D_ {1}}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {0}}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle A \ approx A_ {0}+\ varepsilon A_ {1}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ varepsilon ^{2}}$${\ displaystyle A_ {2}}$

I praksis eksploderer denne proces hurtigt til et væld af termer, som bliver ekstremt svære at håndtere i hånden. Isaac Newton siges at have sagt om problemet med Månens bane, at "Det får mit hoved til at gøre ondt." Denne uhåndterbarhed har tvunget forstyrrelsesteori til at udvikle sig til en høj kunst at styre og skrive disse højere ordensbetingelser. Et af de grundlæggende gennembrud for at kontrollere ekspansionen er Feynman -diagrammerne , som gør det muligt at skrive ned forstyrrelser serier diagrammisk.

Eksempler

Forstyrrelsesteori er blevet brugt i et stort antal forskellige indstillinger inden for fysik og anvendt matematik. Eksempler på "samling af ligninger" omfatter algebraiske ligninger , differentialligninger (f.eks. Bevægelsesligninger og almindeligt bølgede ligninger ), termodynamisk fri energi i statistisk mekanik , strålingsoverførsel og hamiltonske operatorer i kvantemekanik . ${\ displaystyle D}$

Eksempler på den slags løsninger, der findes perturbativt, omfatter opløsningen af ​​ligningen ( f.eks . En partikels bane ), det statistiske gennemsnit af en vis fysisk mængde ( f.eks . Gennemsnitlig magnetisering), jordtilstandsenergien for et kvantemekanisk problem.

Eksempler på nøjagtigt opløselige problemer, der kan bruges som udgangspunkt, omfatter lineære ligninger , herunder lineære bevægelsesligninger ( harmonisk oscillator , lineær bølgeligning ), statistiske eller kvantemekaniske systemer af ikke-interagerende partikler (eller generelt Hamiltonians eller frie energier indeholder kun termer kvadratisk i alle frihedsgrader).

Eksempler på systemer, der kan løses med forstyrrelser, inkluderer systemer med ikke -lineære bidrag til bevægelsesligningerne, interaktioner mellem partikler, vilkår for højere kræfter i den Hamiltoniske/fri energi.

Ved fysiske problemer, der involverer interaktioner mellem partikler, kan vilkårene i forstyrrelserierne vises (og manipuleres) ved hjælp af Feynman -diagrammer .

Historie

Forstyrrelsesteori blev først udtænkt til at løse ellers uoverskuelige problemer i beregningen af ​​planternes bevægelser i solsystemet. F.eks. Forklarede Newtons lov om universel gravitation tyngdekraften mellem to astronomiske legemer, men når et tredje legeme tilføjes, var problemet: "Hvordan trækker hver krop i hver?" Newtons ligning tillod kun at analysere massen af ​​to legemer. Den gradvist stigende nøjagtighed af astronomiske observationer førte til inkrementelle krav i nøjagtigheden af ​​løsninger til Newtons gravitationsligninger, hvilket førte til flere bemærkelsesværdige matematikere fra det 18. og 19. århundrede, såsom Lagrange og Laplace , til at udvide og generalisere metoderne for forstyrrelsesteori.

Disse veludviklede forstyrrelsesmetoder blev vedtaget og tilpasset til at løse nye problemer, der opstod under udviklingen af kvantemekanik i atom- og subatomær fysik fra det 20. århundrede. Paul Dirac udviklede kvanteforstyrrelsesteori i 1927 for at vurdere, hvornår en partikel ville blive udsendt i radioaktive elementer. Dette blev senere navngivet Fermis gyldne regel . Forstyrrelsesteori i kvantemekanik er rimelig tilgængelig, da kvantebetegnelsen gør det muligt at skrive udtryk i en ret kompakt form, hvilket gør dem lettere at forstå. Dette resulterede i en eksplosion af applikationer, lige fra Zeeman -effekten til den hyperfine opdeling i hydrogenatomet .

På trods af den enklere notation går forstyrrelsesteori, der anvendes på kvantefeltteori, stadig let ud af hånden. Richard Feynman udviklede de fejrede Feynman -diagrammer ved at observere, at mange udtryk gentages regelmæssigt. Disse udtryk kan erstattes af prikker, linjer, squiggles og lignende mærker, der hver står for et udtryk, en nævner, en integral og så videre; således kan komplekse integraler skrives som enkle diagrammer uden absolut tvetydighed om, hvad de betyder. Den en-til-en-korrespondance mellem diagrammerne og specifikke integraler er det, der giver dem deres magt. Selvom den oprindeligt blev udviklet til kvantefeltteori, viser det sig, at den diagrammatiske teknik i vid udstrækning er anvendelig for alle forstyrrende serier (selvom den måske ikke altid er så nyttig).

I anden halvdel af det 20. århundrede, da kaosteorien udviklede sig, blev det klart, at uforstyrrede systemer generelt var fuldstændig integrerbare systemer , mens forstyrrede systemer ikke var det. Dette førte straks til studiet af "næsten integrerbare systemer", som KAM torus er det kanoniske eksempel på. På samme tid blev det også opdaget, at mange (ret specielle) ikke-lineære systemer , som tidligere kun var tilgængelige via forstyrrelsesteori, faktisk er fuldstændig integrerbare. Denne opdagelse var ret dramatisk, da den tillod præcise løsninger. Dette var til gengæld med til at tydeliggøre betydningen af ​​den forstyrrende serie, da man nu kunne sammenligne seriens resultater med de nøjagtige løsninger.

