Sætning - Theorem

Den Pythagoras har mindst 370 kendte beviser

I matematik er en sætning en erklæring, der er blevet bevist , eller kan bevises. Det bevis for en sætning er et logisk argument , der bruger inferens reglerne i et deduktivt system at fastslå, at sætningen er en logisk konsekvens af de aksiomer og tidligere bevist teoremer.

I matematikens mainstream er aksiomerne og slutningsreglerne almindeligvis implicitte, og i dette tilfælde er de næsten altid Zermelo - Fraenkels sætteori med valgfrit aksiom eller en mindre kraftfuld teori, såsom Peano regning . En bemærkelsesværdig undtagelse er Wiles bevis på Fermats sidste sætning , der involverer Grothendieck -universerne, hvis eksistens kræver at tilføje et nyt aksiom til sætteorien. Generelt er en påstand, der eksplicit kaldes en sætning, et bevist resultat, der ikke er en umiddelbar konsekvens af andre kendte sætninger. Desuden kvalificerer mange forfattere som sætninger kun de vigtigste resultater, og bruger udtrykkene lemma , proposition og konsekvens for mindre vigtige sætninger.

I matematisk logik er begreberne sætninger og beviser blevet formaliseret for at tillade matematisk begrundelse om dem. I denne sammenhæng bliver udsagn velformede formler for et formelt sprog . En teori består af nogle basisudsagn kaldet aksiomer og nogle udledende regler (undertiden inkluderet i aksiomerne). Teoriens sætninger er de udsagn, der kan udledes af aksiomerne ved hjælp af de udledende regler. Denne formalisering førte til bevisteori , som gør det muligt at bevise generelle sætninger om sætninger og beviser. Især viser Gödel's ufuldstændighedssætninger , at enhver konsistent teori, der indeholder de naturlige tal, har sande udsagn om naturlige tal, der ikke er teoremer i teorien (det vil sige, at de ikke kan bevises inde i teorien).

Da aksiomerne ofte er abstraktioner af egenskaber i den fysiske verden , kan sætninger betragtes som udtryk for en vis sandhed, men i modsætning til forestillingen om en videnskabelig lov , som er eksperimentel , er begrundelsen for sandheden i et sætning rent deduktiv .

Sætning og sandhed

Indtil slutningen af ​​1800-tallet og matematikkens grundlæggende krise blev al matematik bygget på et par grundlæggende egenskaber, der blev betragtet som selvfølgelige; for eksempel fakta om, at hvert naturligt tal har en efterfølger, og at der er præcis en linje, der passerer gennem to givne forskellige punkter. De grundlæggende egenskaber, der ikke blev betragtet som absolut åbenlyse, blev kaldt postulater ; for eksempel Euklides postulater . Alle sætninger blev bevist ved at anvende implicit eller eksplicit disse grundlæggende egenskaber, og på grund af beviset for disse grundlæggende egenskaber blev en bevist sætning betragtet som en endelig sandhed, medmindre der var en fejl i beviset. For eksempel er summen af ​​de indvendige vinkler i en trekant lig med 180 °, og dette blev betragtet som en utvivlsom kendsgerning.

Et aspekt af matematikkens grundlæggende krise var opdagelsen af ikke-euklidiske geometrier , der ikke fører til nogen modsætning, selvom summen af ​​vinklerne i en trekant er forskellig fra 180 ° i sådanne geometrier. Så egenskaben "summen af ​​vinklerne på en trekant er 180 °" er enten sand eller falsk, afhængigt af om Euklides postulater antages. På samme måde fører brugen af ​​"tydelige" grundlæggende egenskaber ved sæt til modsigelse af Russels paradoks . Dette er løst ved at udarbejde de regler, der er tilladt til manipulation af sæt.

Denne krise er blevet løst ved at revidere grundlaget for matematik for at gøre dem mere strenge . I disse nye funderinger er en sætning en velformet formel for en matematisk teori, der kan bevises ud fra teoriens aksiomer og slutninger . Så ovenstående sætning på summen af ​​vinklerne på en trekant bliver: Under aksiomerne og slutningsreglerne for den euklidiske geometri er summen af ​​de indre vinkler i en trekant lig med 180 ° . Tilsvarende forsvinder Russels paradoks, fordi i en aksiomatiseret sætteori kan sættet af alle sæt ikke udtrykkes med en velformet formel. Mere præcist, hvis sættet af alle sæt kan udtrykkes med en velformet formel, betyder det, at teorien er inkonsekvent , og enhver velformuleret påstand såvel som dens negation er en sætning.

I denne sammenhæng afhænger gyldigheden af ​​en sætning kun af korrektheden af ​​dens bevis. Det er uafhængigt af sandheden eller endda aksiomernes betydning. Dette betyder ikke, at aksiomernes betydning er uinteressant, men kun at validiteten (sandheden) af en sætning er uafhængig af aksiomernes betydning. Denne uafhængighed kan være nyttig ved at tillade brug af resultater fra et område af matematik i tilsyneladende ikke -relaterede områder.

En vigtig konsekvens af denne måde at tænke matematik på er, at den gør det muligt at definere matematiske teorier og sætninger som matematiske objekter og at bevise sætninger om dem. Eksempler er Gödel's ufuldstændighedssætninger . Især er der velformulerede påstande, end det kan bevises ikke at være en teorem i den omgivende teori, selvom de kan bevises i en bredere teori. Et eksempel er Goodsteins sætning , som kan angives i Peano -aritmetik , men det viser sig at ikke kan bevises i Peano -aritmetik. Det kan imidlertid bevises i nogle mere generelle teorier, såsom Zermelo - Fraenkel sætteori .

Epistemologiske overvejelser

Mange matematiske sætninger er betingede udsagn, hvis beviser udledes af konklusioner fra forhold kendt som hypoteser eller præmisser . I lyset af fortolkningen af ​​bevis som begrundelse for sandhed betragtes konklusionen ofte som en nødvendig konsekvens af hypoteserne. Nemlig at konklusionen er sand i tilfælde af at hypoteserne er sande - uden yderligere antagelser. Det betingede kunne imidlertid også tolkes forskelligt i visse deduktive systemer afhængigt af betydningen, der er tildelt afledningsreglerne og det betingede symbol (f.eks. Ikke-klassisk logik ).

Selvom sætninger kan skrives i en helt symbolsk form (f.eks. Som propositioner i propositional calculus ), udtrykkes de ofte uformelt på et naturligt sprog som engelsk for bedre læsbarhed. Det samme gælder beviser, der ofte udtrykkes som logisk organiserede og klart formulerede uformelle argumenter, der har til formål at overbevise læserne om sandheden om sætningens udsagn uden tvivl, og hvorfra et formelt symbolsk bevis i princippet kan konstrueres.

Ud over den bedre læsbarhed er uformelle argumenter typisk lettere at kontrollere end rent symbolske - mange matematikere ville faktisk udtrykke en præference for et bevis, der ikke kun demonstrerer gyldigheden af ​​en sætning, men også på en eller anden måde forklarer, hvorfor det naturligvis er sand. I nogle tilfælde kan man endda underbygge en sætning ved at bruge et billede som bevis herfor.

Fordi sætninger ligger til grund for matematikken, er de også centrale for dets æstetik . Sætninger beskrives ofte som værende "trivielle" eller "vanskelige" eller "dybe" eller endda "smukke". Disse subjektive vurderinger varierer ikke kun fra person til person, men også med tid og kultur: for eksempel når et bevis opnås, forenkles eller bedre forstås, kan en sætning, der engang var vanskelig, blive triviel. På den anden side kan en dyb sætning simpelthen angives, men dens bevis kan indebære overraskende og subtile forbindelser mellem forskellige matematiske områder. Fermats sidste sætning er et særligt velkendt eksempel på en sådan sætning.

Uformel redegørelse for sætninger

Logisk , mange sætninger er i form af en vejledende betinget : Hvis A, så B . Sådan en sætning ikke hævde B - kun at B er en nødvendig konsekvens af A . I dette tilfælde A kaldes hypotesen af sætningen ( "hypotese" her betyder noget meget forskelligt fra en formodning ), og B den konklusion af sætningen. De to tilsammen (uden bevis) kaldes sætningens udsagn eller udsagn (f.eks. " Hvis A, så er B " forslaget ). Alternativt kan A og B også betegnes henholdsvis forløbet og det deraf følgende . Sætningen "Hvis n er et lige naturligt tal , så er n /2 et naturligt tal" er et typisk eksempel, hvor hypotesen er " n er et lige naturligt tal", og konklusionen er " n /2 er også et naturligt tal nummer".