Den forbedrede forståelse af dynamiske systemer, der stammer fra kaosteorien, hjalp med at kaste lys over, hvad der blev kaldt det lille nævneproblem eller det lille delingsproblem . Det blev observeret i det 19. århundrede (af Poincaré , og måske tidligere), at undertiden 2. og højere orden i de forstyrrende serier har "små nævnere". Det vil sige, at de har den generelle form , hvor , og er nogle komplicerede udtryk relevante for problemet, der skal løses, og og er reelle tal; meget ofte er de energien i normale tilstande . Problemet med den lille divisor opstår, når forskellen er lille, hvilket får den perturbative korrektion til at blæse op, blive lige så stor eller måske større end nul -ordrebetegnelsen. Denne situation signalerer en nedbrydning af forstyrrelsesteorien: den stopper med at fungere på dette tidspunkt og kan ikke udvides eller opsummeres yderligere. Formelt set er den perturbative serie en asymptotisk serie : en nyttig tilnærmelse til et par termer, men i sidste ende inexakt. Gennembruddet fra kaosteorien var en forklaring på, hvorfor dette skete: de små delere opstår, når forstyrrelsesteorien anvendes på et kaotisk system. Den ene signalerer tilstedeværelsen af ​​den anden. ${\ displaystyle \ psi _ {n} V \ phi _ {m}/(\ omega _ {n}-\ omega _ {m})}$${\ displaystyle \ psi _ {n}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ phi _ {m}}$${\ displaystyle \ omega _ {n}}$${\ displaystyle \ omega _ {m}}$${\ displaystyle \ omega _ {n}-\ omega _ {m}}$

Begyndelser i studiet af planetarisk bevægelse

Da planeterne er meget fjernt fra hinanden, og da deres masse er lille i forhold til Solens masse, kan tyngdekræfterne mellem planeterne negligeres, og planetbevægelsen betragtes i første omgang som at finde sted langs Keplers baner, som er defineret af ligningerne for to-kropsproblemet , idet de to kroppe er planeten og Solen.

Da astronomiske data blev kendt med meget større nøjagtighed, blev det nødvendigt at overveje, hvordan en planets bevægelse omkring Solen påvirkes af andre planeter. Dette var oprindelsen til tre-kropsproblemet ; Således blev masseforholdet mellem Månen og Jorden valgt som den lille parameter ved at studere systemet Moon - Earth - Sun. Lagrange og Laplace var de første til at fremme den opfattelse, at de konstanter, der beskriver en planets bevægelse omkring Solen, "forstyrres", som det var, ved bevægelse fra andre planeter og varierer som funktion af tiden; deraf navnet "forstyrrelsesteori".

Forstyrrelsesteori blev undersøgt af de klassiske lærde - Laplace , Poisson , Gauss - som et resultat af hvilket beregningerne kunne udføres med en meget høj nøjagtighed. Opdagelsen af ​​planeten Neptun i 1848 af Urbain Le Verrier , baseret på afvigelserne i bevægelse på planeten Uranus (han sendte koordinaterne til Johann Gottfried Galle, der med succes observerede Neptun gennem sit teleskop), repræsenterede en triumf af forstyrrelsesteori.

Forstyrrelser

Standardekspositionen for forstyrrelsesteori er givet i den rækkefølge, som forstyrrelsen udføres til: førsteordens forstyrrelsesteori eller andenordens forstyrrelsesteori, og om forstyrrede tilstande er degenererede, hvilket kræver entydig forstyrrelse . I ental tilfældet skal der udvises ekstra omhu, og teorien er lidt mere detaljeret.

I kemi

Mange af de ab initio kvantekemiske metoder bruger forstyrrelsesteori direkte eller er nært beslægtede metoder. Implicit forstyrrelsesteori arbejder med den komplette hamiltons fra begyndelsen og angiver aldrig en forstyrrelsesoperatør som sådan. Møller – Plesset perturbationsteori bruger forskellen mellem Hartree – Fock Hamiltonian og den præcise ikke-relativistiske Hamiltonian som forstyrrelsen. Nulordens energien er summen af ​​orbitalenergier. Førsteordensenergien er Hartree – Fock-energien, og elektronkorrelation er inkluderet ved andenordens eller højere. Beregninger til anden, tredje eller fjerde orden er meget almindelige, og koden er inkluderet i de fleste ab initio kvantekemiprogrammer . En beslægtet, men mere præcis metode er den koblede klyngemetode .

Se også

• Grænselag
• Kosmologisk forstyrrelsesteori
• Deformation (matematik)
• Dynamisk atompolarisering
• Eigenvalue forstyrrelse
• Homotopi -forstyrrelsesmetode
• Interval FEM
• Lyapunov stabilitet
• Metode til dominerende balance
• Tilnærmelsesorden
• Forstyrrelsesteori (kvantemekanik)
• Strukturel stabilitet

Referencer

eksterne links

• van den Eijnden, Eric . "Introduktion til almindelig forstyrrelsesteori" (PDF) .
• "Forstyrrelsesmetode med flere skalaer" .
• Alternativ tilgang til kvanteforstyrrelsesteori Martínez-Carranza, J .; Soto-Eguibar, F .; Moya-Cessa, H. (2012). "Alternativ analyse til forstyrrelsesteori i kvantemekanik". Den Europæiske Fysiske Journal D . 66 : 22. arXiv : 1110.0723 . Bibcode : 2012EPJD ... 66 ... 22M . doi : 10.1140/epjd/e2011-20654-5 . S2CID  117362666 .