For at en sætning kan bevises, skal den i princippet kunne udtrykkes som en præcis, formel erklæring. Sætninger udtrykkes imidlertid normalt i naturligt sprog snarere end i en helt symbolsk form - med den formodning, at en formel erklæring kan udledes af den uformelle.

Det er almindeligt i matematik at vælge et antal hypoteser inden for et givet sprog og erklære, at teorien består af alle udsagn, der kan bevises fra disse hypoteser. Disse hypoteser danner grundlaget for teorien og kaldes aksiomer eller postulater. Matematikfeltet kendt som bevissteori studerer formelle sprog, aksiomer og bevisstrukturen.

Et plant kort med fem farver, så ingen områder med samme farve mødes. Det kan faktisk farves på denne måde med kun fire farver. De fire farve sætninger siger, at sådanne farvninger er mulige for ethvert plant kort, men hvert kendt bevis indebærer en beregningssøgning, der er for lang til at kontrollere i hånden.

Nogle sætninger er " trivielle ", i den forstand at de følger af definitioner, aksiomer og andre sætninger på indlysende måder og ikke indeholder nogen overraskende indsigt. Nogle kan på den anden side kaldes "dybe", fordi deres beviser kan være lange og vanskelige, involvere matematikområder overfladisk adskilte fra selve sætningen eller vise overraskende sammenhænge mellem forskellige matematikområder. En sætning kan være enkel at angive og alligevel være dyb. Et glimrende eksempel er Fermats sidste sætning , og der er mange andre eksempler på enkle, men dybe sætninger inden for talteori og kombinatorik , blandt andre områder.

Andre sætninger har et kendt bevis, der ikke let kan skrives ned. De mest fremtrædende eksempler er de fire farve sætninger og Kepler formodning . Begge disse sætninger vides kun at være sande ved at reducere dem til en beregningssøgning, der derefter verificeres af et computerprogram. I første omgang accepterede mange matematikere ikke denne form for bevis, men det er blevet mere bredt accepteret. Matematikeren Doron Zeilberger er endda gået så langt som til at hævde, at det muligvis er de eneste utrivelige resultater, matematikere nogensinde har bevist. Mange matematiske sætninger kan reduceres til mere ligetil beregning, herunder polynomiske identiteter, trigonometriske identiteter og hypergeometriske identiteter.

Forhold til videnskabelige teorier

Sætninger i matematik og teorier inden for videnskab er fundamentalt forskellige i deres vidnesbyrd . En videnskabelig teori kan ikke bevises; dens nøgleegenskab er, at det er forfalskeligt , det vil sige, det gør forudsigelser om den naturlige verden, der kan testes ved forsøg . Enhver uenighed mellem forudsigelse og eksperiment viser, at den videnskabelige teori er forkert, eller begrænser i det mindste dens nøjagtighed eller gyldighedsområde. Matematiske sætninger er derimod rent abstrakte formelle udsagn: beviset på en sætning kan ikke involvere eksperimenter eller andre empiriske beviser på samme måde som sådanne beviser bruges til at understøtte videnskabelige teorier.

The Collatz formodninger : én måde at illustrere dets kompleksitet er at udvide iteration fra naturlige tal til de komplekse tal. Resultatet er en fraktal , som (i overensstemmelse med universalitet ) ligner Mandelbrot -sættet .

Ikke desto mindre er der en vis grad af empirisme og dataindsamling involveret i opdagelsen af ​​matematiske sætninger. Ved at etablere et mønster, nogle gange ved brug af en kraftfuld computer, kan matematikere have en idé om, hvad de skal bevise, og i nogle tilfælde endda en plan for, hvordan de skal gå i gang med at lave beviset. Det er også muligt at finde et enkelt modeksempel og på den måde fastslå umuligheden af ​​et bevis for forslaget som angivet og muligvis foreslå begrænsede former for det oprindelige forslag, der kan have gennemførlige beviser.

For eksempel er både Collatz-formodningen og Riemann-hypotesen velkendte uløste problemer; de er blevet grundigt undersøgt gennem empiriske kontroller, men forbliver ubevist. Den Collatz formodninger er blevet verificeret til startværdier op til omkring 2,88 × 10 ¹⁸ . Den Riemann hypotese er blevet bekræftet til hold i de første 10 billioner ikke-trivielle nuller af zeta funktion . Selvom de fleste matematikere kan tåle at antage, at formodningen og hypotesen er sand, betragtes ingen af ​​disse påstande som bevist.

Sådanne beviser udgør ikke bevis. For eksempel er Mertens -formodningen en erklæring om naturlige tal, der nu vides at være falsk, men intet eksplicit modeksempel (dvs. et naturligt tal n, for hvilket Mertens -funktionen M ( n ) er lig med eller overstiger kvadratroden af n ), er kendt: alle tal mindre end 10 ¹⁴ har Mertens -ejendommen, og det mindste tal, der ikke har denne egenskab, er kun kendt for at være mindre end eksponentialet på 1,59 × 10 ⁴⁰ , hvilket er cirka 10 til effekten 4,3 × 10 ³⁹ . Da antallet af partikler i universet generelt betragtes som mindre end 10 til magten 100 (et googol ), er der intet håb om at finde et eksplicit modeksempel ved udtømmende søgning .

Ordet "teori" findes også i matematik, for at betegne en masse matematiske aksiomer, definitioner og sætninger, som i for eksempel gruppeteori (se matematisk teori ). Der er også "sætninger" inden for videnskab, især fysik og teknik, men de har ofte udsagn og beviser, hvor fysiske antagelser og intuition spiller en vigtig rolle; de fysiske aksiomer, som sådanne "sætninger" er baseret på, er selv forfalskelige.

Terminologi

Der findes en række forskellige udtryk for matematiske udsagn; disse udtryk angiver den rolle, udsagn spiller i et bestemt emne. Sondringen mellem forskellige udtryk er undertiden temmelig vilkårlig, og brugen af ​​nogle udtryk har udviklet sig over tid.

• Et aksiom eller postulat er en grundlæggende antagelse vedrørende undersøgelsesobjektet, der accepteres uden bevis. Et beslægtet begreb er begrebet definition , som giver betydningen af ​​et ord eller en sætning i form af kendte begreber. Klassisk geometri skelner mellem aksiomer, som er generelle udsagn; og postulater, som er udsagn om geometriske objekter. Historisk set blev aksiomer betragtet som " indlysende "; i dag antages de blot at være sande.
• En formodning er en ubevist erklæring, der menes at være sand. Formodninger laves normalt offentligt og er opkaldt efter deres skaber (for eksempel Goldbachs formodninger og Collatz -formodninger ). Begrebet hypotese bruges også i denne forstand (for eksempel Riemann -hypotese ), som ikke bør forveksles med "hypotese" som forudsætning for et bevis. Andre udtryk bruges også lejlighedsvis, for eksempel problem, når folk ikke er sikre på, om udsagnet skal antages at være sandt. Fermats sidste sætning blev historisk kaldt en sætning, selvom den i århundreder kun var en formodning.
• En sætning er en sætning, der har vist sig at være sand baseret på aksiomer og andre sætninger.
• Et forslag er en sætning af mindre betydning eller en, der anses for så elementær eller umiddelbart indlysende, at den kan anføres uden bevis. Dette bør ikke forveksles med "proposition" som det bruges i propositionel logik . I klassisk geometri udtrykket "proposition" blev brugt forskelligt: i Euclid 's Elements ( c.  300 BCE ) blev alle sætninger og geometriske konstruktioner kaldes 'udsagn' uanset deres betydning.
• Et lemma er et "tilbehørsproposition" - et forslag med lidt anvendelighed uden for dets anvendelse i et bestemt bevis. Over tid kan et lemma få større betydning og betragtes som et sætning , selvom udtrykket "lemma" normalt bevares som en del af sit navn (f.eks. Gauss lemma , Zorns lemma og det grundlæggende lemma ).
• En konsekvens er et forslag, der straks følger af en anden sætning eller aksiom, med lidt eller ingen påkrævet bevis. En følgesvend kan også være en omformulering af en sætning i en enklere form eller i et specielt tilfælde : for eksempel sætningen "alle indre vinkler i et rektangel er rette vinkler " har en følge af, at "alle indre vinkler i en firkant er rigtige vinkler " - en firkant er et specielt tilfælde af et rektangel.
• En generalisering af en sætning er en sætning med et lignende udsagn, men et bredere anvendelsesområde, hvorfra den originale sætning kan udledes som et specielt tilfælde (en følge ).

Andre udtryk kan også bruges af historiske eller sædvanlige årsager, for eksempel:

• En identitet er en sætning, der angiver en lighed mellem to udtryk, der har enhver værdi inden for dens domæne (f.eks. Bézouts identitet og Vandermondes identitet ).
• En regel er en sætning, der fastsætter en nyttig formel (f.eks. Bayes 'regel og Cramers regel ).
• En lov eller et princip er en sætning med bred anvendelighed (f.eks. Loven om store tal , cosinuslov , Kolmogorovs nul-en lov , Harnacks princip , det mindst øvre-grænsede princip og duehulsprincippet ).

Nogle få kendte sætninger har endnu mere sære navne, f.eks. Divisionsalgoritmen , Eulers formel og Banach – Tarski-paradokset .

Layout

En sætning og dens bevis er typisk opstillet som følger:

Sætning (navn på den person, der beviste det, sammen med opdagelsesår eller offentliggørelse af beviset)

Erklæring om sætning (undertiden kaldet forslaget )

Bevis

Beskrivelse af bevis

Ende

Slutningen af ​​beviset kan signaleres af bogstaverne QED ( quod erat demonstrandum ) eller af et af gravmærkerne , f.eks. "□" eller "∎", hvilket betyder " bevisets slutning", introduceret af Paul Halmos efter deres brug i blade for at markere afslutningen på en artikel.

Den nøjagtige stil afhænger af forfatteren eller publikationen. Mange publikationer giver instruktioner eller makroer til satsarbejde i huset stil .

Det er almindeligt, at en sætning går forud for definitioner, der beskriver den nøjagtige betydning af de udtryk, der bruges i sætningen. Det er også almindeligt, at en sætning er forud for en række påstande eller lemmaer, som derefter bruges i beviset. Imidlertid er lemmaer undertiden indlejret i beviset på en sætning, enten med indlejrede beviser eller med deres beviser fremlagt efter beviset for sætningen.

Følger til en sætning præsenteres enten mellem sætningen og beviset eller direkte efter beviset. Nogle gange har korollarier deres egne beviser, der forklarer, hvorfor de følger af sætningen.

Lore

Det er blevet anslået, at over en kvart million sætninger bevises hvert år.

Den velkendte aforisme , "En matematiker er en enhed til at gøre kaffe til sætninger" , skyldes sandsynligvis Alfréd Rényi , selvom den ofte tilskrives Rényis kollega Paul Erdős (og Rényi kan have tænkt på Erdős), som var berømt for de mange sætninger, han producerede, antallet af hans samarbejder og hans kaffedrikning.

Den klassificering af finite simple grupper anses af nogle for at være den længste bevis for en sætning. Det omfatter titusinder af sider i 500 tidsskriftsartikler af omkring 100 forfattere. Disse papirer menes tilsammen at give et komplet bevis, og flere igangværende projekter håber at forkorte og forenkle dette bevis. En anden sætning af denne type er den firefarvesætning, hvis computergenererede bevis er for lang til, at et menneske kan læse den. Det er blandt de længst kendte beviser for en sætning, hvis udsagn let kan forstås af en lægmand.

Sætninger i logik

I matematisk logik er en formel teori et sæt sætninger inden for et formelt sprog . En sætning er en velformet formel uden frie variabler. En sætning, der er medlem af en teori, er en af ​​dens sætninger, og teorien er sættet af dens sætninger. Normalt forstås en teori at være lukket under forholdet mellem logisk konsekvens . Nogle konti definerer en teori, der skal lukkes under den semantiske konsekvensrelation ( ), mens andre definerer den til at blive lukket under den syntaktiske konsekvens eller derivabilitetsrelation ( ). ${\ displaystyle \ models}$${\ displaystyle \ vdash}$

Dette diagram viser de syntaktiske enheder, der kan konstrueres ud fra formelle sprog . De symboler og strenge af symboler kan bredt inddeles i nonsense og velformede formler . Et formelt sprog kan betragtes som identisk med sættet med dets velformede formler. Sættet med velformede formler kan stort set opdeles i sætninger og ikke-sætninger.

For at en teori kan lukkes under en derivabilitetsrelation, skal den være forbundet med et deduktivt system, der angiver, hvordan sætningerne stammer. Det deduktive system kan angives eksplicit, eller det kan fremgå tydeligt af konteksten. Lukningen af ​​det tomme sæt under forholdet mellem logisk konsekvens giver det sæt, der kun indeholder de sætninger, der er sætninger i det deduktive system.

I bred forstand, hvori udtrykket anvendes i logik, er en sætning ikke at være sandt, da den teori, der indeholder det kan være usund i forhold til en given semantik, eller i forhold til den standard fortolkning af den underliggende sprog. En teori, der er inkonsekvent, har alle sætninger som sætninger.

Definitionen af ​​sætninger som sætninger i et formelt sprog er nyttig inden for bevisteori , som er en gren af ​​matematik, der studerer strukturen af ​​formelle beviser og strukturen af ​​bevisbare formler. Det er også vigtigt i modelteorien , som er optaget af forholdet mellem formelle teorier og strukturer, der er i stand til at give dem semantik gennem fortolkning .

Selvom sætninger kan være ufortolkede sætninger, er matematikere i praksis mere interesserede i sætningernes betydning, altså i de propositioner, de udtrykker. Det, der gør formelle sætninger nyttige og interessante, er, at de kan tolkes som sande påstande, og deres afledninger kan tolkes som et bevis på deres sandhed. En sætning, hvis fortolkning er en sand erklæring om et formelt system (i modsætning til inden for et formelt system) kaldes et metateorem .

Nogle vigtige sætninger i matematisk logik er:

• Førsteordens logik er kompakt
• Fuldstændighed af første ordens logik
• Gödels ufuldstændighedssætninger i første ordens aritmetik
• Konsistens i første ordens regning
• Tarskis udefinerbarhedssætning
• Kirke-Turing-sætning om uafgørelighed
• Löbs sætning
• Löwenheim – Skolem sætning
• Lindströms sætning
• Craigs sætning
• Cut-eliminering sætning

Syntaks og semantik

Begrebet en formel sætning er grundlæggende syntaktisk, i modsætning til forestillingen om et sandt forslag, som introducerer semantik . Forskellige deduktive systemer kan give andre fortolkninger afhængigt af afledningsreglernes formodninger (dvs. tro , begrundelse eller andre modaliteter ). Et formelt systems sundhed afhænger af, om alle dets sætninger også er gyldigheder . En gyldighed er en formel, der er sand under enhver mulig fortolkning (for eksempel i klassisk propositionel logik er validiteter tautologier ). Et formelt system betragtes som semantisk fuldstændigt, når alle dets sætninger også er tautologier.

Fortolkning af en formel sætning

Sætninger og teorier

Se også

• Liste over sætninger
• Grundlæggende sætning
• Formel
• Afledning
• Legetøjssætning

Noter

Referencer

Referencer

• Boolos, George; Burgess, John; Jeffrey, Richard (2007). Beregnelighed og logik (5. udgave). Cambridge University Press.
• Chiswell, Ian; Hodges, Wilfred (2007). Matematisk logik . Oxford University Press.
• Enderton, Herbert (2001). En matematisk introduktion til logik (2. udgave). Harcourt Academic Press.
• Heath, Sir Thomas Little (1897). Arkimedes værker . Dover . Hentet 2009-11-15 .
• Hedman, Shawn (2004). Et første kursus i logik . Oxford University Press.
• Hinman, Peter (2005). Grundlaget for matematisk logik . Wellesley, MA: AK Peters.
• Hoffman, P. (1998). Manden der kun elskede tal : Historien om Paul Erdős og søgen efter matematisk sandhed . Hyperion, New York. ISBN 1-85702-829-5.
• Hodges, Wilfrid (1993). Model teori . Cambridge University Press.
• Hunter, Geoffrey (1996) [1973]. Metalogic: En introduktion til Metatheory of Standard First Order Logic . University of California Press. ISBN 0-520-02356-0.
• Johnstone, PT (1987). Noter om logik og sætteori . Cambridge University Press.
• Mates, Benson (1972). Elementær logik . Oxford University Press. ISBN 0-19-501491-X.
• Monk, J. Donald (1976). Matematisk logik . Springer-Verlag.
• Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). A = B . AK Peters, Wellesley, Massachusetts. ISBN 1-56881-063-6.
• Rautenberg, Wolfgang (2010). En kortfattet introduktion til matematisk logik (3. udgave). Springer.
• van Dalen, Dirk (1994). Logik og struktur (3. udgave). Springer-Verlag.

eksterne links

• Medier relateret til sætninger på Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. "Sætning" . MathWorld .
• Dagens sætning